中国人民大学附属中学高二数学新课标人教A版选修2-1：2.1.2由曲线求它的方程，由方程研究曲线的性质 课件（共22张ppt）

中国人民大学附属中学 2.1.2由曲线求它的方程， 由方程研究曲线的性质 在研究直线与圆的方程时，我们已经看到解析几何主要推论下面两个基本问题： 1．由曲线求它的方程； 2．利用方程研究曲线的性质. 下面让我们通过实例，进一步体会如何建立曲线的方程，以及如何利用方程以及曲线的性质。 例1．设动点M与两条互相垂直的直线的距离的积等于1，求动点M的轨迹方程并利用方程研究轨迹(曲线)的性质。 解：（1）求动点M的轨迹方程： ① 建立直角坐标系. 取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy； ② 设动点M的坐标为(x，y)； ③ 把几何条件转化为坐标表示： 过点M分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，有轨迹上的点M与两坐标轴的距离之积等于1，得 因为点M与x轴的距离|ME|=|y|，与y轴的距离|MF|=|x|，所以上述条件转化为方程的表示： |x|·|y|=1. 这个方程等价于xy=1或xy=－1. 点M是轨迹上的点 |ME|·|MF|=1 这就是说，M(x，y)在曲线上，则它的坐标满足方程，以|x|·|y|=1的解为坐标的点M(x，y)都在曲线上。 因此方程|x|·|y|=1为所求动点轨迹的方程. ④ 证明(略)； （2）利用方程研究曲线的性质： ① 曲线的组成 由于方程|x|·|y|=1等价于下列两个方程xy=1或xy=－1，每一个方程都表示一条曲线，由此可知表示方程的曲线由上述两个方程的曲线组成； ② 曲线与坐标轴的交点 由方程|x|·|y|=1，可推知x≠0且y≠0，因此方程的曲线与两坐标轴没有交点，方程对应的曲线被两条坐标轴分开； ③ 曲线的对称性质 在方程|x|·|y|=1中，以－x代替x，这个方程并未变化，因此方程的图象关于y轴对称. 在方程|x|·|y|=1中，以－y代替y，这个方程也未变化，因此方程的图象关于x轴对称; 在方程|x|·|y|=1中，以－x代替x，同时以－y代替y，这个方程也未变化，因此方程的图象关于原点中心对称. 由以上分析可知，这个方程所表示的曲线，既是轴对称图形，也是中心对称图形。因此在我们研究方程的曲线时，只要研究它在第一象限那一部分曲线即可； ④ 曲线的变化情况 由曲线的对称性质，我们