中国人民大学附属中学高二数学新课标人教A版选修2-1：2.3.2双曲线的几何性质 课件（共21张ppt）

中国人民大学附属中学 2.3.2双曲线的几何性质 1．范围： 由方程可得，双曲线C上任意一点的坐标(x，y)都适合不等式 我们利用双曲线C的标准方程 来研究双曲线的一些几何性质. 即x≥a，或x≤－a. 因此双曲线C位于两直线x=a和x=－a所夹平面区域的外侧。 2．对称性： 类似于对椭圆对称性的讨论，可知双曲线C分别以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，双曲线的对称中心又叫做双曲线的中心。 3．顶点： 在方程中，令y=0，得x=±a，可知双曲线C与x轴有两个交点，分别是A1(－a，0)，A2(a，0)，如果令x=0，得y2=－b2，这个方程没有实数根，说明双曲线C与y轴没有公共点， 双曲线与它的对称轴的两个交点叫双曲线的顶点。 如图，双曲线C的顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，这两个顶点是双曲线两支中相距最近的点。 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，同时在y轴上作点B1(0，－b)，B2(0，b)，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b. 相应的a，b分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长。 4．渐近线 观察图中方程①所表示的双曲线C，在直线x=a的右侧，当x逐渐增大时，双曲线的右支向右上和右下逐渐延伸；在直线x=－a的左侧，当x逐渐减小时，双曲线的左支向左上和左下逐渐延伸。 我们再进一步分析双曲线的这一变化趋势，不妨先考虑它在第一象限内的那一部分， 这一部分的曲线的方程可以表达为 由于x>a>0，可知 又因为b>0，所以 这说明在第一象限内，双曲线C上的任意一点M(x，y)总是位于直线 的下方. 过点M作平行于y轴的直线，设它与直线 相交于点P，则 因为当x>a时， 随着x的增大而增大， 所以 随着x的增大而减小， 可知当x越来越大时，|PM|越来越接近于0. 这说明当点M以双曲线C的顶点A2开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点A2时，点M和直线 就越来越接近。 由此可见，此双曲线右支向右上方无限延伸时，它总在直线的下方，且与直线 越来越接近，但不会相交。 根据双曲