第14章 一次函数章末重点题型复习（14大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北京版）

（北京版）八年级下册数学 第14章：一次函数章末重点题型复习 题型一 函数的相关概念 1．（2024春•望城区期末）在平面直角坐标系中，下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•大观区校级期中）下列图象中，表示y是x的函数的有（　　） A．①②③④ B．①④ C．①②③ D．②③ 3．（2024秋•栾城区校级期末）函数y的自变量x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x＞0且x≠3 C．x≥0且x≠3 D．x＞2且x≠3 4．（2024春•襄都区月考）在函数中，若x是整数，则x的值可以是（　　） A．7 B．5 C．3 D．1 5．（2024春•沙坪坝区校级期中）按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是﹣4，则输出y的值是﹣6，若输入x的值是6，则输出y的值是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 6．（2024春•洪洞县期末）如图所示的程序框图，当输入x为﹣1和7时，输出y的值相等，则b的值是 　 　． 题型二 实际问题中的函数图象 1．（2024•滨州模拟）苹果熟了，从树上落下来．下面可以大致刻画出苹果下落过程中（即落地前）的速度变化情况的图象是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•沙坪坝区校级开学）依依放学后以一定速度匀速步行回家，他在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，然后依依提高了速度继续匀速步行回家，下列图象能表示依依放学回家的行程中，所剩路程与依依步行时间之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•北京模拟）小明晚饭后出门散步，从家点O出发，最后回到家里，行走的路线如图所示．则小明离家的距离h与散步时间t之间的函数关系可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•开封期末）小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为S（m），所经过的时间为t（min），下列选项中的图象，能近似刻画S与t之间的关系是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•东莞市校级模拟）如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与时间注水时间t（s）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 6．（2024秋•宿松县期末）甲、乙两人同时从A地到B地，甲先步行到中点改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步行．已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，则甲、乙两人所行的路与所用时间的关系图正确的是（实线表示甲，虚线表示乙）（　　） A． B． C． D． 题型三 从函数图象中获取信息解决问题 1．（2024春•鼓楼区期末）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（　　） A．点P表示老刘出发5h，他一共骑行80km B．老刘实际骑行时间为5h C．0～2h老刘的骑行速度为15km/h D．老刘的骑行在0～2h的速度比3～5h的速度慢 2．（2024秋•荣昌区校级期末）小明在游乐场坐过山车，在某一段60秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A．当t＝41时，h＝15 B．过山车距水平地面的最高高度为98米 C．在0≤t≤60范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30 D．当41≤t≤53时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大 3．（2024秋•蜀山区期末）A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h； ②乙出发4h后追上甲； ③甲比乙晚到； ④甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（2024秋•瑶海区期中）一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为y1（km），慢车离锦绣中学的距离为y2（km），行驶时间为x（h），两车之间的距离为s（km）．y1，y2与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中a＝3；②当x时，两车相遇；③当x时，两车相距60km；④当x或时，两车相距200km．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 5．（2024秋•大观区校级期末）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是　 米． （2）小明在书店停留了　 　分钟． （3）本次上学途中，小明一共行驶了　 米，一共用了　 　分钟． （4）在整个上学的途中在　 　（时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是多少米分？ 题型四 正比例函数的定义 1．（2024春•凤山县期末）下列式子中，哪个表示y是x的正比例函数（　　） A．y＝﹣0.1x B．y C．y＝2x2 D．y2＝4x 2．（2024•杭州模拟）下列函数（1）y＝﹣x；（2）y＝5x+2；（3）；（4）y＝x2﹣4中，是正比例函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2024春•丰都县校级月考）若函数y＝（m+1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 4．（2024秋•阜阳月考）若函数y＝（m+1）是正比例函数，则m的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 5．（2024秋•江苏期末）已知y关于x的函数y＝4x+m﹣3． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝7，求该函数图象与x轴的交点坐标． 题型五 正比例函数的图象与性质 1．对于正比例函数y＝﹣3x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 2．在下列各图象中，表示函数y＝﹣kx（k＜0）的图象的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•宣汉县期末）已知函数y＝（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 4．（2024春•樊城区期末）已知y＝（2m﹣1）是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么这个函数的解析式为（　　） A．y＝﹣5x B．y＝5x C．y＝3x D．y＝﹣3x 5．已知正比例函数yx，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024秋•龙岗区校级期中）已知正比例函数y＝kx（k≠0），求： （1）k为何值时，函数图象经过第一、三象限； （2）k为何值时，y随x的增大而减小； （3）k为何值时，点（1，3）在该函数图象上． 题型六 一次函数的定义 1．（2024春•渝中区校级期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C．y＝3x+5 D． 2．下列函数①y＝﹣x+3；②y；③y＝x2﹣1；④y＝x（x﹣1）﹣x2，是关于x的一次函数的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024春•应城市期末）已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+3是一次函数，则m的值是 　 　． 4．（2024春•廉江市期末）已知函数是关于x的一次函数，则m的值是 　 　． 5．（2024春•大武口区期末）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 题型七 一次函数的图象 1．（2024秋•迎泽区校级月考）已知一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则该函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•福州期中）若k＞0，b＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A．B． C．D． 3．（2024秋•兰州期末）直线y＝ax+b（a，b为常数，且ab≠0）经过第一、二、四象限，则直线y＝bx+a可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•静安区校级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝x﹣a和直线y＝ax的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•大观区校级期中）两个一次函数y1＝mx+n，y2＝nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（　　） A． B． C． D． 题型八 一次函数的性质 1．（2024秋•蜀山区校级期中）若一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象不经过第三象限，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B． C．k≥0 D． 2．（2024秋•乳山市期末）对于一次函数y＝﹣2x﹣3的图象，下列叙述正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．与y轴交于点（0，﹣2） C．图象不经过第一象限 D．与x轴交于点（﹣3，0） 3．（2024秋•安庆期末）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣3x上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＜y1＜y2 4．（2024秋•义乌市校级月考）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（﹣2，7），（2，3），则下列结论正确的是（　　） A．该函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0） B．将该函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象 C．若点（1，y1）、（3，y2）均在该函数图象上，则y1＜y2 D．该函数的图象经过第一、二、四象限 5．（2024春•亳州月考）已知关于x的一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）． （1）当m为何值时，这个函数为正比例函数？ （2）当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？ （3）若该一次函数的图象经过第一、三、四象限，直接写出m的取值范围． 题型九 一次函数的平移 1．（2024春•江门期末）在平面直角坐标系中，把直线y＝2x﹣1沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的直线的函数关系式为（　　） A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1 2．（2024秋•灞桥区校级期末）将一次函数y＝﹣3x﹣1的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（　　） A．y＝﹣3（x﹣3） B．y＝﹣3x+2 C．y＝﹣3（x+3） D．y＝﹣3x﹣4 3．（2024•滑县二模）在平面直角坐标系中，将y＝﹣2x+1向下平移3个单位，所得函数图象过（a，3），则a的值为 　 ． 4．（2025春•杨浦区校级月考）已知直线l经过（2，0）和（0，﹣3），把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线l′，则直线l′的解析式为 　 　 ． 5．（2024春•萨尔图区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B． （1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值． 题型十 一次函数与几何变换 1．已知直线y＝2x+m与直线y＝nx+4（n≠0）关于y轴对称，则直线y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 2．若直线y＝kx+2与直线y＝﹣3x+b关于直线x＝﹣1对称，则k、b值分别为（　　） A．k＝﹣3、b＝﹣2 B．k＝3、b＝﹣2 C．k＝3、b＝﹣4 D．k＝3、b＝4 3．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x+2关于平行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点（6，2），则直线AB的表达式为（　　） A．y＝2x﹣10 B．y＝﹣2x+14 C．y＝2x+2 D．yx+5 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+3分别与x轴y轴交于点A和点B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，﹣1） B．（0，） C．（0，） D．（0，） 5．（204秋•小店区月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是长方形，A（9，0），B（9，3），C（0，3），将△OAB沿直线OB折叠，此时点A落在点D处，OD与BC交于点E，且OE＝BE，则OD所在直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 题型十一 一次函数的实际应用 1．（2024•河北一模）如图1，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间t（s）之间的关系如图2所示，则从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为（　　） A．5s B．6s C．15s D．16s 2．（2024秋•阿城区期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为 　 　． 3．（2024•和顺县一模）阳高县是山西省的“杏果之乡”，杏树种植历史悠久，当地的阳高大接杏畅销全国．某水果商店购进阳高大接杏的鲜果和果脯进行销售．鲜果以5元/千克的成本价购进，并以7元/千克的价格出售．果脯以30元/千克的成本价购进，并以36元/千克的价格出售．请结合题意解答下列问题． （1）该水果商店购进阳高大接杏的鲜果和果脯共100千克，花费2000元，则购进鲜果和果脯各多少千克？ （2）该水果商店两天售完所有阳高大接杏的鲜果和果脯后，决定再购进共200千克的鲜果和果脯（所购进果脯不高于40千克），则当该水果商店购进多少千克大接杏鲜果时，才能使利润w最大？最大利润是多少？ 4．（2024秋•都昌县期末）2019年4月，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，共签署了总额640多亿美元的项目合作协议．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元． （1）甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？（列二元一次方程组解应用题） （2）设甲、乙两种商品的销售总收入为W万元，销售甲种商品m万件， ①写出W与m之间的函数关系式； ②若甲、乙两种商品的销售收入为5400万元，则销售甲种商品多少万件？ 5．为深入贯彻习近平总书记关于劳动教育的重要论述，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某学校计划购买A，B两种型号的劳动教育教学设备．已知购买1台A型设备和1台B型设备需5500元，购买2台A型设备和1台B型设备需8500元． （1）求A，B型设备单价分别是多少元？ （2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的，设购买a台A型设备，购买A、B型两种设备的总费用为w元，求w关于a的函数表达式，并求出购买两种设备的总费用最少需要多少元？ 6．某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元/套） 3.3 2.8 （1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？ （2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 题型十二 一次函数与图象的面积 1．（2024秋•榆中县期末）如图所示，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，4）． （1）求过A，B两点直线的函数表达式； （2）过点B作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积． 2．（2024秋•沈河区校级期中）如图在直角坐标系xOy中，直线l过（2，4）和（4，2）两点，且分别与x轴，y轴交于A，B两点． （1）求直线l的函数解析式； （2）若点C在y轴上，且△ABC的面积为9，则点C的坐标 　 　． 3．（2024秋•碑林区校级月考）如图，直线y＝x+3与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点C（﹣2，1）． （1）直接写出点B的坐标为 　 　； （2）求出△OBC的面积； （3）在直线BC上是否存在点M，使S△OBM＝2S△COB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 4．（2024春•正定县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝4x﹣5上，过点A的另一条直线交y轴于点B（0，6）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）求△ABC的面积； （3）若点P（t，y1）在线段AB上（可与点A，B重合），点Q（t﹣1，y2）在直线y＝4x﹣5上，求y1﹣y2的最小值． 5．（2024秋•舒城县校级月考）如图，点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，0），过点C（﹣2，0）作直线l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面积相等． （1）求△AOB的面积． （2）求直线l的函数解析式． 题型十三 一次函数与动点运动问题 1．如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则长方形ABCD的周长是（　　） A．24 B．18 C．20 D．40 2．（2024秋•东港市期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是边BC的中点，动点P从点C出发，沿CA﹣AB运动到点B，设点P的运动路程为x，△PCD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（　　） A． B． C． D．6 3．如图1，AH＝BC＝10cm，GF＝DE，点P从点A出发保持匀速运动，沿长方形凹槽A→B→C→D→E→F→G→H的路线运动，到点H停止；如图2是△APH的面积S（cm2）和运动时间x（s）的图象． （1）求图1中的AB的长度； （2）设点P运动的路程为y（cm），请写出y（cm）与运动时间x（s）之间的关系式，写出x的取值范围． 4．如图1，在长方形ABCD中，AB：AD＝3：5，点P从点A出发以2cm/秒的速度沿A→B→C→D的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形APD的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． （1）点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？ （2）点P从点A出发，经过多少秒后三角形APD的面积恰好是25cm2？ 5．如图1所示，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD＝8cm，BC＝10cm，点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示． （1）由图2知，点E运动的时间为 　　s，速度为 　 　cm/s，点E停止运动时与点C的距离为 　　cm； （2）求在点E的运动过程中，三角形ABE的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当点E停止运动后，求三角形ABE的面积． 题型十四 一次函数的综合题 1．（2024秋•高新区校级月考）如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数yx+3的图象经过点B、C． （1）点C的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　； （2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O′与O关于直线l对称，连接CO′并延长，交射线AB于点D． ①求证：△CMD是等腰三角形； ②当CD＝5时，求直线l的函数表达式． 2．（2024秋•凌海市期中）如图，直线y＝kx﹣3与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB＝1． （1）求k的值； （2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y＝kx﹣3上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式； （3）探索： ①点D是直线y＝kx﹣3上的一个动点，当△OBD的面积是3时，求点D的坐标； ②在①的条件下，且点D在第一象限，问：x轴上是否存在一点P，使△POD等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024春•重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB为yx+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，经过点E（1，0）且平行于y轴的直线x＝1交AB于点D，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）． （1）求点B的坐标； （2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）； （3）当S△ABP时，在第一象限找点C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点C的坐标． 4．（2024春•新洲区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（﹣a，a），与y轴交于点B（0，b），且（a﹣2）20． （1）求直线l2的解析式； （2）若第二象限有一点P（m，8），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标； （3）线段OA上是否存在一个点M，使得∠ABO+∠MBO＝45°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024秋•驿城区校级月考）如图，直线l1：y＝﹣3x+3交y轴于C，与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），且直线l1、l2交于点B（2，m）． （1）当l1＞l2时，直接写出x的取值范围 　 ；直线l2的表达式为 　 　 ； （2）点M是直线OC上的一点，若将△DCM沿DM折叠，点C恰好落在x轴上，求出点M的坐标； （3）若点Q为x轴上一点，连接BQ，且△BDQ是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北京版）八年级下册数学 第14章：一次函数章末重点题型复习 题型一 函数的相关概念 1．（2024春•望城区期末）在平面直角坐标系中，下列各曲线中表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即可判断． 【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故B不符合题意； C、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符合题意； D、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 2．（2024秋•大观区校级期中）下列图象中，表示y是x的函数的有（　　） A．①②③④ B．①④ C．①②③ D．②③ 【分析】根据函数的概念结合图象判断即可． 【解答】解：图象①④，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数； 图象②③，对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数； 故选：B． 【点评】本题考查了函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（2024秋•栾城区校级期末）函数y的自变量x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x＞0且x≠3 C．x≥0且x≠3 D．x＞2且x≠3 【分析】根据被开方数不小于零以及分母不为0 【解答】解：根据题意可得：， 解得：x≥0且x≠3， 故选：C． 【点评】本题考查函数自变量的取值范围，理解二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 4．（2024春•襄都区月考）在函数中，若x是整数，则x的值可以是（　　） A．7 B．5 C．3 D．1 【分析】根据二次根式中被开方数为非负数，列式求解不等式，即可求解． 【解答】解：根据题意得，， ∴2≤x≤4， ∵x是整数， ∴x的值为：2，3，4， ∴符合题意的是C选项， 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，不等式取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”是解题的关键． 5．（2024春•沙坪坝区校级期中）按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是﹣4，则输出y的值是﹣6，若输入x的值是6，则输出y的值是（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【分析】先代入x＝﹣4，求得b的值，再输入x＝6计算即可． 【解答】解：若输入x的值是﹣4，则输出y的值是﹣6， ∵﹣4＜2， ∴﹣6＝2×（﹣4）+4b， 解得：， 若输入x的值是6， ∵6＞2， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查代数式求值与程序流程图，函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 6．（2024春•洪洞县期末）如图所示的程序框图，当输入x为﹣1和7时，输出y的值相等，则b的值是 　 　． 【分析】理解程序框图的运算规则是解题的关键．当x＝﹣1时，y＝﹣3+b；当x＝7时，y＝﹣1；由题意得，﹣3+b＝﹣1，计算求解即可． 【解答】解：由题意知，当x＝﹣1时，y＝3x+b＝3×（﹣1）+b＝﹣3+b； 当x＝7时，y＝6﹣x＝6﹣7＝﹣1． 由题意得，﹣3+b＝﹣1， 解得：b＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一次函数的函数值，掌握程序框图是解题的关键． 题型二 实际问题中的函数图象 1．（2024•滨州模拟）苹果熟了，从树上落下来．下面可以大致刻画出苹果下落过程中（即落地前）的速度变化情况的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】苹果在下落的过程中，速度由0开始，随时间的增大速度越来越大． 【解答】解：苹果在下落的过程中，速度由0开始，随时间的增大速度越来越大． 故选：C． 【点评】本题考查函数的图象，正确理解速度与时间的关系，并且在读函数图象时首先要理解坐标轴表示的意义． 2．（2024•沙坪坝区校级开学）依依放学后以一定速度匀速步行回家，他在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，然后依依提高了速度继续匀速步行回家，下列图象能表示依依放学回家的行程中，所剩路程与依依步行时间之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可以写出各段过程中，所剩路程与时间的关系，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 依依放学后以一定速度匀速步行回家这一过程中，所剩路程随着时间的增加而减小； 依依在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，这一过程中，所剩路程随着时间的增加不变； 然后依依提高了速度继续匀速步行回家，所剩路程随着时间的增加而减小，且减小的速度比遇到了同学前的速度快． 故选：C． 【点评】此题考查函数的图象，解题关键在于根据题意判断出函数图象． 3．（2024•北京模拟）小明晚饭后出门散步，从家点O出发，最后回到家里，行走的路线如图所示．则小明离家的距离h与散步时间t之间的函数关系可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据小明的行走路线，判断小明离家的距离，由此再得出对应的函数图象即可． 【解答】解：根据函数图象可知，小明距离家先逐渐远去，有一段时间离家距离不变说明他走的是一段弧线，之后逐渐离家越来越近直至回家，分析四个选项只有C符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息． 4．（2024春•开封期末）小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为S（m），所经过的时间为t（min），下列选项中的图象，能近似刻画S与t之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据小明步行5分钟行驶了400米到达凉亭，然后休息5分钟，又步行5分钟行驶了400米到达公园，即可作答． 【解答】解：∵小明步行5分钟行驶了400米到达凉亭，然后休息5分钟，又步行5分钟行驶了400米到达公园， ∴A图象符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查函数的图象，读懂题意是解题的关键． 5．（2024•东莞市校级模拟）如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与时间注水时间t（s）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意判断出大烧杯的液面高度h（cm）随时间t（s）的变化情况即可． 【解答】解：开始时向小烧杯中匀速注水，大烧杯的液面高度h（cm）为零，即h不会随时间t的增加而增大，故选项A、B、C不合题意； 当小烧杯满了后继续匀速注水，大烧杯的液面高度h（cm）随时间t的增加而增大，当小烧杯注满水后大烧杯的液面高度升高速度应该是由快到慢，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 6．（2024秋•宿松县期末）甲、乙两人同时从A地到B地，甲先步行到中点改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步行．已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，则甲、乙两人所行的路与所用时间的关系图正确的是（实线表示甲，虚线表示乙）（　　） A． B． C． D． 【分析】已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，从A地到B地的距离相同，因此可以推导出甲，乙的函数图形是一个路程和时间的一次函数即s＝vt，根据函数的性质可以直接选出答案． 【解答】解：∵在A到B的前半段路程中，甲先步行到中点，乙先骑自行车到达中点， ∴相同的距离，甲的速度慢，使用的时间长，乙速度快，使用的时间短， ∴故选项B，D不符合题意， 又∵甲先步行到中点改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步行，甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，A到B的距离也相同， ∴甲和乙最终同时到达终点，故选项A不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查的重点是一次函数的图形和性质，只要掌握了函数图象的基本性质，结合图象就很快可以判断出选项． 题型三 从函数图象中获取信息解决问题 1．（2024春•鼓楼区期末）骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力．如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误的是（　　） A．点P表示老刘出发5h，他一共骑行80km B．老刘实际骑行时间为5h C．0～2h老刘的骑行速度为15km/h D．老刘的骑行在0～2h的速度比3～5h的速度慢 【分析】仔细观察图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可． 【解答】解：根据图象可知：点P所对应的路程为80km，时间为5h，即表示出发5h，老刘共骑行80km，故A不符合题意； 根据图象可知2～3h内的路程没有变化， ∴老刘实际骑行时间为5﹣1＝4h，故B错误，符合题意； 根据图象可知0～2h老刘骑行的路程为30km， ∴0～2h的速度为，故C不符合题意； 根据图象可知3～5h骑行的路程为80﹣30＝50km， ∴3～5h的速度为， 根据15＜25， 得出老刘的骑行在0～2h的速度比3～5h的速度慢，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了用图象表示变量之间的关系，读懂题意，从所给的图象中获取解题所需要的信息是解题的关键． 2．（2024秋•荣昌区校级期末）小明在游乐场坐过山车，在某一段60秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A．当t＝41时，h＝15 B．过山车距水平地面的最高高度为98米 C．在0≤t≤60范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30 D．当41≤t≤53时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大 【分析】A选项根据某一分钟内过山车高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象，即可得出当t＝41秒时，h的值；B选项根据图象判断即可；C选项结合图象可得在这1分钟内，有4个时间点，过山车高度是80米；D选项通过函数图象的增减性判断即可． 【解答】解：A．由图象可知，当t＝41秒时，h的值是15米，故本选项不合题意； B．由图象可知，过山车距水平地面的最高高度为98米，故本选项不合题意； C．由图象可知，在0≤t≤60范围内，当过山车高度是80米时，t的值有3个，原说法错误，故本选项符合题意； D．由图象可知，当41＜t≤53时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大；故本选项不合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想． 3．（2024秋•蜀山区期末）A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h； ②乙出发4h后追上甲； ③甲比乙晚到； ④甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据图象可得甲车行驶的速度是60÷1＝60km/h，再由甲先出发1h，乙出发3h后追上甲，可得到乙车行驶的速度是80km/h，故①正确；故②错误；根据图象可得当乙到达B地时，甲乙相距100km，从而得到甲比乙晚到，故③正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达B地时和当乙车到达B地后时，可得④正确． 【解答】解：①由图可得，甲车行驶的速度是60÷1＝60km/h， ∵甲先出发1h，乙出发3h后追上甲， ∴3（v乙﹣60）＝60， ∴v乙＝80km/h， 即乙车行驶的速度是80km/h，故①正确； ②∵当t＝1时，乙出发，当t＝4时，乙追上甲， ∴乙出发3h后追上甲，故②错误； ③由图可得，当乙到达B地时，甲乙相距100km， ∴甲比乙晚到，故③正确； ④由图可得，当乙车在甲车前，且未到达B地时，则60t+80＝80（t﹣1）， 解得t＝8； 当乙车到达B地后时，60t+80＝640， 解得， ∴甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km，故④正确； 综上所述，①③④正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数的图象，准确获取图象信息是关键． 4．（2024秋•瑶海区期中）一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为y1（km），慢车离锦绣中学的距离为y2（km），行驶时间为x（h），两车之间的距离为s（km）．y1，y2与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中a＝3；②当x时，两车相遇；③当x时，两车相距60km；④当x或时，两车相距200km．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【分析】由图象可知两地相距300千米，且当x＝3时，快车到达终点，即可判断①；分别求出快车和慢车的速度，即可求出相遇时的时间，可判断②；求出时，两车的路程即可判断③；分两车相遇之前和当两车相遇之后，两种情况解答，即可判断④． 【解答】解：①当x＝3时，快车到达实验中学， ∴a＝3，故①正确； ②V快车，V慢车， 相遇时即100x+60x＝300， 解得：，故②正确； ③当时，快车行驶的路程为，慢车行驶的路程为， ∴两车相距300﹣150﹣90＝60km，故③正确； ④当两车相遇之前，相距200km，即100x+200+60x＝300， 解得：； 当两车相遇之后，相距200km，即100x+60x﹣200＝300， 解得：， ∴此时快车早已到达，故不合题意， ∴当时，两车相距200km，故④错误． 综上可知①②③正确． 故选：A． 【点评】本题考查从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，理解题意，看懂图象是解题关键． 5．（2024秋•大观区校级期末）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是　 米． （2）小明在书店停留了　 　分钟． （3）本次上学途中，小明一共行驶了　 米，一共用了　 　分钟． （4）在整个上学的途中在　 　（时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是多少米分？ 【分析】（1）根据小明本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图可得，小明家到学校的路程； （2）观察图象即可得小明在书店停留的时间； （3）观察小明本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图可得，本次上学途中，小明一共行驶的路程，从离家至到达学校一共用的时间； （4）在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，根据路程除以时间即可求出最快的速度． 【解答】解：（1）小明家到学校的路程是1500米； 故答案为：1500． （2）小明在书店停留了12﹣8＝4（分钟）； 故答案为：4． （3）本次上学途中，小明一共行驶了1200+600+（1500﹣600）＝2700（米），一共用了14分钟； 故答案为：2700；14． （4）在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：（米/分）； ∴在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：450米/分． 故答案为：12分钟至14分钟． 【点评】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是数形结合思想的熟练运用． 题型四 正比例函数的定义 1．（2024春•凤山县期末）下列式子中，哪个表示y是x的正比例函数（　　） A．y＝﹣0.1x B．y C．y＝2x2 D．y2＝4x 【分析】根据正比例函数的定义（形如y＝kx，其中k≠0，k为常数）解决此题． 【解答】解：A．根据正比例函数的定义，y＝﹣0.1x是正比例函数，故A符合题意． B．根据正比例函数的定义，y是反比例函数，不是正比例函数，故B不符合题意． C．根据正比例函数的定义，y＝2x2是二次函数，不是正比例函数，故C不符合题意． D．根据正比例函数的定义，y2＝4x不是正比例函数，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键． 2．（2024•杭州模拟）下列函数（1）y＝﹣x；（2）y＝5x+2；（3）；（4）y＝x2﹣4中，是正比例函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据正比例的定义进行解答． 【解答】解：（1）y＝﹣x是正比例函数，故正确； （2）y＝5x+2是一次函数，故错误； （3）是正比例函数，故正确； （4）y＝x2﹣4的次数为二，不是一次函数，故错误； 故选：C． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的一般形式是y＝kx（k≠0）是解题的关键． 3．（2024春•丰都县校级月考）若函数y＝（m+1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 【分析】由一次函数的定义可知|m|＝1且m+1≠0，从而可求得m的值． 【解答】解：∵y＝（m+1）x|m|﹣5是一次函数， ∴|m|＝1且m+1≠0， 解得m＝±1且m≠﹣1， ∴m＝1． 故选：A． 【点评】此题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数定义是解题的关键． 4．（2024秋•阜阳月考）若函数y＝（m+1）是正比例函数，则m的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【分析】根据正比例函数的定义可得m2＝1且m+1≠0，即可求解． 【解答】解：∵函数y＝（m+1）是正比例函数， ∴m2＝1且m+1≠0， 由m2＝1可得m＝±1， 由m+1≠0可得m≠﹣1， 则m＝1， 故选：C． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟记正比例函数的定义（一般地，形如y＝kx的函数，其中k是常数，且k≠0，叫作正比例函数）是解题关键． 5．（2024秋•江苏期末）已知y关于x的函数y＝4x+m﹣3． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝7，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【分析】（1）根据正比例函数的定义即可得出m的值； （2）当m＝7时，函数为一次函数，令y＝0，即可得出图象与x轴的交点坐标． 【解答】解：（1）∵y关于x的函数y＝4x+m﹣3，y是x的正比例函数， ∴m﹣3＝0， 解得m＝3； （2）当m＝7时，该函数的表达式为y＝4x+4， 令y＝0，得4x+4＝0， 解得x＝﹣1， ∴当m＝7时，函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）． 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数是解题的关键． 题型五 正比例函数的图象与性质 1．对于正比例函数y＝﹣3x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【分析】根据题意，可以先出x＝a时的函数值，然后再写出x＝a+1时的函数值，再作差，即可得到当自变量x的值增加1时，函数y的值增加多少，本题得以解决． 【解答】解：当x＝a时，y＝﹣3a， 当x＝a+1时，y＝﹣3（a+1）， ∵﹣3（a+1）﹣（﹣3a）＝﹣3a﹣3+3a＝﹣3， ∴当自变量x的值增加1时，函数y的值增加﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答． 2．在下列各图象中，表示函数y＝﹣kx（k＜0）的图象的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由于正比例函数的图象是一条经过原点的直线，由此即可确定选择项． 【解答】解：∵k＜0， ∴﹣k＞0， ∴函数y＝﹣kx（k＜0）的值随自变量x的增大而增大，且函数为正比例函数， 故选：C． 【点评】此题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线． 3．（2024秋•宣汉县期末）已知函数y＝（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 【分析】根据正比例函数的定义，正比例函数的性质，可得答案． 【解答】解：由题意，得 m2﹣3＝1，且m+1＜0， 解得m＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了正比例函数，利用正比例函数的定义得出方程是解题关键，注意比例系数是负数． 4．（2024春•樊城区期末）已知y＝（2m﹣1）是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么这个函数的解析式为（　　） A．y＝﹣5x B．y＝5x C．y＝3x D．y＝﹣3x 【分析】根据正比例函数的定义和性质列出关于m的不等式组，求出m的值即可． 【解答】解：由题意知m2﹣3＝1且2m﹣1＜0， 解得m＝±2，且， ∴m＝﹣2． ∴y＝﹣5x． 故选：A． 【点评】本题考查的是正比例函数的定义和性质，熟记形如y＝kx（k≠0）的函数叫正比例函数是关键． 5．已知正比例函数yx，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】正比例函数y＝kx，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小，进而判断①②是否正确；再运用上述正比例函数的单调性即可得到当x＞0时与当x＞1时，y的取值范围，进而再判断③④是否正确． 【解答】解：∵正比例函数yx中0， ∴y随x的增大而增大，y随x的减小而减小，故①正确，②正确； ③当x＞0时，y＞0，正确；④当x＞1时，y，错误， ∴正确的是①②③， 故选：C． 【点评】本题考查正比例函数的性质应用，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 6．（2024秋•龙岗区校级期中）已知正比例函数y＝kx（k≠0），求： （1）k为何值时，函数图象经过第一、三象限； （2）k为何值时，y随x的增大而减小； （3）k为何值时，点（1，3）在该函数图象上． 【分析】（1）根据正比例函数的性质得k＞0，然后解不等式即可； （2）根据正比例函数的性质得k＜0，然后解不等式即可； （3）利用一次函数图象上点的坐标特征，把（1，3）代入y＝kx中可求出k的值． 【解答】解：（1）根据题意，得k＞0； （2）根据题意，得k＜0； （3）把（1，3）代入y＝kx，得k＝3， 即k为3时，函数图象经过点（1，3）． 【点评】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．也考查了一次函数的性质． 题型六 一次函数的定义 1．（2024春•渝中区校级期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C．y＝3x+5 D． 【分析】根据一次函数的定义即可即可． 【解答】解：A、此函数是二次函数，故此选项不符合题意； B、此函数是反比例函数，故此选项不符合题意； C、此函数是一次函数，故此选项符合题意； D、此函数不是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 2．下列函数①y＝﹣x+3；②y；③y＝x2﹣1；④y＝x（x﹣1）﹣x2，是关于x的一次函数的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一次函数的定义进行判断即可． 【解答】解：由“形如y＝kx+b（k≠0）的函数，y是x的一次函数”可知， ①y＝﹣x+3，y是x的一次函数； ②y，y是x的反比例函数； ③y＝x2﹣1，y是x的二次函数； ④y＝x（x﹣1）﹣x2＝﹣x，y是x的一次函数； 因此是一次函数的有①④，共2个， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的定义，理解“形如y＝kx+b（k≠0）的函数，y是x的一次函数”是正确判断的关键． 3．（2024春•应城市期末）已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+3是一次函数，则m的值是 　 　． 【分析】根据一次函数的定义求解即可． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+3是一次函数， ∴m﹣2≠0且1＝1， 解得：m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 4．（2024春•廉江市期末）已知函数是关于x的一次函数，则m的值是 　 　． 【分析】根据一次函数的定义求解． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣4）xm2﹣15+6是关于x的一次函数， ∴m﹣4≠0且m2﹣15＝1， 解得：m＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 5．（2024春•大武口区期末）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数，得 ， 解得m＝﹣2． 故当m＝﹣2时，y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数； （2）当y＝3时，3＝﹣4x+5，解得x， 故当x时，y的值为3． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 题型七 一次函数的图象 1．（2024秋•迎泽区校级月考）已知一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则该函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，3＞0， ∴k＞0， ∴此函数的图象经过一、二、三象限． 故选：A． 【点评】本题考查的是一次函数的图象，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答此题的关键． 2．（2024春•福州期中）若k＞0，b＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A．B． C．D． 【分析】直接根据一次函数图象与系数的关系判断即可． 【解答】解：∵k＞0，b＜0， ∴y＝kx+b的图象在一、三、四象限， 故选B． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y＝kx+b（k为常数，k≠0）， 当k＞0，b＞0，y＝kx+b的图象在一、二、三象限； 当k＞0，b＜0，y＝kx+b的图象在一、三、四象限； 当k＜0，b＞0，y＝kx+b的图象在一、二、四象限； 当k＜0，b＜0，y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 3．（2024秋•兰州期末）直线y＝ax+b（a，b为常数，且ab≠0）经过第一、二、四象限，则直线y＝bx+a可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直线经过的象限，判断出a，b的符号，进而判断出另一条直线的图象经过的象限即可． 【解答】解：∵直线y＝ax+b（a，b为常数，且ab≠0）经过第一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∴直线y＝bx+a的图象经过一，三，四象限， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数图象和系数之间的关系，根据题意判断出a＜0，b＞0是解题的关键． 4．（2024秋•静安区校级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝x﹣a和直线y＝ax的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数图象的位置确定a的取值范围，再利用a的取值范围确定一次函数的位置，则可对A、B、C选项进行判断；根据一次函数的位置可对D进行判断． 【解答】解：A、由正比例函数图象得a＞0，则直线y＝x﹣a与y轴的交点在x轴下方，所以A选项错误； B、由正比例函数图象得a＜0，则直线y＝x﹣a与y轴的交点在x轴上方，所以B选项正确； C、由正比例函数图象得a＜0，则直线y＝x﹣a与y轴的交点在x轴上方，所以C选项错误； D、由一次函数经过第一、三象限，所以D选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）作直线y＝kx+b．注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象． 5．（2024秋•大观区校级期中）两个一次函数y1＝mx+n，y2＝nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（　　） A． B． C． D． 【分析】首先设定一个为一次函数y1＝mx+n的图象，再考虑另一条的m，n的值，看看是否矛盾即可． 【解答】解：A、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＞0；由y2的图象可知，n＞0，m＞0，两结论相矛盾，故错误； B、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＞0；由y2的图象可知，n＞0，m＜0，两结论不矛盾，故正确； C、如果过第一、二、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＞0；由y2的图象可知，n＞0，m＞0，两结论相矛盾，故错误； D、如果过第二、三、四象限的图象是y1，由y1的图象可知，m＜0，n＜0；由y2的图象可知，n＜0，m＞0，两结论相矛盾，故错误． 故选：B． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 题型八 一次函数的性质 1．（2024秋•蜀山区校级期中）若一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象不经过第三象限，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B． C．k≥0 D． 【分析】先根据一次函数的图象不经过第三象限可得一次函数的图象经过第二、四象限或一次函数的图象经过第一、二、四象限，分两种情况进行计算即可得到答案． 【解答】解：∵一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象不经过第三象限， ∴一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象经过第二、四象限或一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象经过第一、二、四象限， 当一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象经过第二、四象限时，则有， 解得：k＝0， 当一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象经过第一、二、四象限时，则有， 解得：， 综上所述，k的取值范围是：， 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0），当k＞0，b＞0时，图象经过一、二、三象限，当k＞0，b＜0时，图象经过一、三、四象限，当k＜0，b＞0时，图象经过一、二、四象限，当k＜0，b＜0时，图象经过二、三、四象限． 2．（2024秋•乳山市期末）对于一次函数y＝﹣2x﹣3的图象，下列叙述正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．与y轴交于点（0，﹣2） C．图象不经过第一象限 D．与x轴交于点（﹣3，0） 【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【解答】解：由一次函数y＝﹣2x﹣3知， ﹣2＜0，﹣3＜0， ∴该函数y随x的增大而减小，图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限， 故选项A不符合题意，选项B不符合题意； 当x＝0时，y＝﹣2x﹣3＝﹣3， ∴与y轴交于点（0，﹣3），故选项C符合题意； 当y＝0时，﹣2x﹣3＝0， 解得x， ∴与x轴交于点（，0），故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 3．（2024秋•安庆期末）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣3x上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＜y1＜y2 【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜﹣1＜1，即可得出y1＞y2＞y3． 【解答】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小． 又∵﹣2＜﹣1＜1，且点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣3x上， ∴y1＞y2＞y3． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 4．（2024秋•义乌市校级月考）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点（﹣2，7），（2，3），则下列结论正确的是（　　） A．该函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0） B．将该函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象 C．若点（1，y1）、（3，y2）均在该函数图象上，则y1＜y2 D．该函数的图象经过第一、二、四象限 【分析】由表格数据可求得函数解析式为y＝﹣x+5，与x轴交点应为（5，0），所以A选项错误；函数图象向上平移4个单位长度得到的应该是y＝﹣x+9的图象，所以B选项错误；若点（1，y1）、（3，y2）均在该函数图象上，由函数增减性可知，y1＞y2，所以C选项错误；由解析式可知函数经过一、二、四象限，所以D正确． 【解答】解：由题意得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5， A、∵当y＝0时，x＝5，∴该函数的图象与x轴的交点坐标是（5，0），原说法错误，不符合题意； B、将该函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣x+1的图象，原说法错误，不符合题意； C、∵﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，∴若点（1，y1）、（3，y2）均在该函数图象上，则y1＞y2，原说法错误，不符合题意； D、∵﹣1＜0，5＞0，∴该函数的图象经过第一、二、四象限，正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换与一次函数的性质，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 5．（2024春•亳州月考）已知关于x的一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）． （1）当m为何值时，这个函数为正比例函数？ （2）当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？ （3）若该一次函数的图象经过第一、三、四象限，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据正比例函数的性质得出2m﹣10＝0，求出方程的解即可； （2）根据一次函数的性质得出不等式m＜0； （3）根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，列出关于m的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（1）y＝mx+2m﹣10（m≠0）． ∵函数为正比例函数， ∴2m﹣10＝0， 解得：m＝5， 答：当m＝5时，这个函数为正比例函数， （2）一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）， ∵函数y的值随着x值的增大而减小， ∴m＜0， 答：当m＜0时，函数y的值随着x值的增大而减小． （3）∵一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得：0＜m＜5， 答：当0＜m＜5时，函数的图象经过第一、三、四象限． 【点评】本题主要考查对解一元一次方程，一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据一次函数的性质和已知得出不等式或方程是解此题的关键． 题型九 一次函数的平移 1．（2024春•江门期末）在平面直角坐标系中，把直线y＝2x﹣1沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的直线的函数关系式为（　　） A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1 【分析】根据平移法则可得出平移后的解析式． 【解答】解：把直线y＝2x﹣1沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的直线的函数关系式为y＝2x﹣1﹣2，即y＝2x﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键． 2．（2024秋•灞桥区校级期末）将一次函数y＝﹣3x﹣1的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（　　） A．y＝﹣3（x﹣3） B．y＝﹣3x+2 C．y＝﹣3（x+3） D．y＝﹣3x﹣4 【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：将直线y＝﹣3x﹣1沿y轴向下平移3个单位后的直线所对应的函数解析式是：y＝﹣3x﹣1﹣3＝﹣3x﹣4． 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 3．（2024•滑县二模）在平面直角坐标系中，将y＝﹣2x+1向下平移3个单位，所得函数图象过（a，3），则a的值为 　 ． 【分析】先得到平移后的函数表达式，再代入（a，3），解方程即可得到答案． 【解答】解：将y＝﹣2x+1向下平移3个单位得到y＝﹣2x﹣2，把（a，3）代入得到 3＝﹣2a﹣2， 解得， 故答案为：． 【点评】此题考查了一次函数的平移和求自变量的的值，熟练掌握平移规律是解题的关键． 4．（2025春•杨浦区校级月考）已知直线l经过（2，0）和（0，﹣3），把直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线l′，则直线l′的解析式为 　 　 ． 【分析】设直线l的表达式为y＝kx+b（k≠0），将（2，0）和（0，﹣3）分别代入y＝kx+b（k≠0）中，求出直线l的表达式，进而得出答案． 【解答】解：设直线l的表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将（2，0）和（0，﹣3）分别代入y＝kx+b（k≠0）中， 即， 解得：， 则直线l的表达式为yx﹣3， ∵直线l沿x轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线l′， ∴直线l′的表达式为y（x+2）﹣3﹣1， 即直线l′的表达式为yx﹣1． 故答案为：yx﹣1． 【点评】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握用待定系数法求一次函数的表达式是解题的关键． 5．（2024春•萨尔图区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B． （1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值． 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）求得平移后的直线的解析式，代入点（m，﹣5），即可求得m的值． 【解答】解：（1）由图象可知，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，6）、B（﹣4，﹣3）， ∴， 解得， 所以一次函数的表达式为：yx+3； （2）将直线AB向下平移5个单位后得到yx+3﹣5，即yx﹣2， ∵经过点（m，﹣5）， ∴﹣5m﹣2， 解得m＝﹣2． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 题型十 一次函数与几何变换 1．已知直线y＝2x+m与直线y＝nx+4（n≠0）关于y轴对称，则直线y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】根据对称性求得m、n的值，进而求得直线y＝mx+n与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求得． 【解答】解：∵直线y＝2x+m与直线y＝nx+4（n≠0）关于y轴对称， ∴m＝4，0， ∴m＝4，n＝﹣2， ∴直线y＝mx+n的解析式为y＝4x﹣2， 令x＝0，则y＝﹣2； 令y＝0，则x， ∴直线y＝mx+n与坐标轴的交点为（，0）和（0，﹣2）， ∴直线y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积为：， 故选：A． 【点评】此题考查了一次函数的图象与几何变换，关键是能准确理解题意，运用对称性求得m、n的值是解题的关键． 2．若直线y＝kx+2与直线y＝﹣3x+b关于直线x＝﹣1对称，则k、b值分别为（　　） A．k＝﹣3、b＝﹣2 B．k＝3、b＝﹣2 C．k＝3、b＝﹣4 D．k＝3、b＝4 【分析】先求出一次函数y＝kx+2与y轴交点关于直线x＝﹣1的对称点，得到b的值，再求出一次函数y＝﹣3x+b与y轴交点关于直线x＝﹣1的对称点，代入一次函数y＝kx+2，求出k的值即可． 【解答】解：把x＝0代入y＝kx+2得，y＝2， ∴直线y＝kx+2与y轴交点为（0，2）， ∵点（0，2）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，2）， ∴点为（﹣2，2）在直线y＝﹣3x+b上， 代入直线y＝﹣3x+b，可得6+b＝2， 解得b＝﹣4， ∴一次函数y＝﹣3x﹣4与y轴交点为（0，﹣4）， ∵（0，﹣4）关于直线x＝﹣1的对称点（﹣2，﹣4）在直线y＝kx+2上， ∴代入直线y＝kx+2，可得﹣2k+2＝﹣4， 解得k＝3． 故选：C． 【点评】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键． 3．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x+2关于平行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点（6，2），则直线AB的表达式为（　　） A．y＝2x﹣10 B．y＝﹣2x+14 C．y＝2x+2 D．yx+5 【分析】根据题意可知它们的k值互为相反数，得到直线AB的解析式为y＝2x+b，把点（6，2）代入求得b的值，即可求得． 【解答】解：由题意得，直线AB的解析式为y＝2x+b， ∵直线AB恰好过点（6，2）， ∴2＝2×6+b，解得b＝﹣10， ∴直线AB的表达式为y＝2x﹣10， 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数的图象和性质，解题关键是利用对称得到它们的k值互为相反数． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+3分别与x轴y轴交于点A和点B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，﹣1） B．（0，） C．（0，） D．（0，） 【分析】设B旋转后的对应点为B′，作B′D⊥x轴于D，通过三角形全等即可求得B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3，得到B′的坐标，进而全等直线AB′，进一步全等C点的坐标． 【解答】解：如图，设B旋转后的对应点为B′，作B′D⊥x轴于D， ∵直线yx+3分别与x轴y轴交于点A和点B， ∴A（2，0），B（0，3）， ∴OA＝2，OB＝3， ∴B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3， ∵AB⊥AC， ∴∠OAB+∠DAB′＝90°＝∠OAB+∠OBA， ∴∠DAB′＝∠OBA， ∵AB＝B′A， ∵∠ADB′＝∠BOA＝90°， ∴△AOB≌△DB′A（AAS）， ∴B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3， ∴B′（﹣1，﹣2）， ∴直线AB′yx， ∴C（0，）， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知三角形全等是解题的关键． 5．（204秋•小店区月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是长方形，A（9，0），B（9，3），C（0，3），将△OAB沿直线OB折叠，此时点A落在点D处，OD与BC交于点E，且OE＝BE，则OD所在直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【分析】设点E的坐标为（m，3），则OE＝BE＝9﹣m，CE＝m，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出OD所在直线的解析式． 【解答】解：∵四边形AOCB是长方形，A（9，0），B（9，3），C（0，3）， ∴AB＝OC＝3，AO＝BC＝9， 设点E的坐标为（m，3），则OE＝BE＝9﹣m，CE＝m， 在Rt△OCE中，OC＝3，CE＝m，OE＝9﹣m， ∴（9﹣m）2＝32+m2， ∴m＝4， ∴点E的坐标为（4，3）， 设OD所在直线的解析式为y＝kx， 将点E（4，3）代入y＝kx中， 得3＝4k，解得：， ∴OD所在直线的解析式为． 故选：C． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、勾股定理，利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键． 题型十一 一次函数的实际应用 1．（2024•河北一模）如图1，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间t（s）之间的关系如图2所示，则从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为（　　） A．5s B．6s C．15s D．16s 【分析】利用待定系数法求出y与t的关系式，当y＝10时求出对应t的值即可． 【解答】解：设y与t的关系式为y＝kt+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标（10，0）和（12，4）代入y＝kt+b， 得， 解得， ∴y与t的关系式为y＝2t﹣20（t≥10）． 当注满水杯时，y＝10，得2t﹣20＝10， 解得t＝15． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键． 2．（2024秋•阿城区期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为 　 　． 【分析】根据函数图象中的数据，可以求得日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式，然后将x＝20代入求出相应的y的值，从而可以计算出该玩具某天的销售单价是20元时，当日的销售利润． 【解答】解：设日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b， ∵点（25，50），（35，30）在该函数图象上， ∴， 解得， 即日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣2x+100， 当x＝20时，y＝﹣2×20+100＝60， 则该玩具某天的销售单价是20元时，当日的销售利润为：（20﹣15）×60＝300（元）， 故答案为：300元． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 3．（2024•和顺县一模）阳高县是山西省的“杏果之乡”，杏树种植历史悠久，当地的阳高大接杏畅销全国．某水果商店购进阳高大接杏的鲜果和果脯进行销售．鲜果以5元/千克的成本价购进，并以7元/千克的价格出售．果脯以30元/千克的成本价购进，并以36元/千克的价格出售．请结合题意解答下列问题． （1）该水果商店购进阳高大接杏的鲜果和果脯共100千克，花费2000元，则购进鲜果和果脯各多少千克？ （2）该水果商店两天售完所有阳高大接杏的鲜果和果脯后，决定再购进共200千克的鲜果和果脯（所购进果脯不高于40千克），则当该水果商店购进多少千克大接杏鲜果时，才能使利润w最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设购进鲜果x千克，果脯y千克，利用总价＝单价×数量，结合该水果商店花费2000元购进阳高大接杏的鲜果和果脯共100千克，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设再次购进m千克果脯，全部售出后获得的总利润为w元，则购进（200﹣m）千克鲜果，利用总利润＝每千克鲜果的销售数量×购进鲜果的数量+每千克果脯的销售数量×购进果脯的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设购进鲜果x千克，果脯y千克， 根据题意得：， 解得：． 答：购进鲜果40千克，果脯60千克； （2）设再次购进m千克果脯，全部售出后获得的总利润为w元，则购进（200﹣m）千克鲜果， 根据题意得：w＝（7﹣5）（200﹣m）+（36﹣30）m， 即w＝4m+400， ∵4＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝40时，w取得最大值，最大值为4×40+400＝560（元），此时200﹣m＝200﹣40＝160（千克）． 答：当该水果商店购进160千克鲜果时，才能使利润w最大，最大利润是560元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 4．（2024秋•都昌县期末）2019年4月，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，共签署了总额640多亿美元的项目合作协议．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元． （1）甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？（列二元一次方程组解应用题） （2）设甲、乙两种商品的销售总收入为W万元，销售甲种商品m万件， ①写出W与m之间的函数关系式； ②若甲、乙两种商品的销售收入为5400万元，则销售甲种商品多少万件？ 【分析】（1）设甲种商品的销售单价为a元，乙种商品的销售单价是b元，然后根据题意，可以得到关于a、b的二元一次方程组，从而可以求得甲种商品与乙种商品的销售单价； （2）①根据题意，可以得到W与m之间的函数关系式； ②将W＝5400代入①中函数关系式即可求得销售甲种商品多少万件． 【解答】解：（1）设甲种商品的销售单价为a元，乙种商品的销售单价是b元，根据题意得： ，得， 答：甲种商品的销售单价为900元，乙种商品的销售单价是600元； （2）①由题意可得， W＝900m+600（8﹣m）＝300m+4800， 即W与m之间的函数关系式是W＝300m+4800； ②当W＝5400时， 5400＝300m+4800 解得，m＝2 答：甲、乙两种商品的销售收入为5400万元时，则销售甲种商品2万件． 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和函数关系式，利用一次函数的性质解答． 5．为深入贯彻习近平总书记关于劳动教育的重要论述，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某学校计划购买A，B两种型号的劳动教育教学设备．已知购买1台A型设备和1台B型设备需5500元，购买2台A型设备和1台B型设备需8500元． （1）求A，B型设备单价分别是多少元？ （2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的，设购买a台A型设备，购买A、B型两种设备的总费用为w元，求w关于a的函数表达式，并求出购买两种设备的总费用最少需要多少元？ 【分析】（1）设A型设备单价是x元，B型设备单价是y元，根据购买1台A型设备和1台B型设备需5500元，购买2台A型设备和1台B型设备需8500元得：，即可解得答案； （2）由A型设备数量不少于B型设备数量的，可得：a≥15，由题意可得w＝3000a+2500（60﹣a）＝500a+150000，再根据一次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）设A型设备单价是x元，B型设备单价是y元， 根据题意得：， 解得：， ∴A型设备单价是3000元，B型设备单价是2500元； （2）∵A型设备数量不少于B型设备数量的， ∴a（60﹣a）， 解得：a≥15， 根据题意得： w＝3000a+2500（60﹣a）＝500a+150000， ∵500＞0， ∴w随a的增大而增大， ∴a＝15时，w取最小值，最小值为500×15+150000＝157500（元）， 答：w关于a的函数表达式是w＝500a+150000，购买两种设备的总费用最少需要157500元． 【点评】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． 6．某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元/套） 3.3 2.8 （1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？ （2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意可以写出利润与m的函数关系式，然后根据m的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润的最大值． 【解答】解：（1）设购进A种多媒体a套，B种多媒体b套， 由题意可得：， 解得， 答：购进A种多媒体20套，B种多媒体30套； （2）设利润为w元， 由题意可得：w＝（3.3﹣3）m+（2.8﹣2.4）×（50﹣m）＝﹣0.1m+20， ∴w随m的增大而减小， ∵10≤m≤20， ∴当m＝10时，w取得最大值，此时w＝19， 答：购进A种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 题型十二 一次函数与图象的面积 1．（2024秋•榆中县期末）如图所示，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，4）． （1）求过A，B两点直线的函数表达式； （2）过点B作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积． 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法，可求出过A，B两点直线的函数表达式； （2）由点A，B的坐标，可得出OA，OB的长，结合OP＝2OA，可求出AP的长，再利用三角形的面积公式，即可求出结论． 【解答】解：（1）设过A，B两点直线的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（﹣1，0），B（0，4）代入y＝kx+b（k≠0）得： ， 解得：， ∴过A，B两点直线的函数表达式为y＝4x+4； （2）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，4）， ∴OA＝1，OB＝4． ∵OP＝2OA， ∴OP＝2， ∴AP＝OP﹣OA＝2﹣1＝1或AP＝OP+OA＝2+1＝3， ∴S△ABPAP•OB1×4＝2或S△ABPAP•OB3×4＝6． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式，求出△ABP的面积． 2．（2024秋•沈河区校级期中）如图在直角坐标系xOy中，直线l过（2，4）和（4，2）两点，且分别与x轴，y轴交于A，B两点． （1）求直线l的函数解析式； （2）若点C在y轴上，且△ABC的面积为9，则点C的坐标 　 　． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A、B的坐标，设点C坐标为（0，x），再根据△ABC的面积为9列方程求出x，进而可得点C的坐标． 【解答】解：（1）设直线l的函数解析式为y＝kx+b． ∵直线l过（2，4）和（4，2）两点， ∴， 解得， ∴直线l的函数解析式为y＝﹣x+6； （2）当x＝0时，y＝﹣x+6＝6， ∴B（0，6）， 当y＝0时，即y＝﹣x+6＝0， 解得：x＝6， ∴A（6，0）， 设点C坐标为（0，x）， ∵△ABC的面积为9， ∴， 解得：x＝3或9， ∴点C的坐标为（0，3）或（0，9）， 故答案为：（0，3）或（0，9）． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是解题的关键． 3．（2024秋•碑林区校级月考）如图，直线y＝x+3与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点C（﹣2，1）． （1）直接写出点B的坐标为 　 　； （2）求出△OBC的面积； （3）在直线BC上是否存在点M，使S△OBM＝2S△COB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得B的坐标； （2）根据题意得出C的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据在直线BC上是否存在点M，设M（m，m+3），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）在y＝x+3中，令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， 故答案为：（0，3）； （2）∵点C（﹣2，1）， ∴△OBC的面积OB•∁x3×2＝3； （3）存在； ∵在直线BC上是否存在点M， ∴设M（m，m+3）， ∵S△OBM＝2S△COB， ∴OB•|Mx|＝2OB•∁x ∴|m|＝2×2， ∴m＝±4， ∴M（4，7）或（﹣4，﹣1）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 4．（2024春•正定县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝4x﹣5上，过点A的另一条直线交y轴于点B（0，6）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）求△ABC的面积； （3）若点P（t，y1）在线段AB上（可与点A，B重合），点Q（t﹣1，y2）在直线y＝4x﹣5上，求y1﹣y2的最小值． 【分析】（1）待定系数法求出直线AB解析式即可； （2）先求出线段BC长，再根据三角形面积公式计算即可； （3）根据题意列出y1﹣y2的函数解析式，由t的取值范围和一次函数性质确定最值即可． 【解答】解：（1）∵点A（2，m）在直线y＝4x﹣5上， ∴m＝8﹣5＝3， ∴A（2，3）， 设直线AB的解析式为y＝kx+6，将点A（2，3）代入解析式得：3＝2k+6， 解得k， ∴直线AB的解析式为y． （2）在直线y＝4x﹣5中，C（0，﹣5）， ∴BC＝6+5＝11， ∴S△ABC11． （3）∵点P（t，y1）在线段AB上， ∴0≤t≤2， 根据题意，y1．，y2＝4（t﹣1）﹣5＝4t﹣9， ∴y1﹣y24t+9t+15， ∵0， ∴函数值随t增大而减小， 当t＝2时．y1﹣y2取最小值，最小值为4． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及三角形面积问题，解决问题的关键是求出y1﹣y2的表达式，利用t的最值求出答案． 5．（2024秋•舒城县校级月考）如图，点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，0），过点C（﹣2，0）作直线l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面积相等． （1）求△AOB的面积． （2）求直线l的函数解析式． 【分析】（1）由点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，0），结合三角形的面积公式可得答案； （2）证明△AOB和△CBE的面积相等，可得，可得E的纵坐标，再求解直线AB的解析式可得E的横坐标，再设直线l为：y＝mx+n，把E，C坐标代入求解即可． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，0）， ∴． （2）∵△ADE和△DCO的面积相等， ∴△AOB和△CBE的面积相等， ∵C（﹣2，0），B（2，0）， ∴， ∴点E纵坐标为， 设直线AB为y＝kx+b，点B（2，0），A（1，3）在一次函数图象上， ∴， 解得：， ∴直线AB解析式为：y＝﹣3x+6， 将点E纵坐标代入直线解析式得：， 解得：， ∴， 设直线l解析式为：y＝mx+n，点E、点C在一次函数图象上， ∴， 解得：， ∴直线l为：． 【点评】本题考查的是坐标与图形面积，求解一次函数的解析式，熟练掌握一次函数性质是关键． 题型十三 一次函数与动点运动问题 1．如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则长方形ABCD的周长是（　　） A．24 B．18 C．20 D．40 【分析】根据y关于x的函数图象得到BC、CD的长，进而求长方形的周长． 【解答】解：由y关于x的函数图象可知，BC＝4，CD＝9﹣BC＝9﹣4＝5， ∴长方形ABCD的周长是：2×（4+5）＝18； 故选：B． 【点评】本题主要考查关于动点问题的函数图象，根据函数图像获取相关信息是解题的关键． 2．（2024秋•东港市期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是边BC的中点，动点P从点C出发，沿CA﹣AB运动到点B，设点P的运动路程为x，△PCD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（　　） A． B． C． D．6 【分析】由图象可知：当x＝3时，y等于3，由此可得出CD的长，进而得出BC的长；当x＝6时，面积最大，且面积发生转折，此时点P和点A重合，可得AC＝6，最后由勾股定理可得结论． 【解答】解：由图象可知：当x＝3时，CP＝3，， 即 ，解得CD＝2， ∵点D是BC的中点， ∴BC＝4， 当x＝6时，此时点P和点A重合， ∴AC＝6， 在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝6， 由勾股定理可得，． 故选：A． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出AC和BC的长． 3．如图1，AH＝BC＝10cm，GF＝DE，点P从点A出发保持匀速运动，沿长方形凹槽A→B→C→D→E→F→G→H的路线运动，到点H停止；如图2是△APH的面积S（cm2）和运动时间x（s）的图象． （1）求图1中的AB的长度； （2）设点P运动的路程为y（cm），请写出y（cm）与运动时间x（s）之间的关系式，写出x的取值范围． 【分析】（1）根据图2可知，当运动时间为10s时，△APH的面积S＝100cm2，即可求出AB的长度； （2）由（1）可知点P运动的速度为2cm/s，再求出GF＝DE＝2×（22﹣20）＝4cm，所以运动时间x的范围为0≤x≤29，即可求出答案． 【解答】解：（1）根据图2可知，当运动时间为10s时，△APH的面积S＝100cm2， 即P运动到B点时AH×AB＝100， ∵AH＝10cm， ∴AB＝20（cm）， 答：AB的长度20cm； （2）由（1）可知点P运动的速度为2（cm/s）， ∴GF＝DE＝2×（22﹣20）＝4（cm）， ∴从点A到点H的路程为20+10+20+4+4＝58cm， ∴运动时间x的范围为0≤x，即0≤x≤29， ∴y＝2x（0≤x≤29）． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 4．如图1，在长方形ABCD中，AB：AD＝3：5，点P从点A出发以2cm/秒的速度沿A→B→C→D的路线匀速移动．随着点P的移动，三角形APD的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示． （1）点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？ （2）点P从点A出发，经过多少秒后三角形APD的面积恰好是25cm2？ 【分析】（1）由图2可知，点P运动3秒到达点B，再由点P的运动速度和AB：AD＝3：5，即可解决问题． （2）由（1）中求得的数据，可知矩形的面积，进而可得出点P在BC上运动时，△APD的面积为定值30，再对点P的位置再AB和CD上进行分类即可． 【解答】解：（1）由图2知， 点P运动3秒时到达B点， 又点P的运动速度是2cm/秒， 所以AB＝2×3＝6cm． 又AB：AD＝3：5， 则AD＝10cm． 又四边形ABCD是长方形， 所以CD＝AB＝6cm． 则AB+BC+CD＝6+10+6＝22cm， 所以22÷2＝11秒． 故点P从点A出发，经过11秒后到达点D． （2）由（1）知， ， 则当点P在BC上运动时， △ADP的面积恒为：60÷2＝30cm2． 又25＜30， 则当点P在边AB上时， 25×2÷10＝5cm， 5÷2＝2.5秒． 当点P在边CD上时， 6+10+6﹣5＝17cm， 17÷2＝8.5秒． 综上所述，经过2.5秒或8.5秒后三角形APD的面积恰好是25cm2． 【点评】本题考查动点运动的函数图象问题，能根据图2得出AB的长进而求出AD是解题的关键． 5．如图1所示，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD＝8cm，BC＝10cm，点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示． （1）由图2知，点E运动的时间为 　　s，速度为 　 　cm/s，点E停止运动时与点C的距离为 　　cm； （2）求在点E的运动过程中，三角形ABE的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当点E停止运动后，求三角形ABE的面积． 【分析】（1）根据图象解答即可； （2）根据三角形的面积公式，可得答案； （3）根据三角形的面积公式，可得答案． 【解答】解：（1）根据题意和图象，可得E点运动的时间为3s，速度为3cm/s， 当点E停止运动时，BE＝3×3＝9（cm），此时距离点C：10﹣9＝1（cm）， 故答案为：3，3，1； （2）根据题意得yBE×AD12x， 即y＝12x（0＜x≤3）； （3）当x＝3时，y＝12×3＝36（cm2）， 故△ABE的面积为36cm2． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，涉及求函数解析式，求函数值问题，能读懂函数图象是解决问题的关键． 题型十四 一次函数的综合题 1．（2024秋•高新区校级月考）如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数yx+3的图象经过点B、C． （1）点C的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　； （2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O′与O关于直线l对称，连接CO′并延长，交射线AB于点D． ①求证：△CMD是等腰三角形； ②当CD＝5时，求直线l的函数表达式． 【分析】（1）设点C的坐标为（0，y），把x＝0代入yx+3中得y＝3，即可求出C点的坐标；设点B的坐标为（﹣4，y），把x＝﹣4代入yx+3中得y＝2，即可求出B点的坐标； （2）①根据对称的性质和平行线的性质，推知∠CMD＝∠MCD，故MD＝CD，所以CMD是等腰三角形； ②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．利用勾股定理求得CP的长度，然后结合坐标与图形的性质求得点M的坐标，利用待定系数法求得直线l的解析式即可． 【解答】（1）解：∵A（﹣4，0），AB∥y轴，直线yx+3经过点B、C， 设点C的坐标为（0，y），把x＝0代入yx+3中得y＝3， ∴C（0，3）； 设点B的坐标为（﹣4，y），把x＝﹣4代入yx+3中得y＝2， ∴B（﹣4，2）； 故答案为：（0，3）；（﹣4，2）； （2）①证明：∵AB∥y轴， ∴∠OCM＝∠CMD． ∵∠OCM＝∠MCD， ∴∠CMD＝∠MCD， ∴MD＝CD， ∴CMD是等腰三角形； ②解：如图②，过点D作DP⊥y轴于点P． 在直角△DCP中，由勾股定理得到：CP3， ∴OP＝AD＝CO+CP＝3+3＝6， ∴AM＝AD﹣DM＝6﹣5＝1， ∴点M的坐标是（﹣4，1）． 设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0）． 把M（﹣4，1）、C（0，3）分别代入，得， ， 解得， 故直线l的解析式为yx+3． 当D与A重合时，y＝2x+3． ∴直线l的函数表达式为yx+3或y＝2x+3． 【点评】此题考查了一次函数综合题，需要综合利用勾股定理，等腰三角形的判定与性质，对称的性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识点，难度不是很大，但是需要学生对所学知识有一个系统的掌握． 2．（2024秋•凌海市期中）如图，直线y＝kx﹣3与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB＝1． （1）求k的值； （2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y＝kx﹣3上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式； （3）探索： ①点D是直线y＝kx﹣3上的一个动点，当△OBD的面积是3时，求点D的坐标； ②在①的条件下，且点D在第一象限，问：x轴上是否存在一点P，使△POD等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由OB＝1可得出点B坐标，将点B的坐标代入直线解析式中即可得出k； （2）直接利用三角形的面积公式即可得出结论； （3）①当△OBD的面积是3时，则△OBD的高为6，即点D到x轴距离为6，据此求解即可； ②设出点P的坐标，进而利用两点间的距离公式求出OD2，OP2，DP2，分三种情况用两边相等建立方程求解即可． 【解答】解：（1），直线y＝kx﹣3与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB＝1， ∴B（1，0）， 交点B的坐标代入y＝kx﹣3中，得： k﹣3＝0， 解得k＝3， ∴y＝3x﹣3， ∴k的值为3； （2）∵点A（x，y）是第一象限内的直线y＝3x﹣3上的一个动点， ∴△AOB的面积； （3）①∵△OBD的面积是3，OB＝1， ∴△OBD的高为6， ∴点D到x轴距离为6， ∵点D是直线y＝3x﹣3上的一个动点， ∴y＝3x﹣3＝6时，x＝3， y＝3x﹣3＝﹣6时，x＝﹣1， ∴点D的坐标为（3，6）或（﹣1，﹣6）； ②x轴上存在一点P，使△POD等腰三角形；理由如下： ∵在①的条件下，且点D在第一象限， ∴点D的坐标为（3，6）， 设点P（m，0）， ∴OD2＝32+62＝45，OP2＝m2，DP2＝（m﹣3）2+36， ∵△DOP为等腰三角形， ∴当OD＝OP时，OD2＝OP2，即：45＝m2， 解得， 此时点P坐标为，； 当OD＝DP时，OD2＝DP2，即：45＝（m﹣3）2+36， 解得m＝0（此时和点A重合，舍去）或m＝6， 此时点P坐标为（6，0）； 当OP＝DP时，OP2＝DP2，即：m2＝（m﹣3）2+36， 解得， 此时点P坐标为； 即：满足条件的P点坐标为，，（6，0），． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 3．（2024春•重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB为yx+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B，经过点E（1，0）且平行于y轴的直线x＝1交AB于点D，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）． （1）求点B的坐标； （2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）； （3）当S△ABP时，在第一象限找点C，使△PBC为等腰直角三角形，直接写出所有满足条件的点C的坐标． 【分析】（1）将A（0，3）代入yx+b得b＝3，即知yx+3，令y＝0得B（4，0）； （2）根据题意得S梯形AOEPn，S△PBEn，S△AOB＝6，可得△ABP的面积为nn﹣6＝2n； （3）由2n，得P（1，4），设C（m，t），（m＞0，t＞0），而B（4，0），可得PC2＝（m﹣1）2+（t﹣4）2，PB2＝25，BC2＝（m﹣4）2+t2，分三种情况：①若PB、BC为直角边，则PB2＝BC2，PC2＝2PB2，即，可得C（8，3），②若PC，PB为直角边，，得C（5，7）；③若PC，BC为直角边，，得C（，）或（，）． 【解答】解：（1）将A（0，3）代入yx+b得： b＝3， ∴yx+3， 令y＝0得：x+3＝0， 解得x＝4， ∴B（4，0）； （2）根据题意得：S梯形AOEP（AO+PE）×OE（3+n）×1n， S△PBEPE•BEn×（4﹣1）n， S△AOBAO•OB3×4＝6， ∴S△ABP＝S梯形AOEP+S△PBE﹣S△AOBnn﹣6＝2n； 答：△ABP的面积为2n； （3）∵S△ABP， ∴2n， 解得n＝4， ∴P（1，4）， 设C（m，t），（m＞0，t＞0），而B（4，0）， ∴PC2＝（m﹣1）2+（t﹣4）2，PB2＝25，BC2＝（m﹣4）2+t2， ①若PB、BC为直角边，则PB2＝BC2，PC2＝2PB2， ∴， 解得或（舍去）， ∴C（8，3）， ②若PC，PB为直角边，则PC2＝PB2，BC2＝2PB2， ∴， 解得（舍去）或， ∴C（5，7）； ③若PC，BC为直角边，则PC2＝BC2，PB2＝2BC2， ∴， 解得或， ∴C（，）或（，）， 综上所述，C的坐标为：（8，3）或（5，7）或（，）或（，）． 【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用． 4．（2024春•新洲区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（﹣a，a），与y轴交于点B（0，b），且（a﹣2）20． （1）求直线l2的解析式； （2）若第二象限有一点P（m，8），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标； （3）线段OA上是否存在一个点M，使得∠ABO+∠MBO＝45°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）运用非负数的性质求得a＝2，b＝6，可得A（﹣2，2），B（0，6），再运用待定系数法即可求得答案； （2）作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣6），根据同底等高的三角形面积相等，可知点P在经过点B或B′与OA平行的直线上，运用待定系数法可得BP的解析式为y＝﹣x+6，直线B′P′的解析式为y＝﹣x﹣6，将P（m，8）代入解析式即可求得答案； （3）先求得直线AB交x轴于点H（﹣3，0），作点H关于y轴的对称点H′（3，0），连接BH′，以BH′为直角边向BH′下方作等腰直角三角形BEH′，使∠BH′E＝90°，过点E作EF⊥x轴等于F，再证得△BH′O≌△H′EF（AAS），可求得E（﹣3，﹣3），运用待定系数法求得直线BE和OA的解析式，联立BE、OA的解析式即可求得点M的坐标． 【解答】解：（1）∵（a﹣2）20， ∴a﹣2＝0，b﹣6＝0， ∴a＝2，b＝6， ∴A（﹣2，2），B（0，6）， 设直线l2的解析式为y＝kx+n，则， 解得：， ∴直线l2的解析式为y＝2x+6； （2）作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣6）， ∵S△AOP＝S△AOB， ∴点P在经过点B或B′与OA平行的直线上， ∵A（﹣2，2）， ∴直线OA的解析式为y＝﹣x， 过点B作OA的平行线BP，则BP的解析式为y＝﹣x+c， 把B（0，6）代入得：c＝6， ∴BP的解析式为y＝﹣x+6， 把P（m，8）代入得：8＝﹣m+6， 解得：m＝﹣2， ∴P（﹣2，8）； 同理可得直线B′P′的解析式为y＝﹣x﹣6， 把P（m，8）代入得：8＝﹣m﹣6， 解得：m＝﹣14， ∴P′（﹣14，8）； 综上所述，当S△AOP＝S△AOB时，点P的坐标为（﹣2，8）或（﹣14，8）； （3）存在．理由如下： 由（1）知直线AB的解析式为y＝2x+6， 当y＝0时，2x+6＝0， 解得x＝﹣3， ∴直线AB交x轴于点H（﹣3，0）， 作点H关于y轴的对称点H′（3，0），连接BH′，以BH′为直角边向BH′下方作等腰直角三角形BEH′，使∠BH′E＝90°，过点E作EF⊥x轴等于F，如图， ∵△BEH′是等腰直角三角形， ∴BH′＝EH′，∠BOH′＝∠EFH′＝90°，∠EBH′＝∠H′BO+∠MBO＝45°， ∴∠ABO+∠MBO＝∠H′BO+∠MBO＝45°， ∵∠H′BO+∠BH′O＝90°，∠EH′F+∠BH′O＝90°， ∴∠H′BO＝∠EH′F， 在△BH′O和△H′EF中， ， ∴△BH′O≌△H′EF（AAS）， ∴EF＝OH′＝3，FH′＝OB＝6， ∴OF＝FH′﹣OH′＝6﹣3＝3， ∴E（﹣3，﹣3）， 设直线BE的解析式为y＝k1x+b1，则， 解得， ∴直线BE的解析式为y＝3x+6， 同理可得直线OA的解析式为y＝﹣x， 联立得， 解得， ∴M（，）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，两点间距离公式，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握待定系数法是解题关键． 5．（2024秋•驿城区校级月考）如图，直线l1：y＝﹣3x+3交y轴于C，与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），且直线l1、l2交于点B（2，m）． （1）当l1＞l2时，直接写出x的取值范围 　 ；直线l2的表达式为 　 　 ； （2）点M是直线OC上的一点，若将△DCM沿DM折叠，点C恰好落在x轴上，求出点M的坐标； （3）若点Q为x轴上一点，连接BQ，且△BDQ是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）求出m＝﹣3×2+3＝﹣3，得点B坐标，结合图象得l1＞l2时，x的取值范围；设直线l2的解析式为y＝kx+b，把A，B坐标代入，解得k，b，即可得出答案； （2）分点M在y轴正半轴和负半轴上两种情况讨论，结合勾股定理求解即可； （3）分三种情况：①BQ＝BD时，②当QD＝QB时，③DQ＝DB时，求出点Q的坐标即可． 【解答】解：（1）∵点B（2，m）在直线l1：y＝﹣3x+3上， ∴m＝﹣3×2+3＝﹣3， ∴B（2，﹣3） ∴当l1＞l2时，x的取值范围x＜2； 设直线l2的解析式为：y＝kx+b， 由题意可得：， ∴， ∴； 故答案为：x＜2，； （2）∵l1：y＝﹣3x+3， 当y＝0时，x＝1， ∴D（1，0）， 当点M在y轴正半轴时，如图， 设M（0，m），则OM＝m，CM＝OC﹣OM＝3﹣m， ∵C（0，3），D（1，0）， ∴， 由折叠得，， ∴， 在Rt△C′OM中，C′O2+OM2＝C′M2， ∴， 解得，， ∴点M的坐标为； 当点M在y轴负半轴上时，如图， 设M（0，n），则，C′M＝CM＝3﹣n， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； ∴点M的坐标为或； （3）设Q的坐标为（a，0）， ∵D（1，0），B（2，﹣3）， ∴BD2＝（2﹣1）2+（﹣3﹣0）2＝10，BQ2＝（2﹣a）2+（﹣3﹣0）2＝a2﹣4a+13，QD2＝（1﹣a）2＝a2﹣2a+1； 如图， ①当BQ＝BD时，BQ2＝BD2， ∴a2﹣4a+13＝10 ∴a＝3，或a＝1（此时Q与点D重合，不合题意，舍去）， ∴点Q的坐标为（3，0）， ②当QD＝QB时，QD2＝QB2， ∴a2﹣4a+13＝a2﹣2a+1 ∴a＝6， ∴点Q的坐标为（6，0）； ③DQ＝DB时，DQ2＝DB2， ∴a2﹣2a+1＝10， ∴，或， ∴点Q的坐标为（3，0）或（6，0）或或． 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$