精品解析：广东省东莞市寮步镇香市中学2024--2025学年下学期八年级数学期中考试卷

2024-2025学年第二学期八年级期中考试数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 已知，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意．   故选：C ． 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国著名的《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，7，8 C. 3，4，5 D. 5，10，13 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数．关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，不是“勾股数”，故本选项符合题意； D、，是“勾股数”，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端落在离树底部处，则树折断之前高（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴， ∴树折断之前高， 故选：B． 5. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 有一组邻边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】利用矩形的性质和菱形的性质可求解． 【详解】∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分， ∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分， 故选：A． 【点睛】本题考查的是矩形和菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解决本题的关键. 6. 如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用中位线的性质：平行三角形的第三边且等于第三边的一半即可求解． 【详解】∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴， ∵BC=4， ∴DE=2， 故选：D． 【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，掌握中位线的判定与性质是解答本题的关键． 7. 如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别为，那么顶点B的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点的纵坐标为3， ∵点向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点， ∴点向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点， ∴点的坐标为：； 故选：B． 8. 如图，点B，D在数轴上，，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，先根据勾股定理求出的长度从而得到的长度，再减去即可得到答案，解题的关键是用勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴点A表示的实数是， 故选C． 9. 下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：把斜边定为c， A、∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、根据图形只能说明，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、∵， ∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选C． 10. 已知：如图，是边长的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t为（ ）时，是直角三角形． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，度的角所对的直角边是斜边的一半．根据题意，是直角三角形分两种情况，一是，二是，分别求解即可，具体见详解． 【详解】解：∵动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是， ∴ 是边长的等边三角形 当时 ，即得， 当时 ，即得 故当或时，是直角三角形． 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 化简：_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，先将原式化为绝对值形式，再根据判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 12. 如图，在菱形ABCD中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积是____． 【答案】24 【解析】 【详解】试题解析：∵菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8， ∴菱形的面积S=AC•BD=×8×6=24． 考点：菱形的性质． 13. 在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为___________． 【答案】10或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x，则 （1）若8是直角边，则第三边x是斜边， 由勾股定理得，，解得：； （2）若8是斜边，则第三边x为直角边， 由勾股定理得，，解得． 所以第三边长为10或． 故答案为：10或． 14. 如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，，，进而得出，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长． 【详解】解：在中，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：5． 15. 如图，在梯形中，，，分别以为边向梯形外作正方形，其面积分别是、、，且，已知，则的长度为________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、平行线性质，以及勾股定理，过点B作，得到，证明四边形平行四边形，推出，，得到，结合，推出，得到，即可解题． 【详解】解：如图所示，过点B作， ， ， ， ， ， 四边形平行四边形， 则，，， 又，即， ， ， 又，则． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共2小题，每小题5分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先运用平方差公式，完全平方公式进行运算，然后进行加减运算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了运用平方差公式，完全平方公式进行运算，二次根式的乘法．解题的关键在于熟练掌握乘法公式． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根式运算、绝对值运算以及零指数幂运算．熟练掌握根式乘法法则 、绝对值的性质以及零指数幂法则是解题的关键． 先根据根式乘法法则计算，再根据绝对值性质化简，根据零指数幂法则计算，最后进行加减运算得出结果． 【详解】解： ． 四、解答题（共4小题，每小题6分） 18. 如图，某攀岩中心攀岩墙的顶部处安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了米，教练把绳子的下端拉开米后，发现其下端刚好接触地面（即米），，求攀岩墙的高度． 【答案】攀岩墙的高为米 【解析】 【分析】根据题意设攀岩墙的高为米，则绳子的长为米，再利用勾股定理即可求得的长即可． 【详解】解：设攀岩墙的高为米，则绳子的长为米， ∵在中，米， ∴由勾股定理得：， ∴，解得， ∴攀岩墙的高为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，从实际问题中找出直角三角形是解答本题的关键． 19. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，ABCD ∴∠BAC=∠DCA ∵BEAC于E，DFAC于F ∴∠AEB=∠DFC=90° 在ABE和CDF中 ， ∴ABECDF（AAS） ∴AE=CF 【解析】 【分析】可证明ABECDF，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键． 20. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF， ∴OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【详解】略 21. 如图，已知矩形，点B是的中点，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵点B是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由平行线的性质得，再证明，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形，结合对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】略 五、解答题（共3小题，每小题7分） 22. 如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：长方形沿对角线对折，使落在的位置， ，， 又四边形为长方形， ， ， 而， 在与中： ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，易证，即可得到结论； （2）根据（1）易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，即可作答． 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，也考查了长方形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理；利用长方形的性质、三角形全等的性质以及勾股定理进行正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为长方形， ，， ， ， 设， 则，， 在中，， 即， 解得． 23. 如图，已知，延长到，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 24. “为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点，从观测点测得一小车从点到达点行驶了5秒，已知，米，米． （1）请求出观测点到公路的距离； （2）此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1）米 （2）没有超速，理由如下： 米， 米 米 ∴车速为（米/秒） 千米/小时米/秒， ∴此车没有超速． 【解析】 【分析】（1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点C作于H， 在中， ， ． 米 （米） （米） 即观测点C到公路的距离为（米）． 【小问2详解】 略 六、解答题（共2小题，每小题10分） 25. 文化我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式． （1）如图，若的三边长依次为，，． 利用以上任一公式（任选一个公式即可），求该三角形的面积S； 除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积？请写出求解过程； （2）如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 【答案】（1）； 如解图，过点作于点， 设则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（）先求出的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可或直接根据秦九韶公式即可； 过点作于点，利用勾股定理即可求解； （）连接，由勾股定理得，最后由即可求解； 本题考查了二次根式的化简，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 方法一：海伦公式． ∵，，， ∴， ∴ ； 方法二：秦九韶公式． ∵，，， ∴ ； 略 【小问2详解】 连接，如图， ∵，，， ∴， 在 中，， ∴， ∴该四边形的面积为． 26. 我们数学课上有个有趣的课堂活动：折纸，引起许多同学的兴趣． 实践发现：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开；以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处，把纸片展开；连接．     （1）求； （2）如图②，折叠矩形纸片，使点A落在边上点处，并且折痕交边于点T，交边于点S，把纸片展开，连接交于点O，连接．求证：四边形是菱形； （3）如图③，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，并且折痕交边于点T，交直线边于点S，把纸片展平，同学们小组讨论后，得出线段长度有4，5，7，9．请直接写出以上4个数值中你认为正确的数值． 【答案】（1） （2） 证明：折叠矩形纸片，使点落在边上点处， 垂直平分， ，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （3）7，9 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，即是等边三角形，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质求出的度数即可； （2）由折叠的性质可得，，由证，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形； （3）根据求出的最小范围，根据点与点重合时有最大值求出最大值，即可得出的取值范围．根据取值范围进行判断即可． 【小问1详解】 解：对折矩形纸片，使与重合， 是的垂直平分线， ， 以为折痕再一次折叠纸片，使点落在折痕上的点处， ， ， 即是等边三角形， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 折叠矩形纸片，使点落在边上点处， ， 在中，， ， ， 点在上， 当点与点重合时，有最大值为10， ． 故正确的为7，9． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级期中考试数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 已知，则x的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国著名的《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，7，8 C. 3，4，5 D. 5，10，13 4. 如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端落在离树底部处，则树折断之前高（　　） A. B. C. D. 5. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 有一组邻边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 6. 如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别为，那么顶点B的坐标为( ) A. B. C. D. 8. 如图，点B，D在数轴上，，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（ ） A. B. C. D. 9. 下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知：如图，是边长的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t为（ ）时，是直角三角形． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 化简：_______________． 12. 如图，在菱形ABCD中，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的面积是____． 13. 在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为___________． 14. 如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______． 15. 如图，在梯形中，，，分别以为边向梯形外作正方形，其面积分别是、、，且，已知，则的长度为________． 三、解答题（共2小题，每小题5分） 16. 计算： 17. 计算： 四、解答题（共4小题，每小题6分） 18. 如图，某攀岩中心攀岩墙的顶部处安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了米，教练把绳子的下端拉开米后，发现其下端刚好接触地面（即米），，求攀岩墙的高度． 19. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF． 20. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 21. 如图，已知矩形，点B是的中点，．求证：四边形是菱形． 五、解答题（共3小题，每小题7分） 22. 如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． （1）求证：； （2）若，，求． 23. 如图，已知，延长到，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 24. “为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点，从观测点测得一小车从点到达点行驶了5秒，已知，米，米． （1）请求出观测点到公路的距离； （2）此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 六、解答题（共2小题，每小题10分） 25. 文化我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式． （1）如图，若的三边长依次为，，． 利用以上任一公式（任选一个公式即可），求该三角形的面积S； 除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积？请写出求解过程； （2）如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 26. 我们数学课上有个有趣的课堂活动：折纸，引起许多同学的兴趣． 实践发现：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开；以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处，把纸片展开；连接．     （1）求； （2）如图②，折叠矩形纸片，使点A落在边上点处，并且折痕交边于点T，交边于点S，把纸片展开，连接交于点O，连接．求证：四边形是菱形； （3）如图③，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点A落在边上的点处，并且折痕交边于点T，交直线边于点S，把纸片展平，同学们小组讨论后，得出线段长度有4，5，7，9．请直接写出以上4个数值中你认为正确的数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $