1.3《乘法公式》同步练习　2024—2025学年北师大版数学七年级下册

第一章 整式的乘除 第3节 乘法公式 目录：知识点管理 考点管理 备考策略 （原卷版） （1） 知识点管理 一、思维导图 乘法公式 二、基本概念及公式 平方差公式 1. 文字表述：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 2. 公式形式： 3. 结构特征： 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数； 右边：相同项的平方减去相反项的平方。 几何解释：如图， 边长为a的大正方形中减去边长为b的小正方形，剩余面积可表示为。 4. 推导过程：通过多项式乘法展开，再合并同类项。 完全平方公式 和的平方公式 1. 文字表述：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们积的两倍。 2. 公式形式： 差的平方公式 1. 文字表述：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们积的两倍。 2. 公式形式： 5. 几何解释： 和的平方：边长为的正方形面积可分割面积分别为、的两个正方形和两个面积为的矩形，总面积为。 差的平方：边长为的正方形减去两个面积为的矩形，再加回一个边长为的小正方形，即。 6. 推导过程 通过多项式乘法展开，再合并同类项。 （二）考点管理 考点1：公式的直接应用 例1．1. 计算：（2a+b）（2a﹣b）＝（　　） A．4a2+b2 B．4a2﹣b2 C．2a2﹣b2 D．2a2+b2 2.在运用乘法公式计算（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）时，下列变形正确的是（　　） A．[（2x﹣y）+3][（2x+y）﹣3] B．[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）﹣3] C．[2x﹣（y+3）][2x+（y﹣3）] D．[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）] 3.下列关于（x﹣1）2计算正确的是（　　） A．x2+1 B．x2﹣1 C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1 例2．运用乘法公式计算： （1）（2a﹣3b）2． （2）． （3）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2； （4）（x+2y+4）（x+2y﹣4）． 考点2：几何图形验证公式 例3．我们学过的乘法公式可以借助于图形来帮助解释、理解、记忆． （1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式； （2）请用两种不同的方法探究代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab的数量关系． 方法一：代数方法． 方法二：拼图的方法．（用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个正方形，画出你拼摆过程中能说明这几个式子数量关系的草图．） （3）利用（2）中结论，当a﹣b＝9，ab＝﹣8时，求（a+b）2的值． 考点3：利用乘法公式简便运算 例4．用乘法公式计算： （1）101×99． （2）2024×2026﹣20252． 例5．1．运用完全平方公式计算79.82的最佳选择是（　　） A．（79+0.8）2 B．（70+9.8）2 C．（80﹣0.2）2 D．（100﹣20.2）2 【解答】解：A、（79+0.8）2＝792+2×79×0.8+0.82， B、（70+9.8）2＝702+2×70×9.8+9.82， C、79.82＝（80﹣0.2）2＝802﹣2×80×0.2+0.22， D、（100﹣20.2）2＝1002﹣2×100×20.2+20.22， 选项A、B、D都不如选项C好算． 故选：C． 例6．（1）若a＝2025×2024﹣1，b＝20252﹣2025×2024+20242，则a　＜　 b．（请用“＞”“＜”或“＝”表示） （2）若682﹣68×10+52＝k+622﹣1，则k的值是 　126　 ． 例7．利用乘法公式计算下列各题： （1）10012． （2）1.4352+2.87×2.565+2.5652． （3）10012﹣2002+1． 考点4：混合运算与化简求值 例8．计算： （1）（2m﹣n）2﹣（m+2n）（m﹣2n）； （2）（3x﹣2y）2﹣（3x﹣2y）（3x+2y）； 例9．计算题： （1）（x﹣3y﹣1）（x﹣3y+1）； （2）（2a+1）2﹣2（a+3）（a﹣3）． 考点5：代入求值 例10．已知a+b＝20，ab＝8．求a2+b2﹣5ab的值． 例11．已知（x﹣2y）2＝2，（x+2y）2＝18． 求值： （1）x2+4y2； （2）xy； （3）x2﹣4y2． 考点6：逆应用乘法公式 例12．（1）已知x+y＝8，xy＝5，求x2+y2的值． （2）已知（x+y）2＝49，x2+y2＝30，求（x﹣y）2的值． （3）已知x满足（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝10，求（x﹣2023）2的值． 例13．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝9， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，xy＝12，求x2+y2的值； 类比应用： （2）若x+y＝4，x2+y2＝10，求xy的值． 例14．阅读理解． 已知（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，求（a﹣13）2的值． 解：由（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，可得[（a﹣13）+1]2+[（a﹣13）﹣1]2＝6． 整理得（a﹣13）2+2（a﹣13）+1+（a﹣13）2﹣2（a﹣13）+1＝6． 2（a﹣13）2+2＝6． 得（a﹣13）2＝2． 请仿照上述方法，完成下列问题： （1）已知（a﹣98）2+（96﹣a）2＝16，求（a﹣97）2的值． （2）已知（a﹣2024）2＝10，求（a﹣2025）2+（2023﹣a）2的值． 考点7：实际应用与拓展 例15．对于任意数a，b，c，d，我们规定（a，b）☆（c，d）＝a2﹣bc+d2． （1）计算（1，2）☆（3，﹣2）的结果为　1　 ； （2）对于数x，y，若x+y＝8，（x，x）☆（y，y）＝46． ①求xy的值； ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式放置，点E在边CD上，连接BD，BF．若AB＝2x，AD＝x，EF＝2y，FG＝y，求图中阴影部分的面积． 例16．数形结合是一种重要数学思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解决数学问题． 例如：图1阴影部分的面积可以解释数学公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2． 图2：　（a+b）2＝a2+2ab+b2　 ；图3：　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　 ． 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 方法一：从“数”的角度解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1，a2+b2＝7． 方法二：从“形”的角度解：∵a+b＝3，∴S大正方形＝9，又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1． ∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7，即a2+b2＝7． 类比迁移： （2）若（2024﹣x）（x﹣2020）＝3，则（2024﹣x）2+（x﹣2020）2的值为多少？ （3）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，S1，S2分别表示图中两个正方形的面积，设AB＝10，图中阴影部分面积7，则两个正方形的面积之和S1+S2的值为多少？ 考点8：规律探索与代数证明 例17．观察下列各式，回答相关问题： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1． （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1． （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1． （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1． …… （1）根据上述描述请计算：（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝　x6﹣1　 ． （2）根据规律可得（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝　xn﹣1　 （其中n为正整数）． （3）求22022+22021+22020+…+22+2+1的值． （三）备考策略 公式记忆：抓住结构特征（平方差：“相同项平方减相反项平方”；完全平方：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放”）。 易错点强化：注意符号处理（尤其括号前为负号时）和中间项系数（完全平方的中间项是两数积的 2 倍）。 灵活应用：遇到复杂计算先观察是否符合公式结构，通过变形（如提负号、拆项）转化为公式形式。 几何与代数结合：通过图形面积理解公式本质，增强对公式的直观认识。 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 整式的乘除 考点巩固 1.3《乘法公式》巩固练习 （满分100分，时间60分钟） 一、选择题（本大题共8小题，总分24分） 1．下列各式能用平方差公式计算的是（　　） A．（3a+b）（a﹣b） B．（3a+b）（﹣3a﹣b） C．（﹣3a﹣b）（﹣3a+b） D．（﹣3a+b）（3a﹣b） 2．计算（x﹣y）（﹣x﹣y）的结果是（　　） A．﹣x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y2 D．x2+y2 3．设M＝20252﹣2024×2026，N＝20252﹣4050×2026+20262，则M与N的关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M＝±N 4．若（2x﹣y）2+A＝（2x+y）2，则代数式A＝（　　） A．﹣4xy B．4xy C．﹣8xy D．8xy 5．已知a、b均为实数，且满足（a2+b2+1）（a2+b2﹣1）＝3，则a2+b2＝（　　） A．2 B．4 C．±2 D．±4 6．若x2+4x﹣3＝0，则（x+2）2的值为（　　） A．4 B．5 C．7 D．9 7．已知（x+2y）2＝10，（x﹣2y）2＝18，那么xy的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 8．如图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1、S2分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若m+n＝8，mn＝15，则S1﹣S2＝（　　） A．12 B．14 C．16 D．22 二、填空题（本大题共6小题，总分24分） 9．若a﹣b＝﹣3，a2﹣b2＝6，则代数式a+b的值是　 　 ． 10．若m﹣n＝﹣2，且m+n＝5，则m2﹣n2＝　 　 ． 11．若5，则　 　 ． 12．若y2﹣4y+m可以配成一个完全平方公式，则m的值为 　 　 ． 13．如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）＝3，那么（a+b）2的值为　 　 ． 14．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，点E，F是边BC，CD上的点，EC＝3，且BE＝DF＝x，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为20，则图中阴影部分的面积和为 　 　 ． 三、解答题（本大题共6小题，总分52分） 15．计算． （1）（b+a）（a﹣b）+2a2； （2）（2a+1）2+（a﹣2）2． 16．应用简便方法计算（要有必要的变形过程） （1）49×51﹣2500； （2）1022． 17．已知（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6，求下列各式的值． （1）a2+b2； （2）a4+b4． 18．（1）已知a+b＝5，ab＝10，求a2+b2的值； （2）已知x3，求x4的值． 19．小明遇到下面一个问题： 计算．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： （2+1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1） ＝（28﹣1）（28+1） ＝216﹣1． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）； （2）（3+1）（33+1）（34+1）（38+1）（316+1）． 20．我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（a﹣b）2+2ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab． （1）根据以上变形填空：已知a2+b2＝10；（a+b）2＝16，则ab＝　 　 ； （2）若2x+y＝11，xy＝5，求2x﹣y的值； （3）如图，正方形ABCD、BEFG的边长分别为x，y，若x2+y2＝29，AE＝3，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，总分24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D A C A C 二、填空题（本大题共6小题，总分24分） 9．﹣2． 10．﹣10． 11．23． 12．4． 13．1． 14．41． 三、解答题（本大题共6小题，总分52分） 15．解：（1）（b+a）（a﹣b）+2a2 ＝a2﹣b2+2a2 ＝3a2﹣b2； （2）（2a+1）2+（a﹣2）2 ＝4a2+4a+1+a2﹣4a+4 ＝5a2+5． 16．解：（1）49×51﹣2500 ＝（50﹣1）（50+1）﹣2500 ＝2500﹣1﹣2500 ＝﹣1； （2）1022 ＝（100+2）2 ＝10000+400+4 ＝10404． 17．解：（1）∵（a﹣b）2＝25，ab＝﹣6， ∴a2+b2＝a2+b2﹣2ab+2ab＝（a﹣b）2+2ab＝25+2×（﹣6）＝25﹣12＝13； （2）∵a2+b2＝13，ab＝﹣6， ∴a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝132﹣2×（﹣6）2＝169﹣72＝97． 18．解：（1）∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝25， ∴a2+2ab+b2＝25， ∵ab＝10， ∴a2+20+b2＝25， ∴a2+b2＝5； （2）∵x3， ∴（x）2＝9， ∴x2+29， ∴x27， ∴（x2）2＝49 ∴x4+249， ∴x447． 19．解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1） ＝（28﹣1）（28+1）（216+1） ＝（216﹣1）（216+1） ＝232﹣1； （2）原式 ． 20．解：（1）∵a2+b2＝10，（a+b）2＝16，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴10＝16﹣2ab， ∴ab＝3． 故答案为：3； （2）∵（2x﹣y）2＝（2x+y）2﹣4×2x•y， ∴（2x﹣y）2＝112﹣8×5＝81， ∴2x﹣y＝±9． （3）∵AE＝3， ∴x﹣y＝3， ∴（x﹣y）2＝9， ∴x2﹣2xy+y2＝9． ∵x2+y2＝29， ∴29﹣2xy＝9， ∴xy＝10． ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝29+20＝49， ∵x+y＞0， ∴x+y＝7． 图中阴影部分的面积 （EF+AD）•AE （y+x）×3 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 整式的乘除 第3节 乘法公式 目录：知识点管理 考点管理 备考策略 （解析版） （1） 知识点管理 一、思维导图 二、基本概念及公式 平方差公式 1. 文字表述：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 2. 公式形式： 3. 结构特征： 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数； 右边：相同项的平方减去相反项的平方。 几何解释：如图， 边长为a的大正方形中减去边长为b的小正方形，剩余面积可表示为。 4. 推导过程：通过多项式乘法展开，再合并同类项。 完全平方公式 和的平方公式 1. 文字表述：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们积的两倍。 2. 公式形式： 差的平方公式 1. 文字表述：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们积的两倍。 2. 公式形式： 5. 几何解释： 和的平方：边长为的正方形面积可分割面积分别为、的两个正方形和两个面积为的矩形，总面积为。 差的平方：边长为的正方形减去两个面积为的矩形，再加回一个边长为的小正方形，即。 6. 推导过程 通过多项式乘法展开，再合并同类项。 （二）考点管理 考点1：公式的直接应用 例1．1. 计算：（2a+b）（2a﹣b）＝（　　） A．4a2+b2 B．4a2﹣b2 C．2a2﹣b2 D．2a2+b2 【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2， 故选：B． 2.在运用乘法公式计算（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）时，下列变形正确的是（　　） A．[（2x﹣y）+3][（2x+y）﹣3] B．[（2x﹣y）+3][（2x﹣y）﹣3] C．[2x﹣（y+3）][2x+（y﹣3）] D．[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）] 【解答】解：（2x﹣y+3）（2x+y﹣3）＝[2x﹣（y﹣3）][2x+（y﹣3）]， 故选：D． 3.下列关于（x﹣1）2计算正确的是（　　） A．x2+1 B．x2﹣1 C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1 【解答】解：∵（x﹣1）2＝x2﹣2x+1， ∴只有C选项符合题． 故选：C． 例2．运用乘法公式计算： （1）（2a﹣3b）2． （2）． （3）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2； （4）（x+2y+4）（x+2y﹣4）． 【解答】解：（1）原式＝4a2﹣12ab+9b2； （2）原式x2﹣y2． （3）原式＝﹣（2a+b）（2a﹣b）﹣（a﹣3b）2 ＝﹣（4a2﹣b2）﹣（a2﹣6ab+9b2） ＝﹣4a2+b2﹣a2+6ab﹣9b2 ＝﹣5a2+6ab﹣8b2； （4）原式＝（x+2y）2﹣42 ＝x2+4xy+4y2﹣16． 考点2：几何图形验证公式 例3．我们学过的乘法公式可以借助于图形来帮助解释、理解、记忆． （1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式； （2）请用两种不同的方法探究代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab的数量关系． 方法一：代数方法． 方法二：拼图的方法．（用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个正方形，画出你拼摆过程中能说明这几个式子数量关系的草图．） （3）利用（2）中结论，当a﹣b＝9，ab＝﹣8时，求（a+b）2的值． 【解答】解：（1）图1、阴影部分的面积： 各个部分之和的面积等于大正方形面积：a2+2ab+b2＝（a+b）2； 图2、阴影部分的面积：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； 图3、阴影部分的面积：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． （2）代数法： ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 则（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； 拼图法：如图4： ∵， ， ∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2． （3）∵a﹣b＝9，ab＝﹣8 ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ＝92+4×（﹣8） ＝81﹣32 ＝49． 考点3：利用乘法公式简便运算 例4．用乘法公式计算： （1）101×99． （2）2024×2026﹣20252． 【解答】解：（1）101×99 ＝（100+1）（100﹣1） ＝10000﹣1 ＝9999． （2）原式＝（2025﹣1）×（2025+1）﹣20252 ＝20252﹣1﹣20252 ＝﹣1． 例5．运用完全平方公式计算79.82的最佳选择是（　　） A．（79+0.8）2 B．（70+9.8）2 C．（80﹣0.2）2 D．（100﹣20.2）2 【解答】解：A、（79+0.8）2＝792+2×79×0.8+0.82， B、（70+9.8）2＝702+2×70×9.8+9.82， C、79.82＝（80﹣0.2）2＝802﹣2×80×0.2+0.22， D、（100﹣20.2）2＝1002﹣2×100×20.2+20.22， 选项A、B、D都不如选项C好算． 故选：C． 例6．（1）若a＝2025×2024﹣1，b＝20252﹣2025×2024+20242，则a　＜　 b．（请用“＞”“＜”或“＝”表示） 【解答】解：b＝20252﹣2025×2024+20242 ＝20252﹣2×2025×2024+20242+2025×2024 ＝（2025﹣2024）2+2025×2024 ＝1+2025×2024， ∵1+2025×2024＞2025×2024﹣1， ∴a＜b， 故答案为：＜． （2）若682﹣68×10+52＝k+622﹣1，则k的值是 　126　 ． 【解答】解：682﹣68×10+52＝（68﹣5）2＝632＝k+622﹣1， 解得k＝126． 故答案为：126． 例7．利用乘法公式计算下列各题： （1）10012． （2）1.4352+2.87×2.565+2.5652． （3）10012﹣2002+1． 【解答】解：（1）原式＝（1000+1）2 ＝1000000+2×1000×1+12 ＝1002001． （2）原式＝1.4352+2×1.435×2.565+2.5652 ＝（1.435+2.565）2 ＝42 ＝16． （3）原式＝10012﹣2×1001×1+1 ＝（1001﹣1）2 ＝10002 考点4：混合运算与化简求值 例8．计算： （1）（2m﹣n）2﹣（m+2n）（m﹣2n）； （2）（3x﹣2y）2﹣（3x﹣2y）（3x+2y）； 【解答】解：（1）（2m﹣n）2﹣（m+2n）（m﹣2n） ＝4m2﹣4mn+n2﹣m2+4n2 ＝3m2﹣4mn+5n2； （2）（3x﹣2y）2﹣（3x﹣2y）（3x+2y） ＝9x2﹣12xy+4y2﹣9x2+4y2 ＝﹣12xy+8y2； 例9．计算题： （1）（x﹣3y﹣1）（x﹣3y+1）； （2）（2a+1）2﹣2（a+3）（a﹣3）． 【解答】解：（1）原式＝（x﹣3y）2﹣1＝x2﹣6xy+9y2﹣1； （2）原式＝4a2+4a+1﹣2（a2﹣9） ＝4a2+4a+1﹣2a2+18 ＝2a2+4a+19． 考点5：代入求值 例10．已知a+b＝20，ab＝8．求a2+b2﹣5ab的值． 【解答】解：∵a+b＝20，ab＝8， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴202＝a2+b2+2×8， 解得：a2+b2＝384， ∴a2+b2﹣5ab＝384﹣5×8＝344． 例11．已知（x﹣2y）2＝2，（x+2y）2＝18． 求值： （1）x2+4y2； （2）xy； （3）x2﹣4y2． 【解答】解：（1）（x﹣2y）2+（x+2y）2＝2x2+8y2＝20， ∴x2+4y2＝10； （2）（x+2y）2﹣（x﹣2y）2＝8xy＝16， ∴xy＝2； （3）（x+2y）2•（x﹣2y）2＝36， ∴（x+2y）（x﹣2y）＝±6； ∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝±6； 考点6：逆应用乘法公式 例12．（1）已知x+y＝8，xy＝5，求x2+y2的值． （2）已知（x+y）2＝49，x2+y2＝30，求（x﹣y）2的值． （3）已知x满足（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝10，求（x﹣2023）2的值． 【解答】解：（1）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， ∵x+y＝8，xy＝5， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝82﹣2×5＝54． （2）∵（x+y）2﹣（x2+y2）＝2xy， ∵（x+y）2＝49，x2+y2＝30， ∴2xy＝49﹣30＝19， ∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝30﹣19＝11． （3）设x﹣2023＝a，则x﹣2022＝a+1，x﹣2024＝a﹣1， ∵（x﹣2022）2+（x﹣2024）2＝10， ∴（a+1）2+（a﹣1）2＝10，有a2+2a+1+a2﹣2a+1＝10， 整理得a2＝4， ∴（x﹣2023）2＝4． 例13．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴（a+b）2＝9，2ab＝2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝9， ∴a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，xy＝12，求x2+y2的值； 类比应用： （2）若x+y＝4，x2+y2＝10，求xy的值． 【解答】解：（1）∵x+y＝8，xy＝12， ∴（x+y）2＝64，2xy＝24， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝64， ∴x2+y2＝64﹣24＝40． （2）由条件可得（x+y）2＝16， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝16， ∴2xy＝16﹣10＝6， ∴xy＝3． 例14．阅读理解． 已知（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，求（a﹣13）2的值． 解：由（a﹣12）2+（14﹣a）2＝6，可得[（a﹣13）+1]2+[（a﹣13）﹣1]2＝6． 整理得（a﹣13）2+2（a﹣13）+1+（a﹣13）2﹣2（a﹣13）+1＝6． 2（a﹣13）2+2＝6． 得（a﹣13）2＝2． 请仿照上述方法，完成下列问题： （1）已知（a﹣98）2+（96﹣a）2＝16，求（a﹣97）2的值． （2）已知（a﹣2024）2＝10，求（a﹣2025）2+（2023﹣a）2的值． 【解答】解：（1）由条件可知[（a﹣97）+1]2+[（a﹣97）﹣1]2＝16， 整理得（a﹣97）2+2（a﹣97）+1+（a﹣97）2﹣2（a﹣97）+1＝16， 2（a﹣97）2+2＝16， ∴（a﹣97）2＝7； （2）原式＝[（a﹣2024）+1]2+[（a﹣2024）﹣1]2 ＝（a﹣2024）2+2（a﹣2024）+1+（a﹣2024）2﹣2（a﹣2024）+1 ＝2（a﹣2024）2+2， ∵（a﹣2024）2＝10 ＝2×10+2 ＝22． 考点7：实际应用与拓展 例15．对于任意数a，b，c，d，我们规定（a，b）☆（c，d）＝a2﹣bc+d2． （1）计算（1，2）☆（3，﹣2）的结果为　1　 ； （2）对于数x，y，若x+y＝8，（x，x）☆（y，y）＝46． ①求xy的值； ②将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式放置，点E在边CD上，连接BD，BF．若AB＝2x，AD＝x，EF＝2y，FG＝y，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）（1，2）☆（3，﹣2）＝1﹣2×3+4＝﹣1； 故答案为：1； （2）①∵（x，x）☆（y，y）＝x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝64﹣3xy＝46， ∴xy＝6； ②阴影部分的面积为：x2+2y2y（x+2y）＝（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝64﹣24＝40． 例16．数形结合是一种重要数学思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解决数学问题． 例如：图1阴影部分的面积可以解释数学公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2． 图2：　（a+b）2＝a2+2ab+b2　 ；图3：　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　 ． 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题．例如：如图4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 方法一：从“数”的角度解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1，a2+b2＝7． 方法二：从“形”的角度解：∵a+b＝3，∴S大正方形＝9，又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1． ∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7，即a2+b2＝7． 类比迁移： （2）若（2024﹣x）（x﹣2020）＝3，则（2024﹣x）2+（x﹣2020）2的值为多少？ （3）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，S1，S2分别表示图中两个正方形的面积，设AB＝10，图中阴影部分面积7，则两个正方形的面积之和S1+S2的值为多少？ 【解答】解：（1）图2阴影部分的面积可以解释数学公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2， 图3阴影部分的面积可以解释数学公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）∵（2024﹣x）+（x﹣2020）＝3，（2024﹣x）（x﹣2020）＝3， ∴（2024﹣x）2+（x﹣2020）2 ＝[（2024﹣x）+（x﹣2020）]2﹣2（2024﹣x）（x﹣2020） ＝32﹣2×3 ＝9﹣6 ＝3． （3）延长EA，FG交于点H，延长ED，GB交于点K，如图， 则四边形EHGK为边长为10的正方形， ∴正方形EHGK的面积为AB2＝102＝100， ∵图中阴影部分面积7， ∴矩形AHFC的面积＝矩形CDKB的面积＝2×阴影部分面积＝14， ∴S1+S2 ＝正方形EHGK的面积﹣（矩形AHFC的面积+矩形CDKB的面积） ＝100﹣2×14 ＝100﹣28 ＝72． 考点8：规律探索与代数证明 例17．观察下列各式，回答相关问题： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1． （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1． （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1． （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1． …… （1）根据上述描述请计算：（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝　x6﹣1　 ． （2）根据规律可得（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝　xn﹣1　 （其中n为正整数）． （3）求22022+22021+22020+…+22+2+1的值． 【解答】解：（1）根据上述计算，可得：（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1， 故答案为：x6﹣1； （2）根据规律可得（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1， 故答案为：xn﹣1； （3）根据（2）中的公式， 可得22022+22021+22020+…+22+2+1 ＝（2﹣1）（22022+22021+22020+…+22+2+1） ＝22023﹣1． （三）备考策略 公式记忆：抓住结构特征（平方差：“相同项平方减相反项平方”；完全平方：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放”）。 易错点强化：注意符号处理（尤其括号前为负号时）和中间项系数（完全平方的中间项是两数积的 2 倍）。 灵活应用：遇到复杂计算先观察是否符合公式结构，通过变形（如提负号、拆项）转化为公式形式。 几何与代数结合：通过图形面积理解公式本质，增强对公式的直观认识。 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$