专题03 三角函数（八大题型+优选提升题）（沪教版2020必修第二册，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题03 三角函数 题型概览 题型01概念及其应用 题型02三角函数的定义域、值域及其应用 题型03三角函数有关的方程、不等式问题 题型04辅助角公式在三角函数的应用 题型05三角函数的图像及应用 题型06双变量问题 题型07 三角函数的综合应用 题型08 解答题 ( 题型01 ) 概念及其应用 1．（23-24高一下·上海·期末）函数的最小正周期为 ． 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期为 ． 3．（23-24高一下·上海·期末）函数的值域是 ． 4．（21-22高一下·上海黄浦·期末）函数的初始相位是 ． 5．（22-23高一下·上海金山·期末）函数在上的严格增区间是 . 6．（22-23高一下·上海长宁·期末）下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·上海·期末）若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 ． ( 题型02 ) 三角函数的定义域、值域及其应用 8．（21-22高一下·上海黄浦·期末）函数的值域为 . 9．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 10．（22-23高一下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，若其终边过点，则函数，的值域为 ． 11．（23-24高一下·上海宝山·期末）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． ( 题型03 ) 三角函数有关的方程、不等式问题 12．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知，，则角为 . 13．（23-24高一上·上海·期末）方程的解集为 . 14．（21-22高一下·上海普陀·期末）方程在区间上的所有解的和为 ． 15．（21-22高一下·上海浦东新·期末）对于函数，其中，已知，则 . 16．（24-25高一上·上海·期末）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． ( 题型04 ) 辅助角公式在三角函数的应用 17．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知函数的最大值为 . 18．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，则当时，函数的值域为 ． 19．（23-24高一下·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足，则 ． 20．（23-24高一上·上海·期末）若存在，使成立，则实数k的取值范围是 . ( 题型0 5 ) 三角函数的图像及应用 21．（21-22高一下·上海浦东新·期末）直线与函数（，为常数）的两个相邻交点的距离是 ． 22．（21-22高一下·上海浦东新·期末）将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为 ． 23．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高三上·上海浦东新·期末）如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则 ．    ( 题型0 6 )双变量问题 25．（23-24高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则 . 26．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（    ）． A． B． C． D． 27．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知函数，若存在，有，则的最小值为 ． 28．（23-24高一下·上海静安·期末）函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 29．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知函数，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值是 . ( 题型0 7 ) 三角函数的综合应用 30．（23-24高一下·上海·期末）当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）.已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形，其中宽度米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度为 米（结果精确到0.1米）. 31．（24-25高三上·上海浦东新·期末）某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是 ．（精确到0.001） 32．（23-24高三上·上海虹口·期末）已知是定义在上的函数，若，且，则实数的取值范围为 ． 33．（21-22高一下·上海嘉定·期末）已知函数（其中，），若（T为周期），是函数图像的一条对称轴，在区间上单调，则的值为 ． 34．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 35．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知函数，有以下命题： ①函数的最小正周期为； ②函数在上为增函数； ③直线是函数图象的一条对称轴； ④函数在上有三个零点； ⑤函数的最小值为. 请写出正确命题的全部序号 . ( 题型0 8 ) 解答题 36．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知函数，实数. (1)若，求此函数的最小正周期，对称轴和单调区间； (2)若此函数在上最大值为1，求的取值范围. 37．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当时，的值域． 38．（23-24高一下·上海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 39．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其中，（，） (1)若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 (2)若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 (3)若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 40．（24-25高三上·上海松江·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设，．    (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值． 41．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知，，记 (1)求函数的值域； (2)求函数，的单调减区间； (3)若，恰有2个零点，求实数的取值范围和的值． 一、填空题 1．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是 . 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：(1)偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；(2)周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域．由此可求函数的值域为 ． 二、单选题 3．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设，满足的x的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 4．（23-24高一下·上海金山·期末）已知，下列结论错误的个数是（    ） ①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是. A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题 5．（23-24高一下·上海·期末）设，．已知函数的图像关于直线成轴对称． (1)求函数的表达式； (2)若，且为锐角，求； (3)设，．若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数． 6．（20-21高一下·上海宝山·期末）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角函数 题型概览 题型01概念及其应用 题型02三角函数的定义域、值域及其应用 题型03三角函数有关的方程、不等式问题 题型04辅助角公式在三角函数的应用 题型05三角函数的图像及应用 题型06双变量问题 题型07 三角函数的综合应用 题型08 解答题 ( 题型01 ) 概念及其应用 1．（23-24高一下·上海·期末）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】根据诱导公式和余弦函数的周期公式即可得到答案. 【解析】，则其最小正周期为. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期为 ． 【答案】/ 【分析】由正切型函数周期性定义计算即可得. 【解析】由正切型函数性质可知. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期末）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】先利用二倍角公式化简函数，再结合正弦函数的值域，得解． 【解析】由函数， 因为，所以，所以函数的值域为． 故答案为：． 4．（21-22高一下·上海黄浦·期末）函数的初始相位是 ． 【答案】 【分析】由初始相位的定义可得结论. 【解析】因为， 所以函数的初始相位是， 故答案为：. 5．（22-23高一下·上海金山·期末）函数在上的严格增区间是 . 【答案】 【分析】根据整体法求解全部增区间，结合范围即可求解. 【解析】令,解得， 取，则在的单调递增区间为， 故答案为： 6．（22-23高一下·上海长宁·期末）下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐个分析各个函数的周期和单调性即可 【解析】对于A，的最小正周期为，而不在函数的定义域内，所以A错误， 对于B，的最小正周期为，当时，是严格减函数，所以B正确， 对于C，的最小正周期为，而此函数在上是增函数，所以C错误， 对于D，的最小正周期为，所以D错误， 故选：B 7．（23-24高一下·上海·期末）若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的单调性求参数取值范围即可. 【解析】因为，所以，又函数在上严格减， 设其最小正周期为，则，即，则， 所以，即，解得：， 当时，，当时，， 故答案为： ( 题型02 ) 三角函数的定义域、值域及其应用 8．（21-22高一下·上海黄浦·期末）函数的值域为 . 【答案】 【分析】先化简，再利用正弦函数的有界性结合不等式的性质推理得解. 【解析】解：， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以的值域是. 故答案为： 9．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据正切函数的定义域，列式求解. 【解析】由题意可知，，， 所以. 故答案为： 10．（22-23高一下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，若其终边过点，则函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】先根据题意结合任意角三角函数的定义求出，代入化简可得，然后由求出，再结合正弦函数的性质可求出其范围. 【解析】因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点， 所以， 因为是第一象限的角，所以， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以函数，的值域为， 故答案为： 11．（23-24高一下·上海宝山·期末）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】观察在上的图象，从而得到的取值范围. 【解析】观察在上的图象， 当时，或， 当时，， 所以的最小值为：， 的最大值为：， 所以的取值范围为. 故答案为： ( 题型03 ) 三角函数有关的方程、不等式问题 12．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知，，则角为 . 【答案】/ 【分析】根据条件，利用在区间上的单调性和的周期性，即可求解. 【解析】因为在区间上单调递增， 当时，由，得，又的最小正周期为， 又，所以角为， 故答案为：. 13．（23-24高一上·上海·期末）方程的解集为 . 【答案】 【分析】根据题意得到，然后结合正弦函数相关知识解方程即可. 【解析】因为，所以， 若，则或， 所以或，即方程的解集为. 故答案为： 14．（21-22高一下·上海普陀·期末）方程在区间上的所有解的和为 ． 【答案】 【分析】将方程的解转化为两个函数图象的交点问题，利用函数的对称性，即可求解. 【解析】如图，画出函数和的图象， 方程在区间的解转化为两个函数图象的交点的横坐标， 两个函数都关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点对称， . 故答案为： 15．（21-22高一下·上海浦东新·期末）对于函数，其中，已知，则 . 【答案】 【分析】根据诱导公式计算的值并观察与的关系即可求得结果. 【解析】 而 所以，故 故答案为：. 16．（24-25高一上·上海·期末）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，时显然不成立，时，，根据可求得的取值范围. 【解析】当时，显然不成立. 当时，，又，所以， 当时，无解；当时，解得； 所以. 故答案为： ( 题型04 ) 辅助角公式在三角函数的应用 17．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知函数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【解析】因为， 因为，所以， 所以， 函数的最大值为. 故答案为： 18．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，则当时，函数的值域为 ． 【答案】 【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式得到，利用整体思想得到的值域. 【解析】， ，，，，故的值域为. 故答案为：. 19．（23-24高一下·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足，则 ． 【答案】 【分析】由辅助角公式先进行化简，再利用条件可得为偶函数，可求得的值，代入求解即可. 【解析】因为， 又因为，所以函数为偶函数， 即，， ， 所以，. 故答案为：. 20．（23-24高一上·上海·期末）若存在，使成立，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为求三角函数值域问题，结合辅助角公式和三角函数相关知识求解即可. 【解析】若存在，使成立， 即，其中， 由于值域为，则，则. 故答案为： ( 题型05 ) 三角函数的图像及应用 21．（21-22高一下·上海浦东新·期末）直线与函数（，为常数）的两个相邻交点的距离是 ． 【答案】 【分析】求出函数的周期即可得． 【解析】函数的最小正周期是， 所以直线与函数（，为常数）的两个相邻交点的距离是． 故答案为：． 22．（21-22高一下·上海浦东新·期末）将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为 ． 【答案】 【分析】横坐标缩短到原来的，将变为即可. 【解析】将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为. 故答案为：. 23．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的性质求出的取值，即可判断. 【解析】因为函数的图像关于点中心对称， 所以，，所以，， 所以当时，当时，时， 所以的最小值为. 故选：C 24．（23-24高三上·上海浦东新·期末）如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则 ．    【答案】 【分析】由图象可知且，根据求出，将点代入解析式求出，进而求出的解析式，即可求解. 【解析】由题意知，函数图象在y轴的右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为， 则，且，得， 又，所以， 所以，又函数图象过点， 所以，由解得， 故， 所以. 故答案为： ( 题型06 )双变量问题 25．（23-24高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则 . 【答案】或 【分析】先将函数化简成，将函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后数形结合根据函数的图象性质即可得解. 【解析】由题得， 因为函数在上恰有两个零点， 所以方程在上恰有两个根， 所以函数与图象在上恰有两个交点， 令， 即函数的对称轴方程为， 所以在上有两条对称轴为和，如图， 所以由函数的图象性质可知或. 故答案为：或. 【点睛】思路点睛：研究三角函数问题，通常需要利用三角恒等变换公式化成一角一函数，故解决本题先利用辅助角公式将函数化简成，再将题中所给条件函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后作出有关函数图象，数形结合根据函数的图象性质即可得解. 26．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的值域为，的值域为，求出，根据题意，再代入选项逐项分析即可. 【解析】设的值域为，的值域为， 则由题意得，因为，则， 则，则， 因为，所以， 对A，当时，，则， 则，不满足，故A错误； 对B，当时，， ， 则， 则，满足，故B正确； 对C，当时，， ， 则， 则，不满足，故C错误； 对D，当时，， 则， 则，不满足，故D错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意将其转化为两函数值域之间的包含关系，再利用整体法求出相关三角函数的值域，代入选项逐个分析即可. 27．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知函数，若存在，有，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由三角函数的性质可得时. 【解析】∵的周期，由得. 故答案为：. 28．（23-24高一下·上海静安·期末）函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 【答案】 【分析】借助图象结合三角函数的周期性可计算出函数解析式，再由所给条件可得，代入计算即可得解. 【解析】由图可得，又，故， ，又，故， 则有，，即，， 又，则，即， 由，则， 即， 故或，， 即或，， 又，故， 则. 故答案为：. 29．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知函数，若存在实数、，使得对任意实数总有成立，则的最小值是 . 【答案】 【分析】分析可知、分别为函数的最小值、最大值，则的最小值为函数最小正周期的一半，即可得解. 【解析】因为 ， 又因为存在实数、，使得对任意实数总有成立， 所以，、分别为函数的最小值、最大值， 所以，的最小值为函数最小正周期的一半，故. 故答案为：. ( 题型07 ) 三角函数的综合应用 30．（23-24高一下·上海·期末）当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）.已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形，其中宽度米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度为 米（结果精确到0.1米）. 【答案】 【分析】延长与直角过道的边相交于、，由表示出，设进行换元，利用单调性即可求解. 【解析】依题意设，，延长与直角过道的边相交于、，则， 所以，，， 又， 则，． 设， 因为，所以，所以， 则 ， 再令，， 则， 因为在上单调递增，且， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 故当，即，时，取得最小值， 由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的家具的高度的最大值为米． 故答案为： 31．（24-25高三上·上海浦东新·期末）某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是 ．（精确到0.001） 【答案】1.172 【分析】以为原点建立坐标系，求出圆半径，并设出点的坐标，借助辅助角公式及正弦函数的性质求出最小值. 【解析】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，连接， 令圆的半径为，则，解得，设， 因此， 当且仅当时取等号， 所以步行道、长度之和的最小值是. 故答案为： 32．（23-24高三上·上海虹口·期末）已知是定义在上的函数，若，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由函数奇偶性的定义得出为奇函数，再由函数单调性的加减法得出在上为增函数，由奇函数性质将不等式化为，即可根据单调性的性质结合定义域列出不等式组，解出答案. 【解析】， 为奇函数， 与在上都为增函数， 在上为增函数， ，则， 则，解得：， 故答案为：. 33．（21-22高一下·上海嘉定·期末）已知函数（其中，），若（T为周期），是函数图像的一条对称轴，在区间上单调，则的值为 ． 【答案】2或6 【分析】由得，由对称轴得出的表达式，由单调性首先缩小的范围，然后对可能取值一一验证可得． 【解析】，，， 又，所以，， 是函数图象的一条对称轴，则，， ， ， ，时，，则在区间上不单调， 所以，， 时，，符合题意， 时，，符合题意， 时，，而，不合题意， 时，，而，不合题意， 故答案为：2或6． 34．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数后，求函数的最大值即可. 【解析】由得， 设，因，所以， 则在上恒成立， 设， 则二次函数的对称轴为， 因其开口向下，所以时函数单调递增， 所以的最大值， 故， 故答案为： 35．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知函数，有以下命题： ①函数的最小正周期为； ②函数在上为增函数； ③直线是函数图象的一条对称轴； ④函数在上有三个零点； ⑤函数的最小值为. 请写出正确命题的全部序号 . 【答案】①③⑤ 【分析】①②根据周期的定义，结合三角函数的诱导公式二，利用函数在的单调性，可得答案；③根据轴对称的性质公式，结合三角函数的诱导公式，可得答案；④根据函数在上的单调性，结合零点存在性定理，可得答案；⑤根据①所得到的函数在的单调性，以及最小正周期，可得答案. 【解析】①：， 当时，，则， 根据函数在上单调递增，可得此时单调递减； 当时，，则， 根据函数在上单调递增，可得此时单调递增； 故①正确； ②：由①可知函数在上单调递减，在上单调递增，故②不正确； ③：， ， 由，则直线是函数的对称轴，故③正确； ④：当时，， 则，根据函数在上单调递增，可得此时单调递增， 由，则函数在存在唯一零点； 当时，， 则，根据函数在上单调递减，可得此时单调递减， 由，则函数在存在唯一零点； 易知，，， 综上：函数在上有两个零点，故④不正确； ⑤：由①可知函数在上单调递减，在上单调递增， 则当时，函数的最小值为， 因为由①可知，函数的最小正周期为，所以，故⑤正确. 故答案为：①③⑤. ( 题型08 ) 解答题 36．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知函数，实数. (1)若，求此函数的最小正周期，对称轴和单调区间； (2)若此函数在上最大值为1，求的取值范围. 【答案】(1)，，严格增区间：，严格单调减区间： (2) 【分析】（1）分别利用和，即可求得单调递区间，同理可求得单调递减区间. （2）由，可求得的取值范围. 【解析】（1）若，则函数， 所以最小正周期， 由，可得，所以对称轴， 由，可得， 所以函数严格增区间为：， 同理可得严格单调减区间为：. （2）设函数， 因为，所以， 因为，所以， 解得. 37．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当时，的值域． 【答案】(1)，单调增区间为； (2) 【分析】（1）根据最小正周期得到方程，求出，并用整体法求出函数递增区间； （2）利用三角恒等变换得到，结合，得到，从而得到函数值域. 【解析】（1）因为，所以，解得， ， 令，解得， 故单调递增区间为； （2），， 时，，故， 所以. 38．（23-24高一下·上海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 【答案】(1)， (2)对称中心坐标为，， 【分析】（1）利用函数图象列出，解得，，结合函数的周期，求解，利用函数的最大值求解，然后得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，根据正弦函数的性质求出对称中心坐标，通过的范围，求出的范围，结合正弦函数性质计算可得． 【解析】（1）由图象可知，解得， 又由于，可得，又，所以， 由图象知，，又因为，则， 所以，则，所以． 由，，解得，． 函数的单调递增区间是，． （2）将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到： ， 令，解得， 所以的对称中心坐标为， 因为，所以， 所以当，即时； 当，即时. 39．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其中，（，） (1)若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 (2)若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 (3)若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 【答案】(1)答案见详解 (2)；， (3) 【分析】（1）根据题意，可得，完成五点法列表； （2）利用解析式结合正弦函数的单调递增区间，即可求出的单调递增区间； （3）根据题意可得，求得，又恒成立，可得，求得，得解. 【解析】（1）若，，则，，五点法列表如下： 0 0 1 0 0 （2）若，，则，所以最小正周期， 由的单调性可知，，即， 所以的单调增区间为，. （3）由题意可得的周期，则， 所以，又恒成立， 所以，即，即， 又，所以， 所以. 40．（24-25高三上·上海松江·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设，．    (1)当时，求的面积； (2)求三角形区域面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数表达出的长，再由面积公式即可求解. （2）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域面积的最大值. 【解析】（1）设与相交于点，则， 则，， 易知等于到的距离， 所以    （2）过点作于点，则， 而，    则三角形区域面积为 ， 设，因为，所以， 故，而， 则，故当时，取得最大值， 故三角形区域面积的最大值为 41．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知，，记 (1)求函数的值域； (2)求函数，的单调减区间； (3)若，恰有2个零点，求实数的取值范围和的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再结合正弦函数的值域计算可得；（2）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再结合正弦函数的单调性计算可得；（3）化简函数，根据恰有2个零点，求出实数的取值范围；再根据对称性求出的值. 【解析】（1）由题意可知， 则函数函数的值域为 （2）由 因为，所以，令，解得， 函数，的单调减区间 （3） 因为，所以， 根据条件在恰有2个零点，则有两个根， 即有两个根，则，解得 实数的取值范围 根据函数在恰有2个零点，即有两个根， 因为，令，解得，所以关于对称， 则． 一、填空题 1．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意可得函数的图像与直线只在前几段有交点，分别分析函数与在前几段的交点个数，找到临近点，分析临界值时的交点情况，即可求出参数的取值范围. 【解析】因为函数在各段中的最大值逐渐减小，要使函数的图像与直线恰有个交点， 则函数的图像与直线只在前几段有交点， 依题意当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 若，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 此时函数的图像与直线的图象仅有个交点，不符合题意， 所以， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 此时函数的图像与直线的图象恰有个交点， 若时，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 不满足函数的图像与直线的图象恰有个交点， 所以， 综上可得，即实数的取值范围是. 故答案为： 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：(1)偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；(2)周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域．由此可求函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用奇偶性和周期性的定义可得是周期为的偶函数，由所给的函数性质可得求在区间上的值域即可得到在定义域上的值域. 【解析】因为， 所以是偶函数， 又因为， 所以是的一个周期， 所以当时，， 因为，所以， 由结论（1）可得在区间上的取值范围也为， 即在区间上的取值范围为， 又由结论（2）可得在定义域上的值域为， 故答案为： 二、单选题 3．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设，满足的x的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】利用正弦的和角公式及辅助角公式结合三角函数的图象与性质计算即可. 【解析】由可得， 即，其中， 所以原方程化为，即， 不妨令，因为，所以， 易知时，成立，即满足题意； 又的周期为，且， 所以在区间上还有一个根，如图所示， 故选：C 4．（23-24高一下·上海金山·期末）已知，下列结论错误的个数是（    ） ①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由二倍角公式将三角函数化简，然后由三角函数的性质逐项判断即可. 【解析】， 周期， ①由条件知，周期为，故①错误； ②函数图象右移个单位长度后得到的函数为， 其图象关于轴对称，则， 故对任意整数，故②错误； ③由条件，得，故③错误； ④由条件，得，又，故④正确. 故选：C. 三、解答题 5．（23-24高一下·上海·期末）设，．已知函数的图像关于直线成轴对称． (1)求函数的表达式； (2)若，且为锐角，求； (3)设，．若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数． 【答案】(1) (2) (3)；函数在区间上恰有个零点 【分析】（1）根据正弦函数对称轴方程即可求解. （2）利用二倍角的正切公式求出，再利用正弦形式的倍角公式、分母为“1”将变形后弦化切即可求解. （3）根据零点定义令得，再数形结合根据函数图像性质可求解. 【解析】（1）由题意， 所以，故，又， 所以，故. （2）因为，且为锐角， 所以 故由（1）. （3）由（1）， 令， 则函数在区间上恰有奇数个零点 在区间有奇数个解， 因为，最小正周期为，如图， 故由图像特征以及周期性质可知， 只有当时其在区间才有奇数个解， 此时，两边平方解得， 故此时或， 由图可知时有个解；时，有个解， 所以函数在区间上恰有个零点. 【点睛】易错点睛：在算函数在区间上的零点个数时，易漏算时这一组解导致零点个数算错. 6．（20-21高一下·上海宝山·期末）若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质． （1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； （3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：． 【答案】（1）函数具有性质，不具有性质，理由见解析；（2）不具备，理由见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据具有性质的定义依次讨论即可得答案； （2）假设函数具有性质，则有，即，进而得，再根据并结合函数的值域为得，故，此时，在验证不具有性质，进而得到答案； （3）结合（2），并根据题意得，进而得在的值域为，当时，与零点唯一性矛盾得或，再讨论当时不成立得，即． 【解析】（1）函数具有性质，不具有性质，说明如下： ， ， 对任意，都有， 所以具有性质， ，， 所以， 所以不具有性质； （2）若函数具有性质， 则有，即， 于是，结合知， 因此； 若，不妨设 由可知： （记作*），其中 只要充分大时，将大于1 考虑到的值域为为，等式（*）将无法成立， 综上所述必有，即； 再由，，从而，而 当时，， 而，显然两者不恒相等（比如时) 综上所述，不存在以及使得具有性质； (3）由函数具有性质以及（2）可知， 由函数是以为周期的周期函数，有， 即，也即 由，及题设可知 在的值域为 当时，当及时，均有， 这与零点唯一性矛盾，因此或， 当时，，在的值域为 此时 于是在上的值域为， 由正弦函数的性质，此时当时和的取值范围不同， 因而，即． 【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于正确理解具有性质P的函数的定义，利用定义，结合反证法，分类讨论思想等讨论求解. 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$