专题 一次函数与线段、角度有关的问题（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北京版）

（北京版）八年级下册数学《第14章 一次函数》 专题 一次函数与线段、角度有关的问题 题型一 一次函数与线段问题 1．（2024秋•于洪区期中）如图，直线y＝﹣2x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点． （1）点A的坐标为 　 ，点B的坐标为 　 　； （2）若点C（m，4）是直线y＝﹣2x+6上一点，求CA的长． 2．（2024秋•建湖县月考）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2的函数表达式； （2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标； 3．（2024秋•秦都区校级期中）如图，直线y＝2x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）求△AOB的面积； （2）平移直线使其与x轴相交于点P，且OP＝2OA，求平移后直线的表达式． 4．（2024秋•城关区校级月考）已知一次函数y＝﹣2x﹣2，函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）根据表达式画出函数的图象； （2）求出图象与坐标轴所围成图形的面积； （3）在坐标轴上有一点C，使得AB＝AC，直接写出C的坐标． 5．（2024秋•阜阳月考）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，3），一次函数y＝﹣x+b经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为t（t＞3）．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数y＝﹣x+b的图象于点D． （1）求点A的坐标； （2）若PD＝CD，求t的值； （3）若CP＝3PD，求t的值． 6．（2024秋•建湖县月考）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2的函数表达式； （2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标； （3）在x轴上是否存在点D，使得△ACD是直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024秋•嵩明县期中）如图，一次函数的图象经过点A（2，3），交y轴于点B，交x轴于点C． （1）求点B、C的坐标； （2）在x轴上一动点P，使PA+PB最小时，求点P的坐标； （3）在条件（2）下，求△ABP的面积． 题型二 一次函数与等角问题 1．（2024•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l上有一点A（3，2），将点A先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B，点B恰好在直线l上． （1）写出点B的坐标，并求出直线l的表达式； （2）如果点C在y轴上，且∠ABC＝∠ACB，求点C的坐标． 2．（2024秋•东台市月考）如图，直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+4相交于点A（2，2），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线y＝kx+b的函数表达式； （2）若直线y＝﹣x+4与y轴交于点D，点P在直线y＝﹣x+4上，当∠ABO＝∠POD时，直接写出点P的坐标． 3．（2024秋•常州期末）【操作思考】 如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．先画出正比例函数y＝x的图象，再画出△ABC关于正比例函数y＝x的图象对称的△DEF． 【猜想验证】 猜想：点P（a，b）关于正比例函数y＝x的图象对称的点Q的坐标为 　 　； 验证点P（a，b）在第一象限时的情况（请将下面的证明过程补充完整）． 证明：如图2，点P（a，b）、Q关于正比例函数y＝x的图象对称，PH⊥x轴，垂足为H． 【应用拓展】 在△ABC中，点A坐标为（3，3），点B坐标为（﹣2，﹣1），点C在射线BO上，且AO平分∠BAC，则点C的坐标为 　 　． 4．（2024秋•开江县校级期末）如图1，已知函数yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q． ①若△PQB的面积为，求点Q的坐标； ②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标． 5．（2024秋•凤城市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、点B，直线CD与AB相交于点C（2，m），与x轴相交于点D（1，0），与y轴相交于点E，点P是y轴上一动点． （1）求直线CD的表达式； （2）求△BCE的面积； （3）连接CP、DP， ①当∠BPC＝∠OPD时，求点P的坐标； ②当△CDP的面积等于△BCE面积的一半时，请直接写出点P的坐标为 　 　． 6．（2024秋•长兴县期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B坐标为（0，4），以线段AB为底边向右作等腰直角△ABC，点C坐标为（3，3），点D为OA的中点，连结BD． （1）求点A的坐标； （2）如图2，将四边形BDAC向右平移m个单位，记平移后的四边形为B1D1A1C1，点C1恰好在直线上，求直线A1C1的解析式； （3）在（2）的条件下，若点E为直线A1C1上的动点，使∠EB1C1＝∠A1B1D1，直接写出点E的坐标． 题型三 一次函数与45°角问题 1．（2024春•宛城区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点． （1）将直线AB向下平移5个单位，所得直线的解析式是 　； （2）直接写出与直线AB关于x轴对称的直线的解析式； （3）若点P在x轴上，且∠APB＝45°，求点P的坐标； 2．（2024春•碑林区校级月考）我们知道，平移、翻折、旋转是3种基本的图形运动．你能求出将直线平移、旋转后对应的函数表达式吗？ （1）将一次函数y＝﹣2x+4的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为 　 　； （2）如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象与y轴的交点为点A，将直线y＝﹣2x+4绕点A逆时针旋转45°，求所得的图象对应的函数表达式． 3．（2024秋•市中区期中）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥I交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝kx+2分别与y轴，x轴交于点A、B（﹣1，0）． （1）求k的值和点A的坐标； （2）在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE＝90°，求点E的坐标； （3）将直线l1绕点A旋转45°得到l2，求l2的函数表达式． 4．（2024秋•武侯区校级期中）在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴，y轴于点B，A，点C在x轴的负半轴上，且2OC＝OB． （1）求直线AC的表达式； （2）若点M是直线AC上的一点，连接BM，使得S△AMB＝2S△ABC，求出此时点M的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使∠CMP＝45°，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由． 5．（2024秋•镇海区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数yx+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段AB的中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D． （1）求A、B两点的坐标； （2）若点E为y轴负半轴上一点，连接CE交x轴于点F，且CF＝FE，在直线CD上有一点P，使得AP+EP最小，求P点坐标； （3）如图2，直线CD上是否存在点Q使得∠ABQ＝45°，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 6．（2024秋•宝安区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（﹣6，0）、B（0，8），C是线段OB上一点，将△OAC沿着AC折叠，点O落在点D，连接BD． （1）求直线AB的函数解析式； （2）若点D正好落在线段AB上，求点C的坐标； （3）若，求点D的坐标； （4）点P是平面内一点，若∠PAB＝45°，请直接写出直线PA的函数解析式． 题型四 一次函数与角度有关的综合问题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+8分别交x轴、y轴于点A、B，将正比例函数y＝2x的图象沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x轴、y轴于点C、D，交直线AB于点E． （1）直接写出直线l对应的函数表达式； （2）在直线AB上存在点F（不与点E重合），使BF＝BE，求点F的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使∠PDO＝2∠PBO？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024秋•镇海区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为yx+b，它与坐标轴分别交于A、B两点，已知点B的纵坐标为4． （1）求出A点的坐标． （2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得∠QBA＝90°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点P为y轴上一点，连结AP，若∠APO＝2∠ABO，求点P的坐标． 3．（2024秋•荥阳市期中）如图1，直线和直线y＝ax+5相交于点A（4，b），直线y＝ax+5与x轴交于点C，点P在线段AC上，直线PD⊥x轴于点D，交直线于点Q． （1）求a，b的值； （2）当QP＝OA时，求△APQ的面积； （3）如图2，在（2）的条件下，∠AQP的平分线交x轴于点M，请直接写出点M的坐标． 4．（2024秋•南海区期中）如图，已知直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图1，点E是线段OB的中点，连结AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，求EF的长； （3）如图2，若，过B点作BC∥OG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠ABM+∠CBO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024秋•渠县校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（6，0）．直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E． （1）求直线AB的解析式和点D的坐标． （2）设点Q是x轴上一动点，是否存在点Q使AQ+DQ的值最小？若存在，请求出AQ+DQ的最小值； （3）如图2，点P（2，﹣4）是直线x＝2上一点，且在点D的下方． ①求△ABP的面积； ②以PB为边在第四象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标． 6．如图，已知直线AB：y＝kx+b与x轴交于点，与y轴交于点C（0，3），且与直线y＝x相交于点A．（1）求直线AB的表达式和点A的坐标． （2）如图1，点D在直线y＝x上，且横坐标为2，点Q为射线BC上一动点，若，请求出点Q的坐标． （3）如图2，过点A作y轴的垂线段AE，垂足为E，M为y轴上一点，且∠MAE＝∠OAB，请直接写出直线AM的表达式． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北京版）八年级下册数学《第14章 一次函数》 专题 一次函数与线段、角度有关的问题 题型一 一次函数与线段问题 1．（2024秋•于洪区期中）如图，直线y＝﹣2x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点． （1）点A的坐标为 　 ，点B的坐标为 　 　； （2）若点C（m，4）是直线y＝﹣2x+6上一点，求CA的长． 【分析】（1）将y＝0和x＝0分别代入y＝﹣2x+6即可解决问题． （2）先求出m的值，再过点C作x轴的垂线即可解决问题． 【解答】解：（1）令y＝0得， ﹣2x+6＝0， 解得x＝3， 所以点A的坐标为（3，0）． 令x＝0得， y＝6， 所以点B的坐标为（0，6）． 故答案为：（3，0），（0，6）． （2）将点C坐标代入y＝﹣2x+6得， m＝1， 所以点C的坐标为（1，4）． 过点C作x轴的垂线，垂足为M， 则CM＝4，AM＝3﹣1＝2， 所以AC． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 2．（2024秋•建湖县月考）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2的函数表达式； （2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标； 【分析】（1）由待定系数法可得出答案； （2）设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，则可得出答案； 【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+3得，y＝4， ∴C（1，4）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6； （2）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3， ∴B（﹣3，0）， ∴AB＝3﹣（﹣3）＝6， 设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6）， MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6， 解得a＝3或a＝﹣1， ∴M（3，6）或（﹣1，2）． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，考查了一次函数的性质，待定系数法，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 3．（2024秋•秦都区校级期中）如图，直线y＝2x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）求△AOB的面积； （2）平移直线使其与x轴相交于点P，且OP＝2OA，求平移后直线的表达式． 【分析】（1）根据直线y＝2x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，求出B（0，6），A（﹣3，0），数形结合，得到△AOB两条直角边长，直接利用直角三角形面积公式求解即可得到答案； （2）根据OP＝2OA＝6，确定点P的坐标是（﹣6，0）或（6，0），设平移后的直线为y＝2x+b，利用待定系数法求解即可得到平移后直线的表达式． 【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， ∴当x＝0时y＝6，即B（0，6）；当y＝0时x＝﹣3，即A（﹣3，0）， ∴OA＝3，OB＝6， ∴S△AOB； （2）由（1）知A（﹣3，0），OA＝3， ∴平移直线使其与x轴相交于点P，且OP＝2OA，即OP＝2OA＝6， ∴点P的坐标是（﹣6，0）或（6，0）， 设平移后的直线为y＝2x+b， 当直线过（﹣6，0）时，代入y＝2x+b，得b＝12， 即平移后直线为：y＝2x+12； 当直线过（6，0）时，代入y＝2x+b，得b＝﹣12， 即平移后直线为：y＝2x﹣12； 综上所述，平移后直线的表达式为y＝2x+12或y＝2x﹣12． 【点评】本题考查一次函数综合，涉及平面直角坐标系中直线与坐标轴交点、直线与坐标轴构成三角形面积、直线平移、待定系数法求一次函数表达式等知识，熟练掌握一次函数图象与性质，熟悉相关题型解题方法是解决问题的关键． 4．（2024秋•城关区校级月考）已知一次函数y＝﹣2x﹣2，函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）根据表达式画出函数的图象； （2）求出图象与坐标轴所围成图形的面积； （3）在坐标轴上有一点C，使得AB＝AC，直接写出C的坐标． 【分析】（1）求出函数y＝﹣2x﹣2的图象与x轴交点A（﹣1，0），与y轴交点B（0，﹣2），再过A，B画直线即可； （2）又三角形面积公式列式计算即可； （3）分当C在y轴上和当C在x轴上列方程可解得答案． 【解答】解：（1）函数y＝﹣2x﹣2的图象经过B（0，﹣2）和A（﹣1，0）；画出函数的图象如下： （2）由（1）知，函数y＝﹣2x﹣2的图象与坐标轴所围成图形是三角形， 又函数y＝﹣2x﹣2的图象与x轴交点为A（﹣1，0），与y轴交点B（0，﹣2）， ∵1×2＝1， ∴函数图象与坐标轴所围成图形的面积为1； （3）∵A（﹣1，0），B（0，﹣2）， ∴AB； 当C在y轴上时，设C（0，m），则， 解得m＝2或m＝﹣2（与B重合，舍去）， ∴C（0，2）； 当C在x轴上时，设C（n，0），则|n+1|， 解得n1或n1， ∴C（1，0）或（1，0）； 综上所述，C的坐标为（0，2）或（1，0）或（1，0）． 【点评】本题考查一次函数图象及性质，解题的关键是掌握一次函数图象上点坐标的特征． 5．（2024秋•阜阳月考）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，3），一次函数y＝﹣x+b经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为t（t＞3）．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数y＝﹣x+b的图象于点D． （1）求点A的坐标； （2）若PD＝CD，求t的值； （3）若CP＝3PD，求t的值． 【分析】（1）把利用待定系数法求出直线AB的解析式； （2）根据点C、D的解析式，表示出CD＝2t﹣6，PD＝6﹣t，根据PD＝CD列方程求解即可； （3）根据点C、D的解析式，表示出CP＝t，PD＝6﹣t，根据PC＝3PD，分两种情况列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵点M（3，3）在一次函数y＝﹣x+b图象上， ∴3＝﹣3+b，解得：b＝6， ∴y＝﹣x+6， 当y＝0时，﹣x+6＝0，解得x＝6， ∴点A（6，0）， （2）依题意得：OM的解析式为：y＝x， ∵点P（t，0），则点C（t，t），点D（t，﹣t+6）， ∴CD＝t﹣（﹣t+6）＝2t﹣6， PD＝（﹣t+6）＝6﹣t， 若PD＝CD，则有6﹣t＝2t﹣6，解得：t＝4， （3）当3≤t≤6时； CP＝t，PD＝（﹣t+6）＝6﹣t， 当t＝3（6﹣t），解得， 当t＞6时；CP＝t，PD＝﹣（﹣t+6）＝t﹣6， 当t＝3（t﹣6），解得t＝9， 综上分析，或t＝9． 【点评】本题主要考查了一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系，准确计算． 6．（2024秋•建湖县月考）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2的函数表达式； （2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标； （3）在x轴上是否存在点D，使得△ACD是直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法可得出答案； （2）设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，则可得出答案； （3）由题意可得△ACD是直角三角形需分两种情况讨论：①∠ADC＝90°，此时点D的坐标为（1，0）；②∠ACD＝90°，由AC2+CD2＝AD2即可求解． 【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+3得，y＝4， ∴C（1，4）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6； （2）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3， ∴B（﹣3，0）， ∴AB＝3﹣（﹣3）＝6， 设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6）， MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6， 解得a＝3或a＝﹣1， ∴M（3，6）或（﹣1，2）． （3）存在，理由如下： 设点D为（m，0），A（3，0），C（1，4）， ∴AC2＝22+42＝20，CD2＝（1﹣m）2+42＝m2﹣2m+17，AD2＝（m﹣3）2＝m2﹣6m+9， 由题意可得△ACD是直角三角形需分两种情况讨论： ①∠ADC＝90°，此时点D的坐标为（1，0）； ②∠ACD＝90°，AC2+CD2＝AD2， 即20+m2﹣2m+17＝m2﹣6m+9，解得：m＝﹣7， 此时点D的坐标为（﹣7，0）； 综上所述，存在满足条件的点D的坐标为（1，0）或（﹣7，0）． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，考查了一次函数的性质，勾股定理的运用，待定系数法，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 7．（2024秋•嵩明县期中）如图，一次函数的图象经过点A（2，3），交y轴于点B，交x轴于点C． （1）求点B、C的坐标； （2）在x轴上一动点P，使PA+PB最小时，求点P的坐标； （3）在条件（2）下，求△ABP的面积． 【分析】（1）将点A（2，3）代入一次函数，求出b的值，再分别令x＝0和y＝0求点B和点C坐标即可； （2）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P′，当点P与点P′重合时，此时PA+PB最小，先求出点D坐标，再利用待定系法求出直线AD的解析式，令y＝0，求出点P′坐标，即PA+PB最小时点P坐标； （3）根据S△ABP＝S△ACP﹣S△BCP求解即可． 【解答】解：（1）将点A（2，3）代入一次函数， 得1+b＝3， ∴b＝2， ∴yx+2， 当x＝0时，y＝2， ∴点B坐标为（0，2）， 当yx+2＝0时，x＝﹣4， ∴点C坐标为（﹣4，0）； （2）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P′，当点P与点P′重合时， 此时PA+PB最小， ∵点B坐标为（0，2）， ∴点D坐标为（0，﹣2）， 设直线AD的解析式为y＝mx+n（m≠0，m，n为常数）， 代入A（2，3），D（0，﹣2）， 得， 解得， ∴直线AD的解析式为， 当0时，x， ∴点P′坐标为（，0）， ∴PA+PB最小时，点P坐标为（，0）； （3）∵点C坐标为（﹣4，0）， ∴CP， ∴S△ABP＝S△ACP﹣S△BCP ． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣求最短路线问题，涉及待定系法求解析式，三角形面积等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解题的关键． 题型二 一次函数与等角问题 1．（2024•奉贤区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l上有一点A（3，2），将点A先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B，点B恰好在直线l上． （1）写出点B的坐标，并求出直线l的表达式； （2）如果点C在y轴上，且∠ABC＝∠ACB，求点C的坐标． 【分析】（1）将点A先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B（0，﹣2），再用待定系数法即可求解； （2）由∠ABC＝∠ACB，则AC＝AB，则点A在BC的中垂线上，即可求解． 【解答】解：（1）将点A先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B（0，﹣2）， 设直线l的表达式为：y＝kx﹣2， 将点A的坐标代入上式得：2＝3k﹣2，则k， 则直线l的表达式为：yx﹣2； （2）设点C（0，y）， ∵∠ABC＝∠ACB，则AC＝AB， 则点A在BC的中垂线上， 由中点坐标公式得：2（y﹣2）， 解得：y＝6， 即点C的坐标为：（0，6）． 【点评】本题为一次函数综合题，涉及到点的平移、中点坐标公式的运用、等腰三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中． 2．（2024秋•东台市月考）如图，直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+4相交于点A（2，2），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线y＝kx+b的函数表达式； （2）若直线y＝﹣x+4与y轴交于点D，点P在直线y＝﹣x+4上，当∠ABO＝∠POD时，直接写出点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数即可求解； （2）分点P在y轴右侧，点P在y轴左侧两种情况，分别解答即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+4相交于点A（2，2），与y轴交于点B（0，﹣2）． ∴，， ∴直线y＝kx+b的函数表达式为y＝2x﹣2； （2）①点P在y轴右侧时， ∵∠ABO＝∠POD， ∴OP∥AB， ∵直线AB的函数表达式为y＝2x﹣2， ∴直线OP为y＝2x． 联立y＝﹣x+4得：， 解得x， ∴P（，）； ②点P在y轴左侧时，过点A作AM⊥x轴于M，减OP于N，设AB交x轴于点C， ∴∠OMN＝∠BOC＝90°， ∵A（2，2）， ∴M（0，2）， ∵B（0，﹣2）， ∴OM＝BO＝2， ∵∠ABO＝∠POD， ∴△CBO≌△MON， ∴MN＝OC， ∵直线AB的函数表达式为y＝2x﹣2， ∴点C（1，0）， ∴OC＝1， ∴MN＝1， ∴N（﹣1，2）， 设直线ON的函数表达式为y＝mx， ∴﹣x＝2，解得x＝﹣2， ∴直线ON的函数表达式为y＝﹣2x， 联立y＝﹣x+4得：， 解得x＝﹣4， ∴P（﹣4，8）． 综上所述：点P坐标为（，）或（﹣4，8）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，两直线平行问题，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 3．（2024秋•常州期末）【操作思考】 如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．先画出正比例函数y＝x的图象，再画出△ABC关于正比例函数y＝x的图象对称的△DEF． 【猜想验证】 猜想：点P（a，b）关于正比例函数y＝x的图象对称的点Q的坐标为 　 　； 验证点P（a，b）在第一象限时的情况（请将下面的证明过程补充完整）． 证明：如图2，点P（a，b）、Q关于正比例函数y＝x的图象对称，PH⊥x轴，垂足为H． 【应用拓展】 在△ABC中，点A坐标为（3，3），点B坐标为（﹣2，﹣1），点C在射线BO上，且AO平分∠BAC，则点C的坐标为 　 　． 【分析】操作思考：根据平面直角坐标系的对称性即可画出图象． 猜想验证：作QI⊥y，PH⊥x，点P、Q关于函数y＝x的图象对称，可证明得到△IOQ≌△HOP，从而得到IQ＝PH，OI＝OH，进而可得到Q点坐标； 应用拓展：在△ABC中，AO平分∠BAC，构造全等三角形，可得点C在AB关于AK的对称线AB'上，又因为点C在射线BO上，所以点C为直线BO和直线AB'的交点坐标．求出直线BO和直线AB'的解析式，即可得到答案． 【解答】解：操作思考： 猜想验证： 猜想点P（a，b）关于正比例函数y＝x的图象对称的点Q的坐标为（b，a）． 故答案为：（b，a）； 证明：作QI⊥y轴，垂足为I，连接OQ． ∵点P、Q关于函数y＝x的图象对称， ∴OP＝OQ，PQ⊥ON， ∴∠QON＝∠PON， ∵∠ION＝∠HON＝45°， ∴∠ION﹣∠QON＝∠HON﹣∠PON，即∠IOQ＝∠HOP． 在△IOQ和△HOP中， ， ∴△IOQ≌△HOP（AAS）， ∴IQ＝PH＝b，OI＝OH＝a， ∴Q（b，a）． 应用拓展： 如图3，过B作BB'⊥OA交AC延长线于B'，交直线AO于K， ∵A（3，3）， ∴直线OA为y＝x的图象， ∵AO平分∠BAC， ∴∠BAO＝∠B'AO， ∵∠BKA＝∠B'KA＝90°，AK＝AK， ∴△BKA≌△B'KA（ASA）， ∴BK＝B'K， ∵BB'⊥AO， ∴B、B'关于直线y＝x对称， ∵B（﹣2，﹣1）， ∴B'（﹣1，﹣2）， 设直线AB'为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线AB'为， 又∵直线BO为， ∴， ∴x＝1， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了图形在平面直角坐标系中的对称问题、三角形全等问题、一次函数的应用，熟练掌握图形对称的定义，证明全等的方法，求交点坐标的方法是解此题的关键． 4．（2024秋•开江县校级期末）如图1，已知函数yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q． ①若△PQB的面积为，求点Q的坐标； ②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标． 【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线BC解析式； （2）①先表示出PQ，最后用三角形面积公式即可得出结论； ②分点M在y轴左侧和右侧，由对称得出∠BAC＝∠ACB，∠BMP+∠BMC＝90°，所以，当∠MBC＝90°即可，利用勾股定理建立方程即可x2+9+45＝（6﹣x）2，即可求解． 【解答】解：（1）对于yx+3， 由x＝0得：y＝3， ∴B（0，3）． 由y＝0得：x+3＝0，解得x＝﹣6， ∴A（﹣6，0）， ∵点C与点A关于y轴对称． ∴C（6，0） 设直线BC的函数解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线BC的函数解析式为yx+3； （2）①设点M（m，0），则点P（m，m+3），点Q（m，m+3）， 过点B作BD⊥PQ与点D， 则PQ＝|m+3﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|， 则△PQB的面积PQ•BDm2，解得m＝±， 故点Q的坐标为（，3）或（，3）； ②如图2，当点M在y轴的左侧时， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵∠BMP＝∠BAC， ∴∠BMP＝∠BCA， ∵∠BMP+∠BMC＝90°， ∴∠BMC+∠BCA＝90° ∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°， ∴BM2+BC2＝MC2， 设M（x，0），则P（x，x+3）， ∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45， ∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x， ∴P（，）， 如图2，当点M在y轴的右侧时， 同理可得P（，）， 综上，点P的坐标为（，）或（，）． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键． 5．（2024秋•凤城市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、点B，直线CD与AB相交于点C（2，m），与x轴相交于点D（1，0），与y轴相交于点E，点P是y轴上一动点． （1）求直线CD的表达式； （2）求△BCE的面积； （3）连接CP、DP， ①当∠BPC＝∠OPD时，求点P的坐标； ②当△CDP的面积等于△BCE面积的一半时，请直接写出点P的坐标为 　 　． 【分析】（1）将点C（2，m）代入直线yx+2得m＝1，利用待定系数法可得直线CD的表达式： （2）由直线yx+2可得B（0，2），由直线CD：y＝x﹣1得E（0，﹣1），即可得△BCE的面积； （3）①设点P的坐标为（0，p），分两种情况：Ⅰ点P在y轴正半轴时，Ⅱ点P在y轴负半轴时，分别求解即可； ②设点P的坐标为（0，p），分两种情况：Ⅰ点P在y轴正半轴时，Ⅱ点P在y轴负半轴时，利用三角形的面积公式分别求解即可． 【解答】解：（1）把C（2，m）代入中，得m＝1， ∴C（2，1）， 设直线CD的表达式y＝kx+b，把C（2，1）和D（1，0）代入得： ， 解得：k＝1，b＝﹣1， ∴CD的表达式为y＝x﹣1； （2）∵直线yx+2与y轴相交于点B， ∴B（0，2）， ∵直线CD：y＝x﹣1与y轴相交于点E， ∴E（0，﹣1）， ∵点C（2，1）， ∴BE＝3， ∴S△BCE3×2＝3； （3）①点P在y轴正半轴时，过点C作CH⊥y轴于H，如图1， ∴∠CMP＝∠PMG＝90°， ∵∠BPC＝∠OPD， ∴∠CPM＝∠GPM， ∵PM＝PM， ∴△CPM≌△GPM（AAS）， ∴CM＝GM， 在△POD和△GND中， ， ∴△POD≌△GND（ASA）， ∴OP＝NG， 设OP＝x，则NG＝MN＝x，CG＝1+x，GM＝CM， ∴CM+MNx＝1， ∴x， ∴点P的坐标为（0，）； 点P在y轴负半轴时，如图2， 由图得当点P与点E重合时，∠BPC＝∠OPD， ∴点P的坐标为（0，﹣1）； 综上，点P的坐标为（0，）或（0，﹣1）． ②设点P的坐标为（0，p）， 点P在y轴正半轴时，如图3， ∵S△CDP＝S△PCE﹣S△PDE2（p+1）1（p+1）（p+1）S△BCE， S△BCE＝3， ∴（p+1）， ∴p＝2， ∴点P的坐标为（0，2）； 点P在y轴负半轴时，如图4， ∵S△CDP＝S△PCE﹣S△PDE2（﹣p﹣1）1（﹣p﹣1）（﹣p﹣1）S△BCE， S△BCE＝3， ∴（﹣p﹣1）， ∴p＝﹣4， ∴点P的坐标为（0，﹣4）； 综上，点P的坐标为（0，2）或（0，﹣4）， 故答案为：（0，2）或（0，﹣4）． 【点评】本题是三角形综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，数形结合以及分类讨论是解题的关键． 6．（2024秋•长兴县期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B坐标为（0，4），以线段AB为底边向右作等腰直角△ABC，点C坐标为（3，3），点D为OA的中点，连结BD． （1）求点A的坐标； （2）如图2，将四边形BDAC向右平移m个单位，记平移后的四边形为B1D1A1C1，点C1恰好在直线上，求直线A1C1的解析式； （3）在（2）的条件下，若点E为直线A1C1上的动点，使∠EB1C1＝∠A1B1D1，直接写出点E的坐标． 【分析】（1）过点C作 CN⊥x轴与N，过点B作 BM⊥CN，交NC的延长线于M，可证得△ANC≌△MCB，从而得出AN＝CM，BM＝CN，进一步得出结果； （2）可表示出平移后A1坐标为（2+m，0），C1坐标为（3+m，3），将点C1代入，求得m的值，进一步得出结果； （3）作B1S⊥x轴于S，作D1T⊥B1D1，交B1Q于T，可推出∠D1TB1＝45°，从而得出△SB1D1≌△VD1T，进而得出T点坐标，从而求得B1T的解析式，进一步得出结果；延长EC1至E′，使E′C1＝EC1，连接B1E′，可推出B1E′＝B1E，从而得出∠E′B1C1＝∠C1B1E＝∠A1B1D1，进一步得出结果． 【解答】解：（1）如图1， 过点C作 CN⊥x轴与N，过点B作 BM⊥CN，交NC的延长线于M， ∴∠ANC＝∠M＝90°， ∴∠CAN+∠ACN＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACN+∠BCM＝90°， ∴∠CAN＝∠BCM， ∴△ANC≌△MCB（AAS）， ∴AN＝CM，BM＝CN， ∵点B坐标为（0，4），点C坐标为（3，3）， ∴OB＝MN＝4，ON＝3，CN＝3， ∴CM＝AN＝4﹣3＝1， ∴OA＝ON﹣AN＝3﹣1＝2， ∴A（2，0）； （2）点C坐标为（3，3），向右平移m个单位，A1坐标为（2+m，0），C1坐标为（3+m，3）， ∵过C1（3+m，3）， ∴， ∴m＝2， ∴C1坐标为（5，3），A坐标为（4，0）， 设A1C1的解析式为：y＝px+q， ∴， ∴， ∴直线A1C1的解析式：y＝3x﹣12； （3）如图2， 作B1S⊥x轴于S，作D1T⊥B1D1，交B1Q于T， ∵∠EB1C1＝∠A1B1D1， ∴∠EB1C1+∠EB1A1＝∠A1B1D1+∠EB1A1， ∴∠A1B1C1＝∠D1B1E＝45°， ∴∠D1B1E＝45°， ∴∠D1TB1＝45°， 同理（1）得， △SB1D1≌△VD1T， ∴D1V＝B1S＝4，TV＝AD1＝1， ∴T（7，1）， ∴B1T的解析式为：y， 由得， ， ∴E（，）， 延长EC1至E′，使E′C1＝EC1，连接B1E′， ∴B1E′＝B1E， ∴∠E′B1C1＝∠C1B1E＝∠A1B1D1， ∵5×2，3×2， ∴E′（）， 综上所述：E（，）或（）． 【点评】本题考查了求一次函数的解析式，函数图象的交点与方程组之间的关系，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 题型三 一次函数与45°角问题 1．（2024春•宛城区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点． （1）将直线AB向下平移5个单位，所得直线的解析式是 　； （2）直接写出与直线AB关于x轴对称的直线的解析式； （3）若点P在x轴上，且∠APB＝45°，求点P的坐标； 【分析】（1）由图形平移的性质求解即可； （2）求出A、B点坐标，然后求出A、B关于x轴的对称点坐标，由待定系数法求函数解析式即可； （3）由题意可知△OPB是等腰直角三角形，则OP＝OB，由此可求P点坐标； 【解答】解：（1）直线AB向下平移5个单位，得到， 故答案为：； （2）令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）， 令y＝0，则x＝3， ∴A（3，0）， ∴B点关于x轴的对称点（0，﹣4）， 设直线关于x轴对称的直线解析式为y＝kx﹣4， ∴3k﹣4＝0， ∴k， ∴yx﹣4； （3）∵B（0，4）， ∴OB＝4， ∵点P在x轴上，∠APB＝45°， ∴点P在直线AB的两侧，OP＝OB＝4， ∴P（﹣4，0）或（4，0）； 【点评】本题考查次一函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键． 2．（2024春•碑林区校级月考）我们知道，平移、翻折、旋转是3种基本的图形运动．你能求出将直线平移、旋转后对应的函数表达式吗？ （1）将一次函数y＝﹣2x+4的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为 　 　； （2）如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象与y轴的交点为点A，将直线y＝﹣2x+4绕点A逆时针旋转45°，求所得的图象对应的函数表达式． 【分析】（1）利用平移规律得出平移后的函数表达式； （2）过点B作BD⊥AB交所得的图象于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A、D的坐标，再利用待定系数法即可求得解析式． 【解答】解：（1）利用平移规律得， 将一次函数y＝﹣2x+4的图象沿着y轴向下平移3个单位长度， 所得到的图象对应的函数表达式为y＝﹣2x+4﹣3＝﹣2x+1， 故答案为：y＝﹣2x+1； （2）如图，过点B作BD⊥AB交所得的图象于点D，过点D作DE⊥x轴于点E， 函数y＝﹣2x+4于y轴交点为点A，与x轴交点为点B， 令x＝0，y＝4，故A（0，4）， ∴OA＝4， 令y＝0，x＝2，故B（2，0）， ∴OB＝2， ∵将直线y＝﹣2x+4绕点A逆时针旋转45°， ∴∠BAD＝45°， ∴AB＝BD，∠ABD＝90°，∠BED＝90°， ∴∠ABO+∠DBE＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠ABO+∠OAB＝90°， ∴∠DBE＝∠OAB，∠AOB＝∠BED， ∴△AOB≌△BED（AAS）， ∴BE＝OA＝4，DE＝OB＝2， ∴OE＝OB+BE＝6， ∴D（6，2）， 设所得的图象对应的函数表达式为y＝kx+b， 将A（0，4）、D（6，2）代入得， ， 解得， ∴所得的图象对应的函数表达式为． 【点评】本题是一次函数的综合题，考查待定系数法求解析式，平移及旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 3．（2024秋•市中区期中）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，过点A作AD⊥I交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线l1：y＝kx+2分别与y轴，x轴交于点A、B（﹣1，0）． （1）求k的值和点A的坐标； （2）在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE＝90°，求点E的坐标； （3）将直线l1绕点A旋转45°得到l2，求l2的函数表达式． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）过点C作EF⊥y轴交于点F，证明△EAF≌△ABO，据此即可求解； （3）当直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2时，过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D，证明△BCD≌△ABO，求得C（﹣3，1），利用待定系数法即可求解；当直线l1绕点A逆时针旋转45°得到l2时，同理可求． 【解答】解：（1）将点B的坐标代入y＝kx+2得：0＝﹣k+2，解得：k＝2，则该函数的表达式为：y＝2x+2， 令x＝0，则y＝2； ∴A（0，2）， 即k＝2，点A（0，2）； （2）过点E作EF⊥y轴交于点F， ∵∠BAE＝90°，AE＝AB， ∴由K型全等模型可得△EAF≌△ABO， ∴EF＝OA＝2，AF＝OB＝1，则OF＝2+1＝3， ∴点E的坐标为（﹣2，3）； （3）当直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2时， 过点B作BC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴交于点D， ∵∠CAB＝45°，BC⊥AB， ∴BC＝AB， ∴由K型全等模型可得△BCD≌△ABO， ∵y＝2x+2与x轴的交点B（﹣1，0），A（0，2）， ∴CD＝1，BD＝2， ∴C（﹣3，1）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴yx+2； 当直线l1绕点A逆时针旋转45°得到l2时， 同理可得y＝﹣3x+2； 综上所述：直线l2的解析式为yx+2或y＝﹣3x+2． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，正确利用模型是解题的关键． 4．（2024秋•武侯区校级期中）在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴，y轴于点B，A，点C在x轴的负半轴上，且2OC＝OB． （1）求直线AC的表达式； （2）若点M是直线AC上的一点，连接BM，使得S△AMB＝2S△ABC，求出此时点M的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使∠CMP＝45°，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）过点C作直线t∥AB交y轴于点T（0，﹣2），取TL＝AT＝6，过点L作直线l∥AB交直线AC于点M′，则点L（0，﹣8），取AK＝2AT＝12，过点K（0，16）作直线k∥AB交AC于点M，则此时S△AMB＝2S△ABC，点M（M′）为所求点，即可求解； （3）当点M（4，12）时，证明△MEC≌△CHF（AAS），得到点F（10，﹣6），即可求解；当点M′（﹣4，﹣4）时，同理可解． 【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4分别交x轴，y轴于点B，A，则点A、B的坐标分别为：（0，4）、（4，0）， ∵2OC＝OB＝4，则点C（﹣2，0）， 设直线AC的表达式为y＝kx+4， 将点C的坐标代入上式得：0＝﹣2k+4，则k＝2， 则直线AC的表达式为：y＝2x+4； （2）过点C作直线t∥AB交y轴于点T（0，﹣2），取TL＝AT＝6，过点L作直线l∥AB交直线AC于点M′，则点L（0，﹣8）， 取AK＝2AT＝12，过点K（0，16）作直线k∥AB交AC于点M，则此时S△AMB＝2S△ABC，点M（M′）为所求点， ∵直线l∥AB且故点L（0，﹣8）， 则直线l的表达式为：y＝﹣x﹣8， 同理可得：直线k的表达式为：y＝﹣x+16， 分别联立l、k和直线AC的表达式得：2x+4＝﹣x﹣8，2x+4＝﹣x﹣8， 解得：x＝4或﹣4， 即点M的坐标为：（4，12）或（﹣4，﹣4）； （3）当点M（4，12）时， 过点M作EM⊥x轴于点E，过点C作CM的垂线交MP于点F， ∵∠CMP＝45°，则△MCF为等腰直角三角形，则CF＝CM， 过点F作FH⊥x轴于点H， ∵∠MCE+∠FCH＝90°，∠FCH+∠CFH＝90°， ∴∠MCE＝∠CFH， ∵∠MEC＝∠CHF＝90°，CF＝CM， ∴△MEC≌△CHF（AAS）， ∴FH＝EC＝4﹣（﹣2）＝6，CH＝ME＝12，则OH＝12﹣2＝10， 则点F（10，﹣6）， 由点M、F的坐标得，直线MF的表达式为：y＝﹣3（x﹣10）﹣6， 令y＝0，则x＝8， 即点P（8，0）； 当点M′（﹣4，﹣4）时， 同理可得，点F（﹣6，2）， 则直线M′F的表达式为：y＝﹣3（x+4）﹣4， 令y＝0，则x， 则点P（，0）， 综上，点P的坐标为：（8，0）或（，0）． 【点评】本题为一次函数综合题，涉及到三角形全等、一次函数的图象和性质等，分类求解和正确作出辅助线是解题的关键． 5．（2024秋•镇海区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数yx+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C为线段AB的中点，过点C作DC⊥x轴，垂足为D． （1）求A、B两点的坐标； （2）若点E为y轴负半轴上一点，连接CE交x轴于点F，且CF＝FE，在直线CD上有一点P，使得AP+EP最小，求P点坐标； （3）如图2，直线CD上是否存在点Q使得∠ABQ＝45°，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）对于yx+4，令yx+4＝0，解得：x＝6，令x＝0，则y＝4，即可求解； （2）作点A关于直线CD的对称点A′（6，4），连接A′E交CD于点P，则点P为所求点，进而求解； （3）当点Q在AB上方时，证明△AHM≌△BOA（AAS），得到M的坐标为（4，10），进而求解；当点Q（Q′）在AB下方时，同理可解． 【解答】解：（1）对于yx+4， 令yx+4＝0，解得：x＝6，令x＝0，则y＝4， 故点A、B的坐标分别为（0，4）、（6，0）； （2）∵点C为线段AB的中点，则点C（3，2）， 如图1，过点C作CH⊥y轴于点H， ∵CF＝FE，故OF是△EHC的中位线， 即点O是HE的中点，则点E（0，﹣2）， 作点A关于直线CD的对称点A′（6，4），连接A′E交CD于点P，则点P为所求点， 理由：AP+EP＝A′P+EP＝A′E为最小， 设直线A′E的表达式为：y＝kx+b，则，解得， 故直线A′E的表达式为：y＝x﹣2， 当x＝3时，y＝x﹣2＝1， 故点P的坐标为（3，1）； （3）存在，理由： 当点Q在AB上方时，如图2， 过点A作AM⊥BQ交BQ于点M，过点M作MH⊥y轴于点H， ∵∠ABQ＝45°， ∴AM＝AB， ∵∠HMA+∠HAM＝90°，∠HAM+∠OAB＝90°， ∴∠HMA＝∠AOB， 在Rt△AHM和Rt△AOB中， ， ∴△AHM≌△BOA（AAS）， ∴AH＝OB＝6，HM＝AO＝4， 故点M的坐标为（4，10）， 由点M、B的坐标得，直线BM的表达式为：y＝﹣5x+30， 当x＝3时，y＝﹣5x+30＝15， 故点Q的坐标为（3，15）； 当点Q（Q′）在AB下方时， 过点A作AN⊥AB交BQ′于点N，则点M、N关于点A对称， 由中点坐标公式得，点N（4，2）， 由点A、N得坐标得：直线AN得表达式为：yx， 当x＝3时，yx， 故点Q′的坐标为（3，）． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、点的对称性，全等三角形的判定和性质等，其中（3），需要分类求解，避免遗漏． 6．（2024秋•宝安区期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别相交于点A（﹣6，0）、B（0，8），C是线段OB上一点，将△OAC沿着AC折叠，点O落在点D，连接BD． （1）求直线AB的函数解析式； （2）若点D正好落在线段AB上，求点C的坐标； （3）若，求点D的坐标； （4）点P是平面内一点，若∠PAB＝45°，请直接写出直线PA的函数解析式． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由BC2＝BD2+CD2，即（8﹣m）2＝m2+42，即可求解； （3）若，即S△ACOS△AOB，则COOB＝2，进而求解； （4）当点P在AB的下方时，证明△AMG≌△GNH（AAS），得到点H（0，），进而求解；当点P在AB上方时，同理可解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝kx+8， 将点A的坐标代入上式得：0＝﹣6k+8，则k， 则直线AB的表达式为：yx+8； （2）如图，由点A、B的坐标得，AB＝10， 由题意得：OA＝OD＝6，则BD＝10＝6＝4， 设CO＝m＝CD，则BC＝8﹣m， 则BC2＝BD2+CD2，即（8﹣m）2＝m2+42， 解得：m＝3， 即点C（0，3）； （3）若，即S△ACOS△AOB，则COOB＝2， 设点D（x，y）， 由AD＝AO＝6，CD＝CO＝2， 即AD2＝AO2＝36，CD2＝CO2＝4， 即（x+6）2+y2＝36，x2+（y﹣2）2＝4， 即x2+12x+36+y2＝36，x2+y2﹣4y+4＝4， 上述两式相减并整理得：y＝﹣3x， 则x2+（﹣3x﹣2）2＝4， 解得：x＝﹣1.2， 则y＝3.6， 即点D（﹣1.2，3.6）； （4）当点P在AB的下方时， 设点G（m，m+8），点H（0，n）， 设直线AP交y轴于点H，过点H作HG⊥AB于点G， ∵∠PAB＝45°，则△AGH为等腰直角三角形，则GH＝GA， ∵∠NGH+∠MGA＝90°，∠MGA+∠MAG＝90°， ∴∠NGH＝∠MAG， ∵∠AMG＝∠GNH＝90°， ∴△AMG≌△GNH（AAS）， 则AM＝GN，MG＝HN， 即m+6m+8﹣n且m+8＝﹣m， 解得：m，n， 即点H（0，）， 由点A、H的坐标得，直线AP的表达式为：yx； 当点P（P′）在AB上方时， 则直线AP′⊥AP， 则直线AP′表达式中的k值为﹣7， 则直线AP的表达式为：y＝﹣7x﹣42， 综上，直线AP的表达式为：yx或y＝﹣7x﹣42． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、勾股定理的运用、面积的计算等，分类求解是解题的关键． 题型四 一次函数与角度有关的综合问题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+8分别交x轴、y轴于点A、B，将正比例函数y＝2x的图象沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x轴、y轴于点C、D，交直线AB于点E． （1）直接写出直线l对应的函数表达式； （2）在直线AB上存在点F（不与点E重合），使BF＝BE，求点F的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使∠PDO＝2∠PBO？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由已知函数平移得新函数； （2）利用题中给的BF＝BE可解出BF长度，利用直线解析式求出B的坐标，用两点之间的长度公式来求出F坐标； （3）画图，运用等腰三角形角的特性来得出长度的相等，分情况运用勾股定理求解． 【解答】解：（1）∵l是y＝2x向下平移3个单位所得， ∴l：y＝2x﹣3， （2）∵， 解得：， ∴E（4，5）， ∵BF＝BE，且F不与E重合， ∴F在y轴左侧， 又∵y8， ∴当x＝0时，y＝8， ∴B（0，8）， ∵B是EF的中点， ∴0，8， ∴xF＝﹣4，yF＝11， ∴F（﹣4，11）． （3） 由图可知，作PG＝PD，G在y轴上， ∴∠PGO＝∠PDO， 又∵∠PDO＝2∠PBO，∠PGO＝∠PBO+∠BPG， ∴∠BPG＝∠PBG∠PDO， ∴BG＝PG＝PD， ①P在x轴正半轴， ∵l：y＝2x﹣3， ∴当x0时，y＝﹣3，即D（0，﹣3）， ∴OD＝3， ∴OG＝OD＝3， 则BG＝8﹣3＝5＝PG， ∴OP4， ∴P（4，0）． ②若P在x轴负半轴，与①同理， P（﹣4，0）． 综上所述P（4，0），（﹣4，0）． 【点评】本题考查了直线解析式、坐标、三角形边、角的关系，勾股定理与等腰三角形多种情况的考虑． 2．（2024秋•镇海区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为yx+b，它与坐标轴分别交于A、B两点，已知点B的纵坐标为4． （1）求出A点的坐标． （2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得∠QBA＝90°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）点P为y轴上一点，连结AP，若∠APO＝2∠ABO，求点P的坐标． 【分析】（1）将点B代入直线，求出直线解析式yx+b，然后求直线与x轴交点坐标； （2）点Q在第一象限角平分线上，设Q（x，x），利用勾股定理列方程，即可求出点Q的标； （3）分两种情况，①点P为y轴正半轴上一点；②点P为y轴负半轴上一点，根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵B的纵坐标为4．直线lyx+b，与坐标轴分别交于A、B两点， ∴点B（0，4）， 将点B（0，4）代入直线l的解析式yx+b得：b＝4， ∴直线l的解析式为：yx+4， 令y＝0得：x＝3， ∴A（3，0）； （2）存在， ∵A（3，0），B（0，4）， ∴AB5， ∵Q在第一象限的角平分线上， 设Q（x，x）， 根据勾股定理： QB2+BA2＝QA2， x2+（x﹣4）2+52＝x2+（x﹣3）2， 解得x＝16， 故Q（16，16）； （3）如图： ①当点P为y轴正半轴上一点时， ∵∠APO＝2∠ABO，∠APO＝∠ABO+∠PAB， ∴∠ABO＝∠PAB， ∴PA＝PB， 设P（0，p）， ∴PA2＝PB2， ∴32+p2＝（4﹣p）2， ∴p， ∴P（0，）； ②当点P为y轴负半轴上一点时， ∠AP′P＝∠APO＝2∠ABO， ∴AP＝AP′， ∵AO⊥PP′， ∴OP′＝OP， ∴P′（0，）． 综上所述：点P的坐标为（0，）或P（0，）． 【点评】此题一次函数的综合题，考查了点的坐标、勾股定理、三角形外角的性质以及等腰三角形的性质等知识，利用数形结合思想以及分类思想解决问题是本题的关键． 3．（2024秋•荥阳市期中）如图1，直线和直线y＝ax+5相交于点A（4，b），直线y＝ax+5与x轴交于点C，点P在线段AC上，直线PD⊥x轴于点D，交直线于点Q． （1）求a，b的值； （2）当QP＝OA时，求△APQ的面积； （3）如图2，在（2）的条件下，∠AQP的平分线交x轴于点M，请直接写出点M的坐标． 【分析】（1）根据已知条件直线和直线y＝ax+5相交于点A（4，b），将A（4，b）代入yx，可求出b＝3，再将A（4，3）代入y＝ax+5即可求出a的值； （2）过点A作PQ的垂线，垂足为E，由点A的坐标，可得OA＝5，因为PQ＝OA＝5，点P在线段AC上，所以设点P的坐标（n，n+5），则Q（n，n），求出n的值，最后再求出△APQ的面积即可； （3）过M点作OQ的垂线，垂足为F，根据角平分线的性质可得MD＝MF，然后再根据面积法，求得DM的长为3，得到点M的坐标． 【解答】解：（1）∵和直线y＝ax+5相交于点A（4，b）， ∴将A（4，b）代入yx，可得b＝3， ∴A（4，3），将A（4，3）代入y＝ax+5， 解得a， ∴a，b＝3； （2）如图，过点A作AE⊥PQ于点E， 由题意得：A（4，3）， ∴OA， ∵QP＝OA， ∴QP＝5， 又∵P在线段AC上， ∴设P（n，n+5）， ∵PQ⊥x轴交yx于Q， ∴Q（n，n）， ∴， 解得n＝8， ∴Q（8，6），P（8，1）， ∴AE＝4， ∴S△APQ5×4＝10； （3）如图，过点M作MF⊥OQ于点F， ∵MD⊥PD，QM平分∠OQD， ∴MF＝MD， 由（2）可知：OD＝8，QD＝6， ∴OQ＝10， ∵S△OQD＝S△OMQ+S△MDQ， ∴OD×QDOQ×MFMD×QD， ∴10×MD+MD×6＝8×6， 解得MD＝3， ∴OM＝OD﹣MD＝8﹣3＝5， ∴M（5，0）． 【点评】本题主要考查了一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的性质，角平分线的性质，三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式以及解方程的知识是解本题的关键． 4．（2024秋•南海区期中）如图，已知直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D． （1）求A，B两点的坐标； （2）如图1，点E是线段OB的中点，连结AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，求EF的长； （3）如图2，若，过B点作BC∥OG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠ABM+∠CBO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据直线与坐标轴的坐标特点即可求解． （2）连结BF，根据题意可证明△AOE≌△OBF，得到BF＝OE，求出BF＝2，再利用在Rt△BEF中，由股定理求得EF＝2； （3）根据平行求出直线BC的函数表达式为yBCx﹣4，得到C（﹣3，0），OC＝3，再分当M在A点左侧，当M点在A点右侧分别进行求解． 【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣4，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4， ∴A，B两点的坐标分别为（4，0），（0，﹣4）； （2）连接BF，如图： ∵A，B两点的坐标分别为（4，0），（0，﹣4）， ∴OA＝OB＝4， ∵OG⊥AE， ∴∠BOF+∠OEA＝90°， ∵∠OAE+∠OEA＝90°， ∴∠BOF＝∠OAE， ∵OF＝AE， ∴△AOE≌△OBF（SAS）， ∴∠OBF＝∠EOA＝90°，BF＝OE， ∵点E是线段OB的中点， ∴OE＝BE＝BF＝2， ∴EF＝2； （3）存在， ∵，BC∥OG，B（0，﹣4）， ∴直线BC的解析式为yx﹣4， 当y＝0时，x＝﹣3， ∴C（﹣3，0）， ∴OC＝3，BC＝5， 当M在A点左侧时，在OA上取OM＝OC，如图： ∴∠CBO＝∠MBO， ∵∠OBA＝∠OAB＝45°， ∴∠CBO+∠ABM＝∠MBO+∠ABM＝∠OBA＝45°， ∴此时M点即为所求， ∵OC＝3， ∴OM＝3， ∴M的坐标为（3，0）； 当M在A点右侧时，如图： ∵∠ABM+∠CBO＝45°，∠OBA＝45°， ∴∠CBM＝90°， 设M（x，0），则OM＝x，由勾股定理可得， BM2＝OB2+OM2＝MC2﹣BC2， ∴16+x2＝（x+3）2﹣52， 解得x， 此时M的坐标为（，0）， 综上所述，在x轴上存在点M，使∠ABM+∠CBO＝45°，点M的坐标为（3，0）或（，0）． 【点评】此题主要考查一次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质及分类讨论． 5．（2024秋•渠县校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（6，0）．直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E． （1）求直线AB的解析式和点D的坐标． （2）设点Q是x轴上一动点，是否存在点Q使AQ+DQ的值最小？若存在，请求出AQ+DQ的最小值； （3）如图2，点P（2，﹣4）是直线x＝2上一点，且在点D的下方． ①求△ABP的面积； ②以PB为边在第四象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标． 【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数的关系式，再将x＝2代入关系式，求出y，即可得出点D的坐标； （2）确定点A（0，3）关于x轴的对称点A′（0，﹣3），再根据轴对称说明AQ+DQ的值最小，然后根据勾股定理求出答案； （3）①，先求出DP，OE，BE，再根据S△ABP＝S△ADP+S△BDP得出答案．对于②，先以PB为直角边作等腰直角三角形，可得出三个符合条件的三角形，分别求出坐标即可． 【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，分别把（0，3），B（6，0）代入得， 解得 所以yx+3． 当x＝2时，y2+3＝2． 所以点D 的坐标为（2，2）． （2）作点A（0，3）关于x轴的对称点A′（0，﹣3）． 当点D，A′，Q三点共线，即连接DA′交x轴于点Q，此时存在点Q使AQ+DQ的值最小． AQ+DQ的值最小为DA′． （3）①根据题意可知DP＝6，OE＝2，BE＝4， S△ABP＝S△ADP+S△BDP2×64×6＝18； ②以PB为直角边作等腰直角△BPC1，△BPC2，则△BPC3为等腰直角三角形． ∵BE＝PE＝4， ∴∠EBP＝∠EPB＝45°，BP＝4， ∴BC1⊥x轴， ∴BC1＝8， 则点C1（6，﹣8），C3（6，﹣4）． ∵∠BPE＝∠BPC2＝45°， ∴PC2∥x轴，PC2＝8， 则点C2（10，﹣4）． 综上所述：C1（6，﹣8），C2（10，﹣4），C3（6，﹣4）． 【点评】本题考查一次函数综合应用，掌握求函数解析式方法，求坐标点的方法是解题的关键． 6．如图，已知直线AB：y＝kx+b与x轴交于点，与y轴交于点C（0，3），且与直线y＝x相交于点A．（1）求直线AB的表达式和点A的坐标． （2）如图1，点D在直线y＝x上，且横坐标为2，点Q为射线BC上一动点，若，请求出点Q的坐标． （3）如图2，过点A作y轴的垂线段AE，垂足为E，M为y轴上一点，且∠MAE＝∠OAB，请直接写出直线AM的表达式． 【分析】（1）将点B，点C（0，3）代入y＝kx+b之中求出k＝2，b＝3，进而可得直线AB的表达式；解方程组，得，由此可得点A的坐标； （2）连接CD，依题意得点D（2，2），根据点A（﹣3，﹣3），点C（0，3），由此可利用勾股定理的逆定理证明∠ACD＝90°，设点Q（a，2a+3），其中a，则AQ（a+3），然后根据S△ADQ得，即，由此解出a＝0.5，进而可得点Q的坐标； （3）依题意有以下两种情况：①点M在点E的上方时，过点B作BN⊥AB交直线AM于点N，过点N作NH⊥x轴于H，过点A作AT⊥x轴于T，先证明△ABN为等腰直角三角形得AB＝BN，进而证明△ABT和△BNH全等得AT＝BH＝3，TB＝HN，由此得OH＝BH﹣OB，TB＝HN＝OT﹣OB，则点N，然后利用待定系数法即可求出直线AM的表达式；②当点M在点E的下方的M'时，先求出点M（0，﹣2），则ME＝1，证明△MAE和△M'AE全等得M'E＝ME＝1，则点M'（0，﹣4），再利用待定系数法即可求出直线AM’的表达式，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）∵直线AB：y＝kx+b与x轴交于点点B，与y轴交于点C（0，3）， ∴，解得：， ∴直线AB的表达式为：y＝2x+3， 解方程组，得：， ∴直线AB：y＝2x+3与直线y＝x的交点坐标为（﹣3，﹣3）； （2））连接CD，如图1所示： ∵点D在直线y＝x上，且横坐标为2， ∴点D（2，2）， ∵A（﹣3，﹣3），点C（0，3）， ∴AC2＝（﹣3﹣0）2+（﹣3﹣3）2＝45，CD2＝（2﹣0）2+（2﹣3）2＝5，AD2＝（﹣3﹣2）2+（﹣3﹣2）2＝50， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD为直角三角形，即∠ACD＝90°，CD， ∵点Q为射线BC上一动点， ∴设点Q（a，2a+3），其中a， ∴AQ， ∵S△ADQ， ∴， ∴， 解得：a＝0.5， ∴2a+3＝4， ∴点Q的坐标为（0.5，4）； （3）∵M为y轴上一点，且∠MAE＝∠OAB， ∴有以下两种情况： ①点M在点E的上方时，过点B作BN⊥AB交直线AM于点N，过点N作NH⊥x轴于H，过点A作AT⊥x轴于T，如图2所示： 则∠ATB＝∠BHN＝90°， ∵点A（﹣3，﹣3）， ∴AT＝AE＝OE＝OT＝3，∠OAE＝45°， ∴∠OAE＝∠OBM+∠MAE＝45°， ∵∠MAE＝∠OAB， ∴∠OBM+∠OAB＝45°， 即∠BAM＝45°， ∵AB⊥BN， ∴△ABN为等腰直角三角形， ∴AB＝BN， ∵AT⊥x轴，AB⊥BN， ∴∠TAB+∠ABT＝90°，∠ABT+∠HBN＝90°， ∴∠TAB＝∠HBN， 在△ABT和△BNH中， ， ∴△ABT≌△BNH（AAS）， ∴AT＝BH＝3，TB＝HN， ∵点B， ∴OB， ∴OH＝BH﹣OB，TB＝HN＝OT﹣OB， ∵点N的坐标为， 设直线AM的表达式为：y＝mx+n， 将点A（﹣3，﹣3），点N代入y＝mx+n， 得：，解得：， ∴直线AM的表达式为：； ②当点M在点E的下方的M'时，如图3所示： ∵直线AM的表达式为：， ∴当x＝0时，y＝﹣2， ∴点M的坐标为（0，﹣2）， ∴ME＝OE﹣OM＝1， ∴∠M'AE＝∠OAB＝∠MAE， 在△MAE和△M'AE中， ， ∴△MAE≌△M'AE（ASA）， ∴M'E＝ME＝1， ∴OM'＝OE+M'E＝4， ∴点M'（0，﹣4）， 设直线AM'的表达式为：y＝hx+t， 将A（﹣3，﹣3），点M'（0，﹣4）代入y＝hx+t， 得：，解得：， ∴直线AM'的表达式为：， 综上所述：直线AM的表达式为或． 【点评】此题主要考查了一次函数，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，一次函数交点坐标，正确地作出辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形是解决问题的关键． 6 / 27 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