专题5.10 特殊平行四边形（3大知识点4大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题5.10 特殊平行四边形（3大知识点4大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】矩形 1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2、矩形的性质 （1）边：对边平行且相等. 即, （2）角：四个角都是直角. 即 （3）对角线：对角线相等且互相平分， 即 （4） 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴. 3、矩形的判定 （1）方法一（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）方法二：有三个角是直角的四边形是矩形； （3）方法三：对角线相等的平行四边形是矩形. 【知识点二】菱形 1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2、菱形的性质 （1）边：四条边都相等. 即； 对边平行. 即，. （2）角：对角相等. 即， （3）对角线：对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角. 即 平分，平分 （4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴. 3、菱形的判定 （1）方法一（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （2）方法二：四条边都相等的四边形是菱形. （3）方法三：对角线互相垂直的平行四边形菱形. 4、菱形的面积 菱形的面积=底×高=两对角线乘积的一半. 即 【知识点三】正方形 1、正方形的定义 有一组邻边相等,并且有一个角是直角的的平行四边形叫做正方形. 2、正方形的性质 （1）边：四条边都相等. 即； 对边平行. 即，. （2）角：四个角都是直角. 即 （3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组对角（对角线与边的夹角为45°）. 即 （4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴. 3、正方形的判定 （1）方法一（定义法）：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形是正方形. （2）方法二：一组邻边相等的矩形是正方形. （3）方法三：一个角是直角的菱形是正方形. （4）方法四：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形. （5）方法五：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点1】矩形 【题型1】矩形性质与判定理解..................................................3 【题型2】利用矩形的性质求值证明..............................................5 【题型3】利用矩形的判定求值证明..............................................8 【题型4】利用矩形的性质与判定求值证明.......................................11 【考点2】菱形 【题型5】菱形性质与判定理解.................................................15 【题型6】利用菱形的性质求值证明.............................................17 【题型7】利用菱形的判定求值证明.............................................20 【题型8】利用菱形的性质与判定求值证明.......................................23 【考点3】正方形 【题型9】正方形性质与判定的理解.............................................26 【题型10】利用正方形的性质求值证明..........................................28 【题型11】利用正方形的判定求值证明..........................................31 【题型12】利用正方形的性质与判定求值证明....................................35 【考点4】链接中考与拓展延伸 【题型13】直通中考..........................................................39 【题型14】拓展延伸..........................................................41 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【知识点1】矩形 【题型1】矩形性质与判定理解 【例1】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 解：四边形是矩形， ，，， ， ，不一定成立，不一定成立，，一定成立， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级下·重庆大足·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B．有两个角相等的平行四边形是矩形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 解：A、两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原说法正确，符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； C、两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； D、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，下列条件中，能够判定平行四边形为矩形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，由矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 解：、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，原选项不符合题意； 、添加不能够判定平行四边形为矩形，原选项不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，原选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，原选项符合题意； 故选：． 【题型2】利用矩形的性质求值证明 ★【例2】（2025·甘肃·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的，两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角线，相交于点．若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，中点坐标公式，掌握知识点的应用是解题的关键． 由矩形的性质可得，，由，可证是 等边三角形，所以，，然后通过勾股定理求出，则有，，最后由中点坐标公式即可求解． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是 等边三角形， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，， ∴，即， 故选：． ★【变式1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，由矩形的判定可得出，则可得出答案．确定是解题的关键． 解：∵点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，设运动时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． ★【变式2】（2023·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，已知直线：与y轴交于点P，矩形的顶点坐标分别为，，． （1）若点在直线上，求k的值； （2）若直线将矩形面积分成相等的两部分，求直线的函数表达式； （3）若直线与矩形有交点（含边界），直接写出k的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）求出点D的坐标，代入函数解析式即可求出k的值； （2）求出矩形对称中心的坐标，然后用待定系数法求解即可； （3）求出过点A和点D时k的值即可求解． 解：（1）∵，， ∴点， 将点代入直线中， ， 解得：． （2）∵矩形是中心对称图形，直线将矩形分成面积相等的两部分． ∴直线一定经过矩形的对称中心； ∵矩形顶点，， ∴其对称中心的坐标为，代入直线：中， ， 解得， ∴直线的函数表达式为． （3）∵直线过定点， ∴当直线l与线段相交时，直线与矩形有交点（含边界）． 把代入，得 ， 解得． 由（1）知当直线过点D时，， ∴当直线与矩形有交点（含边界）时，的取值范围是或． 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，矩形的性质，坐标与图形的性质等知识，数形结合是解答本题的关键． 【题型3】利用矩形的判定求值证明 ★【例3】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，； （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，点在上且平分，求出线段的长度． 【答案】（1）平行四边形是矩形；理由见分析；（2） 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形是矩形即可； （2）由平分得，由得，所以，由等角对等边得，根据勾股定理得，即可得解． 解：（1）解：平行四边形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． ★【变式1】（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在中，是边上的中点，过点作一条直线，交的平分线于点，交外角的平分线于点．当时，四边形的形状是 ． 【答案】矩形 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，解决问题的关键是证明四边形为平行四边形和． 先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，再证明，可利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形． 解：∵是边上的中点， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， 平分， 同理，， 四边形是矩形． 故答案为：矩形． ★【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，小明将一张长方形纸片沿对角线折叠，落在处，交于点F，已知该纸片，．则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质与折叠问题，解题的关键是利用折叠的性质和勾股定理建立方程求解． 通过矩形性质与折的性质得到相等角，推出，，，设，则，再利用勾股定理列方程求解的长． 解：根据题意得：， 设，则， 在和中：，， 又， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：5． 【题型4】利用矩形的性质与判定求值证明 【例4】（湖南省长沙市一中教育集团2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷）如图，的对角线，相交于点O，是等边三角形，． （1）求证：四边形是矩形； （2）求四边形的面积； （3）若，，连接，求线段的长． 【答案】（1）证明见分析；（2）；（3） 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键． （1）由是等边三角形，，可得，根据四边形是平行四边形，进而可得，即可证明平行四边形是矩形． （2）根据四边形是矩形，利用勾股定理即可求解； （3）作的延长线于点H．证明四边形是平行四边形．得，根据，得，进而可得，， 用勾股定理即可求解。 解：（1）证明：是等边三角形，， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形． ． 在中， ， ∴． （3）解：作的延长线于点H． ，， ∴四边形是平行四边形． ， ， ，， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　） A．2.5 B． C． D．3 【答案】D 【分析】由矩形中，对角线分得到的两个角的度数之比是，，且，得，，由，得，，由，得，得，得，即可得． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵对角线分得到的两个角的度数之比是， ∴设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴设，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点拨】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，是轴正半轴上的一个动点，是等腰直角三角形，，是点正上方一点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，轴于点，证明得，证明四边形是矩形得，然后根据即可求解． 解：如图，过点作于点，轴于点， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【知识点2】菱形 【题型5】菱形性质与判定理解 【例5】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的有（   ） ①一组邻边相等的四边形是菱形． ②对角线互相垂直且有一组邻边相等的四边形是菱形． ③对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形． ④四条边都相等的四边形是菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定定理，根据菱形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 解：①一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； ②对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； ③对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形，故原说法正确，符合题意； ④四条边都相等的四边形是菱形，故原说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有③④，共个， 故选：B． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）在平行四边形中，对角线与相交于点O．下列说法不能使平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定等知识，正确地理解和掌握菱形的定义和判定定理是解题的关键． 由四边形是平行四边形，且，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明平行四边形是菱形，可判断A不符合题意；由，可根据菱形的定义证明平行四边形是菱形，可判断B不符合题意；由，根据“两条对角线相等的平行四边形是矩形”可证明平行四边形是矩形，但平行四边形不一定是菱形，可判断C符合题意；由，得，则，所以，可根据菱形的定义证明平行四边形是菱形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， 故A不符合题意； ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， 故B不符合题意； ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，但平行四边形不一定是菱形， 故C符合题意； 如图，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 故D不符合题意， 故选：C． 【变式2】（2025·河南驻马店·一模）下列关于菱形的说法正确的是（   ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，根据菱形的判定定理和性质一一判断即可得出答案． 解：．菱形的对角相等，但四个角不一定相等，原说法错误，故该选项不符合题意； ．菱形的对角线互相垂直且平分但不一定相等，故该选项不符合题意； ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，故该选项不符合题意； ．四条边相等的四边形是菱形，说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【题型6】利用菱形的性质求值证明 ★【例6】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，对角线交于点O、E是上的点，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由菱形的性质得到，，再证明，即可得出结论； （2）根据菱形的性质判定是等边三角形，得到，，再根据勾股定理求出，即可求解． 解：（1）证明：四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是菱形，， ，，，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ． ★【变式1】（2025·甘肃·一模）如图1，菱形中，连接，动点从顶点出发，沿匀速运动，到点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，则与的函数图象如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则菱形的面积是（   ） A．20 B．24 C．40 D．48 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理，连接交于O，由菱形的性质得到，再由函数图象可得，且当点P运动到上，且时，，据此可得的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 解：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， 由函数图象可知，，且当点P运动到上，且时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：B． ★【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，对角线长，，点、在边、上，以直线为折痕折叠，若，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】此题考查了菱形的性质、折叠的性质以及含30度的直角三角形等知识．首先连接，，相交于点，由在菱形中，对角线长，，可求得，又由以直线为折痕折叠，若，即可求得的度数，继而求得答案．．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 解：如图，连接，，相交于点， 在菱形中，对角线长，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型7】利用菱形的判定求值证明 ★【例7】（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）如图，在中，点D，E，F分别是的中点． （1）只添加一个条件 ，使四边形是菱形； （2）根据（1）中添加的条件，证明四边形是菱形． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）见分析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先由三角形的中位线得到，继而可证明四边形是平行四边形，当添加条件时，根据中点得到，即可证明为菱形； （2）证明分析见（1）． 解：（1）解：添加条件：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：∵点D，E，F分别是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． ★【变式1】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）在平行四边形中，对角线，交于点，下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判定和矩形的判定对各个选项进行判断即可． 解：A、∵， ∴，即， 四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，该选项不符合题意； B．∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，该选项不符合题意； C． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，该选项符合题意； D．∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，该选项不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键． ★【变式2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在四边形中，分别是的中点，满足条件 时，四边形是菱形． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的判定，中位线性质定理，连接，由分别是的中点，得，，则四边形是平行四边形，故当 时，四边形是菱形，菱形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，连接， ∵分别是的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，， ∴四边形是菱形， ∴满足条件时，四边形是菱形， 故答案为：． 【题型8】利用菱形的性质与判定求值证明 ★【例8】（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在四边形中，，过点作交的延长线于点，且，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理解直角三角形，含30度角的三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）证明，得到，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明结论； （2）根据菱形的性质及三角形内角和定理得出，再由含30度角的直角三角形的性质确定，利用勾股定理得出．再由等角对等边确定，结合图形即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ★【变式1】（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，在四边形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，，，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形外角的性质，根据题意得出四边形是菱形是解题关键．由三角形中位线定理，推出四边形是菱形，得到，根据平行线的性质和三角形外角的性质，得出，即可求出的大小． 解：如图，令与的交点为， 、分别是、的中点，、分别是、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ，， ， ， ， 故选：C. ★【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，点为的中点，射线交的延长线于点，连接．若，则为 ． 【答案】 【分析】证明，得，再证明四边形为菱形，由菱形的性质得，则，再由勾股定理求出的长，然后由勾股定理求出的长即可． 解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【知识点3】正方形 【题型9】正方形性质与判定的理解 【例9】（2025·浙江·模拟预测）下列命题中，真命题是（   ） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直四边形是菱形 D．四边相等的四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理，平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项． 解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题； B、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题； C、对角线互相垂直平分四边形是菱形，原命题是假命题； D、四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题； 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法正确的有（   ） ①一组对边平行的四边形是平行四边形；②有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④两条对角线互相垂直的矩形是正方形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形、正方形的判定，根据平行四边形和正方形的判定方法进行判断即可． 解： ①一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故选项错误； ②有一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项错误； ③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项正确； ④两条对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项正确； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）如图，将正方形沿（点在边上）所在直线折叠后，点的对应点为点，比大，若设，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，二元一次方程组的应用，理解正方形的性质，折叠的性质是解答关键． 先根据正方形的性质和折叠的性质得到，再利用比大得到，列出方程组即可求解． 解：设，， 四边形是正方形沿所在直线折叠后，点的对应点为点， ，， ． 比大， ， 列方程组为：． 故选：A 【题型10】利用正方形的性质求值证明 ★【例10】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线上，轴，顶点的坐标为． （1）求正方形的面积； （2）直线将正方形分成两个部分，设的面积为，四边形的面积为，则的值为__________． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查的是一次函数的图象和性质、正方形的性质、平行于坐标轴的直线上点的坐标特点，求得点和点的坐标是解题的关键． （1）将代入，可求得，从而可求得，于是可求得正方形的面积； （2）由正方形的边长为可求得点的坐标为，从而可求得直线的解析式，可求得点坐标，从而可求得被分割的两部分的面积，即可得出答案． 解：（1）解：∵顶点的坐标为，轴， ∴点横坐标为， ∵顶点在直线上， ∴当时，，即， ∴， ∴正方形的面积为． （2）解：∵，， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，，即， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． ★【变式1】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，延长正方形边至点E，使，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 连接，根据题意可得，则，由外角的性质可得：，即可求解． 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，且， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． ★【变式2】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，延长交的延长线于，连接，证明，可得，可得，当三点共线时最短，再进一步解答即可. 解：如图，延长交的延长线于，连接， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时最短， ∵正方形边长为3， ∴，而， ∴的最小值为：； 故答案为： 【点拨】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键. 【题型11】利用正方形的判定求值证明 ★【例11】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，、分别是、的中点，过点作，交延长线于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）当______时，四边形是正方形． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定,三角形中位线定理，正方形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等待，熟知菱形和正方形的判定定理是解题的关键。 （1）由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形．再由，即可证明结论； （2）根据当菱形的一个内角是时，该菱形是正方形，则可推出是等腰直角三角形，则有. 解：（1）解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵是的中点， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，D是中点， ∴． ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴若四边形是正方形，则， 又∵是的中点，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 综上所述，当时，四边形是正方形． ★【变式1】（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）如图，，是菱形的对角线，，是上两点，且，连接，，，，添加一个条件使四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质和判定，正方形的判定，由菱形的性质可得 ，进而可得，即可得四边形是菱形，再根据正方形的判定可知要使菱形为正方形，只需证明或即可，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：在菱形中，，，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 要使菱形为正方形，只需证明或即可， 当时，， 故选：． ★【变式2】（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，点D、E、F分别在边上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，平分，那么四边形是正方形． 其中，正确的有 （只填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形、正方形的判定，先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得出为平行四边形，得出①正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由可得四边形是菱形，但不一定为直角，④不一定正确 解：∵ ∴四边形是平行四边形，①正确； 若， ∴平行四边形为矩形，②正确； 若平分， ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形为菱形，③正确 由可得四边形是菱形，但不一定为直角， 故菱形不一定为正方形；④错误， 故答案为：①②③ 【题型12】利用正方形的性质与判定求值证明 ★【例12】（四川省广安市2024-2025学年九年级下学期中考模拟数学试题样卷）如图1，在等腰直角三角形中，，，是的中点，，分别是，上的点（点不与端点，重合），且． （1）求证：； （2）如图2，连接并取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，．当四边形的面积为5时求线段的长度． 【答案】（1）见分析；（2）1或3 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，，，从而得出，即可证明； （2）连接，证明四边形为正方形，得出，求出，再由勾股定理计算即可得解． 解：（1）解：，， ， 点是的中点， ，且， ， ， 又； ∴； （2）解：连接， ， ∵的中点为， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴，， ∴四边形为菱形， ∵， ∴，即， ∴四边形为正方形， ∵四边形的面积为5， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：或3． ★【变式1】（23-24七年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． ★【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，，以为边作正方形，在的延长线上取一点，使得，过点D作交于，点，过点作于点K．若，则为 【答案】/ 【分析】由，证明四边形是矩形，再证明，得，则四边形是正方形，根据正方形和矩形性质可得，结合勾股定理得，进而列方程，即可求得，于是得到问题的答案． 解：， ， 四边形是矩形， 四边形是矩形，四边形是正方形， ，， 点F在边上，点E在边上， ， ，又， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：或， 若，则， 不符合题意，舍去， ． 故答案为：． 【点拨】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，证明是解题的关键． 【知识点4】链接中考与拓展延伸 ★【题型13】直通中考 ★【例1】（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．①当时，得到四边形是矩形，即可求解；②根据“平行线间的距离处处相等”，即可判断；③根据②中的发现即可判断；④利用三角形的中位线定理即可判断． 解：①当时，， ， ，， 四边形是矩形， ， ，四边形的周长是，故①正确； ②，，， 直线与直线之间的距离是， 当时，点到直线的距离等于，故②错误； ③由②可知点到的距离为定值，即的边上的高为， 又， 的面积为定值，故③错误； ④点，分别是线段，的中点， 是的中位线， ， 即线段的长度不变，故④正确； 故选：A． ★【例2】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作于H，先判断，都是等边三角形，得出，，，利用含的直角三角形的性质可得出，进而求出，，然后利用勾股定理求解即可． 解：解∶过D作于H， ∵菱形中，，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【题型14】拓展延伸 ★★【例1】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． （1）求证：； （2）在图1中，若在上，且，连接，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，求线段的长度． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析；（3）①；② 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 对于（1），根据正方形的性质证明，可得答案； 对于（2），由（1）可知，可得，再证明， 然后根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（3），①由（2）和题设知：，再设，则，， 根据勾股定理得求出，则答案可得； 对于②，作射线使得，作射线使得，可知，作，再说明，可得，进而得出，然后根据直角三角形的性质和勾股定理得出答案. 解：（1）证明：在正方形中，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， . （已证）， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：①如图，过点C作，交的延长线于点， 由（2）和题设知：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； ②如图，作射线使得，作射线使得，则，过作于， ，，，， . ， ， ， ， ， ， ，， . ★★【例2】（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将△沿折叠，点的对应点为． 【分析探究】 （1）如图1，若，当点恰好落在边上时，的形状为______． 【问题解决】 （2）如图2，当，为边的三等分点时，连接并延长，交边于点．试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点E．若的面积为18，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）等边三角形；（2），理由见分析；（3） 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． （1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得， ，再证明四边形是菱形，可知，即可求解； （2）利用四边形是平行四边形，可得，，再由，为边的三等分点，可得，由折叠可知：，，则，可得，再由三角形外角性质可得，则，可得，可证明四边形是平行四边形，则有，再证明可得结论； （3）延长交于，过点作，先求得，由折叠可得，，得到，则为等腰直角三角形，从而得出，则，再由四边形是平行四边形，可得，得到，，即，得出，再由的面积为18，，即，求出，再求解可得结果． 解：（1）四边形是平行四边形， ， ，， 由折叠可知：，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）；理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ，为边的三等分点， ， 由折叠可知：，， 则， ， 由三角形外角性质可知：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ； （3）如图，延长交于，过点作， 的面积为18，， ， ， 设，则， ， ， （负值已舍去）， ， ，， ， ， ， 由折叠可知：，， ，则为等腰直角三角形， ， 则， 四边形是平行四边形， ， ，，即， ， 的面积为18，，即， ， 则， ． 故线段的长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.10 特殊平行四边形（3大知识点4大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】矩形 1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2、矩形的性质 （1）边：对边平行且相等. 即, （2）角：四个角都是直角. 即 （3）对角线：对角线相等且互相平分， 即 （4） 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴. 3、矩形的判定 （1）方法一（定义法）：有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）方法二：有三个角是直角的四边形是矩形； （3）方法三：对角线相等的平行四边形是矩形. 【知识点二】菱形 1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2、菱形的性质 （1）边：四条边都相等. 即； 对边平行. 即，. （2）角：对角相等. 即， （3）对角线：对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角. 即 平分，平分 （4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴. 3、菱形的判定 （1）方法一（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. （2）方法二：四条边都相等的四边形是菱形. （3）方法三：对角线互相垂直的平行四边形菱形. 4、菱形的面积 菱形的面积=底×高=两对角线乘积的一半. 即 【知识点三】正方形 1、正方形的定义 有一组邻边相等,并且有一个角是直角的的平行四边形叫做正方形. 2、正方形的性质 （1）边：四条边都相等. 即； 对边平行. 即，. （2）角：四个角都是直角. 即 （3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组对角（对角线与边的夹角为45°）. 即 （4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有4条对称轴. 3、正方形的判定 （1）方法一（定义法）：有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形是正方形. （2）方法二：一组邻边相等的矩形是正方形. （3）方法三：一个角是直角的菱形是正方形. （4）方法四：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形. （5）方法五：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点1】矩形 【题型1】矩形性质与判定理解..................................................3 【题型2】利用矩形的性质求值证明..............................................4 【题型3】利用矩形的判定求值证明..............................................5 【题型4】利用矩形的性质与判定求值证明........................................6 【考点2】菱形 【题型5】菱形性质与判定理解..................................................7 【题型6】利用菱形的性质求值证明..............................................7 【题型7】利用菱形的判定求值证明..............................................8 【题型8】利用菱形的性质与判定求值证明........................................9 【考点3】正方形 【题型9】正方形性质与判定的理解.............................................10 【题型10】利用正方形的性质求值证明..........................................10 【题型11】利用正方形的判定求值证明..........................................11 【题型12】利用正方形的性质与判定求值证明....................................12 【考点4】链接中考与拓展延伸 【题型13】直通中考..........................................................13 【题型14】拓展延伸..........................................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“”难度系数0.65，“”难度系数0.4，“”难度系数0.15. 【知识点1】矩形 【题型1】矩形性质与判定理解 【例1】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·重庆大足·阶段练习）下列说法中正确的是（　　） A．两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B．有两个角相等的平行四边形是矩形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，下列条件中，能够判定平行四边形为矩形的是（ ） A． B． C． D． 【题型2】利用矩形的性质求值证明 【例2】（2025·甘肃·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的，两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角线，相交于点．若，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 【变式2】（2023·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，已知直线：与y轴交于点P，矩形的顶点坐标分别为，，． （1）若点在直线上，求k的值； （2）若直线将矩形面积分成相等的两部分，求直线的函数表达式； （3）若直线与矩形有交点（含边界），直接写出k的取值范围． 【题型3】利用矩形的判定求值证明 【例3】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，； （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，点在上且平分，求出线段的长度． 【变式1】（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在中，是边上的中点，过点作一条直线，交的平分线于点，交外角的平分线于点．当时，四边形的形状是 ． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，小明将一张长方形纸片沿对角线折叠，落在处，交于点F，已知该纸片，．则的长为 ． 【题型4】利用矩形的性质与判定求值证明 【例4】（湖南省长沙市一中教育集团2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷）如图，的对角线，相交于点O，是等边三角形，． （1）求证：四边形是矩形； （2）求四边形的面积； （3）若，，连接，求线段的长． 【变式1】（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　） A．2.5 B． C． D．3 【变式2】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，是轴正半轴上的一个动点，是等腰直角三角形，，是点正上方一点，连接，若，则的长为 ． 【知识点2】菱形 【题型5】菱形性质与判定理解 【例5】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的有（   ） ①一组邻边相等的四边形是菱形． ②对角线互相垂直且有一组邻边相等的四边形是菱形． ③对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形． ④四条边都相等的四边形是菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）在平行四边形中，对角线与相交于点O．下列说法不能使平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南驻马店·一模）下列关于菱形的说法正确的是（   ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【题型6】利用菱形的性质求值证明 【例6】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，对角线交于点O、E是上的点，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【变式1】（2025·甘肃·一模）如图1，菱形中，连接，动点从顶点出发，沿匀速运动，到点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，则与的函数图象如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则菱形的面积是（   ） A．20 B．24 C．40 D．48 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，对角线长，，点、在边、上，以直线为折痕折叠，若，则的度数为 ． 【题型7】利用菱形的判定求值证明 【例7】（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）如图，在中，点D，E，F分别是的中点． （1）只添加一个条件 ，使四边形是菱形； （2）根据（1）中添加的条件，证明四边形是菱形． 【变式1】（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）在平行四边形中，对角线，交于点，下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在四边形中，分别是的中点，满足条件 时，四边形是菱形． 【题型8】利用菱形的性质与判定求值证明 【例8】（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在四边形中，，过点作交的延长线于点，且，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，，求的长． 【变式1】（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，在四边形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，，，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，点为的中点，射线交的延长线于点，连接．若，则为 ． 【知识点3】正方形 【题型9】正方形性质与判定的理解 【例9】（2025·浙江·模拟预测）下列命题中，真命题是（   ） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直四边形是菱形 D．四边相等的四边形是正方形 【变式1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法正确的有（   ） ①一组对边平行的四边形是平行四边形；②有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④两条对角线互相垂直的矩形是正方形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25九年级下·湖北黄冈·期中）如图，将正方形沿（点在边上）所在直线折叠后，点的对应点为点，比大，若设，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型10】利用正方形的性质求值证明 【例10】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线上，轴，顶点的坐标为． （1）求正方形的面积； （2）直线将正方形分成两个部分，设的面积为，四边形的面积为，则的值为__________． 【变式1】（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图，延长正方形边至点E，使，则为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是 ． 【题型11】利用正方形的判定求值证明 【例11】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，、分别是、的中点，过点作，交延长线于点，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）当______时，四边形是正方形． 【变式1】（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）如图，，是菱形的对角线，，是上两点，且，连接，，，，添加一个条件使四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，点D、E、F分别在边上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，平分，那么四边形是正方形． 其中，正确的有 （只填写序号） 【题型12】利用正方形的性质与判定求值证明 【例12】（四川省广安市2024-2025学年九年级下学期中考模拟数学试题样卷）如图1，在等腰直角三角形中，，，是的中点，，分别是，上的点（点不与端点，重合），且． （1）求证：； （2）如图2，连接并取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，．当四边形的面积为5时求线段的长度． 【变式1】（23-24七年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，，以为边作正方形，在的延长线上取一点，使得，过点D作交于，点，过点作于点K．若，则为 【知识点4】链接中考与拓展延伸 【题型13】直通中考 【例1】（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【例2】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ． 【题型14】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． （1）求证：； （2）在图1中，若在上，且，连接，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，求线段的长度． 【例2】（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将△沿折叠，点的对应点为． 【分析探究】 （1）如图1，若，当点恰好落在边上时，的形状为______． 【问题解决】 （2）如图2，当，为边的三等分点时，连接并延长，交边于点．试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点E．若的面积为18，，请直接写出线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$