4.3 探索三角形全等的条件课时2 用“角边角”“角角边”判定三角形全等　课件　2024—2025学年北师大版数学七年级下册

第四章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件 课时2 用“角边角”“角角边”判定三角形全等 1.理解并掌握三角形全等判定“角边角、角角边”条件的内容.（重点） 2.熟练利用“角边角、角角边”条件证明两个三角形全等.（难点） 3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力. 学习目标 新课讲解 知识点1 全等形的判定3 判定3：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或者“ASA”）. 符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中， ∠B=∠B′， BC=B′C′， ∠C=∠C′， ∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）. 新课讲解 例 如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，∠B=∠E， ∠C=180°-∠A-∠B，∠F=180°-∠D-∠E， ∴∠C=∠F. 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠E， BC=EF， ∠C=∠F， ∴△ABC≌△DEF（ASA）. A B E D C F 新课讲解 思考 两角分别相等且其中一组等角的对边相等，这样的两个三角形全等吗？ 在△ABC和△A'B'C'中，使得AB=A'B'，∠C=∠C'，∠B=∠B'. 此时的△ABC和△A'B'C'全等吗？ A B B' A' C C' 请选用已经学过的全等三角形的判定来证明△ABC和△A'B'C'全等. 新课讲解 已知，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠C=∠C′，∠B=∠B′. 证明△ABC≌△A′B′C′.？ A B B' A' C C' 证明：∵∠C=∠C′，∠B=∠B′， ∠A=180°-∠B-∠C， ∠A′=180°-∠B′-∠C′， ∴∠A=∠A′. 在△ABC和△A′B′C′中， ∠A=∠A′， AB=A′B′， ∠B=∠B′， ∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）. 新课讲解 知识点2 全等形的判定4 判定4：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（可以简写成“角角边”或者“AAS”）. 符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中， ∠A=∠A′， ∠B=∠B′， BC=B′C′， ∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）. 要按照”角—角—边“的顺序书写. 新课讲解 如果两个三角形中，有两个角和一条边分别相等，那么这两个三角形是全等三角形. 有两个角和一条边分别对应相等的两个三角形是否一定全等？ 思考 思考 “ASA”和“AAS”之间有什么关系？ 在证明两个三角形全等过程中，“ASA”和“AAS”两个判定是可以相互转化的. 你能总结一下“ASA”和“AAS”的区别与联系吗？ 新课讲解 ASA “ASA”和'AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形的内角和定理可知，“ASA”和“AAS”可以互相转化 AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 课堂小结 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 ASA 应用 利用“ASA、AAS”解决实际问题 分类探讨 两角及其夹边分别相等 两角及其中一角的对边分别相等 三角形全等的判定 AAS 两角和其中一组角的对边分别相等的两个三角形全等 对比探究 对比“ASA”和“AAS”的区别和联系 当堂小练 如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D.求证：AC=AD. 证明：∵∠1=∠2，∠C=∠D， ∴∠ABC=∠ABD （三角形内角和定理）. 在△ABC和△ABD中， ∠1=∠2， AB=AB（公共边）， ∠ABC=∠ABD， ∴△ABC≌△ABD（ASA）. ∴AC=AD. A B 1 2 C D 当堂小练 如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE//AB，∠B=∠DAE. 求证：△ABC≌△DAE. 证明：∵DE//AB， ∴ ∠CAB=∠EDA. 在△ABC和△DAE中， ∠CAB=∠EDA， AB=DA， ∠B=∠DAE， ∴△ABC≌△DAE（ASA）. 为你支招：有平行线就可以转化出相等的角. 当堂小练 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，如果EF=5cm，那么AE=（ ）cm. 分析：题目中已经给出一对边相等，可以选择“SSS”，“SAS”或者“ASA”.根据题意的垂直关系可以转化出相等的角，所以本题选择“ASA”. 利用好垂直关系和余角定理是解决本题的关键. 当堂小练 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，如果EF=5cm，那么AE=（ ）cm. 3 解：∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD=90°. ∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°. ∴∠B=∠ACD. ∵EF⊥AC， ∴∠FEC=90°. ∴∠ACB=∠FEC. 在△ACB和△FEC中，∠B=∠FCE， BC=CE， ∠ACB=∠FEC， ∴△ACB≌△FEC（ASA）. ∴ AC=EF. ∵BC=2cm，EF=5cm. ∴ AE=3cm. 当堂小练 如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC//DF. 求证：（1）△ABC≌△DEF.（2）BE=CF. 证明：（1）∵AC//DF， ∴∠ACB=∠F. 在△ABC和△DEF中， ∠ACB=∠F， ∠A=∠D， AB=DE， ∴△ABC≌△DEF（AAS）. A C D F B E （2）∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF.∴BC-EC=EF-EC，即BE=CF. 等边加（减）等边，其和（差）还是等边，等角加（减）等角，其和（差）还是等角. D 拓展与延伸 如图，已知∠1=∠2，∠E=∠C，AC=AE.求证：AB=AD，∠B=∠D. 1 B E D A 2 分析：等角加等角，其和仍然是等角；同理，等角减等角，其差仍然是等角.利用题目中已经给出的角转化出新的相等的角，从而证明三角形全等，利用全等的性质得出对应角相等，对应边相等. 判定：两角及其　 　分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）.  几何语言：在△ABC与△A'B'C'中， 所以△ABC≌　 　（　 　）.  知识点 1 三角形全等的条件（ASA） 夹边 △A'B'C' ASA 1.（跨学科融合）如图，小强一不小心把一块三角形的玻璃打碎成了三块.现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ） A.带①去 B.带②去 C.带③去　 D.带①和②去 C （1）应用：已知两个三角形有两角对应相等，若要应用“ASA”判定这两个三角形全等，则需证明这两角的夹边　 　.  （2）根据“ASA”作三角形 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“ASA”来作图. 知识点 2 ASA的应用 相等 2.（新教材北师7下P102）如图，已知∠α，∠β和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=a.（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图，△ABC即为所求作. 　答案图 两角分别相等且其中一组等角的对边　 　的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）.  几何语言：在△ABC与△A'B'C'中， 所以△ABC≌　 　（　 　）.  知识点 3 三角形全等的条件（AAS） 相等 △A'B'C' AAS 3.如图，已知AC=EC，∠ACB=∠ECD，要利用“AAS”判定△ABC≌△EDC，应添加的条件是　 　.  ∠B=∠D 例：如图，已知∠B=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC ≌ △DEF. （1）若以“ASA”为依据， 还缺条件：　 　；  （2）若以“AAS”为依据， 还缺条件：　 　.  知识点 4 ASA与AAS的应用 ∠A=∠D ∠ACB=∠DFE 4.（2024南充）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.请说明：△BDE ≌ △CDA. 解：因为D为BC的中点，所以BD=CD. 因为BE∥AC，所以∠E=∠DAC，∠DBE=∠C. 在△BDE和△CDA中， ， 所以△BDE≌△CDA（AAS）. 5.【例1】（北师7下P102）如图，BE与CD交于点A，且∠C=∠D.添加一个条件：　 　，使得△ABC≌△AED.  AC=AD（答案不唯一） 6.【例2】如图，∠1=∠2，∠3=∠4，则判定△ABD和△ACD全等的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.以上都不是 B 7.【例3】如图，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=∠C，AD=AE.试说明：△ABD ≌ △ACE. 解：因为∠BAC=∠DAE=90°， 所以∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC. 所以∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ， 所以△ABD≌△ACE（AAS）. 8.【例4】（人教8上P44）如图，点B，F，C，E在一条直线上BF=CE，AB∥DE，∠ACB=∠DFE.试说明：AC=DF. 解：因为BF=CE，所以BC=EF. 又因为AB∥DE，所以∠B=∠E. 在△ABC和△DEF中， ， 所以△ABC≌△DEF（ASA），所以AC=DF. 9.（2024黑龙江）如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D，E，F三点共线，请添加一个条件　 　，使得△AED≌△CEF（只填一种情况即可）.  DE=EF或AD=CF（答案不唯一） 10.如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ） A.ASA 　　B.SSS C.AAS 　　D.以上都不是 A 11.如图，∠1=∠2，AD=AB，∠AED=∠C，试说明：△ADE≌△ABC. 解：因为∠1=∠2， 所以∠1+∠BAE=∠2+∠BAE， 即∠DAE=∠BAC， 在△ADE和△ABC中， ， 所以△ADE≌△ABC（AAS）. 12.如图，点C，F在BE上，BF=EC，AB∥DE，且∠A=∠D，试说明：AC=DF. 解：因为BF=EC， 即BC+CF=EF+FC，所以BC=EF. 因为AB∥DE，所以∠B=∠E. 在△ABC和△DEF中， ， 所以△ABC≌△DEF（AAS）.所以AC=DF. ★13. 0.45（北师7下P117）如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于点D，AD=5 cm，DE=3 cm，求BE的长度. 解：因为BE⊥CE，AD⊥CE，所以∠E=∠ADC=∠ACB=90°， 所以∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠DCA=90°， 所以∠EBC=∠DCA， 在△BEC和△CDA中，， 所以△BEC ≌ △CDA（AAS），所以CE=AD=5 cm，BE=CD， 因为DE=3 cm，所以BE=CD=CE-DE=5-3=2 cm. 布置作业 请完成课本P24-P25对应习题 $$