专题04 三角（七大题型+优选提升题）（沪教版2020必修第二册，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题04 三角 题型概览 题型01概念综合辨析、填空 题型02同角三角函数的基本关系 题型03诱导公式及其应用 题型04 三角恒等变换综合 题型05解三角形 题型06 三角的综合应用 题型07 解答题 ( 题型01 ) 概念综合辨析、填空 1．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知，则是第 象限角 2．（24-25高一上·上海·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10cm，则该扇形的面积为 ． 3．（23-24高一上·上海·期末）角顺时针旋转后所得角的弧度数是 . 4．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知是角终边上一点，且，则 5．（24-25高一上·上海·期末）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号是 ． 6．（22-23高一上·上海宝山·期末）下列命题中真命题是（    ） A．第一象限的角为锐角 B．钝角是第二象限的角 C．小于的角是锐角 D．终边在轴负半轴上的角既是第二象限角又是第三象限角 7．（22-23高一下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） ( 题型02 ) 同角三角函数的基本关系 8．（23-24高一下·上海松江·期末）若，则 ． 9．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知，，则角的终边在第 象限. 10．（24-25高一上·上海·期末）若，则的值是 ． 11．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知，则 . ( 题型03 ) 诱导公式及其应用 12．（24-25高一上·上海·期末）已知角α的终边经过点，则= ． 13．（24-25高一上·上海·期末）化简： . 14．（23-24高一上·上海·期末）在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合．若点在角终边上，且，则 ． ( 题型04 ) 三角恒等变换综合 15．（24-25高一上·上海·期末）用和表示 . 16．（24-25高一上·上海·期末）已知，则的值为 ． 17．（23-24高一下·上海·期末）若，则的值为 ． 18．（23-24高二下·上海·期末）已知为锐角，，则 ． 19．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 20．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则 ． 21．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知是锐角，且，则 ． 22．（22-23高一下·上海嘉定·期末）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·上海·期末）已知，则 ． 24．（23-24高一下·上海金山·期末）设为锐角，且，则 . ( 题型0 5 ) 解三角形 25．（23-24高一下·上海·期末）在中，如果三条边，那么角 ．（用反三角形式表示角） 26．（21-22高一下·上海奉贤·期末）在中，，三角形的面积等于，则的长为 . 27．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 28．（23-24高一下·上海·期末）在中，已知、、分别为角、、的对边，且，若，且，则边的长等于 . 29．（21-22高一下·上海黄浦·期末）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是 . ①，，； ②，，； ③，，； ④，，.    ( 题型0 6 )三角的综合应用 30．（23-24高一下·上海黄浦·期末）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观测到火情发生在北偏西方向，而在B处观测到火情在北偏西方向．已知B在A的正东方向处，那么火场C与A距离约为 ．（结果精确到） 31．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）. 32．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 33．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转得到角，若，则点的坐标是 ． 34．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是 . ( 题型0 7 ) 解答题 35．（23-24高一下·上海静安·期末）化简下列各式： (1)； (2)． 36．（23-24高一下·上海·期末）已知，，且. (1)求的值； (2)求. 37．（24-25高一上·上海·期末）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴的正半轴重合，终边交单位圆于点，且，将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点，设 、 ，分别过、作轴的垂线，垂足依次为、，记的面积为，的面积为.    (1)若，求点的坐标; (2)若，求的值. 38．（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 39．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，． (1)求的面积． (2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？ 40．（23-24高一下·上海宝山·期末）锐角中角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 41．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知 (1)化简函数并计算的值； (2)若，.且，，求的值. (3)已知、、为的内角.若，求的最小值. 一、填空题 1．（21-22高一下·上海黄浦·期末）若不等式对于任意恒成立，则的最小正值为 ． 2．（23-24高一下·上海·期末）已知是大于3的正整数，平面直角坐标系中，正边形内接于单位圆.若集合，则集合表示的平面区域的面积为 .（结果用表示） 二、单选题 3．（24-25高一上·上海宝山·期末）锐角中，角、、的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·期末）对任意实数和正整数，定义集合，集合.当中的元素个数为个时，的值不可能是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 5．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角梯形，，，，扇形圆心角，，如图，将，以及扇形的面积分别记为    (1)写出的表达式，并指出其大小关系（不需证明）； (2)用表示梯形的面积；并证明：； (3)设，，试用代数计算比较与的大小. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角 题型概览 题型01概念综合辨析、填空 题型02同角三角函数的基本关系 题型03诱导公式及其应用 题型04 三角恒等变换综合 题型05解三角形 题型06 三角的综合应用 题型07 解答题 ( 题型01 ) 概念综合辨析、填空 1．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知，则是第 象限角 【答案】三 【分析】找到与终边相同的最小正角，即可判断所在象限. 【解析】由，故是第三象限角. 故答案为：三 2．（24-25高一上·上海·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10cm，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】先求得弧长，利用扇形面公式积可求解. 【解析】因为扇形的弧所对的圆心角为，半径r=10cm， 则扇形的弧长， 扇形的面积为． 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·期末）角顺时针旋转后所得角的弧度数是 . 【答案】 【分析】根据角的定义即可求解. 【解析】角顺时针旋转后所得角为， 故答案为： 4．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知是角终边上一点，且，则 【答案】/ 【分析】由角终边上的点及余弦值可得，再由定义求. 【解析】由题设，则， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·期末）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】根据角的定义和象限角的概念得到答案. 【解析】①终边相同的角不一定相等，比如终边相同，①正确； ②第二象限的角可能小于第一象限的角，比如，，②错误； ③若，则是第一象限的角，③正确； ④不妨考虑，小于，但不是锐角，④错误. 故选：②④ 6．（22-23高一上·上海宝山·期末）下列命题中真命题是（    ） A．第一象限的角为锐角 B．钝角是第二象限的角 C．小于的角是锐角 D．终边在轴负半轴上的角既是第二象限角又是第三象限角 【答案】B 【分析】根据象限角和锐角和钝角的定义判断依次判断各选项即可. 【解析】对于选项A，若，则为第一象限角，但不是锐角，A错误； 对于选项B，若为钝角，则，所以为第二象限角，B正确； 对于选项C，若，则，但不是锐角，C错误； 对于选项D，终边在轴负半轴上的角既不是第二象限角也不是第三象限角，D错误； 故选：B. 7．（22-23高一下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】根据角与角的终边关于轴对称，即可确定与的关系． 【解析】是与关于轴对称的一个角， 与的终边相同， 即（）， ，（）. 故选：D． ( 题型02 ) 同角三角函数的基本关系 8．（23-24高一下·上海松江·期末）若，则 ． 【答案】/ 【分析】将分式中的分子分母同时除以即弦化切即可求解. 【解析】由题. 故答案为：. 9．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知，，则角的终边在第 象限. 【答案】三 【分析】根据，，得到角的终边在第三象限. 【解析】，， 故角的终边在第三象限. 故答案为：三 10．（24-25高一上·上海·期末）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的平方关系对根号下的式子进行变形，然后根据的取值范围确定的正负，从而对根式进行化简，最后得出式子的值. 【解析】因为，所以. 那么原式就变为. 已知，在这个区间内，. 因为，所以. 则. 故答案为： 11．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据得到的值，然后根据和构造齐次式计算. 【解析】， 原式 . 故答案为：. ( 题型03 ) 诱导公式及其应用 12．（24-25高一上·上海·期末）已知角α的终边经过点，则= ． 【答案】 【分析】利用三角函数的定义可求得，结合诱导公式可求值. 【解析】因为角α的终边经过点，所以， 则． 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海·期末）化简： . 【答案】 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的关系化简即可. 【解析】原式. 故答案为：． 14．（23-24高一上·上海·期末）在直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合．若点在角终边上，且，则 ． 【答案】/ 【分析】结合三角函数的定义及诱导公式求，然后即可求解. 【解析】因为，所以， 由点在角终边上，所以，即， 所以. 故答案为：. ( 题型04 ) 三角恒等变换综合 15．（24-25高一上·上海·期末）用和表示 . 【答案】 【分析】利用两角和与差的正弦和余弦公式求解即可. 【解析】. 故答案为：. 16．（24-25高一上·上海·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题设求出，再由正弦倍角公式即可计算求解. 【解析】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 17．（23-24高一下·上海·期末）若，则的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】根据已知条件利用诱导公式和公式化简得到，两边平方结合正弦的二倍角公式即可. 【解析】由， 所以， 即， 所以， 即， 故答案为：. 18．（23-24高二下·上海·期末）已知为锐角，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用角变换结合切化弦求解. 【解析】， ， 故答案为：. 19．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 【答案】3 【分析】根据两角和与差的余弦公式，再进行弦化切即可得到答案. 【解析】. 故答案为：3. 20．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用两角和差的余弦公式展开，即可求出，，再由同角三角函数的基本关系计算可得. 【解析】因为， ， 所以，， 所以. 故答案为： 21．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知是锐角，且，则 ． 【答案】 【分析】运用整体的思想，结合两角和的余弦公式进行求解. 【解析】， 由题意，是锐角，则，则，解得. 故答案为： 22．（22-23高一下·上海嘉定·期末）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【解析】由于，所以， . 故选：B 23．（24-25高一上·上海·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用两角和、差的余弦公式可求的值，从而可求的值，利用对数的运算性质可求的值. 【解析】因为，所以， 所以，故， 所以. 故答案为： 24．（23-24高一下·上海金山·期末）设为锐角，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意，两边平方再相加，结合同角基本关系式、和角的余弦公式求解. 【解析】根据题意，， 所以， 即， 两式相加，得， 所以. 故答案为： ( 题型05 ) 解三角形 25．（23-24高一下·上海·期末）在中，如果三条边，那么角 ．（用反三角形式表示角） 【答案】． 【分析】先设，然后结合余弦定理可求，进而可求． 【解析】解：在中，， 设， 根据余弦定理得，， 故． 故答案为：． 26．（21-22高一下·上海奉贤·期末）在中，，三角形的面积等于，则的长为 . 【答案】或 【分析】由面积公式求出，即可得到，再利用余弦定理计算可得； 【解析】解：因为，且三角形的面积等于， 所以，所以， 因为，所以或， 当时，由余弦定理，所以； 当时，由余弦定理，所以； 故答案为：或 27．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 【答案】B 【分析】由求解. 【解析】解：因为，所以，则， 又因为，所以或， 若，则，与三角形内角和定理相矛盾， 所以，则， 所以 ， 故选：B 28．（23-24高一下·上海·期末）在中，已知、、分别为角、、的对边，且，若，且，则边的长等于 . 【答案】 【分析】根据正弦定理角化边，再结合三角形的面积公式，求，再结合余弦定理求的值. 【解析】若，由正弦定理可知，， ，所以，得， 根据余弦定理, 所以. 故答案为： 29．（21-22高一下·上海黄浦·期末）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是 . ①，，； ②，，； ③，，； ④，，. 【答案】①④ 【分析】利用正弦定理解三角形即可确定①②③中的三角形的个数；根据三角形全等的判定可知④正确. 【解析】对于①，由正弦定理得：， ，，即，，则三角形有唯一解，①正确； 对于②，由正弦定理得：， ，，即，或，则三角形有两解，②错误； 对于③，由正弦定理得：，无解，③错误； 对于④，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，④正确. 故答案为：①④.    ( 题型06 )三角的综合应用 30．（23-24高一下·上海黄浦·期末）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观测到火情发生在北偏西方向，而在B处观测到火情在北偏西方向．已知B在A的正东方向处，那么火场C与A距离约为 ．（结果精确到） 【答案】14.6 【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果. 【解析】由题意可得，，，，则， 在中，由正弦定理可得， 即， 所以， 故答案为：14.6. 31．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）. 【答案】3.2 【分析】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可. 【解析】如图：作于，设， 则，. 所以（当且仅当时取“”） 又，故（米）， 故答案为：3.2 32．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题知，底边上的高，又，可得，根据余弦定理和均值不等式得到，则计算可得答案. 【解析】 设中，定点到底边的距离为h， 已知，，，， 则 又， 则， 即， 在中，由余弦定理： ， 当且仅当时，等号成立， 故，而， 所以，则， 所以的最小值为. 故答案为：. 33．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转得到角，若，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】根据题意写出点的坐标为，根据列式计算可得，从而得，再结合的平方关系，即可求解出点的坐标. 【解析】由题意可知，点的坐标为， ，即， 解得，所以，又， 解得或， 所以点的坐标为或. 故答案为：或 34．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是 . 【答案】 【分析】根据三角函数的平方式以及函数性质，求得动点轨迹，结合题意，作图，利用图形的组成，可得答案. 【解析】由，则，即，， 由，则如图：    点在劣弧上，即线段扫过的部分为图中的阴影部分，设其面积为， 易知，，在四边形中对角线， 则四边形的面积， 在中，，解得， 扇形的面积， 故. 故答案为：. ( 题型07 ) 解答题 35．（23-24高一下·上海静安·期末）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角化成一角一函数，再利用诱导公式即可化简，或者利用两角和公式计算和即可得解. （2）根据诱导公式和切与弦的关系即可化简得解. 【解析】（1）法一：． 法2：. （2）. 36．（23-24高一下·上海·期末）已知，，且. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角的三角函数关系和二倍角公式，求出和的值； （2）由同角的三角函数关系和三角恒等变换，即可求出的值． 【解析】（1）由，，得， ，于是. （2）由，得，又， ， 由得： ． 37．（24-25高一上·上海·期末）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴的正半轴重合，终边交单位圆于点，且，将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点，设 、 ，分别过、作轴的垂线，垂足依次为、，记的面积为，的面积为.    (1)若，求点的坐标; (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出、，则，，利用两角和的正余弦公式计算可得； （2）根据三角函数的定义表示出，，，，即可表示出、，再由二倍角公式及两角和的正弦公式求出，即可得解. 【解析】（1）因为且，即， 解得（负值已舍去）， 将角的终边按逆时针方向旋转交单位圆于点， 则 ， ， 所以 （2）由三角函数定义，得，，， 所以， 依题意得 ， 即 整理得，因为，所以，所以，即. 38．（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数关系式和恒等变换，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，求得和，结合余弦定理，列出方程，求得的值，进而得到三角形的周长. 【解析】（1）解：由题意知， 因为，可得， 所以，可得，即 由于，可得，所以，解得． （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为的面积为，可得，解得， 所以，解得， 由余弦定理， 即，可得，所以的周长为． 39．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，． (1)求的面积． (2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？ 【答案】(1) (2)汽车先到达C处，理由见解析 【分析】（1）由余弦定理求出，利用三角形面积公式求出答案； （2）由正弦定理求出，得到汽车所需时间，由余弦定理求出，进而得到快递小哥出发25分钟的路程和剩余时间，作差比较后得到结论. 【解析】（1）因为，，， 由余弦定理得， 即，故， 解得，负值舍去， 故 （2）在中，由正弦定理得， 又，故， 因为，所以， ， 故汽车所需时间为h， 因为，由余弦定理得 ， 故， 故， 快递小哥出发25分钟，骑行路程为， 剩余路程为，到达C处所需时间为， 其中， 故，所以汽车先到达C处. 40．（23-24高一下·上海宝山·期末）锐角中角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，借助余弦定理计算即可得； （2）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与辅助角公式可将化为正弦型函数形式，再利用锐角三角形性质可得角的范围，即可得解. 【解析】（1）由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，又，则； （2）由，则、， 则 ， 由为锐角三角形，可得，解得， 则，则， 故. 41．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知 (1)化简函数并计算的值； (2)若，.且，，求的值. (3)已知、、为的内角.若，求的最小值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式和商的关系化简，然后求函数值； （2）利用正切的和差公式计算； （3）根据得到，然后利用基本关系、正弦定理和余弦定理化简得到，最后利用基本不等式求最值即可. 【解析】（1）因为，所以. （2）由，，得，， 所以， 因为，，所以，且， 得，则，所以. （3）， 又，所以， 所以，由正弦定理得， 又余弦定理，即，所以， 由余弦定理， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 一、填空题 1．（21-22高一下·上海黄浦·期末）若不等式对于任意恒成立，则的最小正值为 ． 【答案】/4.5 【分析】由正弦定理角化边，三角形两边之和大于第三边，再利用配方法求出结果. 【解析】根据正弦定理：不等式可转换为，不等式对于任意恒成立，故， 由于， 所以，故，所以的最小正值为. 故答案为： 2．（23-24高一下·上海·期末）已知是大于3的正整数，平面直角坐标系中，正边形内接于单位圆.若集合，则集合表示的平面区域的面积为 .（结果用表示） 【答案】 【分析】根据给定信息，确定集合表示的平面区域，再结合三角形面积求解即得. 【解析】由，得点在线段的垂直平分线分平面含点一侧的区域， 线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点， 照此进行，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点， 集合表示的平面区域是正边形及内部，其内切圆半径为， 显然，，， 所以集合表示的平面区域的面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由题设信息，确定集合表示的平面区域对应的图形是求解本题的关键. 二、单选题 3．（24-25高一上·上海宝山·期末）锐角中，角、、的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及三角恒等变换化简可得，据此再化简所求，利用二次函数的性质得解. 【解析】由，正弦定理得，即， 又，得； 又， 所以； 因为，因此，即，得， 由于为锐角三角形，则， 所以，解得， 又， 因为，所以， 由二次函数性质得，若存在最大值，则，解得. 故选：D 4．（24-25高一上·上海·期末）对任意实数和正整数，定义集合，集合.当中的元素个数为个时，的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析可得集合中的元素为区间上等间隔地取个点，集合中的元素为函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值，由中的元素个数为个，即可逐个选项判断即可. 【解析】由题意得，集合中的元素为，，，，，， 即在区间上等间隔地取个点， 集合中的元素为，， 即函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值. 因为中的元素个数为个， 即函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值有个， 所以，所以的最小值为， 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除A； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故不可能为，故选B； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除C； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除D. 故选：B 三、解答题 5．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角梯形，，，，扇形圆心角，，如图，将，以及扇形的面积分别记为    (1)写出的表达式，并指出其大小关系（不需证明）； (2)用表示梯形的面积；并证明：； (3)设，，试用代数计算比较与的大小. 【答案】(1)， (2)，证明见解析， (3) 【分析】（1）根据锐角三角函数，以及扇形的面积公式即可求解， （2）根据二倍角公式即可得，利用，即可由放缩法求证，或者构造函数利用导数求解单调性即可求证， （3）利用和差角公式，以及即可作差比较大小，或者构造函数求导判断单调性，即可利用的单调性求解. 【解析】（1）由题意可得， 所以， 如图：在单位圆中，设，, 则， 由于，所以，， 因此.    （2）， 方法一：由. 所以， 由于，则，所以 故， 方法二：由于， 令则， 由于，所以， 故， 因此在单调递增，故，所以 因此. （3）方法一：由于 所以， 由于，所以， 故， ， 因此. 方法二：：， 记， ，故在单调递减，故，所以，故在单调递减， 由于，所以. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，应用面积关系证明出关键不等式，，结合二倍角公式以及弦切互化关系，即可由三角函数的性质求解，而证明不等式时，常采用放缩法或者作差法，将一些基本的不等关系进行适当的放缩，或者利用作差法求解，多注意不等式的变形形式，比如本题的由得是解决本题第三问的关键. 3 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$