专题02 平面向量（九大题型+优选提升题）（沪教版2020必修第二册，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题02 平面向量 题型概览 题型01概念辨析、填空 题型02根据平面向量平行或垂直求参数 题型03 数量投影、投影向量 题型04根据概念求参数 题型05 向量的数量积及应用 题型06向量模长的综合应用 题型07 平面向量的几何应用 题型08 最值、取值范围问题 题型09 解答题 ( 题型01 ) 概念辨析、填空 1．（23-24高一下·上海嘉定·期末） ． 2．（22-23高一下·上海杨浦·期末）向量的单位向量为 . 3．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知点，，若点满足，则点的坐标为 ． 4．（22-23高一下·上海闵行·期末）下列命题中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 5．（21-22高一下·上海浦东新·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量只有大小没有方向 B． C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等 6．（23-24高一下·上海·期末）已知、是平面向量的一组基底．则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 ( 题型02 ) 根据平面向量平行或垂直求参数 7．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，若，则实数 ． 8．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知，，若与垂直，则 ． ( 题型03 ) 数量投影、投影向量 9．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 10．（23-24高一下·上海·期末）已知，则在上的数量投影是 ． 11．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知，则在方向上的投影是 ． 12．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 13．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知中，，，，则在方向上的数量投影为 ． ( 题型04 ) 根据概念求参数 14．（21-22高一下·上海虹口·期末）已知向量，，且在上的投影数量等于，则 . 15．（22-23高一下·上海嘉定·期末）若向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为 16．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 . ( 题型0 5 ) 向量的数量积及应用 17．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知向量、满足，，，则 . 18．（23-24高一下·上海松江·期末）已知，且，则 ． 19．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则 . 20．（22-23高一下·上海宝山·期末）若向量、满足，，则 . 21．（21-22高一下·上海金山·期末）已知单位向量满足，则向量的夹角为 ． ( 题型0 6 ) 向量模长的综合应用 22．（23-24高二下·上海松江·期末）已知向量满足，则 ． 23．（22-23高一下·上海普陀·期末）已知、是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·上海·期末）设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 . ( 题型0 7 ) 平面向量的几何应用 25．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知中，，且，则 . 26．（23-24高一下·上海·期末）已知外接圆的半径为，圆心为，且，，则 . 27．（23-24高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 . ( 题型0 8 ) 最值、取值范围问题 28．（23-24高一下·上海·期末）已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角取值范围是，则的取值范围是 ． 29．（23-24高一下·上海·期末）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 30．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ． 31．（23-24高一下·上海闵行·期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 9 ) 解答题 32．（23-24高一下·上海·期末）已知向量， (1)若，求的值； (2)若，求的值. 33．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知坐标平面内，向量，，． (1)求满足的实数、； (2)若向量满足，且，求的坐标． 34．（23-24高一下·上海·期末）如图，已知正三角形的边长为2，点为边上一点，且．    (1)若，求实数的值． (2)计算的值． 35．（22-23高一下·上海黄浦·期末）如图，已知为平行四边形．    (1)若，，，求及的值； (2)记平行四边形的面积为，设，，求证： 36．（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 一、填空题 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）中，，当时，的最小值为，则 ． 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时， . 3．（22-23高一下·上海浦东新·期末）若，平面内一点满足，则的最大值为 . 4．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为 . 5．（23-24高一下·上海·期末）如图，已知点P为所在平面内一点，，，定义点集，若存在点，使得对任意，有恒成立，那么当的面积取得最大值12时， ． 二、单选题 6．（22-23高一下·上海浦东新·期末）矩形中，，，动点满足，，，则下列说法中错误的是（    ） A．若，则的面积为定值 B．若，则的最小值为 C．若，则满足的点不存在 D．若，，则的面积为 7．（22-23高一下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，点C在直线上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则、、中正数的个数为n，则n的值的集合为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 8．（20-21高一下·上海浦东新·期末）已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，． （1）若，的坐标为，求； （2）若，，求的最大值； （3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值． 9．（23-24高一下·上海·期末）已知为等腰直角三角形，且，．点是的内部（包括的三条边）不同的点．记集合，若集合是集合的一个非空子集，向量表示集合中所有元素的和． (1)若点是斜边的等分点，试求（用含的式子表示） (2)证明对于任意的集合，存在的两个非空子集满足以下条件：①，；②且. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量 题型概览 题型01概念辨析、填空 题型02根据平面向量平行或垂直求参数 题型03 数量投影、投影向量 题型04根据概念求参数 题型05 向量的数量积及应用 题型06向量模长的综合应用 题型07 平面向量的几何应用 题型08 最值、取值范围问题 题型09 解答题 ( 题型01 ) 概念辨析、填空 1．（23-24高一下·上海嘉定·期末） ． 【答案】 【分析】根据向量的加法法则求解即可． 【解析】 故答案为：． 2．（22-23高一下·上海杨浦·期末）向量的单位向量为 . 【答案】 【分析】根据即可求解. 【解析】. 故答案为：. 3．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知点，，若点满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，根据条件得到，，再利用向量相等即可求出结果. 【解析】设，因为，，所以，，又， 所以，解得，所以点的坐标为. 故答案为：. 4．（22-23高一下·上海闵行·期末）下列命题中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据相等向量、零向量的定义判断A、C、D，根据向量数量积的定义判断B. 【解析】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于B：若时，与的方向可能不同，与可能不相等，故C错误； 对于D：若时，即，所以，得不出，故D错误． 故选：B． 5．（21-22高一下·上海浦东新·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量只有大小没有方向 B． C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等 【答案】B 【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案． 【解析】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 由于与方向相反，长度相等，故B正确； 因为零向量的模为0，故C错误； 与线段的长度相等，故D错误． 故选：B． 6．（23-24高一下·上海·期末）已知、是平面向量的一组基底．则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【分析】验证四个选项中的两向量是否共线，从而得到答案. 【解析】A选项，、是平面向量的一组基底，故、为不共线的非零向量， 设，故，无解，故、为不共线的非零向量， 故可以作为一组基底，A错误； B选项，设，解得，无解，故、为不共线的非零向量，B错误； C选项，设， 故，无解，故，为不共线的非零向量，C错误； D选项，，故、共线，故不能作为基底，D正确. 故选：D ( 题型02 ) 根据平面向量平行或垂直求参数 7．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，若，则实数 ． 【答案】2 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【解析】由题意得，解得. 故答案为：2. 8．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知，，若与垂直，则 ． 【答案】 【分析】根据若与垂直，可知，再根据坐标运算即可求出结果. 【解析】因为，，且与垂直， 所以， 所以. 故答案为：. ( 题型03 ) 数量投影、投影向量 9．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】由公式求出投影的数量，在乘与同方向的单位向量得到投影向量. 【解析】在方向上的投影的数量为， 所以在方向上的投影向量为， 故答案为：. 10．（23-24高一下·上海·期末）已知，则在上的数量投影是 ． 【答案】 【分析】由数量投影公式求解. 【解析】解：数量投影为：， 故答案为： 11．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知，则在方向上的投影是 ． 【答案】 【分析】首先通过向量夹角的正弦值求出夹角的余弦值，然后根据向量投影的计算公式进行求解即可. 【解析】已知，得. 当时，得在上的投影为， 当时，得在上的投影为. 故答案为： 12．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 【答案】 【分析】先依次求出、、，再结合投影向量公式即可计算求解. 【解析】由题意得，， 所以， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为：. 13．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知中，，，，则在方向上的数量投影为 ． 【答案】 【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得. 【解析】. 故答案为：. ( 题型04 ) 根据概念求参数 14．（21-22高一下·上海虹口·期末）已知向量，，且在上的投影数量等于，则 . 【答案】 【分析】由数量投影的公式直接计算即可. 【解析】在上的投影数量为，解得（舍）或. 故答案为：. 15．（22-23高一下·上海嘉定·期末）若向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得，且与不共线，从而可求出的取值范围 【解析】因为向量，，且与的夹角为锐角， 所以，且与不共线， 由，得，解得， 若与共线，则，得，所以当时，与不共线， 综上，且， 即的取值范围为， 故答案为： 16．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 . 【答案】/ 【分析】根据平面的基的概念，判断，利用向量共线的坐标公式计算即得. 【解析】由题意可知，，，， 则，解得. 故答案为：. ( 题型05 ) 向量的数量积及应用 17．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知向量、满足，，，则 . 【答案】/－0.25 【分析】根据题意将两边平方，结合数量积以及模的运算，即可求得答案. 【解析】由可得，即， 即，所以， 故答案为：. 18．（23-24高一下·上海松江·期末）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】由向量数量积定义以及模长公式即可计算得解. 【解析】由题， 所以. 故答案为：. 19．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由平面向量夹角公式代入计算，即可求解. 【解析】因为，， 则，又， 所以. 故答案为： 20．（22-23高一下·上海宝山·期末）若向量、满足，，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解作答. 【解析】由，，得， 所以. 故答案为： 21．（21-22高一下·上海金山·期末）已知单位向量满足，则向量的夹角为 ． 【答案】/ 【分析】根据向量数量积的公式即可求出向量的夹角. 【解析】解：已知为单位向量，则， ， ， 故答案为：. ( 题型06 ) 向量模长的综合应用 22．（23-24高二下·上海松江·期末）已知向量满足，则 ． 【答案】1 【分析】根据，求出，进行计算 【解析】由，则可得， 则. 故答案为：. 23．（22-23高一下·上海普陀·期末）已知、是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，利用转化法分别求各项的模长，进而可得结果. 【解析】由题意可知：. 对于选项A：； 对于选项B：； 对于选项C：； 对于选项D：； 显然均小于1，大于1，所以模最大的向量是. 故选：D. 24．（23-24高一下·上海·期末）设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用数量积的运算律及性质建立不等式，再求解不等式即可得解. 【解析】单位向量满足，则， 由，得， 则，当且仅当同向时取等号， 因此，解得. 所以的取值范围是. 故答案为： ( 题型07 ) 平面向量的几何应用 25．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知中，，且，则 . 【答案】 【分析】根据，结合向量的数量积的运算公式，求得，即可求解. 【解析】在中，，且， 可得， 所以，解得， 因为，所以. 故答案为：. 26．（23-24高一下·上海·期末）已知外接圆的半径为，圆心为，且，，则 . 【答案】 【分析】依题意可得为的中点，从而得到是以为斜边的直角三角形，再由求出，最后根据数量积的定义计算可得. 【解析】如图所示： 因为，所以为的中点，又为的外接圆的圆心， 所以是以为斜边的直角三角形， 又因为，所以，， 又外接圆的半径为， 所以，则， 所以. 故答案为： 27．（23-24高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量平行四边形法则及线性运算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得参数. 【解析】由题意可知，因为点F在BE上， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为： ( 题型08 ) 最值、取值范围问题 28．（23-24高一下·上海·期末）已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角取值范围是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据投影向量的定义得到，再结合的范围计算可得. 【解析】单位向量与，则， 向量在方向上的投影向量为， 所以，由于的取值范围是， 所以． 故答案为：． 29．（23-24高一下·上海·期末）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由的几何意义表示向量在方向上的投影乘以，在借助图像可知当点在C点处时，有最大值，由此即可求出答案. 【解析】， 几何意义表示向量在方向上的数量投影乘以， 由图可知：当点P在点C处时，有最大值， 此时，， 所以的最大值是. ，所以取值范围为. 故答案为：. 30．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先分别过作、交于点和，求出，设，接着根据数量积定义以及题中所给条件求得，从而求出即可得解. 【解析】分别过作交于点，作交于点， 则， 设，则， 由题可知即， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 31．（23-24高一下·上海闵行·期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量模长可得，到的距离，再根据平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积的几何意义求解即可. 【解析】由八卦图的对称性可得， 故 . 设到的距离为，则， 解得. 又 . 又即在上的投影， 其最大值为， 最小值为. 故， 即. 故选： C ( 题型09 ) 解答题 32．（23-24高一下·上海·期末）已知向量， (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据向量平行满足的坐标关系即可求解， （2）根据向量垂直满足的坐标关系可得，由模长公式即可求解. 【解析】（1）由题意知 （2），， 33．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知坐标平面内，向量，，． (1)求满足的实数、； (2)若向量满足，且，求的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）借助向量坐标运算计算即可得； （2）借助向量坐标运算中垂直性质与模长公式计算即可得. 【解析】（1）由，则有，解得， 即，； （2）设，则有，解得或， 故或. 34．（23-24高一下·上海·期末）如图，已知正三角形的边长为2，点为边上一点，且．    (1)若，求实数的值． (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，根据向量的线性运算即可得到答案； （2）根据（1）中结论结合向量数量积的运算律和定义即可得到答案. 【解析】（1）由题意得， 则. （2）由（1）知 . 35．（22-23高一下·上海黄浦·期末）如图，已知为平行四边形．    (1)若，，，求及的值； (2)记平行四边形的面积为，设，，求证： 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由，根据数量积的运算律求出，再根据计算可得； （2）由面积公式得到，将两边平方，再由同角三角函数的基本关系、夹角公式及数量积、模的坐标表示计算可得. 【解析】（1）在平行四边形中， 所以 ， 即，解得， 所以 . （2）因为，将两边平方可得， 又， 所以， 整理得， 又，，， 所以， 所以. 36．（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】(1)由平面向量的线性运算求解； (2)由 ，得，则，由基本不等式求解； (3) ，即可求解． 【解析】（1）解：如图所示：   ； （2）因为，，由(１)得， 得， 由， 得， 则， 因为，所以， 则， 等号成立时，，得， 故的最小值为； （3）因为，所以， 则 ， 因为，所以当时，取得最小值为． 一、填空题 1．（23-24高一下·上海宝山·期末）中，，当时，的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】令，取点使，则可可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和，从而可数形结合构造出点关于的对称点为，得到，再利用余弦定理计算出后即可得解. 【解析】令，则， 又，则点在线段上， 取上靠近点的三等分点，连接，则， 则， 令点关于的对称点为，则， 即有，设，则在中， 有， 即，即， 又，则， 则有， 即，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，在线段上取点，使，从而可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和. 2．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时， . 【答案】 【分析】先根据平面向量数量积的定义求出夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点C的几何意义，最后确定取最小值时的. 【解析】∵，，而，， 又，∴，∴， ，， 因为向量满足，所以， 如图所示，    若，，，，则，， 所以，所以在以为圆心，2为半径的圆上， 若，则，由图象可得当且仅当，，三点共线且时，最小， 即取最小值，此时，，又，，所以. 故答案为：. 3．（22-23高一下·上海浦东新·期末）若，平面内一点满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由，结合数量积的计算可得，即是角平分线，由角平分线的性质可得，设，则，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值，从而可求的最大值. 【解析】由可得. 因为，即， 所以，即是角平分线， 由角平分线的性质可得， 设，则，由可得. 因为， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为， 所以的最大值是. 故答案为：    4．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为 . 【答案】 【分析】作出图形，根据图形的几何意义求解即可. 【解析】因为， 所以向量、、分别看作以为起点，以为终点， 且是边长为2的正三角形，为正三角形的中心，    又因为， 所以向量、、则是以为起点，正三角形各边中点为终点， 因为，当时，的值为， 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海·期末）如图，已知点P为所在平面内一点，，，定义点集，若存在点，使得对任意，有恒成立，那么当的面积取得最大值12时， ． 【答案】3 【分析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量共线定理得三点共线，从而表示的边上的高，利用正弦定理求得的面积的最大值，从而可得结论． 【解析】延长AB到M满足，取AC的靠近A的三等分点N，连接MN，如图， ，则P，M，N三点共线， 又存在点，使得对任意，满足恒成立， 则的长表示A到直线MN的距离，即的边MN上的高，设， 由，得，则，， 在中，设，由正弦定理得， 于是，，， 则 ， 若不是钝角，则， 由，得，即， 则，设， 则，，它是减函数，当时，，不满足题意， 若是钝角，则 ，设，则，， 令，，显然，即， ，两边平方整理得， 依题意，方程有非负实根，必有， 解得，此时二次函数图象与x轴有公共点，且对称轴在轴右侧， 因此方程有正实根，即， 此时，，符合题意，， 所以当的面积取得最大值12时，. 故答案为：3 【点睛】方法点睛：根据向量共线定理得出与点M，N在一条直线上，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值即可. 二、单选题 6．（22-23高一下·上海浦东新·期末）矩形中，，，动点满足，，，则下列说法中错误的是（    ） A．若，则的面积为定值 B．若，则的最小值为 C．若，则满足的点不存在 D．若，，则的面积为 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用平面向量的坐标运算逐项判断，可得出合适的选项. 【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下所示的空间直角坐标系，    则点、、，则，， 因为，即点， 对于A选项，当时，，则点到直线的距离为， 则，A对； 对于B选项，当时，，则， 因为，则，则， 当且仅当时，等号成立，B错； 对于C选项，当时，则，，， ， 所以，若，则满足的点不存在，C对； 对于D选项，若，，则， 此时，点到直线的距离为，则，D对. 故选：B 7．（22-23高一下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，点C在直线上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则、、中正数的个数为n，则n的值的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用重心的坐标公式，找出点，再结合平面向量数量积的坐标运算法则，解不等式，分类讨论即可. 【解析】设，因为G为△ABC的重心，则点， 令，则； 令则； 令，则，不等式恒成立， 所以当或时，；当时，. 综上：n的值的集合为. 故选：A. 三、解答题 8．（20-21高一下·上海浦东新·期末）已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，． （1）若，的坐标为，求； （2）若，，求的最大值； （3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值． 【答案】（1）；（2）12；（3）． 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，（1）可得代入，即可求的坐标；（2）可得代入，即可求其的最值；（3）求、的坐标，进而可得、，结合题设有，应用三角恒等变换及三角函数的性质，可得、，由分类讨论的方式求的所有可能值． 【解析】（1）由题意，， ∴， ， ∴由，则、，故； （2）由题意，， ∴， ， ∴由，则、，即， ∴当时，的最大值为12； （3）， ， ∴，， ∵△为等边三角形， ∴， ∴， ， 整理得：且， ∴或， 综上， 当，时，或； 当，时，或； 所以的所有可能值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，首先求出、的坐标，再由，结合三角恒等变换、三角函数性质求出的可能值，进而求对应值. 9．（23-24高一下·上海·期末）已知为等腰直角三角形，且，．点是的内部（包括的三条边）不同的点．记集合，若集合是集合的一个非空子集，向量表示集合中所有元素的和． (1)若点是斜边的等分点，试求（用含的式子表示） (2)证明对于任意的集合，存在的两个非空子集满足以下条件：①，；②且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接使用等分点的向量性质即可； （2）设，然后分和两种情况证明结论. 【解析】（1） 记的中点为，则由已知有. 所以. （2）对，设，则，. 同时，由于，. 故，. 若，取，，则，. 若，不妨设. 由于，， 故我们可以找到正整数，使得，. （换言之，是满足的正整数的最大值） 由于，故. 取，，则 ，且 . 综上，结论成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对数量积的运算律的运用. 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$