精品解析：安徽省合肥市2023届高三二模数学试题

合肥市2023年高三第二次教学质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位． 2．答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效． 4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若集合，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ）. A. B. C. D. 4. Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量与时间t关系时，得到的Malthus模型是，其中是时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是时刻细菌数量的6.3倍，则t约为（ ）．（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 6. 某高中学校在新学期增设了“传统文化”、“数学文化”、“综合实践”、“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程．小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 52种 7. 在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点A和点B互为等差点．已知点Q是圆上一点，若直线上存在点Q的等差点P，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设A，B，C，D是曲线上的四个动点，若以这四个动点为顶点的正方形有且只有一个，则实数m的值为（ ）． A. 4 B. C. 3 D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的左、右顶点分别为，渐近线为直线，离心率为e．过右焦点F且垂直于x轴的直线交双曲线C于点P，Q，则（ ） A. B. C. D. 10. 下图是某汽车公司100家销售商2022年新能源汽车销售数据频率分布直方图（单位：辆），则（ ）． A. a的值为0.004 B. 估计这100家销售商新能源汽车销量的平均数为135 C. 估计这100家销售商新能源汽车销量的分位数为212.5 D. 若按分层抽样原则从这100家销售商抽取20家，则销量在内的销售商应抽取5家 11. 函数与函数的图象关于点对称，记，则（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于直线对称 C. 在所有实根之和为 D. 在上解集为 12. 已知正方体的棱长为1，点E，F分别是棱AD，AB上的动点，G是棱的中点，以为底面作三棱柱，顶点也在正方体的表面上．设，则（ ） A. ，直线与直线所成的角均为 B. ，使得四面体的体积为 C. 当时，直线与平面所成角的正切值为 D. 当时，若三棱柱为正三棱柱，则其高为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知．若，则实数的值为_______． 14. 若定义域为的奇函数满足，且，则________． 15. 第十九届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．为了让更多的同学了解亚运会，学校团委举行了“迎亚运，猜谜语”活动．甲、乙两位同学组队代表班级参加此次迷语竞猜活动．比赛共两轮，每人每轮各猜一个谜语．已知甲每轮猜对谜语的概率为，乙每轮猜对谜语的概率为，若甲、乙两人每轮猜对谜语与否互不影响，前后两轮猜对谜语结果也互不影响，则甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为___________． 16. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称为“果圆”，其中，如图．设，是“果圆”与坐标轴的交点，C为半椭圆上一点，F为半椭圆的焦点．若，则“果圆”的内接矩形面积的最大值为___________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，某地需要经过一座山两侧的D，E两点修建一条穿山隧道．工程人员先选取直线DE上的三点A，B，C，设在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为，B处的俯角为，C处的俯角为，且测得，试求拟修建的隧道DE的长． 18. 已知数列的前n项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 19. 如图，在多面体ABCFDE中，四边形ABED是菱形，，，平面ABED，点G是线段CD的中点． （1）证明：平面BCD； （2）若，求直线FG与平面ACD所成角的正弦值． 20. 地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况.控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER，PER分为PERl（导致早起倾向）和PERo（导致晚睡倾向）.某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验，以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERl突变的Sd指标: 实验鼠编号 1 2 3 4 5 6 7 8 Sd指标 9.95 9.99 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 实验鼠编号 9 10 11 12 13 14 15 16 Sd指标 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.4 10.5 9.95 长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严重. （1）从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望； （2）若编号1~8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9~16的为非GRPE蛋白干预对照组，试依据小概率值的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？ 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：（其中） 21. 已知抛物线的焦点为F，为其准线l与x轴的交点，过点E作直线与抛物线C在第一象限交于点A，B，且． （1）求的值； （2）设圆，过点A作圆M的两条切线分别交抛物线C于点P，Q，求面积的最大值． 22. 已知函数，其中． （1）若函数图像仅有一条垂直于y轴的切线，求m的取值范围； （2）讨论函数零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥市2023年高三第二次教学质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位． 2．答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效． 4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意得 ，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限． 故选B． 考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义. 2. 若集合，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次不等式求解集合，再利用集合的并集运算知识即可求出的值. 【详解】，. 故选：C. 3. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式求出和，再利用等差数列前项和公式求出. 【详解】解：因为是等差数列，设公差为， 因为，， 所以，则， 因为的前项和为，所以， 故选：. 4. Malthus模型是一种重要的数学模型．某研究人员在研究一种细菌繁殖数量与时间t关系时，得到的Malthus模型是，其中是时刻的细菌数量，e为自然对数的底数．若t时刻细菌数量是时刻细菌数量的6.3倍，则t约为（ ）．（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可知，，结合指对互化，即可求解. 【详解】当时，，即， 则，得. 故选：C 5. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题的描述，球内切于圆台，画出圆台的轴截面图，根据圆台的侧面积，和上下底面的面积关系求出球的半径，进而即得. 【详解】依据题意，球内切与圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示， 过点作的垂线，垂足为，设球的半径为，则， 设圆台的母线为，即，上、下底面的面积之比为，即，，由圆的切线长定理可知，， 圆台的侧面积为，解得，则，即， 则球的表面积. 故选：A. 6. 某高中学校在新学期增设了“传统文化”、“数学文化”、“综合实践”、“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程．小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 52种 【答案】B 【解析】 【分析】分两类：所选课程恰有一门相同和没有相同，利用排列、组合分别求出每类的种数，再利用分类计数原理即可求出结果. 【详解】当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时： 相同的课程为“数学文化”时，有种，相同的课程不是“数学文化”时，有种， 所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有种， 当小明和小华两位同学所选的课程没有相同时，有, 所以，两位同学不同的选课方案有， 故选：B. 7. 在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点A和点B互为等差点．已知点Q是圆上一点，若直线上存在点Q的等差点P，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据等差点的定义可得，利用三角代换，推出，求出其范围，结合即可求得答案. 【详解】由题意设， 由题意知，则， 由于点Q是圆上一点，故令， 则， 由于，故，则， 故， 故选：C 8. 设A，B，C，D是曲线上的四个动点，若以这四个动点为顶点的正方形有且只有一个，则实数m的值为（ ）． A. 4 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明的图象有且只有一个对称中心，设在函数右侧的图象上，由正方形的对称性，设直线的斜率为，则直线的斜率为，则可得，换元后利用判别式可求的值. 【详解】设，则，故为上的奇函数. 下证：的图象有且只有一个对称中心. 证明：设的图象的对称中心为，则恒成立， 故， 整理，得恒成立，故. 故以A，B，C，D为顶点的正方形的对称中心为原点. 不妨设在函数右侧的图象上， 由正方形的对称性，不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为， 故直线，直线. 由，可得，故， 同理，其中. 因为，故， 整理,得，即， 所以， 设，则，故在上仅有一个解， 因为对称轴且，故，故. 故选：D. 【点睛】思路点睛：三次函数图象上的对称图形问题，往往要考虑三次函数图象的对称性，另外可把图象上的对称图形的对称问题转化为某些变量的方程的问题来处理. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线的左、右顶点分别为，渐近线为直线，离心率为e．过右焦点F且垂直于x轴的直线交双曲线C于点P，Q，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件做出图形，利用双曲线的方程求出，结合双曲线的离心率公式及双曲线的渐近线方程，再利用两直线垂直的条件、两点间的距离公式及向量垂直的条件即可求解； 【详解】由，得， 所以，即. 所以，解得， 由题意可知，作出如图所示 对于A，，故A正确； 对于B，不妨设双曲线的两条渐近线分别为，所以直线的斜率为，直线的斜率为，所以，所以，故B正确； 对于C，由题意可知，,过右焦点F且垂直于x轴的直线方程为，由，解得或，所以,所以，故C错误； 对于D，由题意可知，，，所以，所以，，即，故D正确. 故选：ABD. 10. 下图是某汽车公司100家销售商2022年新能源汽车销售数据频率分布直方图（单位：辆），则（ ）． A. a的值为0.004 B. 估计这100家销售商新能源汽车销量的平均数为135 C. 估计这100家销售商新能源汽车销量的分位数为212.5 D. 若按分层抽样原则从这100家销售商抽取20家，则销量在内的销售商应抽取5家 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.根据频率和为1，计算的值；B.根据平均数公式，判断B；C.根据百分位数公式，判断C；计算销量在内的频率，再结合分层抽样，即可判断D. 【详解】A.由频率分布直方图可知，， 得：，故A正确； B.，故B错误； C.设百分位数，易得， 则， 解得：，故C正确； D.则销量在的频率为 所以抽取的20家，则销量在内的销售商为家，故D正确. 故选：ACD 11. 函数与函数的图象关于点对称，记，则（ ） A. 的值域为 B. 的图象关于直线对称 C. 在所有实根之和为 D. 在上解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数的对称性求出函数的解析式，利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的值域可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；求出不等式在上解集，可判断D选项. 【详解】在函数的图象上任取一点，则点关于点的对称点在函数的图象， 所以，， 所以，， 对于A选项， ， 所以，函数的值域为，A错； 对于B选项，因为， 所以，函数的图象关于直线对称，B对； 对于C选项，当时，，作出函数在上的图象如下图所示： 令，可得， 由图可知，直线与函数在上的图象有四个交点， 设这四个交点的横坐标由小到大分别为、、、， 由图象可知，点、关于直线对称，点、关于直线对称， 所以，在所有实根之和为，C对； 对于D选项，由可得， 当时，，可得，解得， 所以，不等式在上解集为，D错. 故选：BC. 12. 已知正方体的棱长为1，点E，F分别是棱AD，AB上的动点，G是棱的中点，以为底面作三棱柱，顶点也在正方体的表面上．设，则（ ） A. ，直线与直线所成的角均为 B. ，使得四面体的体积为 C. 当时，直线与平面所成角的正切值为 D. 当时，若三棱柱为正三棱柱，则其高为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，结合图形，利用空间向量法计算，即可判断ABC；由题意可知点分别为正方形、、的中心，利用勾股定理计算即可判断D. 【详解】设，则， 又，所以，解得， 即. A：建立如图空间直角坐标系， 则， 有， 所以，得，故A正确； B：因为，， ，， 有， 所以， 得， 所以. 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以，则点到平面的距离为， 所以四面体的体积为 ， 则该四面体的体积为定值，故B错误； C：由选项B的分析可知，当时，， 易知平面的一个法向量为， 则， 设直线与平面所成角为，为锐角， 则，所以，故C正确； D：当时，E、F分别为AD、AB的中点，由正三棱柱的特征可知， 点分别为正方形、、的中心，如图， 则， 有，则， 所以为正三棱柱的高，且，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】解决有关空间角、距离有关的存在性问题时，一般建立空间直角坐标系，把几何对象上的动态点的坐标用参数表示，根据题设要求，建立相应的方程（组），解方程（组），通过参数的值反过来确定几何对象是否存在. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知．若，则实数的值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用条件求向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示即可求出果. 【详解】因为，所以，又因为，所以，解， 故答案为：0. 14. 若定义域为的奇函数满足，且，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用赋值法及奇函数的定义，结合函数的周期性即可求解. 【详解】由，得， 所以，即，于是有， 所以，即. 所以函数的周期为. 因为是定义域为的奇函数， 所以，即. 令，则，解得， 所以. 故答案为：. 15. 第十九届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．为了让更多的同学了解亚运会，学校团委举行了“迎亚运，猜谜语”活动．甲、乙两位同学组队代表班级参加此次迷语竞猜活动．比赛共两轮，每人每轮各猜一个谜语．已知甲每轮猜对谜语的概率为，乙每轮猜对谜语的概率为，若甲、乙两人每轮猜对谜语与否互不影响，前后两轮猜对谜语结果也互不影响，则甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】讨论甲乙猜对的个数情况利用概率公式计算即可. 【详解】甲乙共猜对3个谜语有如下两种情况： 甲猜对一个，乙猜对两个，其概率为：； 或甲猜对两个，乙猜对一个，其概率为：， 故甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为. 故答案为： 16. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称为“果圆”，其中，如图．设，是“果圆”与坐标轴的交点，C为半椭圆上一点，F为半椭圆的焦点．若，则“果圆”的内接矩形面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义以及正切二倍角公式求出，从而得出半椭圆与半椭圆的方程，再利用半椭圆与半椭圆的方程以及基本不等式求出“果圆”的内接矩形面积的最大值. 【详解】由已知得，，所以分别是椭圆的右、左焦点. 由及椭圆的定义可得，即. 又设,则， 由正切二倍角公式得，解得和， 因为是锐角则所以， 又因为，所以， 因为，，所以. 半椭圆与半椭圆. 设“果圆”的内接矩形为MNPQ（如图），设，，则满足①②，①-②得，即. 则“果圆”的内接矩形面积为 == ， 当且仅当，即时等号成立. 所以“果圆”的内接矩形面积的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，某地需要经过一座山两侧的D，E两点修建一条穿山隧道．工程人员先选取直线DE上的三点A，B，C，设在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为，B处的俯角为，C处的俯角为，且测得，试求拟修建的隧道DE的长． 【答案】 【解析】 【分析】利用条件得出，再在和中，利用正弦定理，求出，从而求出结果. 【详解】由题意知，． 在中，由正弦定理得，，即， 所以． 在中，因为 ， 由正弦定理得，即， 所以， 所以，即隧道DE的长为． 18. 已知数列的前n项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由和与项的关系可求得，进而利用等比数列即可求解； （2）求得，进而用错位相减法即可求和. 【小问1详解】 由题意得，；当时，， 两式相减得，即． 又因为，所以当时，， 所以成等比数列，且首项，公比， 所以． 【小问2详解】 由（1）得，， 所以，①， ①×2得，② ①-②得，， 所以． 19. 如图，在多面体ABCFDE中，四边形ABED是菱形，，，平面ABED，点G是线段CD的中点． （1）证明：平面BCD； （2）若，求直线FG与平面ACD所成角的正弦值． 【答案】（1） 连接AE，交BD于点O，连接GO． 在菱形ABED中，． 因为平面ABED，平面ABED，所以． 又因为，平面CBD，所以平面CBD． 因为，且，， 所以，且， 所以四边形EFGO为平行四边形，所以， 所以平面CBD． （2） 【解析】 【分析】（1）连接AE，交BD于点O，连接GO.根据题意得到和，利用线面垂直的判定得到平面CBD，然后利用中位线定理得到四边形EFGO为平行四边形，进而得到，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，利用空间向量的夹角公式进而求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，如图． 设，则，，，，， 设平面ACD的一个法向量为， 由得，取， 因为， 记直线FG与平面ACD所成角为，则 ， 所以，直线FG与平面ACD所成角的正弦值是． 20. 地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况.控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER，PER分为PERl（导致早起倾向）和PERo（导致晚睡倾向）.某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验，以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERl突变的Sd指标: 实验鼠编号 1 2 3 4 5 6 7 8 Sd指标 9.95 9.99 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 实验鼠编号 9 10 11 12 13 14 15 16 Sd指标 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.4 10.5 9.95 长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严重. （1）从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望； （2）若编号1~8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9~16的为非GRPE蛋白干预对照组，试依据小概率值的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？ 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：（其中） 【答案】（1）分布列见解析；期望为. （2）认为实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到16只实验鼠中，有7只体征状况严重，得出的可能取值为，结合超几何分布求得相应的概率，列出分布列，求解数学期望； （2）由题意得，根据所给的数据，得到的列联表，求得，结合附表，即可得出结论. 【小问1详解】 解：由题意得，16只实验鼠中，有7只体征状况严重，所以的可能取值为， 可得,, ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的期望为. 【小问2详解】 解：由题意得，根据所给的数据，得到的列联表： GRPE蛋白干预 非GRPE蛋白干预 合计 体征状况严重 2 5 7 体征状况不严重 6 3 9 合计 8 8 16 可得， 所以认为实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关. 21. 已知抛物线的焦点为F，为其准线l与x轴的交点，过点E作直线与抛物线C在第一象限交于点A，B，且． （1）求的值； （2）设圆，过点A作圆M的两条切线分别交抛物线C于点P，Q，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据准线l与x轴的交点坐标确定，再利用抛物线的定义将点点距转化为点线距，最后利用相似性得出比值； （2）先求出点的坐标，然后设直线PQ的方程及点的坐标，联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系确定直线PQ的斜率，再根据直线AP与圆M相切确定点的坐标与圆半径的关系，最后将三角形面积转化为三次函数，利用导数确定最值． 【小问1详解】 由题意得，所以抛物线C的方程为． 由得． 过B作于点，过A作于点，，且， 由抛物线定义知，， 所以，即． 【小问2详解】 设点，所以， 所以，解得，所以． 设切线AP，AQ的斜率为，因为轴，由对称性知． 设直线PQ的方程为， 将直线PQ的方程代入抛物线方程得①，所以 所以，同理得， 所以， 所以，即， 代入方程①，由得， 因为直线AP的方程为，即， 所以． 因为直线AP与圆M相切，所以，即， 不妨设，所以， 所以， 因为，n随r的增大而增大，所以， 所以， 直线PQ的方程为，即， 所以， 点A到直线PQ的距离为， 所以， 令， 则， 当时，，为增函数； 当时，，为减函数， 所以当时，取得最大值， 所以面积的最大值为． 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是根据直线与圆相切求出的范围；二是借助导数工具求解三次函数的最值. 22. 已知函数，其中． （1）若函数图像仅有一条垂直于y轴的切线，求m的取值范围； （2）讨论函数零点个数． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求得，由有唯一正实数解求得的取值范围. （2）对进行分类讨论，根据的单调性、零点存在性定理等知识确定正确答案. 【小问1详解】 函数的定义域为， ． 因为函数仅有一条垂直于y轴的切线， 所以有唯一正实数解， 所以或，所以m的取值范围是． 【小问2详解】 因为． ①当时，因为，所以， 所以，当时，；当时，， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是， 此时， 当时，，函数只有一个零点，； 当时，，函数没有零点： 当时，因为当或时，，且， 所以函数分别在和上，各有唯一零点，此时函数有两个零点． ②当时，，在和上，；在上，， 所以在和单调递增，在上单调递减． 当时，；当时，，且， 此时函数在上有唯一零点，即函数有1个零点． ③当时，，所以的单调递增区间是． 当时，；当时，， 此时函数在上有唯一零点． ④当时，，在和上，；在上，； 所以在和上单调递增，在上单调递减． ． 设，所以， 所以在上单调递减，所以． 又因为当时，，所以函数在区间唯一零点． 综上所述，得： 当时，函数有且仅有2个有零点； 当时，函数没有零点； 当或时，函数有且仅有1个零点． 【点睛】利用导数研究函数的零点，主要思路是：先求函数的定义域，然后对函数求导，如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，研究出函数的单调性后，结合零点存在性定理可判断出零点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $