湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期数学模拟试卷（二）

湖南师大附中2025届模拟试卷（二） 数 学 命题、审题：张汝波、王丹、吴浩、肖文轩、吴雪飞、李玲 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 剑 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.已知全集U=AUB={x∈N0≤x≤4}，A∩(CuB)={1,2,3},则集合B= A.(0} B.(4} C.{0,4) D.(1,2,3,4) 2.“sin0cos>0”是“角0为第一象限角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在复平面内，O为坐标原点，复数1一i,一1十2i对应的向量分别是OM,O,则MN对应的复 的 数为 A.-2+31 B.i C.2-3i D.-i 4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-o∞，0)上单调递增，若实数a满足f(2a-")> f(-√2)，则a的取值范围是 A(合，引 B(-,)U(侵，+∞} c(-∞，) D.(侵，+∞ 5.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,2)(g>0), 试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的号，则此次数学 考试成绩在90分到105分（含90分和105分）之间的人数约为 A.150 B.200 C.300 D.400 6,已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，以其底面圆心为球心，底面半径为半径的球和圆锥 表面的交线长为 A4π B.5π C.(4+2√3)π D.6x 数学试题（附中版）第1页（共5页） 7.已知数列{an}的前n项和为Sm,对任意的n∈N”,都有3S,=an十64.若Tm是数列(a,}的前n 项积，则T.的最大值为 A.29 B24 C.215 D.216 x2e,x<1, 8.已知函数f(x) 方程[f(x)]-a2f(x)=0(a>0)有两个不等实根，则下列选项 2x≥1， 正确的是 A.2是f(x)的极大值点 B.函数h(x)=f(x)一x无零点 Ca的取值范围是（总，）U[6,+o) D.3∈(0,1)，2∈(1,3)，使f(x)>f(x2) 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知sin叶cosB=58e(0,,则下列各式正确的有 人n2g器 Bsng-cosg-±号 C.名 Damg=-号 10.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱 中随机取出一球放人乙箱，分别以A1,A2和A表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的 事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则 A.事件B与事件A3相互独立 BPA|B)-号 CPA,B)=是 DPB)=是 11.已知P为抛物线C:x2=4y上一点，F为C的焦点，直线1的方程为3.x十4y十6=0，则下列说 法正确的有 A若A(3,4),则|AP+PF≥5 B.点P到直线l与到直线y=一2的距离之和的最小值为2 C.若存在点P,使得过点P可作两条垂直的直线与圆x2十(y一4)2=2相切，则r的取值范 围为r≥6 D.过直线I上一点E(点E不在x轴上)作抛物线的两条切线，切线分别交x轴于点A,B, △EAB外接圆面积的最小值为π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知圆台上下底面半径分别为1和2，母线与下底面所成角为60°，则圆台侧面积为 13.若函数f(x)=5sin(x十0)十12cos(x十0)为奇函数，则tan0= 数学试题（附中版）第2页（共5页） 14.已知双曲线C号-y=1,A,B分别是C的左右顶点，P是双曲线C上与A,B不重合的 动点，直线PA,PB与x=1交于M,N两点，△PMN,△PAB的外接圆半径分别为r1,3,则 的最小值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，已知AB=2,AC=5,∠BAC=60° (I)求sin∠ACB; (2)设BC.AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,求cos∠MPN. 16.(本小题满分15分) 甲、乙，丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是号，甲投中而丙未投中的概宰是言·乙投 中而丙未投中的概率是】 (1)请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； (2)现将投篮水平较低的两人组成一组（记为A组），与投篮水平较高的人（记为B组）进行投 篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮2次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组 获胜，求B组获胜的概率 数学试题（附中版）第3贞（共5页） 17.(本小题满分15分)》 三棱锥P-ABC中，底面△ABC为等腰直角三角形，CA=CB=2√2，PA=√0.点P在底面 ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点， (1)求PB与平面PCE所成角的正弦值： (2)设AB靠近B的四等分点为F,D是平面ABC内的动点，且C,D在直线AB的两侧，满足 DE十|DF=4.试探究是否存在点D使得平面PBD⊥平面PBC?若存在，请求出DE 的长度；若不存在，请说明理由。 18.（本小题满分17分)》 已知函数fx)=x(x-alhx-),a∈R (1)若0≤a≤2，试判断函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)有三个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x). (1)求a的取值范围； (I)若存在正整数M,使得ax十x3≥M恒成立，求M的最大值 数学试题（附中版）第4页（共5页） 19.(本小题满分17分) 对于有穷数列Ao:a1,a2,…,an,若存在i,j∈{1,2,3，…，n},使得a一a,≥2，则将数列Ao进 行操作变换T:将a,减1，a,加1，其余项不变，得到数列A1,记为A,=T(A。).从A。开始进 行m次操作变换T.依次得到数列A1,A2,…,Am,即A,=T(A,-1),i=1,2,…,m (1)已知数列A,:一2,0,1,3，是否可以通过m次操作变换T得到如下数列？ ①-4.2,1.2；②0.0,0,2， 若可以，请写出种满足题意的A1,A2,…,Am:若不可以，请说明理由： (2)已知数列Aa:a1,a2,…,am是公差为1的等差数列，若从A。开始进行m次操作变换T后 得到数列Am:3,3,3,3,3,求m的所有可能值. (3)已知数列A。:1,2,,20,将数列A进行m次操作变换T,直到这种操作不能再进行时为 止，求m的最大值 数学试题（附中版）第5页（共5页）湖南师大附中2025届模拟试卷（二） 数学参考答案 题号12345678910 11 答案CBAA CD CDAD BDACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.C【解析】全集U=AUB={x∈N0≤x≤4)=《0,1.2,3,4，.CuB二A,又：A∩n(CB)=(1,2,3, .(1,2,3}二A,{1,2,3)=CuB,集合B=(0,41.故选：C 2nB【解析】当角0为第一象限角时，sin>0,cos6>0,則sin dcos>0:反之，当sin dcos>0时，sin6>0,cos>0或sin8<0, cosK0,则日为第一象限角或0为第三象限角，所以“sin Ocos0"是“角日为第一象限角"的必要不充分条件.故选：B 3.A【解折】复数1-i,-1+2i对应的点为M1,-1),N(-1,2),所以MN=0N-0M=(-1,2)-(1,-1)=(-2,3),对应 复数为一2+3i故选：A 4A【解折1由题老得-2-)>-2)→-21>一顶→21<2→a-1川<分→<a<号，故达：A 5C【解折】国为P(X<90)=P(3XD120-吉，PC90<X≤120)=1-号-号，所以P(90≤X≤105)=含P(90<X<120)=是 所以此次数学考议减绩在90分到105分（含90分和105分）之间的人盘约为100×品-30， 6.D【解析】圈维与球的交线为两个围，一个为国维的底面圃，周长为4红，另一个为所有母线的中点构成的圃，周长为2红，故交线长 为6元 7.C【解析】当n=1时，3S,=a+64=3a1,解得a1=32, 当22时a.-38-3-1a.t-a-十64，参理得品=一士， 数《a}是首项为32，公比为-之的等比数列。 故a.=(-1)-1X2-m 法-：又Tn=a1a2an=25X(-2)×2×…X(-1)-1×2-", 枚当n=4快一2，k∈N”,或n=4k一1，k∈N”时，T,<0,显然，此时不可能取得最大项： 当n=4k-3,k∈N时，T>0, 此时T,=2-日-出=2+-，根据指数型复合画鼓的单调性， 当且仅当k=2时，丁.取得最大值T3=2, 当m=4k,k∈N时，T>0,此时T=22+拟， 根据指数型复合函数的单调性， 当且仅当k=1时，T。取得最大值T,=2: 综上所迷：T,最大值为T3=25 法二：枚举法 a=32,a2=-16,a=8,a4=-4,0s=2,a4=-1,… 易得T,最大值为T=2 故选：C 8.D【解析】当x<1时，fx)=x2c,则了(x)=(x+2x)e=x(x+2)e, 当x∈(-∞，一2)U(0,1)时，了(x)>0,f(x)在(-∞，-2)，(0,1)上单调递增， 当x∈(-2,0)时，f(x)<0,f八x)单调递减，且f-2)=,0)=0: 当21时，x)=号，别了(x)=2, 当x∈(1,2)时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(2，+o∞)时，了(x)>0,f(x)单门道地， 且f1)=e2)=号，且fx≥0楼成立，画出画数/：)的国象如下： 数学参考答常（册中版）一1 4 -2 0 对于A,由图可得2是f八x)的极小值点，故A错误： 对于B,国为x=2时y=号<2，牌点（么.宁）在直线)=下方，而点1,0在直线)严上方 则函数h(x)=∫八x)一x必有零点，故B错误： 对于C,方程[fx)]-a2f(x)=0(a>0)等价于fx)=0或f(x)=a2, 由图可得fx)=0有1个实数根x=0,方程[f(x)]-a2f(x)=0(a>0)有两个不等实根， 等价于八)=心2有1个非本实根，则由因可得<公<号我>e, 解得子<a<受我>6，故C储误： 对于D.由图可得，当∈(0,1)时f()∈(0，e), ”<3,故3)=号<背=，截结合图泉可得∈1,3)时)∈[年e), 故∈(0,1)，x∈(1.3)，使f()>f(x),故D正确：故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得 部分分，有选错的得0分. 9AD【解折]A项：由己知：i计co时计2sin0s广云国此s如2g=2no0s=一器故A项正确 B项：国为如如sK0,且c(0:x),所以c(受小.国光血-0sD0.又国为(sm广c0sD2=1-2如os广号国光 s如食-c0sg=子，故B项错误： C项：cos29=co心simg=(cos产nD(eas计如D=一云，故C项错 sim计cos=片.∫m=分 D项：由方程组 解得 sm广cos子."cos-g 7 于是an=一子，故D项正确， 故选：AD 10.BD【解折】由题意知：PA)=品-立，P(A)=品=号，P(A)=P(BlA)=音P(B到A:)=音，P(B到A,)=音 P(B)=P(A)P(BlA1)+P(A)P(BA:)+P(A)P(B到A)=X号+号×告+是×-是D正： A,1BPA=PA2PcBA2之Xi-B正确 P(B) 9 PAB)-PA)P(BA)=号×分-高，C错误： PAB)=PAP(BlA,)-音×分-需PAP(B)=是×是-易： 27 P(AB)≠P(A)P(B),.事件B与事件A,不相互独立，A错误 故选：BD 11.ACD【解析】对于A,抛物线C:x=4y,焦点F(0,1),准线n:y=一1，A(3,4), 过点P作准线m:y=一1的垂线，垂是为Q, 再过点A作准线m:y=一1的垂线，垂足为B, O B m 数学参考答案（附中版）一2 由抛物线定义可知：|AP叫+|PF|=|AP|+|PQ|≥|AB|=4-(-1)=5,故A正： 对于B,过点P作准线m:J=一1的垂线，垂足为Q,交直线：y=一2于点八， 过点P作直线l:3x十4y十6=0的垂线，垂是为H, 过点F作直线1：3x十4y十6=0的童线，垂足为G 由点F到直线1：3x+4y十6=0的距离公式可得：FG1=3X0+4X+6l-9=2, V9+16 则点P到直线！与到直线y=一2的距离之和为： |PH|+|PN|=|PH|+|PQ|+1=|PH|+|PF|+1≥|FGl+1=2+1=3,故B错误： 对于C, 根据过点P可作两条垂直的直线与图x2十(y一4)2=户相切，如图，设切点为T,可知|MP|=√PT+F, 由于两条切线叠直，可知∠MPT=子，即|PT=r,所以有MP|=En 从而把问题转化为抛物线上存在点P到国心M的距离为√2r, 先求地物线上点P(x0,为)到国心M(0,4)的距离： 1MP|=V√+(0-4)T=√4%+6-8%+16=√(b-2)+12≥23， 当地=2时，|MP|取到最小值25， 即2r≥23，解得r≥6，故C正确. 对于D,切线EA,EB与提物线分别切于M,N,M(a,手)N(,) 国为y=子，故y=受故=号，=受， 故EA:y-号(x一)+月-号x-平，同理EB:y=号红4 可得 量故（老，） 又A(受)故=(-登-平)A-(受-1) 故，F=-+=0,同理成·F市=0，故EALFA,EB1FB, 4 所以E,A.F,B四点共围，且△EAB的外提圆的直径为EF, |EF引m即为F到直线3x十4y十6=0的距离，此距离为2. 故|EF引m=2.即△EAB的外接图的半径的最小值为1，故△EAB的外接国面积的最小值为元 故选：ACD 数学参考答案（册中版）一3 三、填空题：本题共3小题，每小愿5分，共15分. 12.6x【解析】依题店，国台的高为，母线长为2故创面积S=是(2十4m)×2=6元 18.-号【解析】由精助角公式，得/)-13sn(x十叶g),共中ang号.又因为a)为寸品数，所以0叶gkm∈2刀，于是0 12 =一p十k标，放an0=an(一g十x)=一an华=一 129 【解析】由已知得，A(一3,0)，B(3,0),由双曲线的对称性，不坊设P(x,y)在第一象限， 会 所似如市如六嘴如市六喜号-， 设直线PA的方程为：y=(x十3)，>0，则直线PB的方程为：=成x一3)， 同时令x=1,则W=w=一录，所以MN=十员>0且k≠号，设△PMN,△PAB的外接国的半径分别为nn: 2 由正弦定理得，2n= MNI MNL ABI sin2MP-sn2AP西：2n=sm2APi' 2 所以兰=M= 9 当且仅当仙=最即-号时取等子 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解折]1)由余弦定理得BC=AB+AC-2AB·AC·c0s∠BAC=2+52-2X2X5×号=19，得BC=√丽 。…2分 由E独定理得n识Cn得血乙ACB BC 2X 57 √19 19 …分 (2)设A=c,A心=b,则b与c的夫角为60.又国为AM,BN为中线，所以有M=之(b叶c),B亦=AN-A店=号b-c= 7b-2c). 44…6分 于是-[是叶e)]了-子+e+2be)=碧，所以11=里 …8分 网，动- …10分 又M.=(b叶c)…是(b-2e)=3,… …12分 片oNPN=时- 脑或=4厘 4…13分 16【解析】(1)丙投篮水平较高，理由如下： 设甲、乙、丙三人各自独立投蓝投中的概率分别为，P:,, PPag 由题意，得 n1-a)=言1-A)=古 解得A=子=子A=子 p仍>p们=归，丙投篮水平较高： …6分 数学参考答案（附中版）一4 (2)记A组投中次数为XB组投中次盘为X,由(1)知X一B(4,宁)，X一B(2,), 若B组莪胜，则X3=0,X2=1或X1=0,X2=2或X1=1,X2=2,… …9分 ∴Px,=0=1)=C(合)°（号）'a(分)'（合）'=是 px=0.x=2)=c(分)°（号）'c(合'（合）°-奇： Px=1x-2)=c(传)'（号）'a(合)'（受）°=景， 故B姐拔胜的报率为P=P(X=0,X=1D+P(X=0,X=2)+P(X=1,X=2)=景+分+骨=器 …15分 17.【解析】(1)连接PE,依题意，有PE⊥平面ABC,且PE=√PA一A区=3. 又国为PEC平面PEC,所以平面PEC⊥平面ABC,CE为交线. 过B作BG⊥CE于点G,连接PG,有BG⊥平面PEC, 故∠BPG为PB与平面PCE所成角。…3分 △BCE中，CB=2反，BE=3,∠CBE=开，由余孩定理有CE=5. 5ac=CE,BG-合Bc:BEn年，所以BG-层 又PB=VPE+B驱=3，E,所以$∠BPG=器-=俨 5 即PB与平西PCE所成角的正弦值为 5 …7分 (2)假设存在点D满足委求，则二面角C-PB-D为直二面角，即二面角C-PB-A和二面角D-PB-A和为90°.…9分 取AB中点O,连接CO,过O作ON⊥PB于点N,连接CN, 有CO⊥AB,故CO⊥平面PAB.所以CO⊥PB,又PB⊥ON且ON∩CO=O, 故PB⊥平面CON,所以∠CNO为二面角C-PB-A的平面角， CO=2,ON=2,所以tan∠CNO=2. 过D作DH叠直AB于点H,过H作HQ垂直PB于点Q,连接DQ,同理可得∠DQH为二面角D-PB-A的平面角， 所以an∠D0H=号， +**…12分 在平面ABC中，以O为原点，OB为x轴正方向，CO为y轴正方向建立平面直角坐标系，依题意，D点轨迹为以E,F为焦点的 辅国，共标准方程为：千+号=1(>0)， 设D点横坐标为x,则DH=√3(1-平)，BH=2-,HQ-号(2-)， 所以n∠DQ时胎-号解得=-1，故预镜成主，此时DE=是 4415分 18【解析1(1)由题意，x>0,且f(x)=x2-axin x-1,∴了(x)=2x-a(lnx+1). 1”,当a=0时，∫(x)=2x>0,故f(x)在(0，十o∞)上单调递增： 2,当0<a≤2时，令g)=了x,则g(x)=2-是，易知g(x)单调递增， 由g(x)=0得x=号∴x∈(0，号)时g(z)单调道减x∈（受，十∞）时，g(x)单调递增。 ∴gx)≥g(号)=-aln号≥0，即了(x)≥0，∴x)在(0，十∞)上单调递增. (2)(1)易得(1)=0，故1是了(x)的零点之一 1°，当a∈[0,2]时，由(1)知，f八x)最多一个零点，不符条件： 2°，当a<0时，-a>0,∫(x)=2x一a(lnx+1)为单调增画数， 又，了(1)=2-a>0,x+0时，广(x)→-o∞， ∴，3xo∈(0,1)，使得了(xo)=0,且x∈(0，)时，(x)单调递减，x∈(x0,1)时，单调递增， 八x)最多2个零点，不持条件： 3”,当>2时，由(1)易知，x∈(0，号)时，g(x)单调递减，x(号，十∞)时，g(x)单调递增. 数学参考答案（附中版）一5 8xm=g(受)=-ah受<0， 又f1)=2-a<0f(）=&fa2)=2x2-ana2+1)=a2a-2ha-1>a[2a-1-2a-1]=a>0. ∴3m∈（日1）ne1,.使得了m）=0,f=0, ∴fx)在(0，m),(m,十o∞)单调递增，(m)单调道减，由f(1)=0,得f八m)>0,f(m)<0, 而x一0时，Jf(x)+一1x→+o∞时，f（x)+十∞，∴f(x)有三个零点，且0<<x=1<x, 练上，0>2 …1】分 （)n函是f八x的零点，且0<<1<n-anln五-1=0a=1 In 又兮)=+n-1-+a的二-0 ian+=+◆a)=6+0<4a=h一2aeo,.e=lhg-eo,》, x+1 x e)-二贵>0r)=士-宁<0，h准0,1)单消递增，r在0，山单满递流4<A1)=0到>r =0, 中h<2,h>是t+g-6+<号+++号 x十1 令M)=r+z+xe0,1.Nx)=号+x++ze0,1), 又M(x)=2x+1-子在(0,1)单调递增，且M(合)=-2<0，M)=2>0“3(受，1)，使M0=0,=2中 Mx)在0,0单调递减，在，1单满递增，M≥M0=2十+>2，pa)>M冰x)>2 又"ga<N.g(号)v(号)=号+号++是-2+号<3∴g以xm<3. 综上，(x)m∈(2,3)，整数M的最大值为2. 19.【解析】(1)①不可以，理由：注落到每一次操作变换T不改变a1十a十…十an的值，而一4十2+1+2=1≠一2+0+1十3，故①不 可以： ②可以，操作如下：A一1.一1,1,3，A:一1,0,0.3：4：0,0,0,2（其他合理答案均可）.…4分 (2)由于每一次操作变换T不改变a1十a1十…十a。的值，也没有改变数列的项数，故a1十a2十…十as=3X5=15,a1,a:,a,a4, as是公差为1的等羞数列，故数列A。为：1.2.3,4,5. 当a一a≥2时，(a-1)2+(a,十1)2=a+a时+2(a一a十1)≤a十a-2,即每次操作后，新数列各项的平方和至少减少2，且 每次减少的数为偶数，而as一@=4，故每次操作后新数列各项的平方和至多减少6. 记数列A的所有项平方之和为，则6=12+2”+32十4+5=55，∫m=32+32+33+32+32=45,于是6一了n=10,故m ≤5. 当m=3时，存在操作变换T:A1:2,2,3,4,4A:2,3,3,3,4A3,3.3.3,3. 当m=4时，存在操作变换T:A:2,2,3,3,51A:2,2,3,4,4:A:2,3,3,3,4:A:3,3,3,3,3. 当m=5时，存在操作变换T:A1:2.2,2,4,5:A:2,2,3,3,5:A:2,2,3,4,4:A:2,3,3,3,4As:3,3,3,3,3. 当m=1,2时，不存在相应的操作变换丁满足条件. 练上，m的所有可能值为3,4,5.…10分 (3)由题意，每一次操作支换T不改变a1十a2十…十a,的值，也没有数变数列的项数，而1十2+…十20=210，固此操作停止时， 数列Ama1,a,…,aw中应该含有10个10,10个1山，由(2)可知，由于每次操作后，新数列各项的平方和至少减少2， 记数列A的所有项平方之和为f1,则f6=12+2十…十202=2870，f。=10×102+10×112=2210,于是f。一f。=660,故m ≤330. 下面证明：存在330次操作变换T满足题意. 若数列中的最大数与最小数之间的所有垫数至少出现一次，剥称请数列为“连埃数列”则A。:1,2,,20为连续数列，记其中的 最大值为b,最小值为a(仿一a≥2)，先对a与a十2操作，再对a十1与a十3操作，然后对a十2与a十4操作，…，直到对b-2与b 操作，经过这样一轮操作后，数列中等于a,b的数减少一个，等于a十1，b一1的数增加一个，并且此时数列依旧为"连续数列 从A0:1,2,,20开始反复进行上迷操作，直到不能操作为止，国每次操作恰使得f一-1=一2，故操作次数拾好为330次. 馆上，m的最大值为330。…17分 数学参考答案（附中版）一6