特训08 四边形 新定义+动态几何题（五大题型，上海精选+其他补充）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训08 四边形 新定义+动态几何题（五大题型，上海精选+其他补充） 目录： 题型1：新定义题 题型2：折叠、翻折问题（填空题） 题型3：旋转问题 题型4：动点问题 题型5：翻折问题（解答题） 题型1：新定义题 1．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）当四边形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此四边形为“特征四边形”．已知一个菱形是“特征四边形”，这个菱形最短的对角线与最长的对角线长度之比是 ． 2．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）如果一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．如图，在平行四边形中，，点在边上，且，过点的面积等分线与平行四边形的另一边交于点，那么线段的长为 ． 3．（2025八年级下·上海·专题练习）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比，如果某一等腰梯形腰长为5，底差等于6，面积为24，则该等腰梯形的纵横比等于 ． 4．（2025八年级下·上海·专题练习）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为60°，则该四边形较短的“中对线”的长为 ． 5．（2023·上海奉贤·二模）如果四边形有一组邻边相等，且一条对角线平分这组邻边的夹角，我们把这样的四边形称为“准菱形”．有一个四边形是“准菱形”，它相等的邻边长为2，这两条边的夹角是，那么这个“准菱形”的另外一组邻边的中点间的距离是 ． 6．（21-22九年级下·上海浦东新·期中）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”ABCD的边长为4，BD是它的较短对角线，点M、N分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AM＋CN＝4，设△BMN的面积为S，则S的取值范围是 ． 题型2：折叠、翻折问题（填空题） 7．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，已知矩形，，，点是线段上一点，且不与、重合，沿折叠使点落在矩形某边所在直线上，则的长是 ． 8．（22-23八年级下·上海普陀·期末）如图，平行四边形中，，，将沿着翻折，点B的对应点为点E，连接，那么线段 ．    9．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，矩形中，，，点是边上一点，联结，过点作，交于点，将沿直线翻折，点落在点，若为等腰三角形，则的长为 ． 10．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与点A、D不重合），将沿直线翻折，点D的对应点为点G，连接，的延长线交边于点F，如果，那么的长为 ． 11．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，矩形中，，点在射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长是 ． 12．（22-23八年级下·上海松江·期末）已知：如图，在矩形中，．点P是边上一点，且．连接，将四边形沿所在直线翻折，点A、B的对应点分别为点E、F，边与边的交点为点G．则 ；    13．（22-23八年级下·上海长宁·期中）如图，在边长为2的正方形中，E为边的中点，点Р在边上．如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处．那么的长为 ．    14．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为 ． 15．（23-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，已知在矩形中，点在边上，，将矩形沿着过点的直线翻折后，点分别落在边下方的点处，且点在同一条直线上，折痕与边交于点，与交于点．设，那么的周长为 ．（用含的代数式表示）． 16．（21-22九年级上·上海宝山·期末）如图，在矩形中，，点在边上，联结．如果将沿直线翻折，点恰好落在线段上，那么 的值为 ． 17．（22-23八年级下·上海黄浦·期末）如图，在边长为6的正方形中，点M、N分别是边、的中点，Q是边上的一点．连接、，将沿着直线翻折，若点C恰好与线段上的点P重合，则的长等于 ．    题型3：旋转问题 18．（21-22八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于 ． 19．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在菱形中，，过点分别作于点，于点，且． (1)写出之间的数量关系； (2)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，写出三者之间的关系，证明你的结论； (3)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边的延长线相交，但不垂直时，请直接写出三者之间的关系． 20．（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为E，F，G，延长交于点P． (1)在旋转过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当点F在的延长线上时，连接，延长交于点Q，证明：Q为的中点． (3)在（2）的条件下，若矩形长与宽之比为，请直接写出的值． 21．（21-22八年级下·上海徐汇·期中）已知在边长为的正方形中，点为射线上的一个动点（点不与点、重合），联结，将线段绕着点按顺时针方向旋转得线段，联结． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图1，当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，若点、、恰好在一条直线上，求的长． 22．（2025八年级下·上海·专题练习）将边长为4的正方形与边长为5的正方形按图1位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．直线与直线交于点．继续将正方形绕点逆时针旋转． (1)如图1，与的数量关系：___________；与的位置关系：___________． (2)如图2，当点B在线段上时，求的面积． (3)连结，当时，求的值． 题型4：动点问题 23．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平行四边形中，，点是上动点，连结． (1)若平行四边形是菱形，，试求出的度数； (2)若于，，，，求的长； (3)过点作交线段于点．过点作于，交的高于点．若，，求证：． 24．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，，，点为边的中点，点为边上一动点（点不与点重合），联结和，点分别为的中点，设，． (1)求的长； (2)求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)联结，当时，求的值． 题型5：翻折问题（解答题） 25．（2025八年级下·上海·专题练习）已知，将沿对角线翻折得到，连接线段． (1)如图1，求证：； (2)连接线段与直线相交于点O， ①如图2，当为锐角时，时，试求线段的长度； ②若，当为等腰三角形时，求线段的长度． 26．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，矩形中，，，点P是直线上动点，连接，以为边在右侧作等边三角形，其中A，P，N按逆时针排列． (1)当点N落在线段上时，请直接写出的长； (2)当与矩形的边平行时，求的长； (3)将沿翻折，点N的落点为点，点M为的中点，请判断点M到的距离是否发生改变，并证明你的结论． 27．（2025八年级下·上海·专题练习）【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点E是边上一点，将E沿翻折，点的对应点为，延长交边于点，连接．求证：． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，求的度数． 【拓展应用】 （3）在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的一条边上，且． ①如图3，当点落在边上时，求的长； ②当点落在边上时，请直接写出的长． 28．（22-23八年级下·上海·阶段练习）如图，等边的边长是2，点P是边上的任意一点（不与点B点C重合），连接，将翻折，使顶点A与P重合，折痕分别交边于G、H，折痕交于． (1)当时，求证： (2)设，，求y关于x的函数关系式及定义域． (3)如图2在直线上找点D（点D在外），满足，连接，过点P作交直线于E，连接． ①求证：四边形是菱形， ②当四边形与重叠部分面积是时，求的值， ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训08 四边形 新定义+动态几何题（五大题型，上海精选+其他补充） 目录： 题型1：新定义题 题型2：折叠、翻折问题（填空题） 题型3：旋转问题 题型4：动点问题 题型5：翻折问题（解答题） 题型1：新定义题 1．（22-23九年级上·上海青浦·阶段练习）当四边形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此四边形为“特征四边形”．已知一个菱形是“特征四边形”，这个菱形最短的对角线与最长的对角线长度之比是 ． 【答案】 【分析】先画出符合题意的图形，根据菱形中一个内角α是另一个内角β的两倍，可得，根据含30度角的直角三角形即可解决问题． 【解析】解：如图，菱形 ∴ ∴ ∵菱形中一个内角α是另一个内角β的两倍，记 ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴菱形最短的对角线与最长的对角线长度之比是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分． 2．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）如果一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．如图，在平行四边形中，，点在边上，且，过点的面积等分线与平行四边形的另一边交于点，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是熟练运用以上知识点．先作出平行四边形的高，即是梯形的高，根据梯形面积公式算出的长，进而算出的长度，根据勾股定理即可解决问题； 【解析】解：过点D作于点，过点作于， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， 解得：， 由题易得：四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 3．（2025八年级下·上海·专题练习）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比，如果某一等腰梯形腰长为5，底差等于6，面积为24，则该等腰梯形的纵横比等于 ． 【答案】 【分析】根据题意作出图形，过点A作BC边上的高AE，过点A作AF∥CD交BC于点F，利用勾股定理求出梯形的高，根据面积公式求出中位线长度，然后根据题目所给信息求出纵横比． 【解析】根据题意作出图形，过点A作BC边上的高AE，过点A作AF∥CD交BC于点F， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AB＝CD＝5，AD∥BC，∠B＝∠C ∴∠AFB＝∠C＝∠B，四边形AFCD是平行四边形， ∴BE＝EF＝BF，CF＝AD 由题意可得BC－AD＝6， ∴BC－CF＝BF＝6， ∴BE＝3 ∵AB＝5 ∴AE＝ ∵梯形面积为24，即, ∴ 故等腰梯形的中位线为6 ∴该等腰梯形的纵横比＝ 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰梯形的性质，涉及到勾股定理，线段的和差倍数，梯形的面积公式，解题的关键是熟练掌握所学知识求得梯形的高和中位线，难度适中． 4．（2025八年级下·上海·专题练习）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为60°，则该四边形较短的“中对线”的长为 ． 【答案】4 【分析】根据三角形中位线定理可得菱形，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【解析】解：如图，设两条对角线的夹角为60°，取四边的中点并连接起来，设与交点M． ∴是的中位线， 同理, , ， ，， ，, 四边形是菱形， ，， ， , 为等边三角形, , 较短的“中对线”长度为4 . 故答案为2 【点睛】此题考查的是三角形的中位线定理，掌握其定理是解决此题关键． 5．（2023·上海奉贤·二模）如果四边形有一组邻边相等，且一条对角线平分这组邻边的夹角，我们把这样的四边形称为“准菱形”．有一个四边形是“准菱形”，它相等的邻边长为2，这两条边的夹角是，那么这个“准菱形”的另外一组邻边的中点间的距离是 ． 【答案】 【分析】如图，由勾股定理求出，再根据三角形中位线定理求出的长即可． 【解析】解：如图所示，四边形是“准菱形”，且,连接，    在中，由勾股定理得， ∵点E，F分别是边的中点， ∴是的中位线， , 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及三角形中位线定理，正确理解“准菱形”的概念是解答本题的关键． 6．（21-22九年级下·上海浦东新·期中）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱形”．如图，已知“完美菱形”ABCD的边长为4，BD是它的较短对角线，点M、N分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AM＋CN＝4，设△BMN的面积为S，则S的取值范围是 ． 【答案】≤S≤ 【分析】过点B作BH⊥CD于H，过点B作BG⊥NM于G，由ABCD是完美菱形可得△BCD是等边三角形，由△CNB≌△DMB可得△BNM是等边三角形，设BN=a，则△BNM面积=；等边△BCD中，BH⊥CD，则BH≤BN≤BC，便可解答； 【解析】解：如图，过点B作BH⊥CD于H，过点B作BG⊥NM于G， ∵ABCD是完美菱形， ∴BC=CD=DB=4，△BCD是等边三角形， ∴∠BCD=∠BDC=∠CBD=60°， ∵BC∥AD， ∴∠BCD+∠CDA=180°， ∴∠BDA=60°， ∵AM+DM=4，AM+CN=4， ∴CN=DM， △CNB和△DMB中：CN=DM，∠NCB=∠MDB，CB=DB， ∴△CNB≌△DMB（SAS）， ∴NB=MB，∠CBN=∠DBM， ∵∠CBN+∠NBD=60°， ∴∠DBM++∠NBD=60°， ∴△BNM是等边三角形， 设BN=a，则NG=，BG= =， ∴△BNM面积=NM•BG=， 等边△BCD中，BH⊥CD，则BH≤BN≤BC， BC=4，CH=2，则BH==， ∴≤BN≤4， ∴≤△BNM面积≤， 故答案为：≤S≤； 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握等边三角形的判定和性质是解题关键． 题型2：折叠、翻折问题（填空题） 7．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，已知矩形，，，点是线段上一点，且不与、重合，沿折叠使点落在矩形某边所在直线上，则的长是 ． 【答案】或 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、正方形的判定、勾股定理等知识，应注意分类讨论，以免丢解．设点、点的对应点分别为点、点，由矩形的性质得，，，由折叠得，，，，再分两种情况讨论，一是点在的延长线上，可证明四边形是正方形，则；二是点在的延长线上，可证明，则，所以，于是得到问题的答案． 【解析】解：设点、点的对应点分别为点、点， 四边形是矩形，，， ，，， 由折叠得，，，， 当点在的延长线上，如图，则， 四边形是矩形， ， ， 四边形是正方形， ， ； 当点在的延长线上，如图， ， ， 由折叠得， ， ， ， ， 故答案为：或． 8．（22-23八年级下·上海普陀·期末）如图，平行四边形中，，，将沿着翻折，点B的对应点为点E，连接，那么线段 ．    【答案】 【分析】根据翻折，推出，过点作，则四边形为矩形，利用含30度的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，得到，，利用，求出的长，进而求出的长，利用勾股定理进行求解即可． 【解析】解：如图，    ∵翻折， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， 过点作，则四边形为矩形， ∴，， 设， 在中，， ∴，， 在在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，根据题意，正确的作图，得到特殊三角形，是解题的关键． 9．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，矩形中，，，点是边上一点，联结，过点作，交于点，将沿直线翻折，点落在点，若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或1 【分析】若为等腰三角形，则需分以下三种情况进行讨论，①若，根据BP=PD列出方程即可解出；②若，作出辅助线，证明△ABP≌△（AAS），根据等腰三角形的性质得出PF=DF=，再结合全等三角形的性质得到AP=PF，列出方程求解即可；③若，作出辅助线，在Rt△中运用勾股定理列出方程求解即可． 【解析】解：设AP=x，则PD=3-x， ∵PE⊥BP， ∴沿直线翻折后，PE⊥ ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， ∴， ①若 即BP=PD ∴ 解得： ②若， 过点作F⊥AD交AD于点F，如下图1所示， 则PF=DF= 又∵，∠A=∠FP，∠APB=∠PF， ∴△ABP≌△（AAS） ∴AP=PF 即 解得： ③若 过点作F⊥AD交AD于点F，如图1所示， ∵，∠A=∠FP，∠APB=∠PF， ∴△ABP≌△（AAS） ∴PF=AP=x， ∴FD=3-2x， 在Rt△中，， 即，此方程无解，故不存在这种情况， 综上所述：的长为或1 【点睛】本题考查了矩形与折叠的问题，涉及了等腰三角形的性质与判定，解题的关键是通过数形结合思想，根据几何图形的性质列出方程，注意分类讨论思想的运用． 10．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与点A、D不重合），将沿直线翻折，点D的对应点为点G，连接，的延长线交边于点F，如果，那么的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等积转换；由勾股定理得 ，由三角形的面积得，即可求解；掌握性质，能用三角形面积转化求解是解题的关键． 【解析】解：如图， 四边形是矩形， ， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案：． 11．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，矩形中，，点在射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质可得，由勾股定理可求得，再由勾股定理可求得的长． 【解析】解：如图，若点在线段上时，过点作， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， 四边形是矩形， ∵把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上 ； 如图，点在线段的延长线上，过点作， 同理可求得，， 综上所述，的长为或， 故答案为：或 【点睛】本题考查翻折变、矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题关键． 12．（22-23八年级下·上海松江·期末）已知：如图，在矩形中，．点P是边上一点，且．连接，将四边形沿所在直线翻折，点A、B的对应点分别为点E、F，边与边的交点为点G．则 ；    【答案】 【分析】设,则，在RT△DGC中，CG=a,DG=3-a,CD=2，利用勾股定理即可解决问题． 【解析】解：由题意得：四边形与四边形全等． ∴．, ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设,则， 则在中，，且， ∴，解得：． 故答案为．    【点睛】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 13．（22-23八年级下·上海长宁·期中）如图，在边长为2的正方形中，E为边的中点，点Р在边上．如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处．那么的长为 ．    【答案】/ 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可证明，可得，，利用等积法求出，然后计算即可． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：．    【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 14．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握正方形与折叠的性质是解题的关键． 连接，先由勾股定理求出，再由折叠的性质可知：，，则，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，即可求解． 【解析】解：连接， ∴正方形中，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，已知在矩形中，点在边上，，将矩形沿着过点的直线翻折后，点分别落在边下方的点处，且点在同一条直线上，折痕与边交于点，与交于点．设，那么的周长为 ．（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据翻折的性质可得，再根据三角函数求出，则，根据对顶角相等可得，根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后判断出是等边三角形，过作于点，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的性质和勾股定理表示出，即可得解． 【解析】解：由翻折的性质得，，如图，连接， ∵， ∴， ∵点在同一条直线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 如图，过作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，平行线的性质和矩形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 16．（21-22九年级上·上海宝山·期末）如图，在矩形中，，点在边上，联结．如果将沿直线翻折，点恰好落在线段上，那么 的值为 ． 【答案】 【分析】先根据翻折的性质得出AD′=AD=5，DP=PD′，，然后在Rt△ABF中由勾股定理求出BD′=4，D′C=1，设DP=x，则D′P=x，PC=3-x，在RtCD′P中，由勾股定理求出列方程求出x即可，然后利用三角形的面积公式求出S△ADP和的面积即可． 【解析】解：∵AB=3，BC=5， ∴DC=3，AD=5， 又∵将△ADP折叠使点D恰好落在BC边上的点D′， ∴AD′=AD=5，DP=PD′， 在Rt△ABD′中，AB=3，AD′=5， ∴BD′==4， ∴D′C=5-4=1， 设DP=x，则D′P=x，PC=3-x， 在Rt△CD′P中，D′P2=D′C2+PC2，即x2=12+（3-x）2，解得x=， 即DP的长为， ∵AD=5， ∴S△ADP=×DP×AD=××5=，=3×5-=， ∴=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了矩形的性质以及勾股定理． 17．（22-23八年级下·上海黄浦·期末）如图，在边长为6的正方形中，点M、N分别是边、的中点，Q是边上的一点．连接、，将沿着直线翻折，若点C恰好与线段上的点P重合，则的长等于 ．    【答案】 【分析】先证明是等边三角形，得到，从而由折叠的性质得到，，设，则，在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【解析】解：根据题意，画图如下：    在边长为6的正方形中，点M、N分别是边、的中点， ∴，垂直平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 在中，，即， 解得：， 即：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，根据题意画出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 题型3：旋转问题 18．（21-22八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于 ． 【答案】7 【分析】由根据三角形的面积公式，由得，进而求得DE=2，从而求得底边EC的长，于是可求得CD的长，进而求得梯形ABCD的中位线． 【解析】解：过点B作BM⊥CE于点M，如下图， ∵，， ∴∠ADC=180°-∠A=180°-90°=90°， ∵， ∴， ∵， ∴DE=2， ∵BM⊥CE， ∴∠BMD=90°， ∴四边形ABMD是矩形， ∴DM=AB=4， ∴EM=2+4=6， ∵将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处， ∴BE=BC， ∵BM⊥CE， ∴EC=2EM=12， ∴CD=12-2=10， ∴梯形ABCD的中位线为：， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了梯形的中位线，平行线的性质，矩形的性质，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 19．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在菱形中，，过点分别作于点，于点，且． (1)写出之间的数量关系； (2)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，写出三者之间的关系，证明你的结论； (3)如图，当绕着点逆时针旋转到的两边与菱形的两边的延长线相交，但不垂直时，请直接写出三者之间的关系． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（）如图，连接，利用菱形的性质可得和为等边三角形，进而可得，由直角三角形的性质可得，，即可得到； （）．如图，连接，证明得到，即可求证； （）如图，连接，同理（）可证，得到，即可得到； 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】（1）解：如图，连接， ∵菱形中，， ∴，， ∴和为等边三角形， ∵于，于， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，连接， ∵菱形中，， ∴，， ∴和为等边三角形， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， 同理可证， ∴， ∴， 即． 20．（2025八年级下·上海·专题练习）如图1，将矩形绕点A逆时针旋转得到矩形，点B，C，D的对应点分别为E，F，G，延长交于点P． (1)在旋转过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当点F在的延长线上时，连接，延长交于点Q，证明：Q为的中点． (3)在（2）的条件下，若矩形长与宽之比为，请直接写出的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转性质证明，即得； （2）法一：延长交于点H，根据，，得，得，可得，即得；法二：过点C作，交延长线于点K，由．，得，得，可得，即得； （3）连接，设矩形的长为，宽为，可得．分当时，得．可得；当时，得，可得，即可计算的值为或． 【解析】（1）解：．理由如下： 连接，如解图1所示． 由旋转的性质，知，． 又， ． ． （2）证法一：如解图2，延长交于点H． 由（1），知， ． ． ， ． ． ． ， ． 又， ． ． 即Q为的中点． 证法二：如解图3，过点C作， 交延长线于点K． 则， 由（1），知， ． ． ． 又， ． ， 即为的中点． （3）或． 连接，如解图4， 设矩形的长为，宽为， 由勾股定理，可得． 由旋转，得． 当时，，， ． ． 由（2），得为中点， ． ． 当时，，， ． ． ． ． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形旋转．熟练掌握矩形性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，分类讨论，添加辅助线，是解题的关键． 21．（21-22八年级下·上海徐汇·期中）已知在边长为的正方形中，点为射线上的一个动点（点不与点、重合），联结，将线段绕着点按顺时针方向旋转得线段，联结． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图1，当点在线段上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，若点、、恰好在一条直线上，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)， (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质，得到BC=CD，，，根据全等三角形的判定得到△EBC≌△FCD，从而得出结论； （2）根据勾股定理，可得，再根据△EBC≌△FCD和正方形的性质，即可得出结论； （3）分两种情况讨论：①当点E在线段DB上，②当点E在线段DB延长线上；根据正方形的性质，得到∠CEF=45°，根据三角形的内角和，得到的度数，再跟你讲三角形外角定理和等腰三角形的判定，即可得出结论． 【解析】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，BD平分∠ABC， ∴， 由题意得EC=FC，∠ECF=90°， ∴， 即， ∴△EBC≌△FCD， ∴； （2）∵∠BCD=90°，BC=CD=6， ∴， ∵△EBC≌△FCD，DF =y， ∴BE=DF= y， ∵DE=x， ∴， 函数定义域为； （3）联结AE，联结AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是正方形，∴BD垂直平分AC， ∴AE=EC，∴∠AEB=∠CEB， ∵EC=FC，∠ECF=90° ，∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ①当点E在线段DB上时， ∵点A、E、F在一条直线上， ∴， 又∵， ∴∠BAE=180°－∠AEB－∠ABE=67.5°=∠AEB， ∴AB=BE=6，∴， ②当点E在线段DB延长线上时， ∵点A、E、F在一条直线上， ∴， 又∵， ∴∠EAB=∠ABD－∠AED=22.5°=∠AEB， ∴AB=BE=6， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了动点问题，包含了勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、正方形的性质、三角形的外角定理和等腰三角形的判定等，能够正确画图并综合运用所学相关知识是解题的关键． 22．（2025八年级下·上海·专题练习）将边长为4的正方形与边长为5的正方形按图1位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．直线与直线交于点．继续将正方形绕点逆时针旋转． (1)如图1，与的数量关系：___________；与的位置关系：___________． (2)如图2，当点B在线段上时，求的面积． (3)连结，当时，求的值． 【答案】(1)相等，垂直； (2) (3)7 【分析】本题主要考查正方形的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用三角形全等的判定与性质和勾股定理求解是解题关键． （1）由题意可得，从而可得，再利用全等三角形的性质和直角三角形的知识可以得知； （2）连结交于点 ，则由勾股定理可得的长度，从而得到 的面积； （3）连接，同上可得：，由（1）同理可证明，，由勾股定理得，延长至．使，连接，则，证明，可得是等腰直角三角形，则由勾股定理可得：． 【解析】（1）解：结论：，． 证明：∵四边形为正方形， ∴，，， 在与中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：如图2，当在线段上时，连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， 同上可得：， 由（1）同理可证明，， ∴， ∴， 延长至．使，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：． 题型4：动点问题 23．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在平行四边形中，，点是上动点，连结． (1)若平行四边形是菱形，，试求出的度数； (2)若于，，，，求的长； (3)过点作交线段于点．过点作于，交的高于点．若，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）过点作于设，则，，而，再建立方程求解即可； （3）连接，证明，可得，，证明，再证明可得，，证明．可得，可得，从而可得结论． 【解析】（1）解：在菱形中，． ， ， ； （2）解：过点作于，    在中，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ． 解得：， ； （3）证明：连接   ，， ． ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在中，．   ， ， ， 在和中， ， ． ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，菱形的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 24．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，，，点为边的中点，点为边上一动点（点不与点重合），联结和，点分别为的中点，设，． (1)求的长； (2)求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)联结，当时，求的值． 【答案】(1)4 (2) (3)4 【分析】（1）过点作于点，得出，根据，得出； （2）①当点在点左侧（），，根据，得出（）；②当点在点右侧（）， ，得出（）； （3）延长交于点，由三角形中位线定理推知点为的中点，，得出是等边三角形，从而求出的值． 【解析】（1）解：过点作于点， 四边形是等腰梯形， ， ， ． ； （2）解：∵， ． ①当点在点左侧（）， ∵， ∴， ， ， 点分别为的中点， 是的中位线， ， ； ②当点在点右侧（）， ，， 同理可得：， ； 综上所述，； （3）解：延长交于点， ，， 四边形是平行四边形， ， 点分别为的中点， 是的中位线， ． 点为的中点， ∴． 在与中，， ， ， ， ， 为正三角形， ． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形中位线的判定与性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，有三角形的中位线和勾股定理，函数与图形相结合等，掌握有三角形的中位线和勾股定理是解题的关键． 题型5：翻折问题（解答题） 25．（2025八年级下·上海·专题练习）已知，将沿对角线翻折得到，连接线段． (1)如图1，求证：； (2)连接线段与直线相交于点O， ①如图2，当为锐角时，时，试求线段的长度； ②若，当为等腰三角形时，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)①；②10或 【分析】（1）设交于点P，根据平行四边形的性质得出,证明，得出，，得出，求出，，求出，即可得出答案； （2）①过点A作于点H，证明，得出，证明四边形为矩形，得出，求出，； ②由翻折的性质得出：，分两种情况：当时， 当时， 分别画出图形，求出结果即可． 【解析】（1）证明：设交于点P， ∵四边形为平行四边形， , ， 由翻折可得： 在和中，， ， ， 同理得：， ∴， 在中，， 在中，， , ， ∴； （2）①解：过点A作于点H，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ， ， 由翻折的性质得： ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ∴在中，； ②解：由翻折的性质得：， 为等腰三角形， ∴有以下两种情况： 当时，过点A作于点H，如图所示： 由①可知：四边形为矩形， , 设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ； 当时，过点B作于M，如图所示： 由①可知：，四边形为矩形， ， 设,则， , 在中，由勾股定理得：, 在中，由勾股定理得： , , 解得：， ； 综上所述：的长为：10或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合，注意进行分类讨论． 26．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，矩形中，，，点P是直线上动点，连接，以为边在右侧作等边三角形，其中A，P，N按逆时针排列． (1)当点N落在线段上时，请直接写出的长； (2)当与矩形的边平行时，求的长； (3)将沿翻折，点N的落点为点，点M为的中点，请判断点M到的距离是否发生改变，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)8或 (3)不改变，证明见解析 【分析】（1）本题先证明，得到，然后，即可求解； （2）分两种情况：①当与矩形的边平行时，根据平行证明为等边三角形，即可求解；②当与矩形的边平行时，证明垂直平分，即可求解． （3）在上的取点Q，；证明，当点P在直线上运动时，点M在直线上运动，根据平行线间的距离处处相等，可得出结论． 【解析】（1）解：当点N落在线段上时，如图， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：分两种情况：①当与矩形的边平行时，如图， ∵， ∴， 由（1）得：，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ∴； ②当与矩形的边平行时，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∵，，由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为8或． （3）解：中点 到 的距离不变， 证明：如图，在上的点Q，，当，由（2）知边 的中点与点Q重合， ∵是等边三角形， ∴ 由翻折可知：， ∴四边形是菱形， ∴ ∵点M为的中点，点Q为的中点， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴当点P在直线上运动时，点M在直线上运动，如图， 根据平行线间的距离处处相等， ∴中点 到 的距离不变． 【点睛】本题考查了矩形性质、等边三角形性质、勾股定理和翻折对称的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线间的距离，掌握以上知识是解题的关键． 27．（2025八年级下·上海·专题练习）【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点E是边上一点，将E沿翻折，点的对应点为，延长交边于点，连接．求证：． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，求的度数． 【拓展应用】 （3）在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的一条边上，且． ①如图3，当点落在边上时，求的长； ②当点落在边上时，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析，（2），（3）①4；②． 【分析】（1）运用翻折变换的性质、正方形的性质及全等三角形的判定即可证得结论； （2）过点作于点，利用矩形的性质和判定及翻折变换的性质即可求得答案； （3）①利用等边三角形的判定和性质即可求得答案； ②过点作于点M，过点作于点，运用勾股定理可得，根据菱形性质及翻折可得：，，，再运用勾股定理即可求得答案． 【解析】（1）证明：∵将沿翻折到处，四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）解：过点作于点，如图， 则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由翻折得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当点落在边上时，如图，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴； ②当点落在边上时，如图，过点作于点，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 由翻折得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得： ， 即． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查勾股定理、折叠的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 28．（22-23八年级下·上海·阶段练习）如图，等边的边长是2，点P是边上的任意一点（不与点B点C重合），连接，将翻折，使顶点A与P重合，折痕分别交边于G、H，折痕交于． (1)当时，求证： (2)设，，求y关于x的函数关系式及定义域． (3)如图2在直线上找点D（点D在外），满足，连接，过点P作交直线于E，连接． ①求证：四边形是菱形， ②当四边形与重叠部分面积是时，求的值， 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质得到，进而得到，根据等边对等角证明，即可证明结论； （2）如图所示，过点A作于K，根据等边三角形的性质和勾股定理得到，，则，则由勾股定理可得，即； （3）折叠的性质可得，，进而得到，证明，得到，由此即可证明四边形是菱形；②如图所示，设交于M，交于N，则四边形的面积即为四边形与重叠部分的面积，先证明是等边三角形，得到，进而证明是等边三角形，得到，再证明，得到，进而推出．根据等边三角形的性质和勾股定理得到，再由四边形与重叠部分面积是，得到方程，解方程即可得到答案． 【解析】（1）证明：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： 如图所示，过点A作于K， ∵是边长为2厘米的等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①由折叠的性质可得，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②如图所示，设交于M，交于N，则四边形的面积即为四边形与重叠部分的面积， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 由（2）得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ． ∵四边形与重叠部分面积是， ∴， ∴， ∴， 解得或 ∴的值为或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，菱形的性质与判断，解一元二次方程等等，灵活运用所学知识是解题的关键． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$