专题：将军饮马模型知识点梳理2024-2025学年北师大版数学七年级下册

专题：将军饮马模型解决短路径问题 【背景知识】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短?这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称. 【解题思路】找对称点，实现折转直 模型一：一动两定型(两点一线型) 1. 两点在直线异侧线段和最小值问题 已知：两定点A，B位于直线l两侧，直线l上有一动点P. 计算：PA＋PB的最小值． 作辅助线：连接AB交l于点P. 结论：即点P为所要寻找的点，即当动点运动到了点P处时，PA＋PB的最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短． · 模型证明：如图，两定点A，B位于直线l两侧，在直线l上取一点Q，使得QA＋QB的最小值． 作辅助线：连接AB，与直线l的交点即为点Q的位置 证明：点P为直线l上任意一点，在△PAB中，由三角形三边关系可知：AP＋PB＞AB (三角形两边之和大于第三边)；当动点在点Q的位置时，QA＋QB的值最小，最小值为AB的长度. 2. 两点在直线同侧线段和最小值问题(将军饮马) 已知：两定点A，B位于直线l同侧，直线l上有一动点P. 计算：PA＋PB的最小值． 作辅助线：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交l于点P. 结论：最小值为AB′的长． 原理：对称点的连线被对称轴垂直平分，两点之间线段最短． · 模型证明：如图1，两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上取一点C，使得CA＋CB的最小值． 作辅助线：如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB＝ ，C′B＝ ，(轴对称的性质) ∴AC＋CB＝AC＋CB′＝ ．(等量代换) 在△AC′B′中， ∵AB′＜AC′＋C′B′，(三角形两边之和大于第三边) ∴AC＋CB＜AC′＋C′B′ (等量代换) 即AC＋CB最小值为AB′的长度． · 本模型实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线)．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 3. 直线同侧线段差最大值问题 已知：两定点A，B位于直线l同侧，直线l上有一动点P. 计算：|PA－PB|的最大值． 作辅助线：连接AB并延长与直线l交于点P. 结论：最大值为AB的长． 原理：两边之差小于第三边． · 模型证明：如图，两定点A，B位于直线l同侧，直线l上有一动点C，在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|CA－CB |最大 作辅助线：延长BA交直线l于点C，点C即为所求，即点B、A、C三点共线时，|CA－CB|的最大值，最大值为AB的长度. 证明：点C1为直线l上任意一点，在△ABC1中，由三角形三边关系可知：AC1－BC1＜AB(三角形两边之差小于第三边)；当动点在点C的位置时，|CA－CB|＝CB－CA＝AB，所以当动点在点C的位置上时，|CA－CB|的值最大，最大值为AB的长度. 4. 直线异侧线段差最大值问题 已知：两定点A，B位于直线l两侧，直线l上有一动点P. 计算：|PA－PB|的最大值． 作辅助线：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长，与直线l交于点P. · 模型证明：如图，两定点A，B位于直线l两侧，直线l上有一动点C，在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|CA－CB |最大 作辅助线：作点A关于l的对称点A1，连接A1B，交交l于点C即为所求，最大值为A1B的长度. 证明：通过轴对称的性质可知AC＝A1C，确定点A1的位置后，|CA－CB |最大的计算确定就与直线同侧线段差最大值问题相同. 练习1. 1. 如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短? 2. 如图，点A，B位于直线l的两侧，点C为直线上一动点，当点C运动到何处时，|CA－CB |的值最大?请在图中画出点C的位置. 3. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝4，AD是中线，点E是AB上一动点，P为AD上一动点，S△ABC＝6， 求PB＋PE的最小值. 4. 直线a是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气.在下面四种方案中，铺设管道最短的是( ) 5. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为( ) A．7 B．6 C．9 D．10 6. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是( ) A.BC B.EC C.AD D. AC 7. 如图所示，在锐角三角形ABC中，AB＝15，△ABC的面积为90，BD平分∠ABC，若EF分别是BD，BC上的动点，则CE＋EF的最小值为( ) A. 12 B. 15 C.18 D.9 8. 如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，腰AC的垂直平分线交AC于点M，交AB于点N，D为底边BC的中点，P是MN上一动点，连接PD，PC. 已知∠BAC＝45°，则当△PCD的周长最小时，∠PDC的度数为 . 模型二：　两动一定型(一点两线) 1. 已知：点P是∠AOB内部的一定点，M为OA上一动点，N为OB上一动点． 计算：△PMN周长的最小值． 作辅助线：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P″，连接P′P″交OA，OB于点M，N. 结论：最小值为P′P″的长． · 模型证明：在直线l1，l2上分别求点M，N，使△PMN的周长最小. 作辅助线：分别作点P关于两直线l1，l2的对称点P′，P″，连接P′，P″，与两直线的交点为点M，N. 证明：因为△PMN的周长＝PM＋MN＋PN，通过轴对称的性质可知PM＝P'M，PN＝P″N， 由此可得△PMN的周长＝PM＋MN＋PN＝P'M＋MN＋P" N， 所以当点P′，M，N，P″四点共线时，P'M＋MN＋P" N＝P′P″， 即当点P′，M，N，P″四点共线时，△PMN的周长最小，为P′P″的长度(两点之间，线段最短) 2. 已知：∠AOB内部或边上一定点P，OA上一动点M，OB上一动点N. 计算：PN＋MN的最小值． 作辅助线：作定点P关于动点N所在直线的对称点P′，过点P′向动点M所在直线作垂线． 结论：PN＋MN的最小值为P′M. · 注：也可作点P关于OA的对称点P″，再过点P″作OB的垂线即可． 原理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． · 模型证明：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短． 作辅助线：作定点A关于动点B所在直线(直线OM)的对称点A′，过点A′向动点C(直线ON)所在直线作垂线，垂足为点C的位置，得线段A′C，线段A′C与OM的交点为点B的位置． 证明：通过轴对称的性质可知AB＝A′B，所以AB＋BC＝A′B＋BC， 计算A′B＋BC的最小值时，可转化为计算点A′到OM的最小距离， 又因为直线外一点到该直线的最短距离为垂线段的长度 所以当A′C⊥ON时，AB＋BC＝A′B＋BC有最小值，最小值为A′C的长度. 练习2. 1. 如图，牧马人从A地出发，先去草地m处喂马，然后到一条笔直的河l的岸边饮马，牧马人到草地的什么地方喂马，再到河边的什么地方饮马，可使他到河边l饮马时所走的路程最短? 2. 如图，公园内有两条河m和l，两河形成的半岛上有一处古迹A，现在m和l上分别建造一座小桥C和D，并用三条公路分别连接AC，AD，CD，在图中画出点C和点D的位置，使得△ACD的周长最小. 3. 如图所示，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请指出最短路径. 4. 如图所示，在锐角三角形ABC中，∠ACB＝50°边AB上有一定点P，M，N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，求∠MPN的度数. 5. 如图，小美一家从停车场A处，先去滨水岸线景观带(直线m)找一点B处观赏风景，再去溪流l边上的一点C处扎营，最后回到停车场A处.请你确定B，C两地的位置，使得小美一家所走的路程最短(不写作法，保留作图痕迹). 6. 如图，在四边形ACDB中，∠CAB＝114°，MN分别是BD、CD上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN 的度数为( ) A.66° B.48° C.57° D.90° 7. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点 M，N，使△AMN 的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的度数为( ) A.130° B.120° C.110° D.100° 8. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F.若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 9. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，E，F分别是BC，DC上两动点，连接AE，AF，EF，当△AEF的周长最小时，求∠EAF的度数. 10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，点N，P，Q分别为边AB，AC，BC上的动点，连接NQ，NP，PQ，若BC＝6，S△ABC＝24，则△NPQ的周长的最小值为 . 11. 如图所示，某住宅小区计划在休闲场地的三条道路l，m，n上修建三个凉亭A，B，C且凉亭用长廊两两连通，如果凉亭A，B的位置已经选定，那么凉亭C建在什么位置才能使工程造价最低?请简要说明理由. 模型三：两点两线型 已知：∠MON内部有两定点A，B，OM上一动点C，ON上一动点D. 计算：四边形ABCD周长最短． 作辅助线：作点A关于OM的对称点A′，作点B关于ON的对称点B′，连接A′B′，A′B′与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求． 结论：四边形ABCD的周长最小值为A′B′＋AB. 原理：两点之间，线段最短 · 模型证明：在直线l1，l2上分别求点M，N，使四边形PMNQ的周长最小 作辅助线：分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P′，Q′，连接P′Q′，与两直线的交点为点M，N. 证明：四边形PMNQ的周长＝PQ＋QN＋MN＋MP，其中线段PQ为定值， 通过轴对称的性质可知MP＝MP′，NQ＝NQ′， 通过等量代换可得：QN＋MN＋MP＝NQ′＋MN＋MP′， 所以，当点P′、M、N、Q′四点共线时，NQ′＋MN＋MP′的值最小(两点之间线段最短)，最小值为P′Q′的长度 即，四边形PMNQ的周长最小值为＝PQ＋P′Q′ 练习3. 1. 如图，点A，B位于直线m，l所成角的内部，在直线m上取一点C，在直线l上取一点 D，使AC＋CD＋DB 之和最小. 2. 如图所示，在长方形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的定点，分别在边BC，CD上找出点G，H，使得四边形EFGH的周长最小. 3. 如图所示，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地边l1放羊，然后赶羊到小河边l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置. 4. 如图是一个由AB，AC，BC三面墙围成的三角形粮仓，D，E是AC墙上两定点.现需要在AB，BC上分别确定M，N两点，用栅栏沿DM，MN，NE将粮仓分成四个区域存放不同的农作物，若要尽量节省栅栏，请画图确定M，N两点的位置(在图中画出符合题意的点，保留作图痕迹，不写作法). 5. 如图，甲，乙，丙，丁四人做接力游戏，开始时，甲站在长方形操场ABCD内部的E点处，丙在BC的中点G处，乙，丁分别站在AB，CD边上.游戏规则是，甲将接力棒传给乙后跑回原点，乙传给丙，丙传给丁，最后丁跑回传给甲.如果他们四人的速度相同，试找出乙，丁站在何处，他们的比赛用时最短(请画出路线，并保留作图痕迹，不写作法). 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$