1.1　幂的乘除　同步练习　2024—2025学年北师大版数学七年级下册

第一章 整式的乘除 第1节 幂的乘除 目录：知识点管理 考点管理 备考策略 （解析版） （一）知识点管理 一、思维导图 幂的乘除 二、基本概念及公式 1. 同底数的幂相乘：同底数幂相乘的法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 符号表示：（都是正整数）。 2. 幂的乘方：幂的乘方法则：指底数不变，指数相乘。 符号表示：（都是正整数）。 3. 积的乘方：积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 符号表示：（n是正整数）。 4. 同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 符号表示：（a=0，m，n都是正整数，且m>n）。 5. 零指数幂与负整数指数幂：规定1（a0） ，​（是正整数）。 6. 科学记数法表示较小的数：一个小于 1 的正数可以表示为a×10−n的形式，其中1≤a<10，n是负整数。) 在表示时要确定好a和n的值，a是整数部分只有一位的小数，n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定。 （二）考点管理 考点1：同底数幂乘法法则的直接运用及逆应用 例1．下列计算，结果等于x5的是（　　） A．x2+x3 B．x2•x3 C．x10÷x2 D．（x2）3 【解答】解：A、x2和x3不是同类项，不能合并，故此选项错误； B、x2•x3＝x5，故此选项正确； C、x10÷x2＝x8，故此选项错误； D、（x2）3＝x6，故此选项错误； 故选：B． 例2．已知x+y＝3，则3x•3y的值是（　　） A．9 B．27 C． D． 【解答】解：3x•3y＝3x+y＝33＝27． 故选：B． 例3．已知3x+2＝m，用含m的代数式表示3x正确的是（　　） A． B． C．m﹣9 D．m﹣6 解：∵3x+2＝3x•32＝m， ∴3x×9＝m． ∴3x． 故选：A． 例4．计算 a2•（﹣a）3•（﹣a）4； 【解答】解：（1）原式＝a2•（﹣a3）•a4 ＝﹣a2+3+4 ＝﹣a9； 例5．定义一种新运算：x※y＝3x×3y． （1）求2※5的值（结果保留幂的形式）； （2）求1※（4x﹣3）＝9，求x的值． 【解答】解（1）∵x※y＝3x×3y， ∴2※5 ＝32×35 ＝37； （2）∵x※y＝3x×3y， ∴1※（4x﹣3） ＝31×34x﹣3 ＝34x﹣2， ∵1※（4x﹣3）＝9＝32， ∴4x﹣2＝2， 解得：x＝1． 考点2：幂的乘方法则的直接运用、逆应用其他幂运算的综合运用 例6．一个正方体的棱长是102，则体积是（　　） A．103 B．104 C．105 D．106 【解答】解：根据题意可知， 102×102×102＝106． 故选：D． 例7．下列各式计算结果为x6的是（　　） A．x3+x3 B．（x3）2 C．x8﹣x2 D．x3•x2 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．版权所有 【解答】解：A、x3+x3＝2x3，故A选项不合题意； B、（x3）2＝x6，故B选项符合题意； C、x8﹣x2，不能进行化简，故C选项不合题意； D、x3•x2＝x5，故D选项不合题意． 故选：B． 例8．计算（b4）2的结果是（　　） A．b8 B．b6 C．b16 D．b2 【解答】解：（b4）2 ＝b4×2 ＝b8， 故选：A． 例9．已知若2×8x×16x＝222，求x的值． 【解答】解：（1）由题知m﹣4n﹣2＝0， ∴m﹣4n＝2， ∴3m÷81n＝3m÷34n＝3m﹣4n＝32＝9； （2）2×8x×16x＝222， 2×23x×24x＝222， 21+7x＝222， ∴1+7x＝22， 解得x＝3． 例10．已知4﹣3x＝6y，求8x•64y的值． 【解答】解：∵4﹣3x＝6y， ∴3x+6y＝4， ∴8x•64y＝（23）x•（26）y＝23x•26y＝23x+6y＝24＝16． 考点3：积的乘方法则的直接运用、逆应用其他幂运算的综合运用 例11．计算（﹣2a2b）3的结果是（　　） A．﹣6a6b3 B．﹣8a2b C．﹣2a6b3 D．﹣8a6b3 【解答】解：（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3， 故选：D． 例12．的值等于（　　） A．﹣8 B．8 C． D． 【解答】解：82025×8﹣2024＝82025﹣2024＝8， 故选：B． 例13．若3×9x＝35，则x的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：∵3×9x＝35， 3×9x＝3×32x＝31+2x， ∴1+2x＝5， 解得x＝2， 故选：A． 例14．计算：（﹣2x2）3﹣x•x5+（﹣3x3）2． 【解答】解：（﹣2x2）3﹣x•x5+（﹣3x3）2． ＝﹣8x6﹣x6+9x6 ＝0． 例15．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果2×4x×8x＝221，求x的值； （2）如果3a+2•5a+2＝153a﹣4，求a的值． 【解答】解：（1）∵2×4x×8x＝221， ∴2×（22）x×（23）x＝221， ∴2×22x×23x＝221， ∴21+2x+3x＝221， ∴21+5x＝221， ∴1+5x＝21， 解得：x＝4， ∴x的值为4； （2）∵3a+2•5a+2＝153a﹣4， ∴（3×5）a+2＝153a﹣4， ∴15a+2＝153a﹣4， ∴a+2＝3a﹣4， 解得：a＝3， ∴a的值为3． 考点3：同底数幂除法法则的直接运用、逆应用其他幂运算的综合运用 例16．计算（﹣a）4÷a的结果是（　　） A．a3 B．﹣a3 C．a4 D．﹣a4 【解答】解：（﹣a）4÷a＝a4÷a＝a3， 故选：A． 例17．计算（﹣m）6÷m2的结果等于（　　） A．m2 B．m3 C．m4 D．m6 【解答】解：根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算可得： （﹣m）6÷m2＝m6÷m2＝m4， 故选：C． 例18．已知am＝2，an＝3，则a2m﹣n的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据同底数幂的除法运算法则的逆运算可得： ， 故选：D． 例19．（1）已知10m＝50，，求10m﹣n的值； （2）已知3•2t•4t﹣23t＝16，求t的值． 【解答】解：（1）∵10m＝50，， ∴10m﹣n ＝10m÷10n ＝50 ＝100； （2）∵3•2t•4t﹣23t＝3•2t•22t﹣23t＝3•23t﹣23t＝23t×（3﹣1）＝23t×2＝23t+1， ∴3•2t•4t﹣23t＝16＝24时， 23t+1＝24， ∴3t+1＝4， 解得t＝1． 例20．已知，3m＝2，3n＝5，求 （1）33m+2n； （2）34m﹣3n． 【解答】解：∵3m＝2，3n＝5， ∴（1）33m+2n＝33m×32n＝（3m）3×（3n）2＝8×25＝200； （2）34m﹣3n＝34m÷33n＝（3m）4÷（3n）3＝16÷125． 考点4：零指数幂、负整数指数幂及科学计数法 例21．中国的deepseek在网上成为热搜和下载安装的榜首软件，要支持这些软件功能，需要芯片的支持．据报道deepseek的主要芯片为28nm，28nm相当于0.000000028m，数据0.000000028用科学记数法表示为（　　） A．2.8×10﹣9 B．2.8×10﹣8 C．2.8×10﹣7 D．2.8×108 【解答】解：0.000000028＝2.8×10﹣8． 故选：B． 例22．若代数式（x﹣1）﹣3有意义，则x应满足（　　） A．x＝0 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠3 【解答】解：∵代数式（x﹣1）﹣3有意义， ∴x﹣1≠0， 解得x≠1． 故选：C． 例23．如果等式（x﹣3）x+3＝1成立，则满足条件x值为（　　） A．3或﹣3 B．4或3或﹣3 C．4或2或﹣3 D．4或﹣3 【解答】解：当x﹣3＝1时， 解得：x＝4， 符合题意； 当x﹣3＝﹣1时， 解得：x＝2， 此时x+3＝5，（﹣1）5＝﹣1， 不符合题意； 当x+3＝0时， 解得：x＝﹣3， 此时x﹣3＝﹣6≠0， 符合题意； 综上所述，满足条件x值为4或﹣3， 故A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 例24．计算：． 【解答】解：原式＝1+2﹣9 ＝﹣6． 例25．一个正方体盲盒的棱长为0.4m． （1）这个盲盒的体积是多少（用科学记数法表示）？ （2）若有一个小立方块的棱长为1×10﹣3m，则需要多少个这样的小立方块才能将盲盒装满？ 【解答】解：（1）根据题意可得， 0.43＝6.4×10﹣2（m3）， ∴这个盲盒的体积是6.4×10﹣2m3； （2）6.4×10﹣2÷（1×10﹣3）3＝64000000（个）， ∴需要64000000个这样的小立方块才能将盲盒装满． （3） 备考策略 公式记忆与理解：牢记同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方公式，理解其推导过程，明确底数、指数的变化规律。 易错点强化：注意符号处理、指数运算，避免混淆公式结构。 灵活运用公式：掌握公式的逆用，提升解题灵活性。 综合练习：多做混合运算题目（如同时涉及积的乘方与同底数幂乘除），巩固各知识点的结合应用。 实际应用与科学记数法：理解幂运算在实际问题（如距离、体积计算）中的应用，熟练掌握科学记数法表示小数的方法。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 整式的乘除 考点巩固 1.1《幂的乘除》巩固练习 （满分100分，时间60分钟） 一、选择题（本大题共8小题，总分24分） 1．2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻≤8nm技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米＝0.000000008米，0.000000008用科学记数法可表示为（　　） A．8×109 B．8×10﹣9 C．8×1010 D．8×10﹣10 2．下列运算结果正确的是（　　） A．x3•x4＝x7 B．（xy2）3＝xy6 C．﹣x5÷x3＝x2 D．﹣x•（﹣x）2＝x3 3．若，则2025m﹣n＝（　　） A．20253 B．20252 C．2025 D．1 4．已知m＝89，n＝98，则7272可以表示为（　　） A．m8n9 B．m8n8 C．m9n9 D．m9n8 5．已知a＝212，b＝38，c＝74，则a，b、c大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a 6．计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D．﹣2 7．计算（﹣m）6÷m2的结果等于（　　） A．m2 B．m3 C．m4 D．m6 8．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、53个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出2y个球放入丙袋，最后从丙袋中取出（2x+2y）球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（　　） A．512 B．128 C．64 D．32 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 9．计算（﹣m4）2的结果为 　 　 ． 10．计算：　 　 ． 11．已知x+4y＝5，则2x•42y＝　 　 ． 12．已知6x＝192，32y＝192，则（﹣2021）（x﹣1）（y﹣1）﹣2＝　 　 ． 13．若6x＝3，6y＝4，则6x﹣2y＝ 　 　 ． 14．水珠不断滴在一块石头上，经过20年，石头上形成了一个深为4.8×10﹣2m的小洞，平均每月小洞的深度增加 　 　 m（结果用科学记数法表示）． 三、解答题（本大题共6小题，总分52分） 15．计算： （1）（﹣2a3）2+（a2）3﹣a•a5； （2）x5•x3﹣（2x4）2+x10÷x2． 16．已知am＝4，an＝16． （1）求am+n的值； （2）求a2m+n的值． 17．（1）已知am＝2，an＝3．则am+n＝ 　 　 ，am﹣2n＝ 　 　 ． （2）已知3×9x×27＝316，求x的值． 18．请运用幂的运算性质解决下列问题： （1）若xa＝4，xb＝32，求x3a﹣2b的值； （2）计算：． 19．尝试解决下列有关幂的问题： （1）若3×27m÷9m＝316，求m的值； （2）若26＝a2＝4b，求a+b值； （3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值． 20．规定两数a，b之间的一种运算．记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2． （1）根据上述规定，填空：（2，8）＝　 　 ； （2）若（5，x）＝m，（5，y）＝n，且m+n＝3，求xy的值． （3）①若（4，3）＝a，（4，8）＝b，（4，24）＝c，请你尝试证明：a+b＝c； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：（xn，yn）＝（x，y）， 证明：设（xn，yn）＝m，∴（xn）m＝yn，∴（xm）n＝yn， ∴xm＝y，即（x，y）＝m． ∴（xn，yn）＝（x，y）． 结合①，②探索的结论，计算：　 　 ． 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，总分24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D A B D C B 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 9．m8． 10．． 11．32． 12．． 13．． 14．2×10﹣4． 三、解答题（本大题共6小题，总分52分） 15．解：（1）原式＝4a6+a6﹣a6＝4a6； （2）x8﹣4x8+x8＝﹣2x8． 16．解：（1）am+n＝am•an＝4×16＝64； （2）a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an＝42×16＝16×16＝256． 17．解：（1）∵am＝2，an＝3， ∴am+n＝am•an ＝2×3 ＝6； am﹣2n＝am÷a2n ＝am÷（an）2 ＝2÷32 ； 故答案为：6；； （2）∵3×9x×27＝316， ∴3×（32）x×33＝316． 3×32x×33＝316， 31+2x+3＝316， ∴1+2x+3＝16． 解得x＝6． 18．解：（1）∵xa＝4，xb＝32， ∴x3a﹣2b的 ＝x3a÷x2b ＝（xa）3÷（xb）2 ＝43÷322 ＝（22）3÷（25）2 ＝26÷210 ＝2﹣4 ； （2）原式 ＝（﹣1）200×8 ＝1×8 ＝8． 19．解：（1）∵3×27m÷9m＝316， ∴3×33m÷32m＝316， ∴31+m＝316， ∴1+m＝16， ∴m＝15； （2）∵26＝a2＝4b， ∴（23）2＝a2，26＝22b， ∴a＝23＝8，2b＝6， ∴b＝3， ∴a+b＝8+3＝11； 当a＝﹣8时，也成立， 故a+b＝﹣8+3＝﹣5． （3）∵x2n＝4， ∴（3x3n）2﹣4（x2）2n ＝9（x2n）3﹣4（x2n）2 ＝9×43﹣4×42 ＝512． 20．解：（1）∵23＝8， ∴（2，8）＝3， 故答案为：3； （2）①∵（5，x）＝m，（5，y）＝n， ∴x＝5m，y＝5n， ∴xy＝5m•5n＝5m+n＝53＝125； （3）①∵（4，3）＝a，（4，8）＝b， ∴4a＝3，4b＝8， ∵（4，24）＝c， ∴4c＝24＝3×8＝4a•4b， ∴a+b＝c； ②∵（8，27）＝（23，33）＝（2，3），（4，）＝（2，）， ∴原式＝（2，3）+（2，） ＝（2，8） ＝3． 故答案为：3． 第 一 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 整式的乘除 第1节 幂的乘除 目录：知识点管理 考点管理 备考策略 （原卷版） （一）知识点管理 一、思维导图 幂的乘除 二、基本概念及公式 1. 同底数的幂相乘：同底数幂相乘的法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 符号表示：（都是正整数）。 2. 幂的乘方：幂的乘方法则：指底数不变，指数相乘。 符号表示：（都是正整数）。 3. 积的乘方：积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 符号表示：（n是正整数）。 4. 同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 符号表示：（a=0，m，n都是正整数，且m>n）。 5. 零指数幂与负整数指数幂：规定1（a0） ，​（是正整数）。 6. 科学记数法表示较小的数：一个小于 1 的正数可以表示为a×10−n的形式，其中1≤a<10，n是负整数。) 在表示时要确定好a和n的值，a是整数部分只有一位的小数，n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定。 （二）考点管理 考点1：同底数幂乘法法则的直接运用及逆应用 例1．下列计算，结果等于x5的是（　　） A．x2+x3 B．x2•x3 C．x10÷x2 D．（x2）3 例2．已知x+y＝3，则3x•3y的值是（　　） A．9 B．27 C． D． 例3．已知3x+2＝m，用含m的代数式表示3x正确的是（　　） A． B． C．m﹣9 D．m﹣6 例4．计算 a2•（﹣a）3•（﹣a）4； 例5．定义一种新运算：x※y＝3x×3y． （1）求2※5的值（结果保留幂的形式）； （2）求1※（4x﹣3）＝9，求x的值． 考点2：幂的乘方法则的直接运用、逆应用其他幂运算的综合运用 例6．一个正方体的棱长是102，则体积是（　　） A．103 B．104 C．105 D．106 例7．下列各式计算结果为x6的是（　　） A．x3+x3 B．（x3）2 C．x8﹣x2 D．x3•x2 例8．计算（b4）2的结果是（　　） A．b8 B．b6 C．b16 D．b2 例9．已知若2×8x×16x＝222，求x的值． 例10．已知4﹣3x＝6y，求8x•64y的值． 考点3：积的乘方法则的直接运用、逆应用其他幂运算的综合运用 例11．计算（﹣2a2b）3的结果是（　　） A．﹣6a6b3 B．﹣8a2b C．﹣2a6b3 D．﹣8a6b3 例12．的值等于（　　） A．﹣8 B．8 C． D． 例13．若3×9x＝35，则x的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 例14．计算：（﹣2x2）3﹣x•x5+（﹣3x3）2． 例15．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果2×4x×8x＝221，求x的值； （2）如果3a+2•5a+2＝153a﹣4，求a的值． 考点3：同底数幂除法法则的直接运用、逆应用其他幂运算的综合运用 例16．计算（﹣a）4÷a的结果是（　　） A．a3 B．﹣a3 C．a4 D．﹣a4 例17．计算（﹣m）6÷m2的结果等于（　　） A．m2 B．m3 C．m4 D．m6 例18．已知am＝2，an＝3，则a2m﹣n的值是（　　） A． B． C． D． 例19．（1）已知10m＝50，，求10m﹣n的值； （2）已知3•2t•4t﹣23t＝16，求t的值． 例20．已知，3m＝2，3n＝5，求 （1）33m+2n； （2）34m﹣3n． 考点4：零指数幂、负整数指数幂及科学计数法 例21．中国的deepseek在网上成为热搜和下载安装的榜首软件，要支持这些软件功能，需要芯片的支持．据报道deepseek的主要芯片为28nm，28nm相当于0.000000028m，数据0.000000028用科学记数法表示为（　　） A．2.8×10﹣9 B．2.8×10﹣8 C．2.8×10﹣7 D．2.8×108 例22．若代数式（x﹣1）﹣3有意义，则x应满足（　　） A．x＝0 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠3 例23．如果等式（x﹣3）x+3＝1成立，则满足条件x值为（　　） A．3或﹣3 B．4或3或﹣3 C．4或2或﹣3 D．4或﹣3 例24．计算：． 例25．一个正方体盲盒的棱长为0.4m． （1）这个盲盒的体积是多少（用科学记数法表示）？ （2）若有一个小立方块的棱长为1×10﹣3m，则需要多少个这样的小立方块才能将盲盒装满？ （3） 备考策略 公式记忆与理解：牢记同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方公式，理解其推导过程，明确底数、指数的变化规律。 易错点强化：注意符号处理、指数运算，避免混淆公式结构。 灵活运用公式：掌握公式的逆用，提升解题灵活性。 综合练习：多做混合运算题目（如同时涉及积的乘方与同底数幂乘除），巩固各知识点的结合应用。 实际应用与科学记数法：理解幂运算在实际问题（如距离、体积计算）中的应用，熟练掌握科学记数法表示小数的方法。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$