专题03 四边形 阶段单元复习（九大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

专题03 四边形 阶段单元复习（九大题型） 目录： 题型1：多边形的内角和与外角和 题型2：多边形内角和的应用 题型3：平行四边形 题型4：特殊平行四边形的性质 题型5：特殊平行四边形的判定 题型6：特殊平行四边形的综合应用 题型7：梯形 题型8：平面向量及其加减运算 题型9：解答题 题型1：多边形的内角和与外角和 1．七边形的内角和为 ． 【答案】/900度 【分析】本题考查了多边形内角和，根据多边形的内角和公式即可得出答案． 【解析】解： ． 故答案为：． 2．正多边形的一个内角等于，则该多边形是正(　　)边形． A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和定理，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【解析】解：设正多边形是边形，由题意得 ， 解得． 故选：C． 3．若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系．解题的关键是熟记正多边形的边数与外角的关系． 正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用外角和除以外角的度数，就得到外角的个数，外角的个数就是多边形的边数，据此求解即可． 【解析】解：∵正多边形的外角和等于， ∴这个正多边形的边数． 故选：B． 4．若一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】D 【分析】设这个多边形的边数为n，根据“多边形的内角和等于它外角和的3倍”列方程求解即可． 本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键． 【解析】解：设这个多边形的边数为n，则 ， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故选：D． 题型2：多边形内角和的应用 5．从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点引出的对角线条数为条，可分成个三角形即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【解析】解：从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数为个， 故选：． 6．如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，设原多边形的边数为n，则边数变化后的多边形边数为，根据多项式内角和计算公式分别表示出变化前后多边形内角和，二者相减即可得到答案． 【解析】解：设原多边形的边数为n，则边数变化后的多边形边数为， ∴原来多边形的内角和为，变化后的多边形内角和为， ∵， ∴内角和将增加， 故选：C． 7．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为 【答案】、、 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 设内角和为的多边形的边数是，根据多边形内角和定理可以求出所得多边形的边数； 由于一个多边形截去一个角后它的边数可能增加、可能减少或不变，由此确定原多边形的边数； 【解析】设内角和为的多边形的边数是， 于是有， 解得， ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， 即原多边形的边数为或或； 故答案为：、、 8．如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则 °． 【答案】24 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角和正六边形的内角，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论． 【解析】解：由题意可得，正五边形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 则， ∵， ∴． 故答案为：24． 9．如图，小毛从点出发沿直线前进米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第二次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了多边形的计算，正确理解多边形的外角和是是关键．根据共走了米，每前进米左转一次可求得左转的次数，则已知多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度． 【解析】解：向左转的次数（次）， 则左转的角度是． 故答案是：． 题型3：平行四边形 10．在中，如果，那么 度． 【答案】120 【分析】本题考查了行四边形对边平行的性质，解题的关键是掌握平行四边形的邻角互补和对角相等结论． 平行四边形中，利用邻角互补和求出，，利用对角相等，即可得的值． 【解析】∵在中， ∴， 如果， ∴ ∴， ∴． 故答案为：120． 11．如图，在平行四边形中，为的中点，过点且分别交、于点、．如果，那么的长为 【答案】8 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．根据平行四边形可得，从而得到，可证明，从而得到，即可． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8 12．如图，四边形中，对角线与相交于点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据各选项对比平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【解析】解：A、符合两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定，故不符合题意； B、符合两组对边分别平行的四边形是平行四边形的判定，故不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故符合题意； D、符合对角线相互平分的四边形是平行四边形的判定，故不符合题意； 故选：C． 13．如图，在中，对角线与交于点O，如果的周长为32，的周长比的周长多4，那么的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查平行四边形性质、解二元一次方程组，熟练掌握平行四边形性质是解答的关键．先根据平行四边形性质得到，，，再根据已知得到，，然后解方程组即可求解． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的周长为32， ∴，即； ∵的周长比的周长多4， ∴，即， 由①②联立方程组，解得， 故答案为：6． 14．如图，在中，对角线，相交于点，．若，则的长为（　　） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的运用，掌握平行四边形的性质是关键． 根据题意得到，则，由勾股定理得，，由此即可求解． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 题型4：特殊平行四边形的性质 15．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为 ． 【答案】24 【分析】此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形面积求法是解题关键． 直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，进而得出答案． 【解析】解：菱形的两条对角线长分别是6和8， 菱形的面积为：． 故答案为：24． 16．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，先证明是等边三角形，得，进而可得，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【解析】 四边形是矩形， ， ， ，， 是等边三角形，， ∴ ∴ 在中， 故答案为：． 17．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的邻边相等，等边三角形的各边相等，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等． 本题考查的是正方形，等边三角形，等腰三角形的性质来解决． 【解析】解：∵是正方形， ∴，， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 题型5：特殊平行四边形的判定 18．下列命题中是真命题的是（   ） A．对角线相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题真假，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解此题的关键． 根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可得出答案． 【解析】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，故原说法错误，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，符合题意． 故选：D． 19．如图，在矩形中，对角线交于点O，下列条件中，能使矩形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据判定正方形的判定方法：一组邻边相等的矩形是正方形，进行判定即可． 【解析】∵一组邻边相等的矩形是正方形，， ∴矩形是正方形， 其余条件均不能使矩形成为正方形，故答案为D， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是关键． 题型6：特殊平行四边形的综合应用 20．顺次连接矩形各边中点所得四边形为 形． 【答案】菱 【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得，，再根据矩形的对角线相等可得，从而得到四边形的四条边都相等，然后根据四条边都相等的四边形是菱形解答．本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键． 【解析】解：如图，连接、， 、、、分别是矩形的、、、边上的中点， ，（三角形的中位线等于第三边的一半）， 矩形的对角线， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱． 21．如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了矩形的综合题，根据矩形的性质和角平分线得是等腰三角形，根据角之间的关系得是等边三角形，根据三角形的内角和定理即可得． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE＋PF＝ ． 【答案】2.4 【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，可求得OA=OB=，S△AOB=S矩形ABCD=3，然后由S△AOB=S△AOP+S△BOP=3，即可求得答案． 【解析】解：连接OP， ∵矩形ABCD的两边AB=3，BC=4， ∴S矩形ABCD=AB•BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC==5， ∴S△AOB=S矩形ABCD=3，OA=OB=， ∴S△AOB=S△AOP+S△BOP =OA•PE+OB•PF =OA（PE+PF） =××（PE+PF）=3， ∴PE+PF==2.4． 故答案为：2.4． 【点睛】此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 23．如图，直线y＝−x+2与x轴，y轴分别交于点A、B，点C在y轴上，点D为平面内一点，若四边形ACDB恰好构成一个菱形，请写出点D的坐标 ． 【答案】或 【分析】根据直线y＝−x+2与x轴，y轴分别交于点A、B，求得OA＝OB＝2，根据勾股定理得到AB＝2，根据菱形的性质即可得到结论． 【解析】解：∵直线y＝−x+2与x轴，y轴分别交于点A、B， ∴A（0，2），B（2，0）， ∴OA＝OB＝2， ∴AB＝2， ∵四边形ACDB是菱形， ∴AC＝CD＝BD＝AB＝2， 当点C在点A的上面时， 过D作DH⊥y轴于H， ∵ACBD， AC⊥x轴， ∴BD⊥x轴， ∴四边形OBDH是矩形， ∴， ∴CH＝2， ∴DH＝＝2， ∴D（2，2）， 当点C在点A的下面时， 同理可得，D（2，﹣2）， 故答案为：（2，2）或（2，﹣2）． 【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键． 24．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为，则的长为 ． 【答案】 【分析】由菱形的性质得， ，，再求出，然后由菱形面积求出，即可解决问题． 本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【解析】解：∵四边形是菱形， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵菱形的面积， ∴， 故答案为：． 题型7：梯形 25．在等腰梯形中，已知，，那么 ． 【答案】130 【分析】本题考查了等腰梯形的性质．由，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由四边形等腰梯形，即可求得的度数． 【解析】解：如图， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴． 故答案为：130． 26．若一个梯形的中位线长是6，高是5，则这个等腰梯形的面积是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了梯形中位线定理和梯形的面积公式即可得到结论． 根据梯形的面积公式即可得到结论． 【解析】解：一个梯形的中位线长是6，高是5， 这个等腰梯形的面积为， 故答案为：30． 27．下列命题中，假命题有（    ） ① 有两个角相等的梯形是等腰梯形； ② 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形； ③ 一组对角互补的梯形是等腰梯形； ④ 等腰梯形是轴对称图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据等腰梯形的判定方法对①进行判断；根据等腰梯形的定义对②进行判断；根据等腰梯形的性质对③④进行判断． 【解析】解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，所以①错误； 一组对边平行，另一组对边不平行且相等的四边形是等腰梯形，所以②错误； 一组对角互补的梯形是等腰梯形，所以③正确； 等腰梯形是轴对称图形，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理：断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 28．如图，在△中，、分别是、的中点，的平分线交于点，如果，，那么的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等角对等边，角平分线的定义，等角对等边是解题的关键；由三角形中位线定理得，，由平行线性质及角平分线的定义得，从而，则由可求解． 【解析】解：∵、分别是、的中点， ∴，为的中位线， ∴，， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3． 29．如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为 cm． 【答案】10 【分析】本题考查了梯形中位线的性质，解题关键是明确梯形中位线的性质，再根据角平分线得出，再根据30度角所对直角边等于斜边一半得出，然后利用即可求解． 【解析】解：在等腰梯形中，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是中位线，且， ∴， 即， ， 故答案为：10． 30．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，，结合勾股定理得，即，再进一步解答即可． 【解析】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即， ∴此梯形的面积为； 故答案为：． 题型8：平面向量及其加减运算 31．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与平行 【答案】D 【分析】本题考查了向量的基本知识，向量的减法运算，根据向量的概念、运算及相关知识即可完成． 【解析】解：A、，故说法错误； B、是一个向量，是一个既有大小又有方向的量，而是向量的模，是一个只有大小的量，两者不相等，故说法错误； C、，故说法错误； D、与平行，故说法正确； 故选：D． 32．下列判断中，不正确的是（    ） A． B． C．如果，那么 D． 【答案】C 【分析】根据向量是既有方向又有大小的量，向量的加法满足所有的加法运算定律，逐项进行分析判断即可． 【解析】解：A．，故A正确，不符合题意； B．，故B正确，不符合题意； C．如果，那么或，故C错误，符合题意； D．，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了向量的计算，解题的关键是要考虑向量是既有大小又有方向的量，向量的运算满足所有加法运算定律． 33．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ） ①任一向量与它的相反向量都不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a≠b，则|a|≠|b|； ⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】根据相等向量的概念逐一判断可得选项. 解：零向量与它的相反向量相等，①错； 由相等向量的定义知，②正确； 两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，③错； a≠b，可能两个向量模相等而方向不同，④错； 两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以在空间自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错. 所以正确的命题的个数为1， 故选：B. 34．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方向相同，模长相等的向量为相等向量. AB选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等. 故选：D 35．如图，在矩形ABCD中，= A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意， 故选B. 题型9：解答题 36．如图，已知点在矩形的边上，且．求的度数． 【答案】． 【分析】根据矩形的性质和直角三角形ADE边长的关系求出∠AED的度数，然后根据等腰三角形的性质即可求出的度数． 【解析】矩形， ，， ，， ， 又， ， 又， ， ． 【点睛】此题考查了矩形的性质，30°角直角三角形的性质，等腰三角形的性质等，解题的关键是根据边长的关系求出∠DEA的度数． 37．已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的判定，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键． （1）证明，推出，利用对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论成立； （2）由平行四边形的性质得到，由等量代换推出，根据三角形内角和定理即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ． 38．如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 【答案】(1)； (2) (3)图形见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，向量的运算，即可； （2）根据平行向量的意义求解； （3）根据三角形的作图，即可． 【解析】（1）∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）与平行的向量有：，，，，，，共个， 故答案为：． （3）以点为圆心，长为半径，延长，连接， ∴， ∴． 图形见下：    【点睛】本题考查向量，平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行向量的性质，平行四边形的性质． 39．已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD． (1)求证：四边形AODE是矩形； (2)若AB＝6，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）先判断出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，判断出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出、，然后得到，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【解析】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 在菱形中，， ， 四边形是矩形； （2）解：，， ， ， 是等边三角形， ，， 四边形是菱形， ， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，主要利用了有一个角是直角的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形，菱形与平行四边形的关系是解题的关键． 40．如图，正方形中，点、分别在边、上，，和交于点，延长至点，使得，联结、．    （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）根据正方形的性质可得∠B＝∠D＝90°，AD＝AB，然后再证明Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），可得EB＝DF； （2）首先证明EC＝FC，再由AE＝AF可得AC垂直平分EF，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形AEGF是菱形． 【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴EB＝DF； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC， ∵EB＝DF， ∴EC＝FC， ∴AC垂直平分EF， ∵AO＝GO， ∴四边形AEGF是菱形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握对角线互相垂直且平分的四边形是菱形． 41．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形 ABCD外作正方形 GCEF，联结DE交BG的延长线于点H． （1）求证：； （2）若正方形 ABCD的边长为1，当点H为 DE中点时，求CG的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据正方形性质证明全等即可； （2）联结BD，首先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据垂直平分线的性质求出BE的长度，即可求出CG的长度． 【解析】（1）证明：∵正方形，∴，， 同理：，， ∴， ∴在和， ， ∴，∴ 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，联结BD， ∵点H为中点，， ∴为的垂直平分线，∴， ∵， ∴，∴． ∵，∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等和垂直平分线的性质等，解题的关键是熟练掌握以上性质并作出辅助线． 42．如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)， 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求点A，B的坐标，结合等边三角形和含30°直角三角形的性质求得C点坐标； （2）结合三角形面积公式，利用方程思想计算求解； （3）根据等腰三角形的性质分情况讨论求解． 【解析】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴，， 过点C作轴，交轴于点D，    ∵，， ∴，， 在Rt中，， ∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 在Rt中，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）已证， ∴， ∴四边形为梯形， 设y轴上一点 当时，， 解得，， ∴或； （3）解：当，且时，四边形是等腰梯形，    由（1）已证， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 当，且时，四边形是等腰梯形，    过点作轴， 由（1）已证， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 综上，，． 【点睛】本题考查一次函数与几何图形综合应用，等边三角形的性质，等腰梯形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 43．如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．    (1)证明：； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，根据三线合一可得，进而根据矩形的性质得出，即可得出，等量代换得出，根据等边对等角即可得证； （2）根据已知条件，得出，根据含度角的直角三角形的性质，在中，设，则，勾股定理求得，根据等边三角形的性质，可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）在中，，勾股定理求得，延长，使得，则是是中位线，，，根据全等三角形的性质与判定，以及中位线的性质求得，进而求得，，过点作，则四边形是矩形，在中，勾股定理即可求解． 【解析】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， 又 ∴， ∵ ∴， ∴， 由（1）可得 则是等边三角形， 在中，设，则， ∵， ∴， ∴， 解得，则，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴的面积为 （3）∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：，则， 如图所示，延长，使得，则是是中位线，，， ∴，    在中，，， ∴ ∴ ∴，， 则， ∴， 如图所示，过点作，则四边形是矩形，    ∴，， 在中，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 四边形 阶段单元复习（九大题型） 目录： 题型1：多边形的内角和与外角和 题型2：多边形内角和的应用 题型3：平行四边形 题型4：特殊平行四边形的性质 题型5：特殊平行四边形的判定 题型6：特殊平行四边形的综合应用 题型7：梯形 题型8：平面向量及其加减运算 题型9：解答题 题型1：多边形的内角和与外角和 1．七边形的内角和为 ． 2．正多边形的一个内角等于，则该多边形是正(　　)边形． A．8 B．9 C．10 D．11 3．若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．若一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 题型2：多边形内角和的应用 5．从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形个数是（   ） A． B． C． D． 6．如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和将增加（   ）． A． B． C． D． 7．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为 8．如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则 °． 9．如图，小毛从点出发沿直线前进米到达点后向左旋转的角度为，再沿直线前进米，到达点后，又向左旋转角度，照这样走下去，第二次回到出发地点时，他共走了米，则每次旋转的角度为 ． 题型3：平行四边形 10．在中，如果，那么 度． 11．如图，在平行四边形中，为的中点，过点且分别交、于点、．如果，那么的长为 12．如图，四边形中，对角线与相交于点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 13．如图，在中，对角线与交于点O，如果的周长为32，的周长比的周长多4，那么的长为 ． 14．如图，在中，对角线，相交于点，．若，则的长为（　　） A． B．2 C． D．2 题型4：特殊平行四边形的性质 15．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为 ． 16．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则边的长为 ． 17．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 题型5：特殊平行四边形的判定 18．下列命题中是真命题的是（   ） A．对角线相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 19．如图，在矩形中，对角线交于点O，下列条件中，能使矩形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 题型6：特殊平行四边形的综合应用 20．顺次连接矩形各边中点所得四边形为 形． 21．如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为 ． 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE＋PF＝ ． 23．如图，直线y＝−x+2与x轴，y轴分别交于点A、B，点C在y轴上，点D为平面内一点，若四边形ACDB恰好构成一个菱形，请写出点D的坐标 ． 24．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为，则的长为 ． 题型7：梯形 25．在等腰梯形中，已知，，那么 ． 26．若一个梯形的中位线长是6，高是5，则这个等腰梯形的面积是 ． 27．下列命题中，假命题有（    ） ① 有两个角相等的梯形是等腰梯形； ② 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形； ③ 一组对角互补的梯形是等腰梯形； ④ 等腰梯形是轴对称图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．如图，在△中，、分别是、的中点，的平分线交于点，如果，，那么的长为 ． 29．如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为 cm． 30．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 题型8：平面向量及其加减运算 31．下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与平行 32．下列判断中，不正确的是（    ） A． B． C．如果，那么 D． 33．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ） ①任一向量与它的相反向量都不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a≠b，则|a|≠|b|； ⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同. A．0 B．1 C．2 D．3 34．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 35．如图，在矩形ABCD中，= A． B． C． D． 题型9：解答题 36．如图，已知点在矩形的边上，且．求的度数． 37．已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 38．如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 39．已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD． (1)求证：四边形AODE是矩形； (2)若AB＝6，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积． 40．如图，正方形中，点、分别在边、上，，和交于点，延长至点，使得，联结、．    （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 41．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形 ABCD外作正方形 GCEF，联结DE交BG的延长线于点H． （1）求证：； （2）若正方形 ABCD的边长为1，当点H为 DE中点时，求CG的长． 42．如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 43．如图，矩形中的边，，点是边上一点，线段的垂直平分线交边、于点、，连接并延长交的延长线于点．    (1)证明：； (2)当时，求的面积； (3)当时，求的长． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$