专题6.7 反比例函数（6大知识点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题6.7 反比例函数（6大知识点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①； ②； ③. 【知识点2】反比例函数的图象与性质 y＝ （k为常数，） 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来 源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三（x，y同号）[ 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【知识点3】反比例函数表达式的确定 待定系数法： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 【知识点4】系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （3）越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 【知识点5】反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【知识点6】反比例函数中的三个模型 考点与题型目录 【考点一】反比例函数概念 【题型1】用反比例函数描述数量关系...................................................3 【题型2】用反比例函数定义求参数.....................................................5 【题型3】求反比例函数值.............................................................7 【考点二】确定反比例函数的解析式 【题型4】用待定系数法确定反比例函数解析式...........................................9 【题型5】用面积法确定反比例函数解析式..............................................10 【题型6】用几何法确定反比例函数解析式..............................................15 【考点三】反比例函数的图象与性质 【题型7】反比例函数的对称性........................................................18 【题型8】反比例函数的增减性........................................................20 【题型9】双曲线分布................................................................22 【考点四】反比例函数与一次函数综合 【题型10】反比例函数与一次函数综合.................................................23 【考点五】反比例函数的应用 【题型11】反比例函数在生产生活中的应用.............................................26 【题型12】反比例函数在跨学科中的应用...............................................30 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】反比例函数概念 【题型1】用反比例函数描述数量关系 【例1】（24-25八年级上·上海·期中）已知，其中与成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求关于的函数解析式． 【答案】 【分析】题考查了待定系数法求函数的解析式，正比例函数与反比例函数的性质，根据题意，设，根据当时，；当时，，待定系数法求得，即可求解． 解：设， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：； ∴关于的函数解析式为． 【变式1】（2021·四川成都·一模）点（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（    ） A．（2，﹣） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，﹣） 【答案】B 【分析】将点（﹣1，2）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可． 解：∵点（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝﹣1×2＝﹣2， ∴y＝ A.∵，故点（2，﹣）不在y＝图象上； B.∵，故点（2，﹣1）在y＝图象上； C.∵，故点（-2，﹣1）不在y＝图象上； D.∵，故点（1，﹣）不在y＝图象上； 故选：B． 【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上． 【变式2】（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为 ． 【答案】-2 【分析】设方程的两个根分别为，根据题意得到＝，结合判别式，即可求解． 解：∵以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y的图象上， ∴设方程的两个根分别为， ∴＝，即， ∴ 解得： ∵， ∴， ∴． 故答案为：-2． 【点拨】本题考查了一元二次方程 的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，也考查了反比例函数． 【题型2】用反比例函数定义求参数 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知函数．问： （1）当n为何值时，y是x的反比例函数？ （2）y能否是x的正比例函数？请说明理由． 【答案】（1）；（2）这样的n不存在，理由见分析 【分析】本题考查正比例函数、反比例函数、解一元二次方程，掌握正、反比例函数的定义是解题的关键． （1）y是x的反比例函数时，，且，由此可解； （2）y是x的正比例函数时，，且，由此可解． 解：（1）解：函数是反比例函数， ，且， 解得：且 时，y是x的反比例函数； （2）解：不存在，理由如下： 当函数是正比例函数时，，且， 由（1）知的解为且， 这样的n不存在． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．将根据题意可得：，求出，即可求． 解：，是反比例函数的图象上两点， 或 解得：或或， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）已知点在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义可得：、，由可得：，由可得或，所以可得，从而可得反比例函数的解析式为，把点代入即可求出的值． 解：是反比例函数， ，， 由可得：， 解得：， 由可得：或， ， ， 反比例函数的解析式为， 把点代入， 可得：． 故答案为： ． 【题型3】求反比例函数值 【例3】（23-24九年级上·安徽宿州·单元测试）反比例函数图象经过点． （1）求这个函数的解析式； （2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）；（2）不在 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征． （1）把点的坐标代入函数解析式来求k的值； （2）把点代入函数解析式进行验证． 解：（1） ∵反比例函数图象经过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）点不在这个反比例函数的图象上，理由如下： 当时，， ∴点不在函数图象上． 【变式1】（2024·江苏宿迁·二模）已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，把变形为，即可求解． 解：点是反比例函数图象上一点， ，， ， ， 当，时，有最小值为， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 解： 解：函数的图象经过点和，，， ，， ． 故答案为：0． 【考点二】确定反比例函数的解析式 【题型4】用待定系数法确定反比例函数解析式 【例4】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）已知反比例函数． （1）若其图象经过第一、三象限，求的取值范围； （2）若该反比例函数的图象经过点，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的图象经过第一、三象限得到，即可得到答案； （2）把点代入，即可得到答案． 解：（1）解：反比例函数的图象经过第一、三象限， ， 解得， 的取值范围是； （2）解：该反比例函数的图象经过点， 把点代入，得， 解得． 【变式1】（24-25九年级上·重庆渝中·期末）已知双曲线经过点，下列各点也在该双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．利用待定系数法求出反比例函数的解析式，据此逐项判断即可得． 解：将点代入双曲线得：， 则． A、当时，，则点不在该双曲线上，此项不符合题意； B、当时，，则点在该双曲线上，此项符合题意； C、当时，，则点不在该双曲线上，此项不符合题意； D、当时，，则点不在该双曲线上，此项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 直接利用反比例函数图象上点的坐标特征求解即可． 解：将点代入，得， 解得：， 故答案为：． 【题型5】用面积法确定反比例函数解析式 【例5】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图点A在反比例函数的图象上，是直角三角形，边在x轴上， ，直线与反比例函数的图象交于A、D两点，平移直线使此直线经过点B，与y轴交于F点． （1）若，，求直线的解析式 （2）连接，如果直线交线段于点E，且点E恰为的中点，的面积为8，求k的值 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，的几何意义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入求出，，再把代入，求出，结合平移性质得直线的解析式为，再代入进行求解即可． （2）先过点A作轴，过点C作，证明四边形为矩形，然后运用点E恰为的中点，得出三点共线，运用面积关系以及的面积为8，进行列式计算，即可作答． 解：（1）解：∵，，，点A在反比例函数的图象上， ∴反比例函数，， 则把代入，得， 解得， 则，， ∵直线与反比例函数的图象交于A、D两点， ∴把代入， 得， ∴， 则， ∵平移直线使此直线经过点B，与y轴交于F点． ∴设直线的解析式为， 把代入，得， ∴， 即直线的解析式为． （2）解：过点A作轴，过点C作，如图所示： ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点E恰为的中点，四边形为矩形， ∴，三点共线， 同理得四边形为矩形， ∴， ∵的面积为8， ∴ 故， 则， 即， 则k的值为． 【变式1】（2025·吉林长春·一模）如图，双曲线与矩形的边交于点，且，交于点．若四边形的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设，，，由得到，得出，由，，得到，得出，求出，得到，即可得到答案． 解：设，，，， ， ， 点在双曲线上， ， ，， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（2025·陕西宝鸡·一模）如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点．若是的中点，的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 过点作轴于点，得到，得出，，得到，继而得到，求出． 解：如图，过点作轴于点， ， 是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【题型6】用几何法确定反比例函数解析式 【例6】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数（）的图象经过顶点B，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，先设出含有待定系数的反比例函数解析式为常数，，再把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；然后解方程，求出待定系数，从而得到反比例函数解析式．也考查了菱形的性质．先利用勾股定理得到，再根据菱形的性质得到，，所以，然后利用待定系数法求反比例函数解析式． 解：， ， 四边形为菱形， ，， ， 把代入得， 反比例函数解析式为． 故答案为：． 【变式1】（2025·河北衡水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，在直线上，在双曲线的一支上．已知点的横坐标为6，则的值为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，正方形的性质，根据题意可知点横坐标，利用直线解析式得到，依据正方形性质推出 ．根据点的坐标求出值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵点M的横坐标为6， ∴，     ∵在直线上， 可设， 则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图像上， ∴， 故选：． 【变式2】（2025·河北邢台·一模）如图，已知点和点均在双曲线上，点的横坐标为，连接交轴于点，点的横坐标为，用的代数式表示 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合应用，涉及函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数表达式等知识．解题关键是利用点在函数图象上的性质求出函数表达式，再根据点的坐标同时满足直线与双曲线建立等式求解． 先将点坐标代入双曲线求出，确定双曲线表达式，利用点、坐标，通过待定系数法求出直线表达式，因为点既在双曲线上又在直线$AB$上，联立方程求解，结合得出关于的表达式． 解：∵点在双曲线上， 将代入双曲线得 ， ∴双曲线解析式为． 设直线的表达式为． ∵点，在直线上， 将这两点坐标代入得 ． 解得． ∴直线的表达式为． ∵点B的横坐标为t，且点B在双曲线上，同时点也在直线上， ∴． 整理得 ， ∴或 ∵， ∴． 故答案为：． 【考点三】反比例函数的图象与性质 【题型7】反比例函数的对称性 【例7】（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，点在反比例函数上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图并保留作图痕迹． （1）图1中，作点关于点的对称点； （2）图2中，若点，请作出直线． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查反比例函数的对称性，无刻度直尺作图，掌握反比例函数的中心对称性解题即可． （1）连接并延长交反比例函数于点，则点即为所作； （2）连接并延长交反比例函数于点，然后连接交双曲线于点，然后作点关于原点的对称点C，再过点A、C作直线，则直线即为所作． 解：（1）解：如图，点即为所作； （2）解：如图直线即为所作； 【变式1】（23-24九年级上·山东日照·期中）直线（为常数且与双曲线的交点为，，则的值为（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，掌握双曲线上的两点关于原点成中心对称是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特点即可解答． 解：∵直线（为常数且与双曲线的交点为，， ∴，关于原点对称， ∴， 又∵点A、点B在双曲线上， ∴， ∴． 故选B． 【变式2】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是反比例函数的图象上的两点，若是等腰三角形，且，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形是关键． 作第一象限的角平分线，根据图象对称性得到点、关于直线对称，作轴，垂足为点，可得到，利用解直角三角形得到点坐标，继而求出值． 解：如图，作第一象限的角平分线，则反比例函数在第一象限分支关于直线对称， ， 点、关于直线对称， ， 作轴，垂足为点， ， ， ，， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：． 【题型8】反比例函数的增减性 【例8】（23-24九年级上·广东东莞·期末）对于函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数解析式得出函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，结合，计算即可得出答案． 解：∵函数， ∴， ∴函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，，当时，， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 【变式1】（2025九年级下·湖北·学业考试）已知函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．先将原函数看成由平移得到，然后运用反比例函数增减性的性质可得，且，解之即可． 解：可以看成是由平移得到， 当时，随的增大而减小， 根据反比例函数的性质得，，且， 或． 故选：C． 【变式2】（2025·天津河西·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小再根据性质判定大小即可． 解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴点A在第三象限， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 【题型9】双曲线分布 【例9】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，使得，则的最大值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键．设，则点：均在反比例函数图象上，根据反比例函数图象与此图的交点个数，即可得到答案． 解：设， 则点：均在反比例函数图象上， 根据函数图象可知：当时，反比例函数图象与此图在第一象限最多有4个交点，在第三象限最多有4个交点，即此时最多有8个交点， 当时，反比例函数图象与此图在第二象限最多有2个交点，在第四象限最多有2个交点，即此时最多有4个交点， ∴n的最大取值为8， 故选：A．   【变式1】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）若反比例函数的图象在二、四象限，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题是反比例函数的性质的基础应用题．反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限．据此得到，解不等式即可得到答案． 解：由题意得， 解得． 故答案为： 【考点四】反比例函数与一次函数综合 【题型10】反比例函数与一次函数综合 【例10】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知反比例函数经过点，． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）求当为何值时，反比例函数的值大于一次函数的值？ 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）由反比例函数经过点，，求出，，利用待定系数法解方程组求解即可得到答案； （2）由（1）中求得的直线解析式可得到直线与的交点，根据平面直角坐标系中三角形面积的求法列式求解即可得到答案； （3）当反比例函数的图象在一次函数的图象上方时，反比例函数的值大于一次函数的值，过点分别作轴的垂线，如图所示，数形结合，将平面分成四部分讨论即可得到答案． 解：（1）解：反比例函数经过点，， ，， 则，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图所示： 由（1）知直线的解析式为， 当时，， 解得， 则， ； （3）解：过点分别作轴的垂线，如图所示： 当反比例函数的图象在一次函数的图象上方时，反比例函数的值大于一次函数的值， 当或时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【点拨】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及反比例函数图象与性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与性质、平面直角坐标系中三角形面积求法、由函数图象解不等式等知识，熟记一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质，掌握一次函数与反比例函数综合题型解法是解决问题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数的图象与性质分析判断即可． 解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A选项的图象符合要求． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点，点的横坐标为6，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，数形结合是解题的关键．求出反比例函数的表达式为．得到点．由图象可得：当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方且反比例函数图象在x轴上方，即可得到答案． 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 反比例函数的表达式为． 点的横坐标为6， 点． 由图象可得：当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方且反比例函数图象在x轴上方，即． 故答案为：． 【考点五】反比例函数的应用 【题型11】反比例函数在生产生活中的应用 【例11】（21-22八年级下·江苏扬州·期中）为了预防季节性流感，某校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？ （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，师生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，生才能进入教室？ （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【答案】（1）；；（2）30分钟；（3）有效，理由见分析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式，把点代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点代入即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的x即可； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效． 解：（1）解：设药物燃烧时y与x之间的解析式为， 把点代入， 得 解得：， 设药物燃烧后y与x之间的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， 故药物燃烧时y与x的函数关系式为； 药物燃烧时y与x的函数关系式为． （2）解：把，代入，得； ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 即从消毒开始，至少需要30分钟后员工才能回到办公室． （3）解：把代入， 解得：， 把代入， 解得：， ∵， ∴这次消毒是有效的． 【变式1】（2025·河南·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．水温从加热到，需要 B．刚开机时，水温上升过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意、掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． A．根据“从加热到水温升高的温度加热时每分钟上升的温度”计算即可； B．利用待定系数法求出y与x的函数关系式即可； C．根据x的取值范围对应的函数关系式，分别计算当时对应的x的值，求出两个x值的差即为在一个加热周期内水温不低于的时间； D．求出将水温从加热到，再降到一处循环需要的时间，写出这个过程中y与x的函数关系式并据此计算即可． 解：水温从加热到，需要的时间为， ∴A正确，不符合题意； 设水温上升过程中，y与x的函数关系式是， 将坐标，代入， 得， 解得， ∴水温上升过程中，y与x的函数关系式是， ∴B正确，不符合题意； 当时，当时，得， 解得， 当时，当时，得， 解得， ， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为， ∴C正确，不符合题意； 当时，得， 解得， ∴水温从加热到，再降到所用时间为，即一个循环是， ∴水温y与通电时间x之间的函数关系式为， 上午10点到共90分钟，则（分钟）， 当时，得， ∴上午10点接通电源，可以保证当天水温为， ∴D不正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·山西朔州·期末）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到了0.4米，则近视眼镜的度数减少了 度． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则有图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 解：设， 把代入， ， 函数解析式为， 当时，， 当时，， 度数减少了（度， 故答案为：． 【题型12】反比例函数在跨学科中的应用 【例12】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在物理中，压强，压力，受力面积满足公式． （1）下面的函数图象，正确的有____________；填写序号） （2）已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？ 【答案】（1）；（2）这块薄木板的面积至少． 【分析】本题考查了函数的图象，反比例函数的应用，掌握函数图象的特点是解题的关键． （）根据函数解析式即可判断求解； （）把，代入计算即可求解； 把，代入计算即可求解； 解：（1）解：当为定值时，是的反比例函数，故正确； 当为定值时，，是的正比例函数，故错误； 当为定值时，是的正比例函数，故正确； ∴正确的有， 故答案为：； （2）解：把，代入 得，， ∵， ∴小明不能安全地站在这块冰面上； 把，代入得，， 解得， ∴这块薄木板的面积至少． 【变式1】（24-25九年级下·辽宁鞍山·阶段练习）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（   ） A．函数解析式为 B．容器内气体的质量是 C．当时， D．当时， 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键．利用待定系数法求出函数解析式为，再逐项求解即可． 解：密度与体积是反比例函数关系， 设， 由图象可知，反比例函数图象可知，当时，， ， ， 函数解析式为，A选项正确； 质量密度体积， 容器内气体的质量，B选项错误； 当时，， 解得：，C选项错误； 当时，， 解得：，D选项错误， 故选：A． 【变式2】（2025·山西晋中·一模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸（图1）顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强是汽缸内气体的体积的反比例函数，p关于V的函数图象如图2所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ． 【答案】90 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知函数值求自变量值等．根据题意先设解析式为，代入得出反比例解析式，再将压强和分别代入求出自变量值再做减法即可． 解：设反比例函数解析式为：， 将代入中得：， ∴反比例解析式为：， ∴当压强为时，， 当压强为时，， ∴压强由加压到，则气体体积压缩了：， 故答案为：90． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.7 反比例函数（6大知识点12类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识梳理与题型目录】 【知识点1】反比例函数的概念 （1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式 ①； ②； ③. 【知识点2】反比例函数的图象与性质 y＝ （k为常数，） 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来 源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三（x，y同号）[ 二、四（x，y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 【知识点3】反比例函数表达式的确定 待定系数法： （1）设：设函数表达式为； （2）代：将已知点的坐标代入函数表达式； （3）解：求出k的值，得到函数表达式． 【知识点4】系数k的几何意义 （1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为. 如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|； 同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|. （2）常见的面积类型： 易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0. （3）越大，双曲线离原点越远. （4）求k的常用方法 ①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积； ②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系. 【知识点5】反比例函数与一次函数 （1）确定交点坐标 ①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对称性，可得另一个交点坐标为. ②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法， 分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 【知识点6】反比例函数中的三个模型 考点与题型目录 【考点一】反比例函数概念 【题型1】用反比例函数描述数量关系...................................................3 【题型2】用反比例函数定义求参数.....................................................4 【题型3】求反比例函数值.............................................................4 【考点二】确定反比例函数的解析式 【题型4】用待定系数法确定反比例函数解析式...........................................4 【题型5】用面积法确定反比例函数解析式...............................................5 【题型6】用几何法确定反比例函数解析式...............................................6 【考点三】反比例函数的图象与性质 【题型7】反比例函数的对称性.........................................................7 【题型8】反比例函数的增减性.........................................................7 【题型9】双曲线分布.................................................................8 【考点四】反比例函数与一次函数综合 【题型10】反比例函数与一次函数综合..................................................8 【考点五】反比例函数的应用 【题型11】反比例函数在生产生活中的应用..............................................9 【题型12】反比例函数在跨学科中的应用...............................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】反比例函数概念 【题型1】用反比例函数描述数量关系 【例1】（24-25八年级上·上海·期中）已知，其中与成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求关于的函数解析式． 【变式1】（2021·四川成都·一模）点（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（    ） A．（2，﹣） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，﹣） 【变式2】（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为 ． 【题型2】用反比例函数定义求参数 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知函数．问： （1）当n为何值时，y是x的反比例函数？ （2）y能否是x的正比例函数？请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）已知点在反比例函数的图象上，则的值是 ． 【题型3】求反比例函数值 【例3】（23-24九年级上·安徽宿州·单元测试）反比例函数图象经过点． （1）求这个函数的解析式； （2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 【变式1】（2024·江苏宿迁·二模）已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则 ． 【考点二】确定反比例函数的解析式 【题型4】用待定系数法确定反比例函数解析式 【例4】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）已知反比例函数． （1）若其图象经过第一、三象限，求的取值范围； （2）若该反比例函数的图象经过点，求的值． 【变式1】（24-25九年级上·重庆渝中·期末）已知双曲线经过点，下列各点也在该双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则实数的值为 ． 【题型5】用面积法确定反比例函数解析式 【例5】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图点A在反比例函数的图象上，是直角三角形，边在x轴上， ，直线与反比例函数的图象交于A、D两点，平移直线使此直线经过点B，与y轴交于F点． （1）若，，求直线的解析式 （2）连接，如果直线交线段于点E，且点E恰为的中点，的面积为8，求k的值 【变式1】（2025·吉林长春·一模）如图，双曲线与矩形的边交于点，且，交于点．若四边形的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西宝鸡·一模）如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点．若是的中点，的面积为，则的值为 ． 【题型6】用几何法确定反比例函数解析式 【例6】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，菱形的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数（）的图象经过顶点B，则反比例函数的解析式为 ． 【变式1】（2025·河北衡水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，在直线上，在双曲线的一支上．已知点的横坐标为6，则的值为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【变式2】（2025·河北邢台·一模）如图，已知点和点均在双曲线上，点的横坐标为，连接交轴于点，点的横坐标为，用的代数式表示 ． 【考点三】反比例函数的图象与性质 【题型7】反比例函数的对称性 【例7】（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，点在反比例函数上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图并保留作图痕迹． （1）图1中，作点关于点的对称点； （2）图2中，若点，请作出直线． 【变式1】（23-24九年级上·山东日照·期中）直线（为常数且与双曲线的交点为，，则的值为（    ）． A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是反比例函数的图象上的两点，若是等腰三角形，且，，则的值是 ． 【题型8】反比例函数的增减性 【例8】（23-24九年级上·广东东莞·期末）对于函数，当时，的取值范围是 ． 【变式1】（2025九年级下·湖北·学业考试）已知函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D．或 【变式2】（2025·天津河西·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型9】双曲线分布 【例9】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，使得，则的最大值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式1】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）若反比例函数的图象在二、四象限，则m的取值范围为 ． 【考点四】反比例函数与一次函数综合 【题型10】反比例函数与一次函数综合 【例10】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知反比例函数经过点，． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）求当为何值时，反比例函数的值大于一次函数的值？ 【变式1】（24-25八年级下·上海·阶段练习）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点，点的横坐标为6，则满足的的取值范围为 ． 【考点五】反比例函数的应用 【题型11】反比例函数在生产生活中的应用 【例11】（21-22八年级下·江苏扬州·期中）为了预防季节性流感，某校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？ （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，师生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，生才能进入教室？ （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【变式1】（2025·河南·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．水温从加热到，需要 B．刚开机时，水温上升过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【变式2】（24-25九年级上·山西朔州·期末）验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到了0.4米，则近视眼镜的度数减少了 度． 【题型12】反比例函数在跨学科中的应用 【例12】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在物理中，压强，压力，受力面积满足公式． （1）下面的函数图象，正确的有____________；填写序号） （2）已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？ 【变式1】（24-25九年级下·辽宁鞍山·阶段练习）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法正确的是（   ） A．函数解析式为 B．容器内气体的质量是 C．当时， D．当时， 【变式2】（2025·山西晋中·一模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸（图1）顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强是汽缸内气体的体积的反比例函数，p关于V的函数图象如图2所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$