专题05 数列（高效培优期末专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦数列核心考点，以题型为载体构建从基础计算到综合应用的知识逻辑链，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差等比基础|考点01-05（约30题）|通项、中项、性质、单调性、前n项和计算|从定义到性质，夯实基础概念| |数列求和深化|考点06-09（约24题）|片段和、奇偶项和、和比问题|拓展求和技巧，强化运算能力| |综合应用与递推|考点10-16（约36题）|最值、实际应用、递推求通项、数学归纳法|衔接知识应用，培养逻辑推理与数学表达|

专题05 数列 考点01 等差、等比通项公式的基本计算 考点02 等差、等比中项的问题 考点03 利用等差等比数列的性质计算 考点04 等差、等比数列单调性问题 考点05 等差、等比数列前n项和的基本计算 考点06 等差、等比数列片段和的性质及应用 考点07 等差、等比数列奇数项或偶数项的和 考点08 前n项和与n的比所组成的等差数列 考点09 两个等差数列的前n项和之比问题 考点10 等差数列中最值问题 考点11 等差、等比数列的应用 考点12 数列的概念与性质 考点13 根据数列递推公式写出数列的项 考点14 利用递推关系式求通项公式 考点15 数学归纳法 考点16 利用数学归纳法证明 考点01 等差、等比通项公式的基本计算 1．在等差数列中，，，则公差（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 2．已知等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是等差数列，且，，则首项（    ） A． B． C． D． 4．等比数列中，则首项=___________． 5．已知数列是各项都为正数的等比数列，若，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．设等比数列满足，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 考点02 等差、等比中项的问题 7．已知数列为等差数列，若，则（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 8．若5个正数之和为10，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 10．已知实数是3与9的等比中项，则（   ） A． B． C． D．6 11．已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 12．在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为___________ 考点03 利用等差等比数列的性质计算 13．已知，均为等差数列，且，，（     ） A． B． C． D． 14．在等差数列中，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 15．在公差不为0的等差数列中，，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 16．若成等差数列；成等比数列，则等于（   ） A．8 B． C． D．4 17．已知递增等比数列，则__________． 18．记数列为等比数列，已知，，则（    ） A．32 B．34 C．38 D．31 考点04 等差、等比数列单调性问题 19．已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0.若，则的最小值为（   ） A．15 B．10 C．9 D．5 20．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 22．已知数列是等比数列，则“”是“为单调递减数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 23．设无穷等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是（    ） A．若递减，则递增 B．若递减，则递减 C．若 递减，则递减 D．若递减，则递增 24．已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点05 等差、等比数列前n项和的基本计算 25．已知等差数列的前项和为，，，则_________． 26．设公差为3的等差数列的前项和为，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 27．已知首项为负数的等比数列的前4项和为5，且，则（    ） A．8 B． C．4 D． 28．若等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 29．记为正项等比数列的前项和．若，，则（    ） A． B． C． D． 30．已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 考点06 等差、等比数列片段和的性质及应用 31．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．51 B．57 C．63 D．66 32．设等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 33．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 34．已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．90 B．210 C．250 D．310 35．设为正项等比数列的前n项和，已知，，则（    ） A． B．4 C． D． 36．已知为等比数列的前n项和，若，，则（   ） A．96 B．144 C．324 D．768 考点07 等差、等比数列奇数项或偶数项的和 37．在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 38．已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为220，所有偶数项之和为200，则数列项数为（   ） A．21 B．19 C．9 D．11 39．等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差_____． 40．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 41．已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则______． 42．等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比______. 考点08 前n项和与n的比所组成的等差数列 43．记等差数列的前项和为，则___________． 44．已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则_____. 45．已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为______. 46．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求证：数列是等差数列，并写出其首项与公差. 47．在等差数列中，，其前项和为，若，则________. 48．已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 考点09 两个等差数列的前n项和之比问题 49．设公差不为0的等差数列的前项和为，，则为（    ） A． B． C． D． 50．设等差数列的前项和分别是，若，则___________． 51．已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 52．等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A． B． C． D． 53．设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 54．设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 考点10 等差数列中最值问题 55．已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 56．设为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D．当或时，最大 57．已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值． 58．设是等差数列的前n项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 59．已知数列为等差数列，为其前项和，，，则________时，最小. 60．已知等差数列的前项和为，公差为且，当且仅当时最大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点11 等差、等比数列的应用 61．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其意思是：现有一位善于步行的人，第一天行走了100里，以后每一天比前一天多走相同的里程数，九天他共行走了1260里，问每天增加的里程数是多少?关于该问题，有下述四个结论: ①从第二天起，每一天比前一天增加的里程数为10； ②此人第五天行走了150里； ③此人前六天共行走了750里； ④此人前八天共行走的里程是第九天行走里程的8倍. 所有正确结论的序号为（   ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 62．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2025年是乙巳年，请问：在100年后的2125年为（   ） A．癸未年． B．辛丑年 C．乙酉年 D．戊戌年 63．一支车队有辆车，某天下午车队依次出发执行运输任务，第一辆车于时出发，以后每间隔分钟发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，并都在时停下来休息，则截止到时，最后一辆车行驶了______小时. 64．某地一座7层铁塔自下而上逐渐缩小，为实现亮化工程，铁塔顶层设置3盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，那么该铁塔共需设置的灯盏数量是（   ） A．380 B．381 C．384 D．386 65．算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 66．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期，感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（    ）轮传染？（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……） A．4 B．5 C．6 D．7 考点12 数列的概念与性质 67．已知数列，若，则正整数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 68．数列满足，且，则数列的前2027项的和（   ） A． B． C． D． 69．在数列中，，则该数列的最大项为________；最小项为________． 70．若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 71．已知数列则是该数列的（    ） A．第99项 B．第100项 C．第101项 D．第102项 72．已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 考点13 根据数列递推公式写出数列的项 73．已知数列，若，且（为正整数）， 则数列的第35项为________________． 74．在数列中，，且，，则（   ） A． B．21 C． D．40 75．已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． 76．在数列中，，，则等于______. 77．数列满足，则（   ） A．2 B．0 C． D．1 78．在数列中，，，，则（    ） A．32 B．10 C．7 D． 考点14 利用递推关系式求通项公式 79．已知数列的前项和，则数列的通项公式_____． 80．在数列中，，前项和，求数列的通项公式. 81．设数列满足，则的前2026项和为_________ 82．已知数列 前 项和为 ，且满足 ，则当 时， _____. 83．已知数列满足：，，，求数列通项公式. 84．已知数列满足，，则__________. 85．已知数列中，，则数列的通项公式______． 86．在数列中，，，则______． 87．已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 88．设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 考点15 数学归纳法 89．（多选）用数学归纳法证明命题时，下列说法错误的是（   ） A．当时，命题的左边为 B．当时，命题的左边为 C．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 D．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 90．用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 91．某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立.现已知时命题不成立，那么可以推得（    ） A．当时命题不成立 B．当时命题不成立 C．当时命题成立 D．当时命题成立 92．已知，用数学归纳法证明时，比多了___________项． 考点16 利用数学归纳法证明 93．首项为正数的数列满足，． (1)证明：若为奇数，则对一切，都是奇数； (2)证明：若时，，都有； (3)若对一切，都有，求的取值范围． 94．已知函数对任意的，，都有成立，且. (1)求，. (2)若令，求证：数列是等差数列. (3)求证：当时，. 95．记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 96．已知正项数列中，对于一切的均有成立． (1)证明：数列中的任意一项都小于1； (2)探究与的大小关系，并证明你的结论． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列 考点01 等差、等比通项公式的基本计算 考点02 等差、等比中项的问题 考点03 利用等差等比数列的性质计算 考点04 等差、等比数列单调性问题 考点05 等差、等比数列前n项和的基本计算 考点06 等差、等比数列片段和的性质及应用 考点07 等差、等比数列奇数项或偶数项的和 考点08 前n项和与n的比所组成的等差数列 考点09 两个等差数列的前n项和之比问题 考点10 等差数列中最值问题 考点11 等差、等比数列的应用 考点12 数列的概念与性质 考点13 根据数列递推公式写出数列的项 考点14 利用递推关系式求通项公式 考点15 数学归纳法 考点16 利用数学归纳法证明 考点01 等差、等比通项公式的基本计算 1．在等差数列中，，，则公差（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】A 【详解】在等差数列中， 公差. 2．已知等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为, 依题意，，则. 3．已知是等差数列，且，，则首项（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合等差数列的通项公式列方程组求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，则. 由，得，即. 联立解得，. 4．等比数列中，则首项=___________． 【答案】 【分析】结合等比数列的通项公式即可求出结果. 【详解】因为，所以. 5．已知数列是各项都为正数的等比数列，若，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用等比数列通项公式，将已知条件转化为含和公比的方程组，消元求解出，再回代求出，进而计算. 【详解】设公比为，则由得，由得， 所以，解得或（舍）或（舍）， 由得，所以. 6．设等比数列满足，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【详解】由等比数列的性质可得，， 所以. 方法二：设等比数列的公比为， 由题可得，，解得. 所以. 考点02 等差、等比中项的问题 7．已知数列为等差数列，若，则（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【详解】因为数列为等差数列，所以，则， 所以. 8．若5个正数之和为10，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合等差数列性质5个数均为正数以及等差数列通项公式，列出关于的不等式组求解. 【详解】设正数成等差数列，所以，解得：， 由各项均为正数，则. 9．设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为是与的等差中项，则, 即，所以 10．已知实数是3与9的等比中项，则（   ） A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】已知是3与9的等比中项， ，解得． 11．已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知是公差不为0的等差数列，首项为，设公差为， 则， ， 已知成等比数列， 则， 展开整理得，解得（舍去）或， ， ． 12．在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为___________ 【答案】 【分析】根据韦达定理及等比数列的性质求解即可. 【详解】由是方程的两个根，得，. 由等比数列的性质可得，， 又为正项数列，所以. 故. 考点03 利用等差等比数列的性质计算 13．已知，均为等差数列，且，，（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】由于，均为等差数列，则为等差数列， 又，，所以的公差为1， 故． 14．在等差数列中，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【详解】在等差数列中，若，则，解得： 15．在公差不为0的等差数列中，，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】利用等差数列的下标和性质求解，即可得答案. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，， 所以，所以． 16．若成等差数列；成等比数列，则等于（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据等差中项的性质，可得的值，根据条件，可求出公比q，根据等比数列的通项公式，求出的值，代入即可得答案. 【详解】由成等差数列，得，解得， ，解得， 由成等比数列，设公比为q，则，解得， 所以， 则. 17．已知递增等比数列，则__________． 【答案】 【分析】应用等比数列的性质及等比数列的通项公式求基本量，再求. 【详解】由题设且，则， 若数列的公比为且数列单调递增，则，故. 故答案为： 18．记数列为等比数列，已知，，则（    ） A．32 B．34 C．38 D．31 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，，， 所以， 因为，而，， 所以，所以， 即， 而，，所以. 考点04 等差、等比数列单调性问题 19．已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0.若，则的最小值为（   ） A．15 B．10 C．9 D．5 【答案】B 【分析】先根据，结合题干条件，判断出等差数列的公差，再根据等差数列通项公式，将求的最小值转化为求的最小值，再通过赋值的方式求出的最小值即可求出答案. 【详解】设数列的公差为，设数列的公差为. 因为等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0， 所以首项和公差为整数，即， 若数列是递增数列，则，这样，又题中所述，此时，与题意不符， 故数列是递减数列，即 而，， 若要求的最小值，只需求的最小值， 若要求的最小值，只需求最小值减去最大值，而最大值为， 下面分析最小值： 当时，，此时的最小值必定大于等于，无答案； 当时，，此时的最小值必定大于等于， 接下来验证时是否满足题意， 因为，在的最小值为10的情况下，， 解得，若，满足题干所有条件，综上的最小值为10. 20．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C 21．已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先写出数列的通项公式，然后根据指数函数的单调性确定充分性，再根据通项公式及单调性确定必要性不成立. 【详解】由题意可得， 且，则，且单调递增， 则数列为递增数列，充分性成立； 若数列为递增数列，， 则或，必要性不成立； “且”是“数列为递增数列”的充分不必要条件. 22．已知数列是等比数列，则“”是“为单调递减数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【详解】设该等比数列的公比为， 由，得，所以， 所以或， 取，此时满足且，则成立， 但数列不是单调递减数列，故充分性不成立； 当数列为单调递减数列时，则有，所以， 所以，所以或， 可得成立，故必要性成立； 因此“”是“为单调递减数列”的必要不充分条件. 23．设无穷等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是（    ） A．若递减，则递增 B．若递减，则递减 C．若 递减，则递减 D．若递减，则递增 【答案】D 【分析】AB选项，由递减可推出，进而得到公比的范围，分类讨论得到AB选项的判断；CD选项，根据递减可推出公比的范围，进而验证的单调性. 【详解】AB选项，若递减，则， 设等比数列公比为，则，于是， 又，则，则，， 时，，递减； 时，，递增，AB错误； CD选项，若递减，则， 由于，则对于一切正整数成立，解得， 此时，则递增，C错误，D正确 24．已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列前n项和为为递减数列，判断数列各项的正负情况，再根据数列通项公式，求出公差的范围，判断结果即可. 【详解】因为为等差数列，且，所以. 因为数列为递减数列，即当时，有，即， 即从第二项开始，各项均为负数， 当时，数列为递增数列，当足够大时，必有成立，不符合题意， 当时，数列为常数数列或递减数列，只需即可， 可知，解得， 综上，. 故选：C. 考点05 等差、等比数列前n项和的基本计算 25．已知等差数列的前项和为，，，则_________． 【答案】25 【分析】根据题意列出关于和的方程，求解出，再求出. 【详解】设等差数列的公差为. ，，得. ，. 26．设公差为3的等差数列的前项和为，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】因为，所以． 27．已知首项为负数的等比数列的前4项和为5，且，则（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】设等比数列的首项为（），公比为， 对条件变形得 ， 由于，两边同除以得 ，即，解得或. 若，，解得，不符合首项为负的要求，舍去； 若，，解得，符合要求. 因此. 28．若等比数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，，，则， 故，代入得：，解得. 29．记为正项等比数列的前项和．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正项等比数列的公比为，由数列是正项等比数列可知，. ∵ 若，则，，此时，与矛盾，故. ∵ ，且等比数列前项和公式为， ∴ ， ∵ ，，故可约去，得， ∵ 且，得. ∵ ， ∴ ，解得， ∴ . 30．已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用等差数列通项公式与前项和公式列方程组求解首项和公差，再通过判断项的正负确定取最小值时的. 【详解】设等差数列的公差为，。 根据等差数列的通项公式及前项和公式得： 由，得，化简整理得 ①； 由，得，化简整理得 ②. 所以得，将代入①得， 故通项公式为， 所以等差数列的首项，公差的一个递增等差数列， 因此等差数列的前项和有最小值. 令，即，解得，又，因此. 所以当时，，；当时，，. 因此时取得最小值. 考点06 等差、等比数列片段和的性质及应用 31．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．51 B．57 C．63 D．66 【答案】D 【分析】根据等差数列的前项和性质：片段和仍然成等差数列计算 【详解】等差数列的前项和为，，， ，，，成等差数列， ，，， 则数列的前三项为，是公差为的等差数列，故，. 故选：D 32．设等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为是等差数列，且，，所以，，所以. 故选：A. 33．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列部分和的性质有为等差数列，结合等差中项的性质列方程求值即可. 【详解】由题意为等差数列，则， 所以，则. 故选：C 34．已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．90 B．210 C．250 D．310 【答案】B 【详解】由题意可知成等比数列， 所以，解得. 35．设为正项等比数列的前n项和，已知，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】应用等比数列片段和的性质列方程求. 【详解】由等比数列片段和的性质知，， 所以且，则， 所以，则. 故选：A 36．已知为等比数列的前n项和，若，，则（   ） A．96 B．144 C．324 D．768 【答案】C 【分析】由题意可得成等比数列，根据等比数列的通项公式及即可求解. 【详解】因为为等比数列的前n项和， 所以成等比数列，设其公比为， 因为，，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 考点07 等差、等比数列奇数项或偶数项的和 37．在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质，由奇数项之和与公差可求出偶数项之和，两者相加即为该数列前100项的和. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 38．已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为220，所有偶数项之和为200，则数列项数为（   ） A．21 B．19 C．9 D．11 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】设等差数列共项，则其中奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列. 奇数项和为    ① 偶数项和为    ② 因为， 所以，解得. 所以，即等差数列的项数为21. 故选：A. 39．等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差_____． 【答案】 【分析】根据等差数列偶数项和与奇数项和的差即可求解. 【详解】由题意，①， ②， ②①可得，，即， 故答案为： 40．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可. 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 41．已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则______． 【答案】2 【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项. 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 42．等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比______. 【答案】/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 考点08 前n项和与n的比所组成的等差数列 43．记等差数列的前项和为，则___________． 【答案】 【分析】借助等差数列定义及求和公式可得也为等差数列，求出公差即可得解. 【详解】记等差数列的公差为，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 故. 44．已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则_____. 【答案】 【分析】根据等差数列性质，可得数列为等差数列，求出其公差和首项，利用等差数列前项和公式求解. 【详解】根据等差数列性质，数列为等差数列，设其公差为. 因为，， ，又，， . 故答案为：. 45．已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为______. 【答案】70 【分析】根据题意得到，再求前5项和即可. 【详解】因为，所以数列的首项为， 故， 所以， 故数列的前5项和为. 故答案为：70 46．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)求证：数列是等差数列，并写出其首项与公差. 【答案】(1) (2)证明见解析，首项为，公差为 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解， （2）根据等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 依题意得：，解得：， 故. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知， 所以，所以， 所以数列是以为公差的等差数列，又， 故数列的首项为，公差为. 47．在等差数列中，，其前项和为，若，则________. 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得是以为首项，为公差的等差数列，再由等差数列的通项公式即可得到结果. 【详解】设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列． 因为，所以的公差为，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 48．已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【详解】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 考点09 两个等差数列的前n项和之比问题 49．设公差不为0的等差数列的前项和为，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是公差不为0 的等差数列，，所以，即， 所以. 50．设等差数列的前项和分别是，若，则___________． 【答案】/ 【分析】利用等差数列前项和公式、等差数列下标性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 51．已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 【答案】 【分析】由，可设，，再利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，， 则，，所以. 52．等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，由等差数列前项和的性质，可设和，求得的表达式，即可得到答案. 【详解】由等差数列，的前项和，可得， 因为等差数列的前项和为， 即等差数列的前项和满足的形式， 可设，其中， 则 ，所以. 53．设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的前n项和公式设，，，再利用关系即可求解. 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且， 可设，，， 所以. 54．设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的前n项和公式设，再利用关系即可求解. 【详解】∵，又因为等差数列的前项和分别为， 则设 ∴. 考点10 等差数列中最值问题 55．已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先由有最小值推出得数列单调递增，再由数列单调递增推出有最小值，判断出充要条件. 【详解】等差数列前项和公式为，是关于的二次函数， 若，二次函数开口向下，当时，， 即不可能有最小值，所以有最小值，即， 而时，，数列单调递增，充分性成立， 若数列单调递增，则，二次函数开口向上，定义域为正整数， 开口向上的抛物线必然存在离对称轴最近的正整数点，对应的最小值， （即使所有项都为正，最小值就是，依然存在），因此必要性成立， 综上，“有最小值”是“数列单调递增”的充要条件. 56．设为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D．当或时，最大 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为， 因为是等差数列，且， 所以，解得：， 所以， ， ， 又因为， 这是开口向上的二次函数，对称轴为，所以当或4时，最小，但没有最大值. 57．已知数列是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求的最小值． 【答案】(1) (2)最小值 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）利用等差数列的求和公式可得出的表达式，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以． （2）因为是等差数列，所以． 因为，所以当时，有最小值. 58．设是等差数列的前n项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式及二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意等差数列的公差， 则，当时等号成立． 故选：B 59．已知数列为等差数列，为其前项和，，，则________时，最小. 【答案】8或9 【分析】由题设条件列方程组求出等差数列的首项和公差，然后写出其前项和，由二次函数的对称轴可求得最小值时的。 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 由题知，，解得， 故，为单调递增的等差数列， ，的对称轴为， 但，由二次函数的性质，或时，最小. 故答案为：8或9 60．已知等差数列的前项和为，公差为且，当且仅当时最大，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，进而得，解出即可求解. 【详解】由题意，当且仅当时最大， 所以，即， 所以， 故选：C. 考点11 等差、等比数列的应用 61．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其意思是：现有一位善于步行的人，第一天行走了100里，以后每一天比前一天多走相同的里程数，九天他共行走了1260里，问每天增加的里程数是多少?关于该问题，有下述四个结论: ①从第二天起，每一天比前一天增加的里程数为10； ②此人第五天行走了150里； ③此人前六天共行走了750里； ④此人前八天共行走的里程是第九天行走里程的8倍. 所有正确结论的序号为（   ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】D 【分析】由题意可得出关于、方程组，解出的值，可判断①选项；利用等差数列的通项公式可判断②选项；利用等差数列的求和公式可判断③④选项. 【详解】设此人第天走里，则数列是公差为的等差数列， 记数列的前项和为， 对于①，由题意可得，解得，①结论正确； 对于②，，故②错误； 对于③，，故③正确； 对于④，，， 而，故④错误； 故选：D. 62．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙，丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2025年是乙巳年，请问：在100年后的2125年为（   ） A．癸未年． B．辛丑年 C．乙酉年 D．戊戌年 【答案】C 【分析】由题意可得数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以2025年的天干和地支分别为首项，即可求出答案. 【详解】天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列， 则余0，则2125年对应的天干为乙， 余4，则2125年对应的地支为酉， 所以2125年为乙酉年. 故选：C 63．一支车队有辆车，某天下午车队依次出发执行运输任务，第一辆车于时出发，以后每间隔分钟发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，并都在时停下来休息，则截止到时，最后一辆车行驶了______小时. 【答案】 【分析】计算出最后一辆车出发的时间，即可计算出最后一辆车共行驶的时长. 【详解】因为每间隔分钟小时发出一辆车， 则最后一辆车出发的时间为时， 故最后一辆车行驶了小时. 故答案为：. 64．某地一座7层铁塔自下而上逐渐缩小，为实现亮化工程，铁塔顶层设置3盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，那么该铁塔共需设置的灯盏数量是（   ） A．380 B．381 C．384 D．386 【答案】B 【详解】设这座塔的顶层的灯数为，从顶层开始向下每层的灯数依次构成公比为的等比数列， 因塔共有7层，故该塔共挂的灯有盏. 65．算法统宗是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔九层，红光点点倍加增，共灯五百一十一”，其意大致为：有一栋九层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有盏灯，则该塔中间一层有（    ）盏灯. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意转化为等比数列基本量的计算问题. 【详解】由条件可知，每层的红灯数构成等比数列，设最上面一层的红灯数为，公比，， 则，得， 中间一层的红灯数为. 故选：C 66．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期，感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要（    ）轮传染？（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】设第轮感染人数为，所以数列为等比数列，首项，公比.再由题意结合等比数列前项和公式，列出不等式，求解即可. 【详解】由1个初始感染者经过第一轮传染，感染人数为，经过第二轮感染，感染人数为，…… 设第轮感染人数为，所以数列为等比数列，首项，公比. 所以经过轮后感染人数为， 若感染人数由1个初始感染者增加到1000人 则，因为且 又因为，所以， 所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮传染. 故选：B 考点12 数列的概念与性质 67．已知数列，若，则正整数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】依题意，，而，且， 由，得正整数的最小值为2. 68．数列满足，且，则数列的前2027项的和（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推式，求出数列的前4项，从而可得数列是周期为4的数列，由此求解即可. 【详解】由题意知：，，，，，…， 易知数列是周期为4的数列， ． 69．在数列中，，则该数列的最大项为________；最小项为________． 【答案】 【详解】因为， 所以可知当时，数列是递增数列且； 当时，数列也是递增数列且． 当时，数列取到最大值，最大值为； 当时，数列取到最小值，最小值为． 70．若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得恒成立，进而求出的范围，进而得的范围. 【详解】数列为单调递增数列，且，， ，，即， 因为是关于n的单调递增函数，当时， 取得最小值．所以， 所以， 则． 71．已知数列则是该数列的（    ） A．第99项 B．第100项 C．第101项 D．第102项 【答案】B 【详解】归纳可得数列的通项为， 令，即，故为偶数且， 解得． 72．已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据数列的通项公式，结合为最大项得到关于的不等式组并结合确定的值. 【详解】由题意得，，又因为， 所以， 解得，又因为，所以． 考点13 根据数列递推公式写出数列的项 73．已知数列，若，且（为正整数）， 则数列的第35项为________________． 【答案】 【详解】由条件可知，， 即，则， 所以数列的一个周期为， 所以. 74．在数列中，，且，，则（   ） A． B．21 C． D．40 【答案】B 【分析】由，得到奇数项之间的递推关系，得到等差数列的通项公式，先求出再根据计算出. 【详解】，， ，即； 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， 当时，； . 75．已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】先通过递推公式算出数列的周期为4，且一个周期内的项乘积为1，再用2026除以周期得到余数，最后用周期乘积和余下两项即可计算结果. 【详解】因为，所以，， ，， 所以数列是周期为4的周期数列，且一个周期内的乘积：， 而， 所以. 76．在数列中，，，则等于______. 【答案】 【分析】先根据递推公式推导数列的周期，再利用周期性质计算的值。 【详解】由递推关系， 可得：， 进一步推导得：， 因此数列是周期为6的周期数列， 又，故， 又，令，得，所以， 又，所以. 77．数列满足，则（   ） A．2 B．0 C． D．1 【答案】C 【详解】由递推公式，将代入，得． 78．在数列中，，，，则（    ） A．32 B．10 C．7 D． 【答案】A 【详解】由题得， ， ， ， 考点14 利用递推关系式求通项公式 79．已知数列的前项和，则数列的通项公式_____． 【答案】 【分析】通过与作差求出的通项，并在最后讨论该数列是否分段. 【详解】当时，. 当时，. 此时时， 所以. 80．在数列中，，前项和，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】当时，推导出，然后利用累乘法求解即可. 【详解】数列中，，前项和，且， 当时，，整理可得. 所以，，，，， 将以上个式子的等号两端分别相乘，得到. 又因为，所以. 也满足，故对任意的，. 81．设数列满足，则的前2026项和为_________ 【答案】 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 82．已知数列 前 项和为 ，且满足 ，则当 时， _____. 【答案】 【分析】由题设中的递推关系可得，据此可求，求出可得. 【详解】因为，故，故， 整理得，当时，有， 故， 而，故，而， 故，故，故， 而，也满足上式，故. 83．已知数列满足：，，，求数列通项公式. 【答案】 【分析】根据递推关系式，可令，解出两根； 方法一：根据方程两根可构造两个等比数列和，结合两个等比数列通项公式，可消元求得通项； 方法二：根据方程两根可构造通项公式的一般形式，代入，解方程组即可求得通项. 【详解】方法一（构造两个等比数列）：令，解得：或， ， 又，， 数列是以为首项，为公比的等比数列；数列是以为首项，为公比的等比数列； …①；…②； ①②得：，化简得：. 方法二（特征根法）：，，； 令，解得：或， 故令，代入得， 解得：，. 84．已知数列满足，，则__________. 【答案】 【分析】两边取以为底的对数，得到构造数列得到数列是首项为、公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式得到，从而求出，即可得到 【详解】令则 由两边取以为底的对数， 得 所以数列满足 令 则 且 因此数列是首项为、公比为的等比数列，所以 于是从而即 85．已知数列中，，则数列的通项公式______． 【答案】 【分析】利用构造法判断为等比数列，然后利用等比数列通项公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. 故答案为： 86．在数列中，，，则______． 【答案】 【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解. 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 87．已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 88．设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解. 【详解】数列中，由，得，整理得， 则，数列是以为首项，1为公差的等差数列， 于是，即，而满足上式， 因此，，，ABD错误，C正确. 故选：C 考点15 数学归纳法 89．（多选）用数学归纳法证明命题时，下列说法错误的是（   ） A．当时，命题的左边为 B．当时，命题的左边为 C．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 D．当时，命题左端在的基础上增加的部分是 【答案】AC 【详解】A选项，当时，等式只有一项，所以命题左边为1，所以A选项错误； B选项，当时，等式左边为，所以B选项正确； C选项，当时，等式左边为， 所以在的基础上增加的部分是，所以C选项错误，D选项正确. 90．用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】找出使成立的最小正整数即可. 【详解】当时，，不成立. 当时，，不成立. 当时，，成立，故使不等式成立的最小正整数为，. 91．某个与正整数有关的命题：如果当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立.现已知时命题不成立，那么可以推得（    ） A．当时命题不成立 B．当时命题不成立 C．当时命题成立 D．当时命题成立 【答案】A 【详解】因为当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立， 所以假设当时命题成立，那么时命题也成立，这与已知矛盾， 所以当时命题不成立. 92．已知，用数学归纳法证明时，比多了___________项． 【答案】 【详解】， ， ， 则比多了项． 考点16 利用数学归纳法证明 93．首项为正数的数列满足，． (1)证明：若为奇数，则对一切，都是奇数； (2)证明：若时，，都有； (3)若对一切，都有，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）（2）利用数学归纳法进行证明； （3）利用，得到不等式，求出或，作差法得到与，从而对，都有，得到的取值范围． 【详解】（1）证明：已知是奇数，假设是奇数，其中m为正整数， 则由递推关系得是奇数， 根据数学归纳法，对任何，都是奇数． （2）证明：当时，左式， 右式， 又， 当时，成立， 则时， ． 根据数学归纳法，若时，，都有． （3）解法一：由知，当且仅当或， 另一方面，若，则；若，则， 根据数学归纳法，，，；，． 综合所述，对一切都有的充要条件是或． 解法二：由，得，于是或， ， 又，，则所有的均大于0，因此与同号． 根据数学归纳法，，与同号． 因此，对一切都有的充要条件是或． 解法三（不动点法）：记，则，，于是为凸函数． 则不动点满足，则得到不动点方程，解得不动点，， 由对一切，都有得数列为递增，所以或， 又，故的取值范围或． 94．已知函数对任意的，，都有成立，且. (1)求，. (2)若令，求证：数列是等差数列. (3)求证：当时，. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）通过对抽象函数赋值，令和，代入已知关系式，直接求得和的值； （2）根据递推关系构造数列，通过计算相邻两项的差为常数，证明其为等差数列； （3）先求出的通项公式，再利用数学归纳法和放缩法，将放缩为等比数列的项，最后求和证明不等式. 【详解】（1）已知对任意，恒成立. 令，得，移项得； 令，得，已知，代入得，解得. （2）已知，对，将代入原函数式得， 即（），两边同除以得，即. 首项，因此是首项为、公差为的等差数列，得证. （3）由（2）可得：，即，从而. 首先用数学归纳法证明当时，： 时，，成立； 假设时，则时，，成立. 因此对，，两边乘，得. 对求和式放缩：， 右边是首项为1、公比为的等比数列前项和，计算得： ， 因此，得证. 95．记为数列的前n项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据求解； （2）先证明当时，不等式成立，再假设当时，不等式成立，再证明当时，不等式也成立，即可得证． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以； （2）当时，，， 所以成立， 假设当时，不等式成立， 即， 则当时，， ， 又， 所以， 所以， 即当时，不等式也成立. 综上，. 96．已知正项数列中，对于一切的均有成立． (1)证明：数列中的任意一项都小于1； (2)探究与的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析. 【分析】（1）利用递推式变形，结合数列为正项数列，通过数学归纳法或直接推导证明每一项都小于1； （2）先由（1）得到，猜想，再用数学归纳法证明． 【详解】（1）证明：由，得． 在数列中，， 故数列中的任何一项都小于1． （2）由（1）知，，那么， 由此猜想． 下面用数学归纳法证明：当，且时猜想正确． ①当时已证； ②假设当（，且）时，有成立， 那么 所以当时，猜想正确． 综上所述，对于一切，都有． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $