专题3.1 数据分析初步（5大知识点6大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题3.1 数据分析初步（5大知识点6大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】算术平均数和加权平均数 1.算术平均数：一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 【要点提示】平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 2.加权平均数：若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 【要点提示】 （1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数 据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 【知识点2】中位数和众数 1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于 中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据 的中位数. 【要点提示】（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 【要点提示】（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数 据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据 出现的次数. 【知识点3】平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 【知识点4】要点四、极差、方差和标准差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值. 【要点提示】极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定. 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是： 　　 【要点提示】 （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 　　；标准差的数量单位与原数据一致. 【知识点5】极差、方差和标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 【知识点6】用样本估计总体 在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 【要点提示】 （1） 如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有 尽可能大的代表性. （2） 用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题 本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 【知识点题型目录】 【考点一】平均数 【题型1】求一组数据的平均数...................................................3 【题型2】已知平均数求未知数据的值.............................................3 【题型3】利用已知的平均数求相关数据的平均数...................................4 【题型4】求加权平均数.........................................................4 【题型5】利用加权平均数求未知数据的值.........................................4 【题型6】运用平均数和加权平均数做决策.........................................5 【考点二】中位数和众数 【题型7】求中位数与众数.......................................................6 【题型8】利用中位数或中位数求未知数据的值.....................................7 【题型9】运用中位数或众数做决策...............................................7 【考点三】方差和标准差 【题型10】求方差和极差........................................................8 【题型11】利用方差求未知数据的值..............................................9 【题型12】根据方差判断稳定性..................................................9 【考点六】链接中考与延伸拓展 【题型13】链接中考...........................................................10 【题型14】拓展延伸...........................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点题型目录】 【考点一】平均数 【题型1】求一组数据的平均数 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）某种商品共10件，第一天以25元/件的价格卖出了2件，第二天以20元/件的价格卖出了3件，第三天以18元/件的价格卖出了5件，则这种商品的平均售价为多少元？ 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）一组数据7，10，13，x，5的平均数为y，则y关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）一组数据，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是 ． 【题型2】已知平均数求未知数据的值 【例1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一组数据：9，，，8，7，11，7，6的平均数为7，其中，求，的值 【变式1】（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）已知五个数据：，，，，的平均数是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）有7个排成一列的数，它们的平均数是30，前三个数的平均数是28，后五个数的平均数是33，那么第三个数是 ． 【题型3】利用已知的平均数求相关数据的平均数 【例1】（19-20八年级上·全国·课后作业）一组数1，2，3，的平均数是4． （1）求三数的平均数； （2）求，，的平均数． 【变式1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）的平均数为；的平均数为．则的平均数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东威海·期末）若，，的平均数是3，则，，的平均数是 ． 【题型4】求加权平均数 【例1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）小雨同学参加了学校举办的“向着中华民族的伟大复兴奋进”主题演讲比赛，她的演讲内容、语言表达和形象风度三项得分分别为分，分，分，对这三项依次按，，的比例计算最终成绩，求小雨的最终成绩． 【变式1】（2025·河南郑州·一模）李老师是“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了近10天“健步走”的步数，并将记录结果整理成如下统计表： 每天步数/万步 1.3 1.2 1.1 0.9 天数 3 4 2 1 李老师这10天平均每天“健步走”的步数为（    ） A．1.2万步 B．11.8万步 C．1.18万步 D．1.15万步 【变式2】（2025·湖南长沙·一模）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩笔试占，试讲占，面试占，则该名教师的综合成绩为 分. 【题型5】利用加权平均数求未知数据的值 【例1】（23-24九年级上·湖北·开学考试）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．有3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）． 序号 1 2 3 笔试成绩/分 85 92 88 面试成绩/分 90 88 90 现得知1号选手的综合成绩为88分． （1）求笔试成绩和面试成绩各占的百分比； （2）求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定第一名人选． 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·山东烟台·期中）某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，评价成绩80分以上（含80分）为“优秀”．下面表中是小王同学的成绩记录： 项目 完成作业 单元测试 期末考试 成绩 65 75 若完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：3：6的权重来确定期末评价成绩，小王的期末评价为优秀，那么他的期末考试最低成绩是 ． 【题型6】运用平均数和加权平均数做决策 【例1】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）甲、乙、丙三人报考了今年的同一岗位的教师招聘考试，该岗位仅招聘一人，下面是三人的成绩（单位：分）统计表： 应聘者 甲 乙 丙 笔试 面试 （1）分别求出甲、乙、丙三人的平均成绩，谁的平均分更高？ （2）本地教师招聘公告上显示笔试和面试成绩分别占和，请你按照要求计算出三人成绩，并说明谁将被录用． 【变式1】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）数学期中考试，齐思所在班级的平均分是112分，苗想所在班级的平均分是122分，这次齐思的数学成绩与苗想相比（    ） A．齐思分数高 B．苗想分数高 C．他们分数一样 D．以上三种都有可能 【变式2】（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）某超市招聘收银员一名，对甲、乙、丙三名申请人进行了三项素质测试，三名候选人的素质测试成绩如下表：公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别赋予权4，3，2，则这三人中 将被录用． 素质测试 测试成绩／分 甲 乙 丙 计算机 70 90 65 语言 50 75 55 商品知识 80 65 80 【考点二】中位数和众数 【题型7】求中位数与众数 【例1】（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）心理健康月期间，某中学进行了情景剧表演，现有4位评委老师甲、乙、丙、丁给两个班的情景剧现场打分，满分10分，图1是1班和2班不完整的评分条形统计图，已知两个班的平均分相等． （1）评委丙给2班的打分是______分； （2）1班成绩的众数是______分，2班成绩的中位数是______分； （3）若按照图2的四位评委老师的评分权重计算两个班级的最终得分，请说明哪个班能够获胜． 【变式1】（24-25九年级下·上海青浦·阶段练习）数据，，，，，，，的中位数和众数分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图是某地6月上旬日平均气温统计图，这些气温数据的众数是 ，中位数是 ，平均数是 ． 【题型8】利用中位数或中位数求未知数据的值 【例1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）为切实落实“双减”政策，丰富课后服务活动形式，某校开展学生的绘画、书法、散文、诗歌等艺术作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50、45、42、46、x，若这组数据有唯一的众数是50件，求这组数据的中位数． 【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知下列一组数据，，，，，，若中位数是，则平均数和众数分别是（   ） A．20，20 B．20，21 C．21，20 D．21，21 【变式2】（24-25九年级下·山东济宁·阶段练习）一组数据2，3，5，，6的众数是3，则这组数据的中位数是 ． 【题型9】运用中位数或众数做决策 【例1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）根据《国家体质健康标准》规定，八年级男生、女生米短跑时间分别不超过秒、秒为优秀等次．某校在八年级学生中挑选男生、女生各人进行集训，经多次测试得到名学生的平均成绩（单位：秒）男生成绩：，，，，，女生成绩：，，，，，根据以上信息，解答下列问题： （1）男生成绩的众数为 ，女生成绩的中位数为 ； （2）判断下列两位同学的说法是否正确． （3）为提升初中生体质健康水平，扎实推行每天小时阳光体育活动，请你提出两点合理性建议． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）某超市为确定用何种规格的包装袋来包装某种大米，调查了各种包装规格的该种大米近期的市场销售情况（如图）．根据该调查，应选择包装袋的规格为（   ） A．/包 B．/包 C．/包 D．/包 【变式2】（19-20八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）在从小到大排列的五个整数中，中位数是2，唯一的众数是4，则这五个数和的最大值是 ． 【考点三】方差和标准差 【题型10】求方差和极差 【例1】（21-22七年级下·全国·单元测试）小凯同学参加数学竞赛训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．试分别求出五次成绩的极差和方差．    【变式1】（2024·黑龙江·模拟预测）四个数的平均数、众数、中位数、方差和极差的和为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2】（24-25八年级上·山东泰安·期中）一组数据：，4，4，5，5的极差是3，则这组数据的方差为 ． 【题型11】利用方差求未知数据的值 【例1】（23-24八年级上·山东枣庄·期末）某校为加强学生消防安全教育，要了解全校共1200名同学对消防知识的掌握情况，对他们进行了消防知识测试．现随机抽取甲，乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班15名学生测试成绩分别为： 78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100． 乙班15名学生测试成绩分别为： 81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97． 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 100 a 乙 90 b 91 【应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出：_____分，______分； （2）在计算这两组数据的方差时用的公式是，其中在计算乙班这组数据的方差时，公式中的______，______； （3）结合以上数据，利用平均数或方差对两个班的成绩进行分析． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如果用公式计算一组数据的方差，那么数据，，，…，的和是（   ） A．268 B．240 C．90 D．43 【变式2】（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）若1、2、3、4、x的方差与3、4、5、6、7的方差相等，则 【题型12】根据方差判断稳定性 【例1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）______，______，______； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【变式1】（湖南省衡阳市C13联盟2025年3月新中考联考九年级数学试卷）在初三毕业数学综评中，学校需要收集初中六个学期中的期末检测成绩来评定，甲、乙、丙、丁的平均成绩均是95分（总分120分），而方差分别为10.39，7.25，8.72，0.46，则这四人中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，已知甲班10名学生测试成绩的方差，乙班10名学生测试成绩的方差，两班学生测试成绩的平均分都是95分，则 （填“甲班”或“乙班”）的成绩更稳定． 【考点六】链接中考与延伸拓展 【题型13】链接中考 【例1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从，，，，，这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（    ） A．小庆选出四个数字的方差等于 B．小铁选出四个数字的方差等于 C．小娜选出四个数字的平均数等于 D．小萌选出四个数字的极差等于 【例2】（2024·山东青岛·中考真题）图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地年月日至日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则 ．（填“”，“”，“”） 【题型14】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）在第60届国际数学奥林匹克比赛中，中国队获团体总分第一名．我国参赛选手比赛分数的方差计算公式：，下列说法正确的是（   ） A．样本容量为38，平均数为6 B．样本容量为6，平均数为6 C．样本容量为38，平均数为38 D．样本容量为6，平均数为38 【例2】（2023九年级·广西柳州·专题练习）五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 数据分析初步（5大知识点6大考点14类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】算术平均数和加权平均数 1.算术平均数：一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 【要点提示】平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 2.加权平均数：若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 【要点提示】 （1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数 据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 【知识点2】中位数和众数 1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于 中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据 的中位数. 【要点提示】（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 【要点提示】（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数 据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据 出现的次数. 【知识点3】平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 【知识点4】要点四、极差、方差和标准差 用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值. 【要点提示】极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定. 方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是： 　　 【要点提示】 （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍. 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即： 　　；标准差的数量单位与原数据一致. 【知识点5】极差、方差和标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 【知识点6】用样本估计总体 在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差. 【要点提示】 （1） 如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有 尽可能大的代表性. （2） 用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题 本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价. 【知识点题型目录】 【考点一】平均数 【题型1】求一组数据的平均数...................................................3 【题型2】已知平均数求未知数据的值.............................................4 【题型3】利用已知的平均数求相关数据的平均数...................................5 【题型4】求加权平均数.........................................................6 【题型5】利用加权平均数求未知数据的值.........................................7 【题型6】运用平均数和加权平均数做决策.........................................9 【考点二】中位数和众数 【题型7】求中位数与众数......................................................11 【题型8】利用中位数或中位数求未知数据的值....................................14 【题型9】运用中位数或众数做决策..............................................15 【考点三】方差和标准差 【题型10】求方差和极差.......................................................17 【题型11】利用方差求未知数据的值.............................................18 【题型12】根据方差判断稳定性.................................................21 【考点六】链接中考与延伸拓展 【题型13】链接中考...........................................................23 【题型14】拓展延伸...........................................................24 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点题型目录】 【考点一】平均数 【题型1】求一组数据的平均数 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）某种商品共10件，第一天以25元/件的价格卖出了2件，第二天以20元/件的价格卖出了3件，第三天以18元/件的价格卖出了5件，则这种商品的平均售价为多少元？ 【答案】这种商品的平均售价为20元 【分析】本题考查了平均数，读懂题意，熟练运用平均数是解题的关键．用乘以总的销售额即可． 解：（元/件）． 答：这种商品的平均售价为20元． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）一组数据7，10，13，x，5的平均数为y，则y关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平均数，根据平均数的概念求解即可得解，熟练掌握平均数的概念是解此题的关键． 解：由题意可得：， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）一组数据，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数的求法，根据算术平均数的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵，，，，的平均数是， ∴，，，，的平均数是， ∴，，，，的平均数是， 故答案为： ． 【题型2】已知平均数求未知数据的值 【例1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一组数据：9，，，8，7，11，7，6的平均数为7，其中，求，的值 【答案】 【分析】本题考查了平均数的定义，解二元一次方程组，根据这组数据平均数为7，得出，列出方程组求解即可，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 解：∵9，，，8，7，11，7，6的平均数为7， ∴， 即， ∴ 解得：． 【变式1】（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）已知五个数据：，，，，的平均数是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平均数，根据算术平均数的计算公式计算即可求解，掌握算术平均数的计算公式是解题的关键． 解：∵，，，，的平均数是， ∴， 解得， 故选：． 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）有7个排成一列的数，它们的平均数是30，前三个数的平均数是28，后五个数的平均数是33，那么第三个数是 ． 【答案】39 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据平均数的计算方法计算出前3个数和后5个数的总和即共8个数的和（第三个数相加了两次）确定等量关系成为解题的关键． 设第三个数是x，用28乘3加33乘5的和，即为7个数加上第三个数的和，据此列方程求解即可． 解：设第三个数是x，由题意得，，解得． 故答案为：39． 【题型3】利用已知的平均数求相关数据的平均数 【例1】（19-20八年级上·全国·课后作业）一组数1，2，3，的平均数是4． （1）求三数的平均数； （2）求，，的平均数． 【答案】（1）6 ；（2）30. 【分析】（1）根据平均数的计算公式先求出的值，再除以3即可得出答案； （2）根据（1）得出的的平均数，再根据平均数的变化规律即可得出答案． 解：（1）因为， 所以， 所以三数的平均数为； （2）由（1）得， 所以 ， 所以，，的平均数为． 【点拨】此题考查了平均数，掌握平均数的计算公式是本题的关键，注意平均数的变化规律． 【变式1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）的平均数为；的平均数为．则的平均数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平均数，求出总数是解题的关键． 先求总数，再求平均数即可． 解：∵的平均数为；的平均数为， ∴，， ∴， ∴． ∴的平均数是． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·山东威海·期末）若，，的平均数是3，则，，的平均数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用已知的平均数求相关数据的平均数，正确掌握求平均数的公式是解题的关键．根据题意可：，得到，整体代入计算即可． 解：根据题意可：， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型4】求加权平均数 【例1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）小雨同学参加了学校举办的“向着中华民族的伟大复兴奋进”主题演讲比赛，她的演讲内容、语言表达和形象风度三项得分分别为分，分，分，对这三项依次按，，的比例计算最终成绩，求小雨的最终成绩． 【答案】小雨的最终成绩为分 【分析】本题考查了加权平均数的概念及计算，熟练掌握加权平均数的公式是解答本题的关键． 根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可． 解：（分）， 答：小雨的最终成绩为分． 【变式1】（2025·河南郑州·一模）李老师是“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了近10天“健步走”的步数，并将记录结果整理成如下统计表： 每天步数/万步 1.3 1.2 1.1 0.9 天数 3 4 2 1 李老师这10天平均每天“健步走”的步数为（    ） A．1.2万步 B．11.8万步 C．1.18万步 D．1.15万步 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数的计算，直接利用加权平均数进行计算即可． 解：（万步）， 故选：C． 【变式2】（2025·湖南长沙·一模）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩笔试占，试讲占，面试占，则该名教师的综合成绩为 分. 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的定义，熟练掌握加权平均数的定义是解答本题的关键． 根据加权平均数的定义解答即可． 解：该名教师的综合成绩为（分）， 故答案为：． 【题型5】利用加权平均数求未知数据的值 【例1】（23-24九年级上·湖北·开学考试）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．有3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）． 序号 1 2 3 笔试成绩/分 85 92 88 面试成绩/分 90 88 90 现得知1号选手的综合成绩为88分． （1）求笔试成绩和面试成绩各占的百分比； （2）求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定第一名人选． 【答案】（1）笔试成绩和面试成绩各占的百分比是和；（2）2号89.6分；3号89.2，第一名人选是2号 【分析】（1）设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是x和y，根据综合成绩为88分列方程组求解即可， （2）根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，原来加权平均数的计算方法计算出2号选手，3号选手的综合成绩，比较得出排名． 解：（1）解：设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是x和y，根据题意得： 解得： 答：笔试成绩和面试成绩各占的百分比是和． （2）解： 2号选手的综合成绩为：， 3号选手的综合成绩为：， 号选手第一，3号选手第二，1号选手第三， 答：2号选手的综合成绩为89.6，3号选手的综合成绩为89.2，根据综合成绩排名第一名是2号． 【点拨】考查加权平均数的计算方法，理解“权”对平均数的影响是解决问题的关键，掌握计算方法是前提． 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了加权平均数的求法，设成绩为环的人数为，则根据平均数的计算公式即可求得的值，熟练掌握加权平均数是解题的关键． 解：设成绩为环的人数是x，根据题意得： ， 解得：， 则成绩为环的人数是， 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·山东烟台·期中）某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，评价成绩80分以上（含80分）为“优秀”．下面表中是小王同学的成绩记录： 项目 完成作业 单元测试 期末考试 成绩 65 75 若完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：3：6的权重来确定期末评价成绩，小王的期末评价为优秀，那么他的期末考试最低成绩是 ． 【答案】85分 【分析】此题考查了加权平均数和一元一次不等式的应用，设小王的期末考试成绩为x，根据加权平均数的概念列出一元一次不等式求解即可．解题的关键是掌握加权平均数的求法：若n个数的权分别为，，…，，则加权平均数为，和正确找准题目中的不等关系． 解：设小王的期末考试成绩为x， ∴ 解得． ∴他的期末考试最低成绩是85分． 故答案为：85分． 【题型6】运用平均数和加权平均数做决策 【例1】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）甲、乙、丙三人报考了今年的同一岗位的教师招聘考试，该岗位仅招聘一人，下面是三人的成绩（单位：分）统计表： 应聘者 甲 乙 丙 笔试 面试 （1）分别求出甲、乙、丙三人的平均成绩，谁的平均分更高？ （2）本地教师招聘公告上显示笔试和面试成绩分别占和，请你按照要求计算出三人成绩，并说明谁将被录用． 【答案】（1）甲、乙、丙三人的平均成绩分别为分，分，分；甲的平均分更高；（2）甲、乙、丙三人的成绩分别为分，分，分，甲将被录用 【分析】本题考查了求平均数，加权平均数； （1）根据平均数的意义进行计算即可求解； （2）根据加权平均数的意义进行求解，进而比较大小，即可求解． 解：（1）解：甲的平均成绩为：（分） 乙的平均成绩为：（分） 丙的平均成绩为：，（分） ∴甲的平均分更高 （2）解：依题意，甲的综合成绩为（分） 乙的综合成绩为（分） 丙的综合成绩为（分） ∴甲将被录用． 【变式1】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）数学期中考试，齐思所在班级的平均分是112分，苗想所在班级的平均分是122分，这次齐思的数学成绩与苗想相比（    ） A．齐思分数高 B．苗想分数高 C．他们分数一样 D．以上三种都有可能 【答案】D 【分析】本题考查平均数的认识：平均数反映的是一组数据的特征，不是其中每一个数据的特征，所以齐思和苗想所在班级的平均分不能代表他们的成绩，他们的成绩可能高于平均分，也可能低于平均分，也可能等于平均分． 解：齐思所在班级的平均分是112分，齐思的数学成绩可能低于112分，也可能高于112分，也可能正好是112分；苗想所在班级的平均分是122分，苗想的数学成绩可能低于122分，也可能高于122分，也可能正好是122分；所以齐思的成绩与苗想的成绩无法确定高低， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）某超市招聘收银员一名，对甲、乙、丙三名申请人进行了三项素质测试，三名候选人的素质测试成绩如下表：公司根据实际需要，对计算机、语言、商品知识三项测试成绩分别赋予权4，3，2，则这三人中 将被录用． 素质测试 测试成绩／分 甲 乙 丙 计算机 70 90 65 语言 50 75 55 商品知识 80 65 80 【答案】乙 【分析】本题考查加权平均数的实际应用，理解加权平均数的定义以及求解方法是解题关键． 分别计算出三人的加权平均数，比较即可得出结论． 解：甲的最终成绩：（分）； 乙的最终成绩：（分）； 丙的最终成绩：（分）； ∵， ∴乙将被录用． 【考点二】中位数和众数 【题型7】求中位数与众数 【例1】（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）心理健康月期间，某中学进行了情景剧表演，现有4位评委老师甲、乙、丙、丁给两个班的情景剧现场打分，满分10分，图1是1班和2班不完整的评分条形统计图，已知两个班的平均分相等． （1）评委丙给2班的打分是______分； （2）1班成绩的众数是______分，2班成绩的中位数是______分； （3）若按照图2的四位评委老师的评分权重计算两个班级的最终得分，请说明哪个班能够获胜． 【答案】（1）10；（2）9，9.5；（3）1班得分为分；2班得分为分；2班获胜，过程见分析 【分析】（1）由1班的条形统计图得到平均分，再由两个班的平均分相等，确定2班平均分，结合2班条形统计图中数据即可得到答案； （2）由1班的条形统计图数据即可得到1班成绩的众数；将2班成绩从小到大排列为7，9，10，10，由中位数定义与求法即可得到答案； （3）根据扇形统计图中各个老师所在扇形的圆心角确定四位评委的权重，由加权平均数计算公式代值求解，再比较即可说明． 解：（1）解：1班平均分为（分）， 2班平均分也为9分， 评委丙给2班的打分为（分）， 故答案为：10； （2）解：1班成绩中有两位老师给了9分，则1班成绩众数为9分， 将2班成绩从小到大排列为7，9，10，10， 2班成绩的中位数为（分）； （3）解：2班获胜， 说明如下： 根据扇形统计图中圆心角的度数可知，甲所对的圆心角为，乙和丁所对的圆心角为，丙所对的圆心角为， 四位评委的权重分别为甲：，乙：，丙：，丁：， 则1班得分为（分）；2班得分为（分）； ， 2班获胜． 【点拨】本题考查统计综合，涉及求条形统计图中数据、众数、中位数、加权平均数、扇形统计图及条形统计图等知识，看懂题中统计图里的数据信息是解决问题的关键． 【变式1】（24-25九年级下·上海青浦·阶段练习）数据，，，，，，，的中位数和众数分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】此题考查了众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解题的关键； 众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 解：数据中出现的次数最多，所以众数为， 将数据重新排列为，，，，，，，， 则中位数为； 故选：C 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图是某地6月上旬日平均气温统计图，这些气温数据的众数是 ，中位数是 ，平均数是 ． 【答案】 24 24 24 【分析】本题考查的是众数、中位数和平均数的定义，需要熟练掌握众数、中位数和平均数的计算公式．根据众数，中位数和平均数的定义即可得出答案． 解：从小到大排列表中数据为：22，22，23，24，24，24，24，25，26，26，数据24出现了四次最多为众数；24和24处在第5位和第6位，其平均数24为中位数；平均数为．所以本题这组数据的中位数是24，众数是24，平均数是24． 故答案为：24，24，24 【题型8】利用中位数或中位数求未知数据的值 【例1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）为切实落实“双减”政策，丰富课后服务活动形式，某校开展学生的绘画、书法、散文、诗歌等艺术作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50、45、42、46、x，若这组数据有唯一的众数是50件，求这组数据的中位数． 【答案】46件 【分析】本题主要考查了中位数，众数的含义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．据此求解即可． 解：∵这组数据有唯一的众数是50件， ∴， 将这组数据从小到大排列为42，45，46，50，50， 所以这组数据的中位数为46件． 【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知下列一组数据，，，，，，若中位数是，则平均数和众数分别是（   ） A．20，20 B．20，21 C．21，20 D．21，21 【答案】A 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，众数等知识点，熟练掌握中位数、平均数、众数的定义是解题的关键． 先把数据从小到大排列，处在中间的数据即为中位数，根据中位数的定义求得的值，然后再求平均数和众数即可． 解：∵，，，，，的中位数是， 又， ∴， ∴平均数为：，众数为：， 故选：A． 【变式2】（24-25九年级下·山东济宁·阶段练习）一组数据2，3，5，，6的众数是3，则这组数据的中位数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查众数和中位数，根据众数是一组数据中出现次数最多的数，得到，再根据中位数为一组数据排序后位于中间的一位或中间两位数的平均数，进行求解即可． 解：∵一组数据2，3，5，，6的众数是3， ∴， ∴将数据排序后，位于中间的数据为：3； ∴中位数为3； 故答案为：3 【题型9】运用中位数或众数做决策 【例1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）根据《国家体质健康标准》规定，八年级男生、女生米短跑时间分别不超过秒、秒为优秀等次．某校在八年级学生中挑选男生、女生各人进行集训，经多次测试得到名学生的平均成绩（单位：秒）男生成绩：，，，，，女生成绩：，，，，，根据以上信息，解答下列问题： （1）男生成绩的众数为 ，女生成绩的中位数为 ； （2）判断下列两位同学的说法是否正确． （3）为提升初中生体质健康水平，扎实推行每天小时阳光体育活动，请你提出两点合理性建议． 【答案】（1），；（2）小星同学的说法正确，小红同学的说法不正确，见分析；（3）要保证训练时间，不能低于小时，保证训练质量，要有体育专业老师指导（答案不唯一） 【分析】本题考查了众数、中位数，熟练掌握众数、中位数的定义是解题的关键． （）根据众数、中位数的定义可得答案； （）由题意可知，名男生中成绩最好的是秒，5名女生的成绩不都是优秀等次，即可得出答案； （）建议合理即可． 解：（1）解：由题意得，男生成绩的众数为， 将名女生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第名的成绩为秒， ∴女生成绩的中位数为； 故答案为：，； （2）解：名男生中成绩最好的是秒，故小星同学的说法正确， 名女生的成绩中超过秒的有秒， ∴名女生的成绩不都是优秀等次， 故小红同学的说法不正确； （3）解：要保证训练时间，不能低于小时，保证训练质量，要有体育专业老师指导（答案不唯一）． 【变式1】（2025八年级下·全国·专题练习）某超市为确定用何种规格的包装袋来包装某种大米，调查了各种包装规格的该种大米近期的市场销售情况（如图）．根据该调查，应选择包装袋的规格为（   ） A．/包 B．/包 C．/包 D．/包 【答案】A 【分析】本题考查频数（率）分布直方图，解题的关键是根据最合适的包装即顾客购买最多的包装，并根据频数分布直方图得出具体的数据及众数的概念．最合适的包装即顾客购买最多的包装，而顾客购买最多的包装质量即这组数据的众数，取所得范围的组中值即可． 解：由图知这组数据的众数为，取其组中值2kg， 故选：A． 【变式2】（19-20八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）在从小到大排列的五个整数中，中位数是2，唯一的众数是4，则这五个数和的最大值是 ． 【答案】11 【分析】根据中位数和众数的定义分析可得答案． 解：因为五个整数从小到大排列后，其中位数是2，这组数据的唯一众数是4． 所以这5个数据分别是x，y，2，4，4，且x＜y＜2， 当这5个数的和最大时，整数x，y取最大值，此时x=0，y=1， 所以这组数据可能的最大的和是0+1+2+4+4=11． 故答案为：11． 【点拨】主要考查了根据一组数据的中位数来确定数据的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意：找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 【考点三】方差和标准差 【题型10】求方差和极差 【例1】（21-22七年级下·全国·单元测试）小凯同学参加数学竞赛训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．试分别求出五次成绩的极差和方差．    【答案】极差是30，方差是100 【分析】根据极差的定义用最大值减去最小值即可；先求出平均数，再根据方差公式进行计算即可． 解：极差是：； 平均数是：（分）， 方差：． 【点拨】此题考查了极差和方差，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立；极差的定义是用最大值减去最小值． 【变式1】（2024·黑龙江·模拟预测）四个数的平均数、众数、中位数、方差和极差的和为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查平均数，众数，中位数，方差和极差的计算．根据题中数据，逐个计算再求和即可． 解：数的平均数为：， 众数为：， 中位数为： 方差为： 极差为： 平均数、众数、中位数、方差和极差的和为：． 故选；D． 【变式2】（24-25八年级上·山东泰安·期中）一组数据：，4，4，5，5的极差是3，则这组数据的方差为 ． 【答案】 【分析】根据极差的计算公式先求出，再求出平均数，然后根据方差公式进行计算即可得出答案．本题考查了方差：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差． 解：∵一组数据：，4，4，5，5的极差是3， ∴当时， ∴， ∴， 方差． ∴当时， ∴， ∴， 方差． 综上：这组数据的方差为； 故答案为： 【题型11】利用方差求未知数据的值 【例1】（23-24八年级上·山东枣庄·期末）某校为加强学生消防安全教育，要了解全校共1200名同学对消防知识的掌握情况，对他们进行了消防知识测试．现随机抽取甲，乙两班各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班15名学生测试成绩分别为： 78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100． 乙班15名学生测试成绩分别为： 81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97． 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 100 a 乙 90 b 91 【应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出：_____分，______分； （2）在计算这两组数据的方差时用的公式是，其中在计算乙班这组数据的方差时，公式中的______，______； （3）结合以上数据，利用平均数或方差对两个班的成绩进行分析． 【答案】（1）93，87；（2）15，90；（3）见分析． 【分析】本题主要考查了方差，求平均数和中位数，熟练掌握方差，平均数和中位数的意义是解题的关键． （1）根据平均数和中位数的意义求出a，b的值，即可求解； （2）根据方差公式，即可求解； （3）从平均数或方差两方面分析，即可求解． 解：（1）解：把甲班15名学生测试成绩从小到大排列为 78，83，85，87，89，90，92，93，97，94，95，98，99，100，100， 位于正中间的数为93分， ∴， 乙班15名学生测试成绩中87分的人数最多， ∴乙班的众数， 故答案为：93，87； （2）解：根据题意得：，； 故答案为：15，90； （3）解：从平均分看，甲班成绩的平均数大于乙班， 所以甲班整体平均成绩大于乙班； 从方差看，甲班成绩的方差大于乙班， 所以乙班成绩更稳定． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如果用公式计算一组数据的方差，那么数据，，，…，的和是（   ） A．268 B．240 C．90 D．43 【答案】B 【分析】本题主要考查了方差与平均数的计算公式，熟记公式是解题关键． 先根据方差的计算公式可得这组数据的平均数，再利用平均数的计算公式即可得． 解：由题意得：这组数据的平均数为6， 则， 解得：， ∴ 故选：B． 【变式2】（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）若1、2、3、4、x的方差与3、4、5、6、7的方差相等，则 【答案】0或5 【分析】本题考查了方差的计算公式，解一元二次方程，熟练掌握公式是解题的关键． 根据方差的计算公式建立方程，解一元二次方程即可． 解：3、4、5、6、7的平均数为：， 则方差为：， 1、2、3、4、x的平均数为：， ∴由题意得，， 化简得，， 解得或， 故答案为：0或5． 【题型12】根据方差判断稳定性 【例1】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）射击训练班中的甲乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 a 8 c 乙 8 9 b 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）______，______，______； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）选手乙再射击第6次，由于发挥失常，命中的成绩仅是5环，则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会______．（填“变大”、“变小”或“不变”）． 【答案】（1）8，9，；（2）见分析；（3）变大． 【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据众数的定义确定a的值，根据方差公式计算甲的方差得到c的值，然后根据中位数的定义确定b的值； （2）利用方差的意义得甲的成绩比较稳定，从而决定选择甲参加射击比赛； （3）第6次为5环，与平均数相差比较大，数据的波动性变大，所以方差变大． 解：（1）解：甲选手的成绩中8环出现了3次，出现次数最多， 甲选手的成绩众数为8，即， ， 即； 把乙选手的成绩按由小到大排列为5，7，9，9，10， 乙选手的成绩的中位数为9； 故答案为：8，9，； （2）解：教练的理由为：甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以成绩比较稳定，所以教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛； （3）第6次为5环，与平均数相差比较大， 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变大． 故答案为：变大． 【变式1】（湖南省衡阳市C13联盟2025年3月新中考联考九年级数学试卷）在初三毕业数学综评中，学校需要收集初中六个学期中的期末检测成绩来评定，甲、乙、丙、丁的平均成绩均是95分（总分120分），而方差分别为10.39，7.25，8.72，0.46，则这四人中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案． 解：方差越小，成绩就越稳定，， 方差为0.46的丁是四人中成绩最稳定的一个， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，已知甲班10名学生测试成绩的方差，乙班10名学生测试成绩的方差，两班学生测试成绩的平均分都是95分，则 （填“甲班”或“乙班”）的成绩更稳定． 【答案】乙班 【分析】本题考查了方差的意义，解题的关键是理解方差大小与数据稳定性的关系． 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小．根据方差的性质，比较甲，乙两班方差大小，进而判断哪个班成绩更稳定． 解：已知甲班10名学生测试成绩的方差，乙班10名学生测试成绩的方差，因为，即，所以乙班的成绩更稳定． 故答案为：乙班． 【考点六】链接中考与延伸拓展 【题型13】链接中考 【例1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从，，，，，这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（    ） A．小庆选出四个数字的方差等于 B．小铁选出四个数字的方差等于 C．小娜选出四个数字的平均数等于 D．小萌选出四个数字的极差等于 【答案】A 【分析】本题考查了方差，平均数，极差的定义，掌握相关的知识是解题的关键．根据方差，平均数，极差的定义逐一判断即可． 解：A、假设选出的数据没有，则选出的数据为，，，时，方差最大，此时，方差为；当数据为，，，时，，，故该选项符合题意； B、当该同学选出的四个数字为，，，时，，，故该选项不符合题意； C、当该同学选出的四个数字为，，，时，，故该选项不符合题意； D、当选出的数据为，，，或，，，时，极差也是，故该选项不符合题意； 故选：A． 【例2】（2024·山东青岛·中考真题）图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地年月日至日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则 ．（填“”，“”，“”） 【答案】 【分析】本题考查了折线统计图和方差，根据折线统计图和方差的意义进行求解即可，掌握方差的意义是解题的关键． 解：由图象可知，甲地的气温波动小，比较稳定，乙地的气温波动大，更不稳定， ∴， 故答案为：． 【题型14】拓展延伸 【例1】（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）在第60届国际数学奥林匹克比赛中，中国队获团体总分第一名．我国参赛选手比赛分数的方差计算公式：，下列说法正确的是（   ） A．样本容量为38，平均数为6 B．样本容量为6，平均数为6 C．样本容量为38，平均数为38 D．样本容量为6，平均数为38 【答案】D 【分析】此题考查了方差的概念和平均数，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式． 根据方差的计算公式即可分析求解． 解：由方差计算公式可知，样本容量为6，平均数为38，故D符合题意， 故选：D． 【例2】（2023九年级·广西柳州·专题练习）五个互不相等的正偶数，，，，的平均数和中位数都是，且六个数，，，，，的众数是6，平均数还是，则这五个互不相等的正偶数，，，，的方差为 . 【答案】8 【分析】本题考查数据的数字特征及应用，熟练掌握平均数与方差的计算方法是解题的关键，根据题意得到，再根据，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6，可得到，进而推算出，，，，对应的五个互不相等的正偶数所对应的数，利用方差的计算公式即可得到答案． 解：∵，，，，的平均数是， ∴, ∵，，，，，的平均数还是， ∴, ∴, ∵，，，，是五个互不相等的正偶数，且，，，，，的众数是6， ∴, ∴，，，，对应的五个互不相等的正偶数分别是：2、4、6、8、10， ∴，，，，的方差为：． 故答案为：8． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$