图形的性质 0.7 特殊四边形的性质及判定 学案2025年九年级中考数学复习

图形的性质 0.7 特殊四边形的性质及判定 考点1: 矩形 1. 矩形的性质与判定 (1)定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 (2)矩形的性质 边：对边平行且相等 角：四个角都是直角 对角线：矩形的对角线互相平分且相等 对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形，有2条对称轴，对称中心为两条对角线的交点 (3)矩形的判定 角：①有一个角是90°(或直角)的平行四边形是矩形 ②有三个角是90°(或直角)的四边形是矩形 对角线：对角线相等的平行四边形是矩形 2. 矩形面积：面积计算公式：S＝ab(a，b表示边长). 练习1. 1. 下列命题中，为真命题的是( ) ①对角线互相平分的四边形是平行四边形 ②对角线互相垂直的四边形是菱形 ③对角线相等的平行四边形是菱形 ④有一个角是直角的平行四边形是矩形 A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 2. 在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为( ) A．4 B．6 C．8 D．10 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC， PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是( ) A． B． C． D． 4. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB'C'D'，当点C，B'，C'三点共线时，AB'交DC于点E，则DE的长度是( ) A． B． C． D． 5. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K,FG交CD于点H．给出以下结论：①EF⊥BG；②GE＝GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF＝75°．其中正确的结论共有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6. 如图，▱ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ ． 7. 如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC 与BD相交于点O，AC＋BD＝22，则△BOC的周长为 ． 8. 如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA＝．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE＝ ． 9. 已知矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B'，把纸片展平，连接BB'，CB'，当△BCB'为直角三角形时，线段CP的长为 ． 10. 北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等(如图①中S矩形AEOM＝S矩形CFON)”.问题解决：如图②，M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接BM，DM.若CF＝4，EM＝3，DF＝2，则MF＝ ． 11. 如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD． (1)求证：AD2＝DE·DC； (2) F为线段AE延长线上一点，且满足EF＝CF＝BD，求证：CE＝AD． 12. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4m，CE＝1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1m，参考数据≈1.73) (1)求PQ的长； (2)该充电站有20个停车位，求PN的长． 13. 如图，矩形ABCD中，E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H． (1)求证：△EDP∽△PCH． (2)若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长． (3)连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由． 考点2: 菱形 1. 菱形的性质与判定 (1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. (2)菱形的性质 边：对边平行，四条边相等 角：对角相等 对角线：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形，有2条对称轴，对称轴为两条对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点 (3)菱形的判定 边：①有一组邻边的平行四边形是菱形(定义) ②四边相等的四边形是菱形 对角线：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 2. 菱形面积 面积计算公式：S＝ah＝(a表示一条边长，h表示此边上的高，m，n表示对角线的长). 练习2. 1. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是( ) A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD C．OA2＋OD2＝AD2 D．AD2＋OA2＝OD2 2. 如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是( ) A． B．6 C． D．12 3. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形的边长为( )    A．6 B．8 C．10 D．12 4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线y＝x上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为( ) A. (－1，6) B. (－2，6) C. (－3，6) D. (－4，6) 5. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是( ) A．1 B．1－ C．0 D．3－2 6. 如图，在平行四边形中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，若四边形为菱形时，则a的值为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 7. 如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 . 8. 如图，菱形ABCD中，BC＝10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO＝ . 9. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF．若sin∠EAF＝，AE＝5，则AB的长为 . 10. 如图①，在矩形ABCD中，E，F分别是线段AD，BC边上的点，EF与BD相交于点O，且EF⊥BD，连接BE，DF，BE＝DF. (1)求证：四边形BEDF为菱形； (2)若∠ABE＝30°，且四边形BEDF的面积为4，求四边形BEDF的周长； (5)如图②，连接OC，若AB＝4，BF＝5，求tan ∠OCB的值. 图① 图② 考点3: 正方形 1. 正方形的性质与判定 (1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 (2)正方形的性质： 边：四条边都相等，对边平行 角：四个角都是直角 对角线：对角线相等且互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角 对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴，对称中心是两条对角线的交点 (3)正方形的判定 边：有一组邻边相等，并且有一个角是直角(90°)的平行四边形是正方形(定义)； 有一组邻边相等的矩形是正方形 角：有一个角是直角(90°)的菱形是正方形 对角线：①对角线互相垂直的矩形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形； ③对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 2. 正方形面积：面积计算公式：S＝a2＝l2(a表示边长，l表示对角线长) 3. 平行四边形与四边形、特殊四边形之间的关系 4. 中点四边形 概念：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形 原图形 任意四边形 矩形 菱形 正方形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线垂直且相等的四边形 中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形 · 连接任意四边形各边中点得到的四边形面积是原图形面积的一半 练习3. 1. 下列命题是假命题的是( ) A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． B．对角线互相垂直的矩形是正方形． C．对角线相等的菱形是正方形． D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形． 2. 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是( ) A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 3. 在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O.若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为( ) A.互相垂直平分 B. 互相平分且相等 C. 互相垂直且相等 D. 互相垂直平分且相等 4. 四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC'D'.若∠D'AB＝30°，则菱形ABC'D'的面积与正方形ABCD的面积之比是( ) A.1 B. C. D. 5. 如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是( ) A． B． C．－1 D． 6. 如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为( ) A． B． C． 2－ D． 7. 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上点B'处，则BE的长度为( ) A．1 B． C． D．2 8. 如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至点E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于点M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N，K .则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN∶S△ADM＝1∶4.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至点E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，连接DF，H是DF的中点，连接BH，则BH的长为 . 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE＝1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF＋EF的最小值为 . 11. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为 . 12. 如图，正方形ABCD的面积为4，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 .. 13. 如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE＝∠DAF． 【模型建立】(1)求证：AF⊥BE； 【模型应用】(2)若AB＝2，AD＝3，DF＝BF，求DE的长； 【模型迁移】(2)如图2，若矩形ABCD是正方形，DF＝BF，求的值． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$