专题04 数列(八大题型+优选提升题)（沪教版2020选择性必修，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题04 数列 题型概览 题型01 概念及其应用 题型02定义法求解数列 题型03 等差、等比数列的性质 题型04 数列求参问题 题型05 递推公式；分段数列 题型06数列的实际应用 题型07数列的综合应用 题型08 解答题 ( 题型01 ) 概念及其应用 1．（24-25高二上·上海黄浦·期末）与的等差中项为 . 2．（22-23高一下·上海虹口·期末）实数与的等比中项为 . 3．（23-24高一下·上海·期末）在中，若角A、B、C成等差数列，则角 . 4．（24-25高二上·上海·期末）计算 . 5．（23-24高二上·上海·期末）将循环小数化为分数： ． 6．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二下·上海浦东新·期末）“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既不充分又非必要条件． 8．（21-22高二下·上海徐汇·期末）用数学归纳法证明：“”，设，从到时（    ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 定义法求解数列 9．（23-24高二下·上海·期末）等差数列中，，则 . 10．（24-25高二上·上海·期末）已知等差数列满足，则的值为 ． 11．（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，，，则的公差为 . 12．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知等差数列的前项和为，若，则 . 13．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知无穷等比数列和，满足的各项和为9，则数列的各项和为 ． ( 题型03 ) 等差、等比数列的性质 14．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知等差数列，若，则 ． 15．（23-24高一下·上海闵行·期末）在等差数列中，则 . 16．（23-24高二上·上海宝山·期末）已知数列是等比数列，且，，则 ． 17．（22-23高二上·上海宝山·期末）若是由正数组成的等比数列，且，则 . ( 题型0 4 ) 数列求参问题 18．（23-24高二上·上海·期末）无穷等比数列满足，则首项的取值范围是 . 19．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知数列的通项公式为，设其前项和为，若，则的取值范围为 ． ( 题型0 5 ) 递推公式；分段数列 20．（21-22高二下·上海徐汇·期末）已知数列中，，（为正整数），则 ． 21．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列中，，且，则 . 22．（23-24高一下·上海·期末）已知数列的通项公式为，则 . 23．（22-23高二上·上海徐汇·期末）若数列满足.若，则 . ( 题型0 6 ) 数列的实际应用 24．（22-23高二下·上海宝山·期末）某产品经过4次革新后，成本由原来的200元下降到125元.如果这种产品每次革新后成本下降的百分比相同，那么每次革新后成本下降的百分比是 （结果精确到0.1%）. 25．（21-22高二上·上海嘉定·期末）某单位制作了一个热气球用于广告宣传．已知热气球在第一分钟内能上升米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到米至少要经过 分钟． 26．（22-23高二下·上海黄浦·期末）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为 尺； 27．（24-25高二上·上海·期末）某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 年． 28．（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成.这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为10cm、底面半径为5cm.从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积（含最下边圆柱的下底面积）约为 （精确到） 29．（24-25高三上·上海松江·期末）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 …… 那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（   ） A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63 ( 题型0 7 ) 数列的综合应用 30．（24-25高二上·上海黄浦·期末）若等差数列 的前n 项和为 ，且满足 > 0， < 0 ，对任意正整数n ，都有，则 的值为 . 31．（22-23高二上·上海宝山·期末）若是等差数列，首项，则使前项和成立的最小自然数是 . 32．（24-25高二上·上海·期末）在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于4046 33．（24-25高二上·上海宝山·期末）设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，有结论：①可能为等差数列；②可能为等比数列．关于以上两个结论，正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立 ( 题型0 8 ) 解答题 34．（23-24高一下·上海·期末）已知等比数列的前项和为，若，公比. (1)求数列的通项公式； (2)求前项和：； 35．（24-25高二上·上海·期末）在等差数列中，，且，，构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 36．（23-24高一下·上海·期末）设数列的前项和为．已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)若是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列．设，若数列是严格减数列，求的取值范围． 37．（23-24高一下·上海·期末）已知数列满足．设． (1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； (2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 38．（23-24高二上·上海·期末）按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：，即（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）.记第行所有的项的和为. (1)求； (2)试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式； (3)设，求. 39．（23-24高三上·上海虹口·期末）2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用，该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？ 一、填空题 1．（23-24高二下·上海·期末）在数列中，若存在两个连续的三项，，与，，相同，则称是“3阶可重复数列”.已知给定项数为（，）的数列，其中一定是“阶可重复数列”，则的最小值是 . 2．（23-24高二上·上海·期末）给定数列，定义上的加密算法:当为奇数时，将中各个奇数项的值均增加，各个偶数项的值均减去1；当为偶数时，将中各个偶数项的值均增加，各个奇数项的值均减去，并记新得到的数列为.设数列，数列，则数列的所有项的和为 . 二、单选题 3．（23-24高二上·上海·期末）已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2023个方程中，无实数解的方程最多有（    ） A．1010个 B．1011个 C．1012个 D．1013个 4．（23-24高一下·上海·期末）对于不为常数数列的无穷数列，其中，设其前项的和为，若满足；对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“可控数列”．现给出下列两个命题： （1）存在等差数列为“可控数列”； （2）存在等比数列为“可控数列”．则下列说法正确的是（   ） A．命题（1）（2）均成立 B．命题（1）成立，命题（2）不成立 C．命题（1）不成立，命题（2）成立 D．命题（1）（2）均不成立 三、解答题 5．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知数列的前n项和满足，． (1)求的通项公式； (2)若表示不超过x的最大整数，如，求的值； (3)设，，问是否存在正整数m，使得对任意正整数n均有恒成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由． 6．（24-25高二上·上海黄浦·期末）若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 数列 题型概览 题型01 概念及其应用 题型02定义法求解数列 题型03 等差、等比数列的性质 题型04 数列求参问题 题型05 递推公式；分段数列 题型06数列的实际应用 题型07数列的综合应用 题型08 解答题 ( 题型01 ) 概念及其应用 1．（24-25高二上·上海黄浦·期末）与的等差中项为 . 【答案】 【分析】设与的等差中项为，根据等差中项的定义得到方程，解得即可. 【解析】设与的等差中项为， 则，解得， 所以与的等差中项为. 故答案为： 2．（22-23高一下·上海虹口·期末）实数与的等比中项为 . 【答案】 【分析】利用等比中项的定义求解即可. 【解析】设实数为实数与的等比中项， 则，解得， 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期末）在中，若角A、B、C成等差数列，则角 . 【答案】 【分析】利用等差数列的性质得出. 【解析】，. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·期末）计算 . 【答案】 【分析】根据无穷等比数列的求和公式计算. 【解析】根据等比数列的求和公式，， 当，于是. 故答案为： 5．（23-24高二上·上海·期末）将循环小数化为分数： ． 【答案】 【分析】借助于无穷等比数列的前项和公式，即可求解. 【解析】, 所以可以看成以为首项，为公比的无穷等比数列的前项的和， 即. 故答案为： 6．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，当等差数列的各项都为时，即可判断ABC，再由等比数列的定义即可判断D 【解析】设等差数列的公差为， 对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误； 对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误； 对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误； 对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确； 故选：D 7．（22-23高二下·上海浦东新·期末）“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既不充分又非必要条件． 【答案】B 【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合等比数列的概念即得. 【解析】由“一个数列是常数列”推不出“这个数列是公比为1的等比数列”，如常数列0,0,0，显然不是等比数列， 由“数列是公比为1的等比数列”可推出“这个数列是常数列”， 故“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的必要非充分条件. 故选：B. 8．（21-22高二下·上海徐汇·期末）用数学归纳法证明：“”，设，从到时（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，结合的表达式可得出结果. 【解析】因为， 则， 即. 故选：B. ( 题型02 ) 定义法求解数列 9．（23-24高二下·上海·期末）等差数列中，，则 . 【答案】2 【分析】根据等差中项分析求解即可. 【解析】因为为等差数列，则，所以. 故答案为：2. 10．（24-25高二上·上海·期末）已知等差数列满足，则的值为 ． 【答案】4 【分析】设数列的公差为,由题设条件化简推出，利用等差数列通项公式可得. 【解析】设数列的公差为，则由可得：， 即，故. 故答案为：4. 11．（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，，，则的公差为 . 【答案】3 【分析】设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算得到方程，求出公差 【解析】设的公差为，则， 解得. 故答案为：3 12．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据等差求和公式，结合等差中项的性质即可求解. 【解析】， 故答案为： 13．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知无穷等比数列和，满足的各项和为9，则数列的各项和为 ． 【答案】/ 【分析】设的公比为，由无穷等比数列各项和公式，求得，进而得到，求得数列的首项和公比，即可求得的各项和． 【解析】设的公比为，由,的各项和为9，得，解得， 则，， 因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以数列的各项和为． 故答案为： ( 题型03 ) 等差、等比数列的性质 14．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知等差数列，若，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质对式子进行化简，利用特殊角的正弦值得出结果； 【解析】因为等差数列，，， 则. 15．（23-24高一下·上海闵行·期末）在等差数列中，则 . 【答案】 【分析】由等差数列的性质，有,结合已知，即可求得. 【解析】等差数列中，， 因为, 所以. 故答案为：. 16．（23-24高二上·上海宝山·期末）已知数列是等比数列，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列性质若，则，化简已知条件即可求解. 【解析】根据等比数列的性质若，则，有，， 所以化为，即， 又因为，所以. 故答案为： 17．（22-23高二上·上海宝山·期末）若是由正数组成的等比数列，且，则 . 【答案】20 【分析】根据等比数列下标和的性质可得，结合对数的运算性质，即可求得答案. 【解析】因为是由正数组成的等比数列，且， 所以， 故， 所以， 故答案为：20． ( 题型04 ) 数列求参问题 18．（23-24高二上·上海·期末）无穷等比数列满足，则首项的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用无穷等比数列极限公式计算即可. 【解析】依题意：，且， 则. 故答案为：. 19．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知数列的通项公式为，设其前项和为，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式求解得答案. 【解析】由数列的通项公式为，得数列是等差数列， 则，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： ( 题型05 ) 递推公式；分段数列 20．（21-22高二下·上海徐汇·期末）已知数列中，，（为正整数），则 ． 【答案】 【分析】构造等比数列，利用等比数列的通项公式可求出结果. 【解析】由得， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. 故答案为：. 21．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列中，，且，则 . 【答案】5 【分析】用累加法求解. 【解析】 ， ， … ， 各式累加得. 故答案为：5. 22．（23-24高一下·上海·期末）已知数列的通项公式为，则 . 【答案】/ 【分析】根据已知条件结合等比数列的前n项和公式以及极限思想即可求解. 【解析】由题意得 ， 因为， 所以. 故答案为：. 23．（22-23高二上·上海徐汇·期末）若数列满足.若，则 . 【答案】 【分析】判断出数列周期为3的周期数列，即可求解. 【解析】因为数列满足， ， 所以， ， ， 所以， 同理可求：， ， …… 所以数列周期为3的周期数列. 所以. 故答案为：. ( 题型06 ) 数列的实际应用 24．（22-23高二下·上海宝山·期末）某产品经过4次革新后，成本由原来的200元下降到125元.如果这种产品每次革新后成本下降的百分比相同，那么每次革新后成本下降的百分比是 （结果精确到0.1%）. 【答案】11.1% 【分析】按照等比数列求解. 【解析】设4次革新前的成本价格分别为，，由题意是等比数列， 设公比为q，则 ， 每次革新后成本下降的百分比为； 故答案为：. 25．（21-22高二上·上海嘉定·期末）某单位制作了一个热气球用于广告宣传．已知热气球在第一分钟内能上升米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到米至少要经过 分钟． 【答案】 【分析】设热气球在第分钟上升的高度为米，分析可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出数列的前项和，利用数列的单调性可得出，由此可得出结果. 【解析】设热气球在第分钟上升的高度为米， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 经过分钟，热气球上升的总高度米， 则数列单调递增， 因为，， 所以该气球至少要经过分钟才能上升到米． 故答案为：. 26．（22-23高二下·上海黄浦·期末）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为 尺； 【答案】/ 【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，从而求出所求项即可. 【解析】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，设其公差为， 则立春的日影子长为第项，芒种的日影子长为第项，立夏的日影子为第项， 所以，解得， 则， 所以立夏的日影子长为尺. 故答案为：. 27．（24-25高二上·上海·期末）某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 年． 【答案】8 【分析】计算出，解不等式，则有，再利用二次函数的单调性即可得到答案． 【解析】解：第一年年产量为，以后各年年产量为（，为正整数），当时也符合上式， ∴（为正整数）． 令，得． 设，对称轴为， 则当时，严格增，又因为为正整数，，， 则最大生产期限应拟定为8年， 故答案为：8． 28．（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成.这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为10cm、底面半径为5cm.从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积（含最下边圆柱的下底面积）约为 （精确到） 【答案】 【分析】根据已知第个圆柱的高，底面半径，应用等比数列前n项和公式求工艺品的表面积. 【解析】由题设，第个圆柱的高，底面半径， 所以，第个圆柱的侧面积为，底面积为， 则侧面积之和为， 底面积之和为， 所以工艺品的表面积为. 故答案为： 29．（24-25高三上·上海松江·期末）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 …… 那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（   ） A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁 【答案】C 【分析】构造等差数列得出公差及首项，再应用等差数列通项公式计算即可. 【解析】设1965年5月出生的男职工退休年龄为岁，则1966年5月出生的男职工退休年龄为岁， 所以公差为，设5月出生的男职工退休年龄为是首项为,公差为的等差数列， 1974年5月出生的男职工退休年龄为. 故1974年5月出生的男职工退休年龄为62岁5个月. 故选：C. ( 题型07 ) 数列的综合应用 30．（24-25高二上·上海黄浦·期末）若等差数列 的前n 项和为 ，且满足 > 0， < 0 ，对任意正整数n ，都有，则 的值为 . 【答案】2022 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质及前项和公式计算推理得. 【解析】因为，，所以，即， 则， 又，则， 又因为，且， 所以等差数列单调递减， 则 所以对于任意的正整数，都有， 则. 故答案为： 31．（22-23高二上·上海宝山·期末）若是等差数列，首项，则使前项和成立的最小自然数是 . 【答案】4045 【分析】先判断的符号，结合等差数列的求和公式进行求解. 【解析】因为，所以； 所以， ，所以成立的最小自然数是4045. 故答案为：4045. 32．（24-25高二上·上海·期末）在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于4046 【答案】C 【分析】分析条件可得数列为递减数列，选项A正确；根据等比数列的性质可得选项B正确；根据可得选项C错误；根据，可得选项D正确. 【解析】∵，∴，∴． ∵，∴，即一个大于1，一个小于1， ∵，∴数列为递减数列，故，即，选项A正确. ，选项B正确. ，选项C错误. ， ，选项D正确. 故选：C． 33．（24-25高二上·上海宝山·期末）设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，有结论：①可能为等差数列；②可能为等比数列．关于以上两个结论，正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【分析】根据题设条件，逐项判断即可：取，则，满足题设，即可判断①；对是否等于1进行讨论，结合有理数性质即可判断②. 【解析】对于①，取，则，满足题设，①成立； 对于②；假设存在，，公比为， 当时，，，则，当时，对任意正整数，不存在正整数m，使得， 当时，，要使，则需， 即，由为常数，为确定的正整数，得是确定的数， 而为任意正整数，是变量，且当趋近于无穷大的正整数时， 趋近于）或趋近于无穷大（），因此②不成立. 故选：C ( 题型08 ) 解答题 34．（23-24高一下·上海·期末）已知等比数列的前项和为，若，公比. (1)求数列的通项公式； (2)求前项和：； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列前n项和公式结合题中所给数据求出数列的首项即可由等比数列通项公式求出数列的通项公式. （2）先求出和数列是等比数列，再由等比数列前n项和公式即可得解. 【解析】（1）由题意可得， 解得， 所以. （2）由（1）得， 所以，故数列是以为公比，为首项的等比数列， 所以. 35．（24-25高二上·上海·期末）在等差数列中，，且，，构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据等差数列基本量结合等比中项列式求解即可； （2）分组求和应用等比数列求和公式计算即可. 【解析】（1）在等差数列中，，设公差为，由，，构成等比数列， 可得，即有，得． 因为当时，，不满足题意，舍去， 所以，． （2）由（1）得，则，递增， 由， 可得时，正整数n的最小值为7． 36．（23-24高一下·上海·期末）设数列的前项和为．已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)若是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列．设，若数列是严格减数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由将转化成即可根据等差数列定义和通项公式求解，进而得解. （2）由已知条件可求出，进而得，根据数列是严格减数列，则即可求解. 【解析】（1）因为， 故即， 所以当时， 左右两边除以有， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 故由得， （2）由（1）以及题意得， 即，， 所以，故， 因为数列是严格减数列， 所以， 所以，即， 故，即的取值范围为. 37．（23-24高一下·上海·期末）已知数列满足．设． (1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； (2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【分析】（1）由数列的递推式，两边同时加上2，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得，推得递减，可得，由不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【解析】（1）证明：由， 可得， 即数列是首项和公比均为3的等比数列， 则，即； （2）数列， 则， 可得递减，可得，对任意正整数，不等式恒成立， 可得，即有，即的取值范围是. 38．（23-24高二上·上海·期末）按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：，即（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）.记第行所有的项的和为. (1)求； (2)试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式； (3)设，求. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据数表所给数据相加以及递推关系，求解得. （2）根据，判断数列为首项为1，公差为1的等差数列求解； （3）将通项裂项相消，然后求解； 【解析】（1）根据数表所给数据相加求解 . （2）由题意得，第行共有项. 因为从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出， 可得，即 等式两边同时除以，得. 所以数列为首项为1，公差为1的等差数列， 可得，即 （3）， 所以 ， 所以. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据所给数表得到递推式，结合裂项相消法即可得解. 39．（23-24高三上·上海虹口·期末）2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨． (1)若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？ (2)该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用，该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？ 【答案】(1)2025年1月底 (2)2024年8月份. 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式得到不等式，解出即可； （2）设从2023年1月起第个月深度净化的废水量为，写出，再分析其单调性即可. 【解析】（1）设从2023年1月起第个月处理后的废水排放量为吨， 则由已知条件知:数列是首项为10，公差为2的等差数列，故. 令， 化简得，解得，或； 由是正整数，则. 故该厂在2025年1月底第一次将废水池中的废水排放完毕. （2）设从2023年1月起第个月深度净化的废水量为吨. 由已知条件，， 当时，数列是首项为5，公比为1.2的等比数列， 故，（为正整数）. 显然，当时，. 当时，由得. 设，则，， 因为，， 所以当时，，即数列是严格增数列，且； 当时，，即数列是严格减数列. 由于. 所以不等式的解为(为正整数). 故该厂在2024年8月开始计划排放的废水能被全部净化. 一、填空题 1．（23-24高二下·上海·期末）在数列中，若存在两个连续的三项，，与，，相同，则称是“3阶可重复数列”.已知给定项数为（，）的数列，其中一定是“阶可重复数列”，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由题意可知连续项共有种情况，然后分类讨论，分、和，根据题意讨论即可. 【解析】因为数列的每一项只可以是或，所以连续项共有种不同的情况， 若，则数列中有组连续项，则这其中至少有两组按次序对应相等， 即项数为的数列一定是“阶可重复数列”； 若，数列，，，，，，，，，不是“阶可重复数列”， 则时，均存在不是“阶可重复数列”的数列， 所以，要使数列一定是“阶可重复数列”，则的最小值为. 【点睛】思路点睛： 关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 2．（23-24高二上·上海·期末）给定数列，定义上的加密算法:当为奇数时，将中各个奇数项的值均增加，各个偶数项的值均减去1；当为偶数时，将中各个偶数项的值均增加，各个奇数项的值均减去，并记新得到的数列为.设数列，数列，则数列的所有项的和为 . 【答案】 【分析】设为数列的所有项的和，先根据题意得到递推式，然后再用累加法求解即可. 【解析】设为数列的所有项的和， 因为，为偶数，为奇数， 所以对于偶数项， ， 所以 所以， 上述式子相加可得， 即 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：题目既然求数列的所有项的和，即求角标为偶数时所有项的和，所以接替的关键就是找到角标为偶数时所有项的和的递推关系，进一步理解题意即可做到. 二、单选题 3．（23-24高二上·上海·期末）已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2023个方程中，无实数解的方程最多有（    ） A．1010个 B．1011个 C．1012个 D．1013个 【答案】B 【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到，要想无实根，需满足，结合根的判别式与基本不等式得到至多一个成立，同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且，从而得到结论. 【解析】由题意得：,其中， ，代入上式得：， 要方程无实数解，则， 显然第1012个方程有解， 设方程与方程的判别式分别为， 则 ， 等号成立的条件是，所以至多一个成立， 同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且， 综上，在所给的2023个方程中，无实数根的方程最多1011个， 故选：B. 【点睛】解决本题关键是灵活运用二次方程根的判别式，等差数列性质及基本不等式进行求解. 4．（23-24高一下·上海·期末）对于不为常数数列的无穷数列，其中，设其前项的和为，若满足；对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“可控数列”．现给出下列两个命题： （1）存在等差数列为“可控数列”； （2）存在等比数列为“可控数列”．则下列说法正确的是（   ） A．命题（1）（2）均成立 B．命题（1）成立，命题（2）不成立 C．命题（1）不成立，命题（2）成立 D．命题（1）（2）均不成立 【答案】C 【分析】对于（1），依题意化简不等式得，根据等差数列的通项公式与求和公式的特征，利用极限思想即可判断；对于（2）取，计算，取，即可判断条件满足. 【解析】（1）若等差数列不是常数列，则公差，则可看成关于的一次函数， 由得，可看成关于的二次函数， 当足够大时，根据极限的思想可判断上式不成立，故命题（1）不成立； （2）取，则， 则对任意的正整数，不妨取，，符合题意. 故命题（2）正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查新定义数列的概念应用，属于难题. 解题方法为，按照新定义数列要求，将不等式进行化简和计算判断，运用极限思想排除命题（1）；对于等比数列，要说明存在性命题的正确，只需寻找到符合条件的数列和的值即可. 三、解答题 5．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知数列的前n项和满足，． (1)求的通项公式； (2)若表示不超过x的最大整数，如，求的值； (3)设，，问是否存在正整数m，使得对任意正整数n均有恒成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，最大值为674. 【分析】（1）利用给定的递推公式求得，结合“当时，”进行计算即可. （2）在时，可得，再求和确定范围，按定义即可作答. （3）利用裂项相消法求和，再判断单调性即可求解作答. 【解析】（1）因为， 则当时，， 又因为， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， 于是得，即， 当时，，又满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，当时，， 则 当时，，即对任意的，都有， 所以 （3）由（1）知，， 则有， 因，则数列单调递增，， 因对任意正整数均有成立，于是得，解得，而，则， 所以存在正整数，使得对任意正整数均有总成立，的最大值为674. 6．（24-25高二上·上海黄浦·期末）若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且，依题意可得，即可求出与，即可求出； （2）设的公比为，依题意可得或，即可求出的取值范围，从而得解； （3）依题意可得且，对一切正整数恒成立，即可求出的取值范围. 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且， 由数列是数列的“隔数列”， 则，且， 所以且，即，所以或， 所以或； （2）设的公比为， 因为数列是数列的“隔数列”， 即数列是数列的“隔数列”， 所以或， 解得或，即或， 所以或， 所以整数的值为. （3）因为是的“隔数列”， 所以与都是严格增数列， 由是严格增数，可知对一切正整数恒成立， 又由是严格增数列，可知，即对一切正整数恒成立， 所以且， 这时因为对于一切大于等于的整数恒成立， 故必有， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立，所以，即， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，再结合等差（等比）数列的基本量计算即可. 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$