专题41 正比例的应用（详解知识点+培优练习）-2025年小升初同步知识点详解培优练（人教版）

2024-2025学年度小升初提升秘钥 ——紧密结合·提升能力·把握重点·助力满分 各位老师好！本资料依据不同地区小升初考试的命题特点与考纲要求，紧密结合小升初阶段所涉及的核心知识点，进行了细致且全面的分类整理。 在真题筛选方面，我们广泛收集了多个地区近年来具有代表性的小升初真题，按照知识点和题型进行双重分类编排。针对不同知识点，分别整理了填空题、选择题、计算题、应用题等多种题型的真题。学生通过练习这些真题，既能精准把握各地区考试的命题风格与常考知识点，又能在针对性练习中提升解题能力，熟悉各类题型的答题技巧。 无论是日常课堂教学作为辅助讲解材料，帮助学生及时巩固所学知识；还是课后学生自主复习，进行有针对性的强化训练；亦或是在阶段性复习时，借助资料梳理知识体系，查漏补缺，本套资料都能发挥巨大作用，成为您小升初教学路上的得力助手！ 模块名称 定位 内容构成 核心优势 适用场景 小升初真题汇编 助力学生熟悉考试题型、命题风格，提升解题与应考能力，把握考试重点 各地区历年真题，按模块编排，附详细答案与解析，含解题步骤、知识点 真题权威有代表性，分类便于针对性训练，解析助力总结经验 复习冲刺作模拟测试，日常针对知识板块巩固练习 小升初同步知识点详解 紧扣大纲，全面深入讲解知识点，夯实基础，构建知识框架 知识点讲解（概念、定理推导等）、典型例题（解题过程与思路展示）、配套练习题（题型丰富） 知识讲解系统，由浅入深，例题与练习针对性强 日常同步学习辅助预习、复习，新知识学习初期梳理知识体系 在资料整理过程中，因为个人知识结构与认知视角所限，融入了部分主观见解，可能致使资料出现一些错漏之处。在此，期望大家能够以敏锐的视角审视资料。如若发现任何问题，烦请您不吝指出。 一旦收到反馈，将立即修正完善。在此，衷心地感谢大家的理解与信任，期待在您的助力下，这份资料能够更好地服务于大家的学习与工作。 2025年4月27日 2025年小升初同步知识点详解培优练·人教版 专题41 正比例的应用 1.正比例的意义 类别 意义 正比例 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示：=k(一定) 2.正比例的应用 、列比例式 抓住不变量确定哪两个量成正比例关系 用正比例解决问题 解比例并检验 第一部分 基础知识培优练 一、仔细想，认真填。 1．在同一时刻和同一地点，量得身高180cm的张叔叔的影子长30cm，一棵树的影子长270cm。这棵树高( )m。 2．李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯( )米。 3．相同质量的冰与水的体积比是10∶9，9dm3的冰化成水是( )dm3。 4．李军正在看一本《军事天地》。图中，相关联的两个量是( )和( )，它们成( )比例。按这样的速度，李军15天正好看完这本书，这本书一共有( )页。现在李军已经看了8天，还有( )页没看。 5．若所在的高度每升高1000米，相应的气温下降，现在地面气温是，则2000米高空的气温是( )。 6．如图，一个长方形被分成了四个小长方形，其中三个的面积为20、25和30（单位：平方厘米）。第四个小长方形的面积是( )平方厘米。 二、我是小法官。（对的打“√”，错的打“×”。） 7．聪聪身高1.4米，测得影长2.1米，同一时刻、同一地点测得一栋楼的影长22.5米，这栋楼的高度是31米。( ) 8．买铅笔的支数和总价成正比例，5支铅笔花了4元钱，那么买6支铅笔要花6元钱。( ) 9．每公顷稻田的产量一定，公顷数与总产量成正比。( ) 10．同样高的杆子离路灯越远，它的影子就越长。( ) 三、对号入坐。（将正确答案的序号填在括号里） 11．某手工工厂加工一批手工画，每天加工20幅，15天可以完成任务。实际4天加工了100幅，照这样的工作效率，多少天可以完成这批任务？用比例解答，设x天可以完成任务，下面比例式正确的是（    ）。 A．（20×15）∶x＝100∶4 B．100∶4＝x∶（20×15） C．100∶4＝15∶x D．100∶4＝20∶x 12．如表，与成正比例，“△”和“▲”的组合不可能是（    ）。 2 △ ▲ 12 A．2∶12 B．24∶1 C．3∶6 D．3∶8 13．人的下肢长与身高之比满足黄金比时，更具美感。小红的妈妈身高是170cm，下肢长100cm，她的妈妈想买一双高跟鞋，你认为高跟鞋鞋跟的最佳高度应是多少厘米？列式正确的是（    ）。（x为高跟鞋鞋跟的高度） A． B． C． D． 14．2024年3月10日至16日是第17个“世界青光眼周”。为更好的宣传和普及青光眼防治知识，3月16日上午19所医院参加了在北京园博园举行的2024年“世界青光眼周”北京第二届“健步走公益乐跑”活动。李医生30分钟跑了全程的，照这样计算，跑完全程的时间为x分钟，下面正确的关系式是（    ）。 ①；②；③ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 15．下图是一捆粗细均匀的铁丝。小明为了知道这捆铁丝有多长，于是剪下5m长的一段，称重的结果是0.1kg。如果设这捆铁丝的长是x米，下面四个方程中正确的是（    ）。 ①5∶0.1＝∶50           ②50∶＝5∶0.1 ③5∶50＝0.1∶          ④∶5＝50∶0.1 A．①② B．③④ C．①④ D．②③④ 第二部分 拔高知识培优练 四、解决问题。 16．高叔叔打360个字共用了3分，按照这样的速度，他打540个字需要多少分？（用比例解答） 17．成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速”。用数学的眼光看该成语，是应用了比例的知识。 如表所示为同一时间、同一地点测得的树高和影长。 树高/m 2 3 4 6 影长/m 1.6 2.4 3.2 4.8 （1）在图中描出表示树高和对应影长的点，然后把它们连起来。 （2）连线以后观察，可以发现：影长与树高成（    ）比例关系。 （3）利用图像判断，树高8米时，影长多少米？影长4米时，树高多少米？ 18．为节约用水，小明家安装了节水水龙头，这样的水龙头小时可节水2.5升，照这样计算2.4小时可节水多少升？（用比例解答） 19．聪聪读一本故事书，前3天一共读了72页，照这样的速度，读完这本故事书一共需要15天，这本故事书一共有多少页？（用比例解） 20．成语“立竿见影”指的是在阳光下竖起竹竿，立刻就看到了竹竿的影子，比喻行事能马上看到效果或付出能马上得到收获。古人在平常的的生活场景中得到了许多诸如此类的智慧，可见学习处处都在发生。 （1）这个成语蕴含了我们学到的（    ）的知识。 （2）同一地点、同一时刻，光照的角度不变，那么不同的事物都会在同一个角度下，形成自己的影子。请你结合下图长竹竿及其影子，简要画出短竹竿的影子。 参考答案 1．16.2 分析：在同一时刻和同一地点，物体高度和影长成正比，据此设这棵树高xcm，列比例解答即可。 详解：解：设这棵树高xcm。 180∶30＝x∶270 30x＝180×270 x＝ x＝1620 1620cm＝16.2m 所以这棵树高16.2m。 2．/ 分析：已知参加比赛的三个人的速度是一定的，所以在相同的时间内，三个人所跑的路程比也是一定的。设当杨洋跑到终点时，张雯还差x米到达终点，根据题意可知，当李伟到达终点时，杨洋和张雯所跑的路程比是（100－10）∶（100－15）；当杨洋到达终点时，杨洋跑的路程是100米，张雯跑的路程是（100－x）米，此时杨洋和张雯所跑的路程比是100∶（100－x）。根据路程比相等列出方程解方程即可。 详解：解∶设当杨洋跑到终点时会领先张雯x米。 100∶（100－x）＝（100－10）∶（100－15） 100∶（100－x）＝90∶85 90×（100－x）＝100×85 90×（100－x）＝8500 90×（100－x）÷90＝8500÷90 100－x＝ x＝100－ x＝ 当杨洋跑到终点时会领先张雯米。 点睛：本题考查应用正比例解决实际问题，明确时间一定，路程和速度成正比例是解题的关键。 3．8.1 分析：根据相等质量的冰和水的体积之比是10∶9，设9dm3的冰化成水后的体积是xdm3，列出比例式，解答即可。 详解：解：设9dm3的冰化成水后的体积是xdm3。 因此9dm3的冰化成水是8.1dm3。 4． 已经看的页数 天数 正 300 140 分析：根据题意可知，已经看的页数和天数是相关联的两个量，且已经看的页数与天数之间的关系图像是一条直线，可知它们成正比例关系，即已经看的页数÷天数＝每天看的页数（一定）。每天看的页数×看完需要的天数＝书的总页数，据此算出这本书共有多少页。现在李军已经看了8天，则看了页，书的总页数减去看了的页数，即可算出还有多少页没看。 详解：每天看的页数：（页） 书的总页数：（页） 还剩： （页） 所以图中，相关联的两个量是已经看的页数和天数，它们成正比例，按这样的速度，李军15天正好看完这本书，这本书一共有300页。现在李军已经看了8天，还有140页没看。 5．﹣3 分析：根据题意得：高度每升高1000米，相应的气温下降5℃，可知升高的高度和下降的气温成正比例关系；可设2000米高空气温升高为x℃，可列出比例式，运用比例的基本性质解出答案。 详解：根据题意得：升高的高度和下降的气温成正比例关系，设2000米高空气温下降x℃，则可列出比例： ，即温度下降10℃，现在的温度是。 6．37.5 分析：根据长方形的面积公式：长×宽，20平方厘米和30平方厘米的长相等，两个宽的比等于面积比，即30∶20；25平方厘米和第四个小长方形的长相等，所以它们的面积比也是两个宽的比，由于20平方厘米和25平方厘米的两个三角形宽相等；30平方厘米和第四个长方形的宽相等，所以下面长方形和上面长方形的比值相同，成正比例关系，据此即可列比例。 详解：解：设第四个小长方形的面积是x平方厘米。 ＝ 20x＝30×25 20x＝750 x＝750÷20 x＝37.5 一个长方形被分成了四个小长方形，其中三个的面积为20、25和30（单位：cm2）。第四个小长方形的面积是37.5平方厘米。 7．× 分析：在同一时刻，同一地点，物体的实际高度和影长成正比例，设这栋楼的高度为x米，列比例：1.4∶2.1＝x∶22.5，解比例，求出这栋楼的实际高度，再进行比较，即可解答。 详解：解：设这栋楼的高为x米。 1.4∶2.1＝x∶22.5 2.1x＝1.4×22.5 2.1x＝31.5 x＝15 聪聪身高1.4米，测得影长2.1米，同一时刻、同一地点测得一栋楼的影长22.5米，这栋楼的高度是15米。 原题干说法错误。 故答案为：× 8．× 分析：花的钱数4÷买的只数5＝每支的钱数0.8，每支的钱数0.8×买的只数6＝需要的钱数4.8。 详解：4÷5×6 ＝0.8×6 ＝4.8（元） 故答案为：× 点睛：本题考查正比例的实际应用，熟练掌握正比例的意义是解题的关键。 9．√ 分析：两个相互关联的量，如果它们的乘积是一定的，则这两个量成反比例关系；如果它们的比值是一定的，则这两个量成正比例关系，据此求解。 详解：总产量÷公顷数＝每公顷稻田的产量，因为每公顷稻田的产量是一定的，所以顷数与总产量成正比，此题描述正确。 故答案为： √ 点睛：掌握正比例的定义是解决本题的关键。 10．√ 分析：比例的认识及组成比例的判断。 详解：同样高的杆子离路灯越远，它的影子就越长。说法正确。 故答案为：√ 点睛：同样高的杆子离路灯越近，影子就越短；离路灯越远，影子就越长。 11．A 分析：由题意可知，加工一批手工画的工作总量是，照这样的工作效率，则工作效率一定时，工作量和工作时间成正比例，设x天可以完成任务，等量关系式是工作总量∶完成的工作时间＝100∶4，据此列比例并求解。 详解：解：设x天可以完成任务。 （20×15）∶x＝100∶4 300∶x＝100∶4 100x＝300×4 100x＝1200 100x÷100＝1200÷100 x＝12 用比例解答，设x天可以完成任务，下面比例式正确的是（20×15）∶x＝100∶4。 故答案为：A 12．C 分析：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 如果和成正比例，则▲∶2＝12∶△，根据比例的基本性质把比例式改写成两数相乘的形式，即△×▲＝2×12＝24，因此，△和▲的乘积一定是24； 四个选项中给出了△和▲的比，要求找出△和▲不可能的组合，也就是看哪个选项中△和▲的乘积不等于24即可。 详解：如果和成正比例，则▲∶2＝12∶△，那么△×▲＝2×12＝24； A．2×12＝24，所以“△”和“▲”的组合可能是2∶12； B．24×1＝24，所以“△”和“▲”的组合可能是24∶1； C．3×6＝18，18≠24，所以“△”和“▲”的组合不可能是3∶6； D．3×8＝24，所以“△”和“▲”的组合可能是3∶8。 故答案为：C 13．C 分析：当人的下肢长与身高之比满足黄金比＝0.618时，即人的下肢长与身高之比的比值一定时，更具美感，因为比值一定，所以更具美感时，人的下肢长与身高成正比例关系，据此设高跟鞋鞋跟的最佳高度应是xcm，列正比例解答即可。 详解：解：设高跟鞋鞋跟的最佳高度应是xcm。 （x＋100）∶（x＋170）＝0.618∶1 （x＋170）×0.618＝x＋100 0.618x＋170×0.618＝x＋100 0.618x＋105.06＝x＋100 0.618x＋105.06－0.618x＝x＋100－0.618x 105.06＝0.382x＋100 105.06－100＝0.382x＋100－100 0.382x＝5.06 0.382x÷0.382＝5.06÷0.382 x≈13.25 所以正确的列式是：（x＋100）∶（x＋170）＝0.618∶1。 故答案为：C 14．C 分析：把全程看作单位“1”，根据李医生的速度一定，他跑的总路程与跑的时间成正比例，列式即可。 详解：如果他要跑完7千米全程，跑完全程的时间为x分钟。 变形可得 则正确的关系式有②③。 故答案为：C 15．C 分析：根据题意，每米的铁丝重量一定，说明铁丝的长度和重量成正比例，设这捆铁丝的长是x米，列比例：0.1∶5＝50∶x，或5∶0.1＝x∶50，或0.1∶50＝5∶x；或x∶5＝50∶0.1；据此解答。 详解：根据分析可知，小明为了知道这捆铁丝有多长，于是剪下5m长的一段，称重的结果是0.1kg。如果设这捆铁丝的长是x米，下面四个方程中正确的是①5∶0.1＝x∶50；④x∶5＝50∶0.1。 故答案为：C 16．4.5分 分析：根据题意可知，高叔叔打字的速度不变，即打字的个数∶打字的时间＝打字的速度（一定），比值一定，那么打字的个数与打字的时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 详解：解：设他打540个字需要分。 540∶＝360∶3 360＝3×540 360＝1620 ＝1620÷360 ＝4.5 答：他打540个字需要4.5分。 17．（1）见详解 （2）正 （3）6.4米；5米 分析：（1）根据统计图提供的数据，绘制统计图。 （2）成正比例的量，图像是一条射线；成反比例的量，图像是一条曲线；据此解答。 （3）再根据图像，找出与树高8米对应的点，找出与影长4米对应的点即可。 详解：（1）如图： （2）连线以后观察，可以发现：影长与树高成正比例。 （3）根据图像可知，树高8米时，影长是6.4米， 影长4米时，树高5米。 答：树高8米时，影长6.4米，影长4米时，树高5米。 18．12升 分析：根据题意，节水速度恒定，节水量与时间成正比例。设照这样计算2.4小时可以节水x升，列比例2.5∶＝x∶2.4，解比例，即可解答。 详解：解：设2.4小时可节水x升。 2.5∶＝x∶2.4 x＝2.5×2.4 x＝6 x＝6÷ x＝6×2 x＝12 答：2.4小时可节水12升。 19．360页 分析：设这本故事书一共有页，由题意可知，聪聪读故事书的速度不变，则读的页数与读的天数成正比例，据此列比例并求解即可。 详解：解：设这本故事书一共有页。 答：这本故事书一共有360页。 20．（1）正比例； （2）见详解 分析：（1）光线照到竹竿上，竹竿会挡住光的传播，所以在竹竿后面光照不到的地方形成了影子，据此解答。 （2）同一时间，同一地点，光照的角度不变，竹竿影子的方向是相同的。连接长竹竿顶端和其影子的顶端，这条线代表光线的方向。过短竹竿的顶端作一条与刚才连线平行的的直线，该直线与地面的交点和短竹竿底部的连线就是短竹竿的影子，据此作图。 详解：（1）根据分析，成语“立竿见影”蕴含了我们学到的正比例的知识。 （2）根据分析，短竹竿影子（红色虚线）如下图所示。 学科网（北京）股份有限公司 $$