专题05 平面解析几何(十大题型+优选提升题)（沪教版2020选择性必修，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题05 平面解析几何 题型概览 题型01坐标平面上的曲线 题型02圆 题型03圆的位置关系 题型04圆锥曲线有关的概念 题型05圆锥曲线—根据位置关系求参数范围 题型06圆锥曲线—焦点三角形 题型07 圆锥曲线—最值、取值范围问题 题型08 参数方程、极坐标方程、轨迹方程 题型09 圆锥曲线的综合应用 题型10 解答题 ( 题型01 ) 坐标平面上的曲线 1．（24-25高二上·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是 . 2．（24-25高二下·上海浦东新·期末）经过点、的直线的斜率为 . 3．（24-25高二下·上海浦东新·期末）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 4．（24-25高二上·上海·期末）已知点，直线.过点且与直线垂直，求直线的方程 . 5．（24-25高二上·上海·期末）若向量是直线的一个法向量，则直线的倾斜角为 ．（用反三角表示） 6．（24-25高二上·上海·期末）平行直线与间的距离为 . 7．（24-25高二上·上海·期末）已知直线与直线的距离为，则 . 8．（23-24高二上·上海·期末）直线与直线的夹角为 . 9．（24-25高二下·上海浦东新·期末）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 10．（24-25高二上·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） ( 题型02 ) 圆 11．（24-25高二上·上海·期末）以为圆心，3为半径的圆的一般方程是 . 12．（24-25高二上·上海·期末）已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·上海浦东新·期末）若圆的方程为，则实数的取值范围为 . 14．（23-24高二下·上海·期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 15．（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 . ( 题型03 ) 圆的位置关系 16．（23-24高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 17．（24-25高二上·上海·期末）圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ． 18．（22-23高二下·上海闵行·期末）若直线与圆相交，则实数的取值范围是 . 19．（23-24高二下·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为 . ( 题型04 ) 圆锥曲线有关的概念 20．（24-25高二下·上海浦东新·期末）双曲线的渐近线方程为 . 21．（24-25高二下·上海浦东新·期末）椭圆的长轴的长为 . 22．（24-25高二上·上海金山·期末）双曲线的左焦点F到其中一条渐近线的距离为 ． 23．（24-25高二上·上海金山·期末）若抛物线：的焦点在直线上，则p等于 . 24．（21-22高二下·上海宝山·期末）已知方程表示的曲线为.则以下四个判断中错误选项为（    ） A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 B．当或时，曲线表示双曲线 C．当时，曲线表示椭圆 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 25．（24-25高二上·上海·期末）已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 圆锥曲线—根据位置关系求参数范围 26．（24-25高二下·上海浦东新·期末）若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 . 27．（24-25高二上·上海·期末）若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 圆锥曲线—焦点三角形 29．（24-25高二上·上海·期末）椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ． 30．（24-25高二上·上海·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为 ． 31．（24-25高二上·上海·期末）设P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，设椭圆的左，右焦点分别为，若外接圆的半径为，则实数a= . ( 题型0 7 ) 圆锥曲线—最值、取值范围问题 32．（24-25高三上·上海松江·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 33．（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 34．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 ( 题型0 8 ) 参数方程、极坐标方程、轨迹方程 35．（24-25高二上·上海·期末）参数方程（为参数）的普通方程是 . 36．（21-22高二下·上海杨浦·期末）极坐标系中，点与点，表示同一个点，则 . 37．（21-22高二下·上海浦东新·期末）已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的离心率为 . 38．（22-23高二上·上海宝山·期末）动点在曲线上移动，则点和定点连线的中点的轨迹方程是 . ( 题型0 9 )圆锥曲线的综合应用 39．（24-25高三上·上海·期末）有三个观测站,其中A在B正东方向m米，C在B正北方向m米.某处D传来了爆炸声.若A站听到的时间比B站早1秒，B站听到的时间比C站早1秒，则m的最小整数值是 .(假定声波在空气中的传播速度为340米/秒，本题所有点均在同一平面上) 40．（24-25高二上·上海·期末）一种卫星接收天线（如下图左所示）曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如下图右所示）.已知接收天线的口径（直径）为4米，深度为0.5米，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 米. 41．（23-24高二上·上海奉贤·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线C:的左顶点为A，若双曲线C的一条渐近线与直线AM垂直，则双曲线C的离心率为 . 42．（23-24高二下·上海闵行·期末）设分别是双曲线的左，右焦点，若存在过点的直线与的左支交于两点，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 ． 43．（23-24高二下·上海·期末）如图，已知点为椭圆在第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点和上顶点分别作与轴和轴的平行线交于，过引、的平行线交于，交于，交于、，矩形的面积是，三角形的面积是，则   ( 题型 10 )解答题 44．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 45．（24-25高二上·上海青浦·期末）已知圆C的圆心为，若圆C经过直线：，：的交点. (1)求圆C的标准方程； (2)直线：与圆C交于M，N两点，且，求直线的方程. 46．（23-24高二下·上海静安·期末）如图的实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓，它由三部分构成：①水平地平线；②位于地平线与离地高的水平线之间的是长半轴长为的同一个椭圆的左、右两侧的一部分；③水平线以上是半径为的半圆． (1)请建立适当的平面直角坐标系，并用曲线方程将此月亮门的轮廓刻画与表达出来； (2)某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小，若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态（横截面与地面垂直，且有一边保持水平），为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？ 47．（24-25高二上·上海·期末）已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线上的点到其两条渐近线的距离分别为，求的值； (3)已知点，求证：. 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，直线的斜率为，则使成立的实数的值为 ． 2．（22-23高二下·上海宝山·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、，为坐标原点.有下列结论：①四边形是平行四边形；②若轴，垂足为，则直线的斜率为；③若，则四边形的面积为；④若为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是 . 二、单选题 3．（24-25高二上·上海·期末）已知抛物线，点为抛物线的焦点，点、在抛物线上（在第一象限），点为点关于原点的对称点，且，若，①点在一条定直线上；②是定值.则（    ） A．①正确， ②不正确 B．①不正确， ②正确 C．①正确， ②正确 D．①不正确， ②也不正确 4．（23-24高三上·上海虹口·期末）已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（    ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①②都是假命题 D．①②都是真命题 三、解答题 5．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q（异于A、B），且． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线AP、QB的斜率分别为、，且，求的值； (3)设和的面积分别为、，求的最大值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面解析几何 题型概览 题型01坐标平面上的曲线 题型02圆 题型03圆的位置关系 题型04圆锥曲线有关的概念 题型05圆锥曲线—根据位置关系求参数范围 题型06圆锥曲线—焦点三角形 题型07 圆锥曲线—最值、取值范围问题 题型08 参数方程、极坐标方程、轨迹方程 题型09 圆锥曲线的综合应用 题型10 解答题 ( 题型01 ) 坐标平面上的曲线 1．（24-25高二上·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是 . 【答案】 【分析】利用斜率公式求得直线的斜率，可得，可求直线的倾斜角. 【解析】因为直线过和， 所以直线的斜率， 记直线的倾斜角为，所以， 又，则可得． 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海浦东新·期末）经过点、的直线的斜率为 . 【答案】 【分析】利用斜率公式可求得直线的斜率. 【解析】经过点、的直线的斜率为. 故答案为：. 3．（24-25高二下·上海浦东新·期末）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】由垂直关系求得斜率，再由点斜式即可求解. 【解析】由，可知其斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程为： ， 即， 故答案为： 4．（24-25高二上·上海·期末）已知点，直线.过点且与直线垂直，求直线的方程 . 【答案】 【分析】利用直线互相垂直求得直线的斜率，进而利用点斜式求得直线方程. 【解析】因为直线与直线垂直，直线的斜率为，所以直线的斜率为， 因为直线过点，所以，即. 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·期末）若向量是直线的一个法向量，则直线的倾斜角为 ．（用反三角表示） 【答案】 【分析】根据法向量的定义，以及直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【解析】因为向量是直线的一个法向量， 所以直线的一个方向向量为， 所以直线l的斜率，设直线的倾斜角为， 则，又， 所以直线l的倾斜角. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·期末）平行直线与间的距离为 . 【答案】/ 【分析】利用平行线之间的距离即可得到结果. 【解析】易知，即有， 与间的距离. 故答案为： 7．（24-25高二上·上海·期末）已知直线与直线的距离为，则 . 【答案】或 【分析】利用平行线间的距离公式得到关于的方程，从而得解. 【解析】直线可化为，直线， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或 8．（23-24高二上·上海·期末）直线与直线的夹角为 . 【答案】 【分析】利用直线与直线的夹角公式计算即可． 【解析】直线与直线的斜率分别为， 设两直线的夹角为，则， 又，则. 故答案为：. 9．（24-25高二下·上海浦东新·期末）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据题意求出直线的倾斜角，由此可得出实数的值. 【解析】直线的斜率为，倾斜角为， 因为直线与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 若直线的倾斜角为，则不存在； 若直线的倾斜角为，则. 综上所述，. 故答案为：. 10．（24-25高二上·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 【答案】 【分析】根据已知直线方程化简列方程组计算求解即可. 【解析】由直线，化简可得对任意实数都成立， 所以，所以定点为. 故答案为：. ( 题型02 ) 圆 11．（24-25高二上·上海·期末）以为圆心，3为半径的圆的一般方程是 . 【答案】 【分析】求得圆的标准方程化为一般式即可. 【解析】由题意可知圆的标准方程为， 化圆的一般式得. 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·期末）已知点、、，则外接圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设外接圆的方程为，将三个顶点代入圆的方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【解析】设外接圆的方程为， 由题意可得，解得， 因此，外接圆的方程是. 故选：B. 13．（24-25高二下·上海浦东新·期末）若圆的方程为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由圆的一般方程可得出关于的不等式，解之即可. 【解析】因为圆的方程为，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（23-24高二下·上海·期末）与圆外切且圆心在原点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意可知圆的圆心和半径，结合外切可得所求圆的半径，即可得结果. 【解析】因为，即， 可知圆心，半径， 则， 由题意可得圆的半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 15．（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】先求出圆的圆心，然后由题意可知直线过圆心，则可得所以，化简后利用基本不等式可求得结果. 【解析】由，得， 所以曲线表示的是以为圆心的圆， 因为直线是曲线的一条对称轴， 所以直线过点， 所以，即 所以 （当且仅当时，等号成立） 故答案为：4 ( 题型03 ) 圆的位置关系 16．（23-24高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知点在圆上，根据垂直关系可得切线方程的斜率，即可得切线方程. 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆上， 又因为，可知切线方程的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 17．（24-25高二上·上海·期末）圆：与圆：的相交弦所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】通过已知的圆的方程，利用相减法找到两个圆的交点所在直线方程即可. 【解析】圆的方程是，简化后为， 联立 ，两式相减，得到， 化简可得. 因此，过两圆交点的直线方程为. 故答案为：. 18．（22-23高二下·上海闵行·期末）若直线与圆相交，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系的判断方法，计算即得. 【解析】依题意，由圆的圆心到直线的距离， 解得，. 故答案为：. 19．（23-24高二下·上海虹口·期末）直线被圆所截得的弦长为 . 【答案】2 【分析】根据圆的弦长的几何法求解. 【解析】根据题意，圆的圆心，， 则圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为：2 ( 题型04 ) 圆锥曲线有关的概念 20．（24-25高二下·上海浦东新·期末）双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】由双曲线的标准方程可得出其渐近线方程. 【解析】在双曲线中，，，故该双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 21．（24-25高二下·上海浦东新·期末）椭圆的长轴的长为 . 【答案】 【分析】求出的值，即可得出该椭圆的长轴长. 【解析】在椭圆中，，故该椭圆的长轴长为. 故答案为：. 22．（24-25高二上·上海金山·期末）双曲线的左焦点F到其中一条渐近线的距离为 ． 【答案】 【分析】由双曲线方程可得焦点坐标以及渐近线方程，利用点到直线距离公式，可得答案. 【解析】详根据题意可得， 所以左焦点为，渐近线方程为， 即，所以左焦点到其中一条渐近线的距离为． 故答案为：. 23．（24-25高二上·上海金山·期末）若抛物线：的焦点在直线上，则p等于 . 【答案】4 【分析】将抛物线的焦点坐标代入直线方程可求得实数的值. 【解析】根据题意，拋物线的方程为，其拋物线的焦点在轴的正半轴上，其焦点坐标为， 又由抛物线的焦点在直线上，则有，解可得． 故答案为：. 24．（21-22高二下·上海宝山·期末）已知方程表示的曲线为.则以下四个判断中错误选项为（    ） A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 B．当或时，曲线表示双曲线 C．当时，曲线表示椭圆 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 【答案】C 【分析】利用椭圆和双曲线的标准方程求解即可. 【解析】选项A：当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，解得，正确； 选项B：当时，曲线表示双曲线，解得或，正确； 选项C：当时，曲线表示椭圆，解得且，错误； 选项D：当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，解得，正确； 故选：C 25．（24-25高二上·上海·期末）已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义得到圆心轨迹，设，再结合向量的坐标表示得到，即可求解； 【解析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为， 设，则由动点满足， 故选：A ( 题型05 ) 圆锥曲线—根据位置关系求参数范围 26．（24-25高二下·上海浦东新·期末）若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆上或椭圆内，由此可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【解析】直线方程可化为，则该直线过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点，则点在椭圆上或椭圆内， 所以，解得且. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 27．（24-25高二上·上海·期末）若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程两侧对应的曲线性质，数形结合研究临界值求参数范围. 【解析】，即为，表示双曲线的上支， ，表示过且斜率为的直线， 由题意知与的图象恰有两个不同的交点， 即直线与双曲线的两个交点都在轴上方，当直线与双曲线相切时， 由，得， 则，解得， 当时，切点在轴下方，舍去； 当时，直线与双曲线的渐过线平行，直线与双曲线只有一个交点， 所以当直线与双曲线有两个交点且都在轴上方时，． 故选：A 28．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】去绝对值分别列出每个象限解析式，数形结合利用距离求解范围. 【解析】当，表示椭圆第一象限部分； 当，表示双曲线第四象限部分； 当，表示双曲线第二象限部分； 当，不表示任何图形； 以及两点， 作出大致图象如图： 曲线上的点到的距离为， 根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是， 直线与距离为， 曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近1， 联立，消得， ，且， 所以直线与椭圆第一象限部分由两个交点， 考虑曲线第一象限的点到距离得最小值为， 所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题问题的关键是确定方程表示的图形，以及通过曲线上的点到直线的距离为的取值范围，间接求解的取值范围. ( 题型06 ) 圆锥曲线—焦点三角形 29．（24-25高二上·上海·期末）椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆的定义求解即可. 【解析】由，得，则， 因为过的直线交椭圆于，两点， 所以的周长为 . 故答案为： 30．（24-25高二上·上海·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，关于的一条浙近线的对称点为．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设与渐近线交于，则，利用点到直线的距离公式求得，利用勾股定理可得出，利用中位线的性质可求出的值，进而可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【解析】设与渐近线交于，则， 点到直线的距离为， 因为点关于直线的对称点为，则为线段的中点， 又因为为的中点，则，且， 由勾股定理可得， 由双曲线的离心率为，则， 所以，， 则. 故答案为：. 31．（24-25高二上·上海·期末）设P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，设椭圆的左，右焦点分别为，若外接圆的半径为，则实数a= . 【答案】/ 【分析】利用正弦定理求出，利用余弦定理及椭圆定义求出，再利用双曲线定义求出值. 【解析】依题意，椭圆长半轴长为，焦点， 由椭圆定义得，在中，由正弦定理得， 由椭圆半焦距2小于其短半轴长，得以线段为直径的圆在椭圆内，因此点在此圆外， 为锐角，由余弦定理得， 则，即，解得， 由双曲线定义得， 所以. 故答案为： ( 题型07 ) 圆锥曲线—最值、取值范围问题 32．（24-25高三上·上海松江·期末）已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用向量运算将转化为，通过求的取值范围来求得正确答案. 【解析】圆的圆心为，半径为. 因为 ． 又因为椭圆的，为椭圆的右焦点， 设，， ， ， 所以，， ∴． 故答案为： 33．（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据抛物线的定义和圆的性质转化为三点一线即可求出最值. 【解析】抛物线的准线为，设点到准线的距离为，圆心，圆心到准线的距离为，则， 则， 则的最小值为4. 故答案为：4. 34．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据圆的性质分析可得，再结合双曲线的定义运算求解. 【解析】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. ( 题型08 ) 参数方程、极坐标方程、轨迹方程 35．（24-25高二上·上海·期末）参数方程（为参数）的普通方程是 . 【答案】 【分析】消参，可得普通方程. 【解析】由已知， 即， 即， 化简可得， 故答案为：. 36．（21-22高二下·上海杨浦·期末）极坐标系中，点与点，表示同一个点，则 . 【答案】/ 【分析】与点表示同一个点满足，，根据，对赋值即可求解. 【解析】由题，与点表示同一个点满足，， 所以，， 因为，所以当时，， 故答案为： 37．（21-22高二下·上海浦东新·期末）已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/0.6 【分析】根据给定的参数方程求出椭圆的长短半轴长，再利用离心率公式计算作答. 【解析】依题意，椭圆的长半轴长，短半轴长，则该椭圆半焦距， 所以该椭圆的离心率. 故答案为： 38．（22-23高二上·上海宝山·期末）动点在曲线上移动，则点和定点连线的中点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】设，点P和定点连线的中点坐标为，求出坐标之间的关系，结合，即可求得答案. 【解析】设，点P和定点连线的中点坐标为， 则,又，∴， 代入得，， ∴，即点和定点连线的中点的轨迹方程是， 故答案为∶． ( 题型09 )圆锥曲线的综合应用 39．（24-25高三上·上海·期末）有三个观测站,其中A在B正东方向m米，C在B正北方向m米.某处D传来了爆炸声.若A站听到的时间比B站早1秒，B站听到的时间比C站早1秒，则m的最小整数值是 .(假定声波在空气中的传播速度为340米/秒，本题所有点均在同一平面上) 【答案】481 【分析】由题意可得，两式相加得，由图可得，求得的范围即可. 【解析】    如图所示，由题意可知：， 两式相加可得：，由图可知：， 当时，动点在线段的延长线上； 当时，动点的轨迹为以点为两焦点的双曲线的右支， 故有，而，故m的最小整数值是. 故答案为：481. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于得到后，要用动点轨迹的思想将其与之长比较，说明动点存在的图形，为进一步求参数的范围奠定基础. 40．（24-25高二上·上海·期末）一种卫星接收天线（如下图左所示）曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如下图右所示）.已知接收天线的口径（直径）为4米，深度为0.5米，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 米. 【答案】2 【分析】由题意建系，设抛物线的方程为，由抛物线经过的点求出的值，则易得焦点到顶点的距离. 【解析】 如图建系，设抛物线的方程为，由题意抛物线过点， 代入解得，故拋物线的焦点到顶点的距离为米. 故答案为：2. 41．（23-24高二上·上海奉贤·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线C:的左顶点为A，若双曲线C的一条渐近线与直线AM垂直，则双曲线C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】利用抛物线焦点弦公式求得，从而得的坐标，由题意得的坐标，再计算直线的斜率，根据渐近线与其垂直，得到，用离心率公式求出即可． 【解析】∵抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5， ∴，p=8，抛物线方程为y2=16x，m=±4. 取,双曲线的左顶点为,直线AM的斜率为， ∵该双曲线的一条渐近线与直线AM垂直， ∴，且，解得：，则：. 故答案为： 42．（23-24高二下·上海闵行·期末）设分别是双曲线的左，右焦点，若存在过点的直线与的左支交于两点，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况，结合双曲线的定义以及通径分析求解即可. 【解析】因为为等腰直角三角形，则或或， 结合对称性可知：，结果是相同的， 所以只需讨论或即可，则有： 若，可知直线与轴垂直，则，即， 整理得，解得或（舍去）； 若，设，则， 因为，即，可得， 且，即，解得， 又因为，则， 即，整理可得， 所以双曲线的离心率为； 综上所述：双曲线的离心率为或. 故答案为：或. 43．（23-24高二下·上海·期末）如图，已知点为椭圆在第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点和上顶点分别作与轴和轴的平行线交于，过引、的平行线交于，交于，交于、，矩形的面积是，三角形的面积是，则    【答案】1 【分析】设，用表示矩形的面积和的面积，可得. 【解析】如图：    设，则. 因为，，所以，， 所以. 又直线的方程为：，所以，， 所以. 因为，所以. 所以. 故答案为：1 ( 题型10 )解答题 44．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据向量知识推出重心的坐标公式，求出顶点C坐标，再写出边所在直线的方程. （2）通过讨论截距为0和不为0两种情况即可求解. 【解析】（1）设交于，则为的中点，设， 因为点是三角形的重心， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以 ， 故，解得. 边所在直线的方程为，即. （2）当在轴、轴上的截距为0时，易知直线方程为：， 当截距不为0时， 设直线方程为：，因为点在直线上， 所以，可得， 即直线方程为：； 综上所述：直线方程为或. 45．（24-25高二上·上海青浦·期末）已知圆C的圆心为，若圆C经过直线：，：的交点. (1)求圆C的标准方程； (2)直线：与圆C交于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出交点坐标，进而得到半径，得到圆的标准方程； （2）由垂径定理得到圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式求出答案. 【解析】（1）联立，解得， 故半径为， 故圆C的标准方程为； （2）设圆心到直线的距离为， 则由垂径定理得， 解得，即，解得， 故直线l的方程为，即. 46．（23-24高二下·上海静安·期末）如图的实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓，它由三部分构成：①水平地平线；②位于地平线与离地高的水平线之间的是长半轴长为的同一个椭圆的左、右两侧的一部分；③水平线以上是半径为的半圆． (1)请建立适当的平面直角坐标系，并用曲线方程将此月亮门的轮廓刻画与表达出来； (2)某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门，包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小，若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形，搬运过程中要求包装箱保持水平状态（横截面与地面垂直，且有一边保持水平），为方便搬运，你会提前告诉货运公司哪些信息？为什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）建立平面直角坐标系后利用圆和椭圆的方程求解即可. （2）依据题意得到方程，求出截面边长最值即可. 【解析】（1）【小问1详解】 如图，以矩形ABCD 的对称中心为原点建立平面直角坐标系 则半圆的方程为设椭圆的标准方程为： 则由已知，有， 得出所以，椭圆部分的方程为： 水平线AB的方程为： （2）提前告诉搬运公司：正方形截面的边长的最大值为3.2米； 三角形截面的边长的最大值为米. 若为正方形截面，设正方形边长为，如图所示放置时正方形截面的边长的最大值 则点在圆上,即，解得 所以正方形截面的边长的最大值为3.2米； 若为等边三角形截面，如图放置： 解法一：因为直线倾斜角为， 所以直线的斜率为，且直线过定点，故直线的方程为， 联立整理得： 解得和 (舍). 所以三角形截面的边长的最大值为米 解法二： 设正三角形边长为 ,则点 在椭圆 上， 由 得 ， 即，解得和(舍) 所以三角形截面的边长的最大值为米. 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是合理设出边长，然后表列出方程求解边长最值，计算得到所要求的数值即可． 47．（24-25高二上·上海·期末）已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线上的点到其两条渐近线的距离分别为，求的值； (3)已知点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由渐近线方程得到，代入点即可求解； （2）由点到线的距离公式求解即可； （3）设直线方程，联立双曲线方程，结合韦达定理，由即可求证； 【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线方程为， 又双曲线过点， 则，所以双曲线的方程为， 即. （2）因为在曲线上， 则， 渐近线方程：， 所以： （3）由（1）可知的斜率存在且不为0，设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 则， 所以 ， 所以得证.    【点睛】关键点点睛：由，求证； 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点均位于抛物线上，点为的焦点，若，直线的斜率为，则使成立的实数的值为 ． 【答案】 【分析】不妨设点在x轴上方，根据正弦定理可得，结合直线的倾斜角可知x轴，且直线的斜率为，设，根据斜率公式整理可得，再根据数量积的坐标运算求解即可. 【解析】由题意可知：，不妨设点在x轴上方， 取的中点，过分别作直线平行与x轴，分别交于点， 因为，由正弦定理可得， 设，则， 则，且， 可得， 又因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可得，， 则，可得，即x轴， 则，可得直线的斜率为， 设，则， 则，， 整理可得，解得， 又因为， 且，可得， 即，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题中的长度和直线的倾斜角可知x轴，且直线的斜率为，进而可得坐标值. 2．（22-23高二下·上海宝山·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、，为坐标原点.有下列结论：①四边形是平行四边形；②若轴，垂足为，则直线的斜率为；③若，则四边形的面积为；④若为正三角形，则双曲线的离心率为.其中正确命题的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】对于①，利用双曲线的性质判断四边形的形状，对于②，利用斜率公式判断，对于③，由题意可判断四边形为矩形，从而可求出其面积，对于④，由为正三角形，可表示出点的坐标，代入双曲线方程化简可求出离心率. 【解析】对于①，因为双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点、， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以①正确， 对于②，设，则， 因为轴，垂足为，所以， 所以，，所以②正确， 对于③，因为，所以， 所以为直角三角形，所以四边形为矩形， 设，则，所以， 因为，所以， 所以，所以四边形的面积为，所以③错误， 对于④，因为为正三角形，，所以， 因为点在双曲线上， 所以，化简得， 所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以④正确， 故答案为：①②④    【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的定义和几何性质的应用，解题的关键是结合题意和双曲线的几何性质找出等量关系，从而可进行判断，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 二、单选题 3．（24-25高二上·上海·期末）已知抛物线，点为抛物线的焦点，点、在抛物线上（在第一象限），点为点关于原点的对称点，且，若，①点在一条定直线上；②是定值.则（    ） A．①正确， ②不正确 B．①不正确， ②正确 C．①正确， ②正确 D．①不正确， ②也不正确 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得点在以原点为圆心，为半径的圆上，求出点的坐标即可判断. 【解析】抛物线的焦点， 由，得共线，，即，又为中点， 则点在以原点为圆心，为半径的圆上，此圆的方程为， 由消去得，解得，， 直线的方程为，因此点在定直线上，①正确； 设直线方程为，由消去得，设， 由，得，因此，为定值，②正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：抛物线中的定值问题，既可以由直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理来处理参数关系得到定值，也可以通过设点法求出动点的纵坐标（或横坐标）的关系从而得到定值. 4．（23-24高三上·上海虹口·期末）已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”． 则（    ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①②都是假命题 D．①②都是真命题 【答案】B 【分析】设出椭圆、双曲线方程及点的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点的坐标求出直线方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得. 【解析】椭圆是“自稳定曲线”. 设椭圆方程为，令，则，设， 由是的重心，知，直线过点，    当时，若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 若，直线与椭圆有两个交点，符合题意， 则当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 同理，当，即时，存在两点，使得的重心为原点， 当时，，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与椭圆交于两点，且是的重心， 即当时，对于点，在椭圆上都存在两点，使得为的重心， 综上，椭圆上任意点，在椭圆上都存在两点，使得为重心，①为真命题； 双曲线不是“自稳定曲线”. 由对称性，不妨令双曲线方程为，令，则，设， 假设是的重心，则，直线过点， 当时，直线或直线与双曲线都不相交，因此， ，两式相减得， 直线的斜率，方程为，即， 由消去并整理得：， ，即直线与双曲线不相交， 所以不存在双曲线，其上点及某两点，为的重心，②是假命题. 故选：B 【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证. 三、解答题 5．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q（异于A、B），且． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线AP、QB的斜率分别为、，且，求的值； (3)设和的面积分别为、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，点、，将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理结合斜率公式分析可得； （3）利用韦达定理分析可得关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值. 【解析】（1）因为，所以， 由可得，解得， 由离心率可求出标准方程为 （2）由题意可知：点在椭圆内，直线与椭圆必相交， 且直线的斜率可以不存在，但不为0， 设直线的方程为，设点、， 联立方程，消去x可得， 由韦达定理可得，， 则， 可得 ， 即，所以的值. （3）由（2）可知：，， 所以 ， 因为，则， 因为函数在上单调递增， 故， 所以，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$