精品解析：湖南省长沙市周南中学2025届高三下学期第二次模拟考试仿真训练数学（二）

湖南省长沙市周南中学2025届高三第二次模拟考试仿真训练 数学（二） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则复数z的虚部是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为（ ） A. 420 B. 660 C. 840 D. 880 6. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良"“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则关于该圆台，下列说法错误的是（ ） A. 高为 B. 体积为 C. 表面积为14π D. 轴截面面积为 7. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 一组样本数据如下：47，48，49，50，50，51，52，53，则（ ） A. 该组数据的平均数为50 B. 该组数据的中位数为50 C. 该组数据的方差为3 D. 该组数据的第80百分位数为51.5 10. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 11. 定义在上的函数满足当时则（ ） A. 当时 B. 对任意正实数k在区间内恰有一个极大值点 C. 当n为正整数时 D. 若在区间内有4个极大值点，则k的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在△中，，，且，则______． 13. 已知随机变量，，且，，则_________. 14. 已知函数，则不等式的解集是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前n项和． 16. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件安静或嘈杂的影响． （1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为，求测试结果为语音识别成功的概率； （2）已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试次；方案二：先测试次，如果这次中成功次数小于等于次，则再测试次，否则不再测试，为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？ 17. 如图，三棱柱 的所有棱长都为3，点在底面上的射影恰好是的中心. （1）证明: 四边形是正方形; （2）设分别为的中点, 求二面角的正弦值. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线； （2）讨论的单调性； 19. 已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. （1）求的标准方程； （2）设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市周南中学2025届高三第二次模拟考试仿真训练 数学（二） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的并集运算求解. 【详解】解：因为集合， 所以， 故选：B 2. 若复数z满足，则复数z的虚部是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据复数相等可得方程组，求解即可. 【详解】设，根据题意，可得， 化简为， 根据复数相等，得，解得， 所以，即复数z的虚部是3. 故选：C 3. 已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，的夹角为钝角，可得，且与不共线，从而可求出的取值范围. 【详解】因为，，，的夹角为钝角， 所以，解得，且， 即的取值范围是， 故选：B 4. 已知，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用齐次化思想化简，代值计算即得. 【详解】. 故选：C 5. 从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为（ ） A. 420 B. 660 C. 840 D. 880 【答案】B 【解析】 【分析】 利用间接法可得答案. 【详解】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队， 共有种选法， 其中不含女生的有种选法， 所以服务队中至少有1名女生的选法种数为. 故选：B 【点睛】本题考查了有限制条件的排列组合综合题，使用间接法是解题关键，属于基础题. 6. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良"“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则关于该圆台，下列说法错误的是（ ） A. 高为 B. 体积为 C. 表面积为14π D. 轴截面面积为 【答案】B 【解析】 【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，根据圆弧所在圆的半径和圆心角，求出，，计算圆台的高、体积、表面积和轴截面面积即可逐一判断. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为， 依题意，，解得， 又圆台的母线长，则圆台的高为，故A正确； 圆台的体积为，故B错误； 圆台的表面积为，故C正确； 圆台的轴截面面积为，故D正确. 故选：B. 7. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式“1”的代换进行求解即可． 【详解】由题意得，， 即， 所以，得， 得， 当且仅当，即时，的最小值为. 故选：D． 8. 已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，由二倍角公式得直线的斜率，代入两直线的斜率关系式，求得，进而得离心率. 【详解】由双曲线，可知. 设, 由均在上，为的中点， 得，则， 由分别在的左，右两支，则，且， ，. 设直线的倾斜角为，则，为锐角， 是以为底边的等腰三角形，则， 直线的倾斜角为，则. ， 由代入得，. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 【点睛】结论点睛：中点弦定理：若直线与椭圆（双曲线）交于不同两点，中点为（不为原点），且斜率存在，则有，其中为坐标原点，为曲线的离心率. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 一组样本数据如下：47，48，49，50，50，51，52，53，则（ ） A. 该组数据的平均数为50 B. 该组数据的中位数为50 C. 该组数据的方差为3 D. 该组数据的第80百分位数为51.5 【答案】AB 【解析】 【分析】求出平均数、中位数、方差、第80百分位数依次判断即可. 【详解】对于A，平均数为，A正确； 对于B，中位数为，B正确； 对于C，方差为，C错误； 对于D，由，得第80百分位数为52，D错误. 故选：AB 10. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 11. 定义在上的函数满足当时则（ ） A. 当时 B. 对任意正实数k在区间内恰有一个极大值点 C. 当n为正整数时 D. 若在区间内有4个极大值点，则k的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据题意求的解析式，即可判断；对于C：利用累加法分析判断；对于BD：分析可知当时，，求导，利用导数求极值点，举反例说明B，根据极值点即可判断D. 【详解】对于选项A，因为函数 当时 当时 当时故A正确； 对于选项C，且 则 累加可得： 所以故C正确； 对于选项B，由A选项的规律知，当时 令解得 令解得 所以在内单调递增，在内单调递减， 所以在仅有一个极大值点 列举几个极大值点 取然而 即有两个极大值点，故B错误； 对于选项D，若在区间内有四个极大值点， 则k的取值范围为故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：对于BD：根据选项只需研究内的极值点，得到其解析式的通式，进而由极值点求得k的取值范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在△中，，，且，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】先由正弦定理，求得,进而可得解. 【详解】在△中，由正弦定理得， ∴， 又， ∴， ∴或． 故答案为：或 13. 已知随机变量，，且，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得出，，由，可求出的值. 【详解】因为随机变量，所以， ，且，所以， 所以，解得：. 故答案为： 14. 已知函数，则不等式的解集是______. 【答案】， 【解析】 【分析】先构造函数，得到关于对称，且单调递增，再结合对称性与单调性将不等式 转化为即可求解． 【详解】构造函数，那么 是单调递增函数， 且向左移动一个单位得到， 的定义域为，且， 所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于对称． 不等式 等价于， 等价于 结合单调递增可知， 所以不等式的解集是，． 故答案为：，． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明：因为， 所以，且， 所以数列是首项为、公比为的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义，结合已知条件即可证明；（2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 两式相减得， 所以． 16. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件安静或嘈杂的影响． （1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为，求测试结果为语音识别成功的概率； （2）已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试次；方案二：先测试次，如果这次中成功次数小于等于次，则再测试次，否则不再测试，为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？ 【答案】（1） （2）应选择方案二 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据相互独立事件的概率公式求解方案二的分布列，即可求解期望，比较期望大小即可求解. 【小问1详解】 记事件是“安静环境”，则  是“嘈杂环境”，记事件是“语音识别成功”． 所以； 【小问2详解】 设方案一和方案二测试次数分别为， 方案一：测试次，则； 方案二：可取， ， ， 随机变量的分布列如下表所示： 所以． 所以，即方案一测试次数的期望值大于方案二测试次数的期望值，所以应选择方案二． 17. 如图，三棱柱 的所有棱长都为3，点在底面上的射影恰好是的中心. （1）证明: 四边形是正方形; （2）设分别为的中点, 求二面角的正弦值. 【答案】（1） 设点为的中心，连接，连接并延长交于点， 则平面，因为平面，所以， 又因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以，且， 所以四边形是矩形，因为， 所以四边形是正方形. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证明平面，可得，由几何体结构特征即可得出证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出两平面的法向量即可求出二面角的余弦值，即可得二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 因为为的中点，所以， 所以， 设平面与平面的法向量分别为， 则有，即， 取，则，所以， 易知，平面的法向量沿轴方向，不妨取， 所以， 故二面角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线； （2）讨论的单调性； 【答案】（1） （2）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程； （2）求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，进行求解函数的单调性. 【小问1详解】 当时，函数，则，切点坐标为， ，则曲线在点处的切线斜率为， 所求切线方程为，即. 【小问2详解】 ，函数定义域为R， ， ①，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ③，恒成立，在上单调递增. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 19. 已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. （1）求的标准方程； （2）设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 【答案】（1）； （2）①；②3. 【解析】 【分析】（1）设出椭圆半焦距，结合椭圆的定义求出的取值范围，进而求出即可. （2）①设出直线的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理求出坐标，利用斜率关系求出；②利用弦长公式求出，再表示出四边形面积，借助基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为c，则， 而点到的距离的取值范围为， 因此，解得，， 所以的标准方程为. 【小问2详解】 ①由（1）知点，设直线的方程为，， 由消去得， ，， 则，线段的中点， 直线的斜率，直线交直线于点， 因此直线的斜率，即，则直线与直线垂直， 所以. ②由①知， ， 直线的方程为，同理得， 因此四边形的面积， 而，当且仅当，即时取等号， 则， 所以四边形面积的最小值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $