4.4利用三角形全等测距离　课件　2024—2025学年北师大版数学七年级下册

第四章 三角形 4.4 利用三角形全等测距离 1．复习并归纳三角形全等的判定及性质； 2．能够根据三角形全等测定两点间的距离，并解 决实际问题．(重点，难点)　　 学习目标 新课讲解 A C B D ？ 你能用所学的数学知识说明BC=DC吗？ A B D ？ 如何求未知线段？ 途径：利用全等三角形的性质 关键：构造全等三角形 新课讲解 例 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案，解决此问题吗？ 1.说出你的设计方案； 2.你能用所学知识说明你设计方案的 理由是什么吗？ 典例精析 新课讲解 先在地上取一个可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长到D，使AC=CD，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，测得DE的长度就是A、B 间的距离. C D E · · · B A · · 新课讲解 1.你能设计出其他的方案来吗？（构建全等三角形） 2.已知条件是什么？结论又是什么？ 3.你能说明设计出方案的理由吗？ B A · · · C D E 在△ABC与△DEC中，已知：AB⊥BE，DE⊥BE，BE=EC，结论：AB=DE. · 新课讲解 1.如图，工人师傅要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径.现在有两根同样长的木棒、一条橡皮绳和一把带有刻度的直尺，你能想法帮助他完成吗？ · 中点C A B 试一试 新课讲解 2.一个人站在路中央，先往左看了看，又往右看了看，然后说知道纪念碑相当于5层楼那么高，你知道他是怎么做到的吗？ 课堂小结 1.知识： 利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离. 依据：全等三角形的性质. 关键：构造全等三角形. 2.方法： （1）延长法构造全等三角形； （2）垂直法构造全等三角形. 3.数学思想： 树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想. 当堂小练 如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS B A ● ● D C E F B 当堂小练 2.山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离. 在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接 AO并延长到C，使AO=CO；连接BO并延长到D， 使BO=DO，连接CD.可以证△ABO≌△CDO，得 CD=AB，因此，测得CD的长就是AB的长.判定 △ABO≌△CDO的理由是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS D D 当堂小练 3.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ ） 　　A.AO=CO B.BO=DO C.AC=BD D.AO=CO且BO=DO O D C B A D 当堂小练 4.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( ) A.大于100 m B.等于100 m C.小于100 m D.无法确定 C 拓展与延伸 5.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理. 拓展与延伸 解：因为AB∥CD,所以∠B=∠C. 在△BME和△CMF中， ∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF， 所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF. 故只要测量CF即可得B，E之间的距离. 利用三角形全等可以解决不能到达或不能直接测量的两点之间的距离问题. 解题关键是构造两个全等三角形，利用全等三角形的对应边相等间接计算两点之间的距离. 知识点 1 利用三角形全等测距离 1.（北师7下P111、人教8上P38）如图，有一池塘，要测量池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到点E，使CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么？ 解：连接AB，在△ABC和△DEC中， ， 所以△ABC ≌ △DEC（SAS），所以AB=DE. 故量出DE的长就是A，B的距离. （1）转化法：将实际问题转化为数学模型，利用全等三角形的判定和性质加以解决.  （2）注意：构造全等三角形时要满足三角形全等的条件：“SSS”“SAS”“ASA”以及“AAS”；要找准对应边与对应角. 知识点 2 全等三角形的实际应用 2.如图，有一湖的湖岸在A，B之间呈一段圆弧状，A，B间的距离不能直接测得.你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A，B间的距离吗？ 解：（答案不唯一）要测量A，B间的距离，可用如下方法： 如图，过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点 C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，因为 所以△ABC ≌ △EDC（ASA）.所以DE=BA. 答：测出DE的长就是A，B间的距离. 答案图 3.【例1】（跨学科融合）（北师7下P111、人教8上P43）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）.在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量哪些量？为什么？ 解：只要测量A'B'.理由如下：连接AB，A'B'， 因为点O分别是AA'，BB'的中点， 所以OA=OA'，OB=OB'. 在△AOB和△A'OB'中， OA=OA'，∠AOB=∠A'OB'，OB=OB'， 所以△AOB≌△A'OB'（SAS）.所以A'B'=AB. 4.【例2】如图，A，B两建筑物位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作一条直线MN，且使MN⊥AB于点B，在BN上截取BC=CD，过点D作DE⊥MN，使点A，C，E在同一直线上，则DE的长就是A，B两建筑物之间的距离，请说明理由. 解：因为AB⊥MN，所以∠ABC=90°. 同理，∠EDC=90°，所以∠ABC=∠EDC. 在△ABC和△EDC中， 所以△ABC ≌ △EDC（ASA），所以AB=DE. 所以DE的长就是A，B两建筑物之间的距离. 5.某同学用10块高度都是5 cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD=90°，BD=BA），点B在CE上，点A和点D分别与木墙的顶端重合. 解：（1）由题意得BD=BA，∠ABD=90°，AC⊥CE，DE⊥CE，所以∠BED=∠ACB=90°， 所以∠BDE+∠DBE=90°，∠DBE+∠ABC=90°， 所以∠BDE=∠ABC，在△ACB和△BED中，， 所以△ACB≌△BED（AAS）. （1）试说明：△ACB≌△BED； （2）两堵木墙之间的距离为　 　.  50 cm ★6. 0.45为了测量一幢高楼的高AB，在旗杆CD与高楼之间选定一点P，测得旗杆顶C的视线PC与地面夹角∠DPC=38°，测得楼顶A的视线PA与地面夹角∠APB=52°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，都等于8 m，量得旗杆与楼之间的距离 DB=33 m，计算楼高AB. 解：因为∠CPD=38°，∠APB=52°，∠CDP=∠ABP=90°，所以∠DCP=52°=∠APB. 在△CPD和△PAB中， 所以△CPD≌△PAB（ASA）.所以DP=AB. 因为DB=33 m，PB=8 m， 所以AB=DP=33-8=25（m）. 答：楼高AB是25 m. 布置作业 请完成课本P22-P23对应习题 $$