第25讲 四边形 单元综合检测（难点）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第25讲 四边形 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．下列命题中，真命题是(　　　) A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形 2．若正多边形的一个外角为，则它的对角线条数为（    ）． A．9条 B．48条 C．54条 D．35条 3．下列判断中，不正确的是（    ） A． B． C．如果，那么 D． 4．如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、．那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在等腰梯形中，ADBC，，，，则BC=（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 6．如图，矩形ABCD中，分别是边AD，BC的中点，于P，DP的延长线交AB于．下列结论：①；②；③．其中结论正确的有（      ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 二、填空题 7．如图，已知在▱ABCD中，E是边AB的中点，DE与对角线AC相交于点F．如果，，那么＝ (用含、的式子表示)． 8．一个多边形的内角中,锐角的个数最多有 个. 9．如图，在梯形中，，，，、是边、的中点，过点作的平行线，交、于点、，那么线段 ．    10．如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米后，又向左转45°；照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．    11．如图，在中，与相交于点，，，将沿直线翻折后，点落在点处，那么的长为 ． 12．如图，被平行于边的直线l分成梯形和小，当为直角三角形，且时，我们叫梯形是“余角梯形”．如果一个“余角梯形”较短底边长5，两腰长分别是3和4，那么它的中位线长是 ．    13．如果一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．如图，在平行四边形中，，点在边上，且，过点的面积等分线与平行四边形的另一边交于点，那么线段的长为 ． 14．如图，矩形中，，．点E为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为 ． 15．已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图像的“伴侣正方形”．例如：在图中，正方形是一次函数图像的其中一个“伴侣正方形”，如图，若某函数是一次函数，则它的图像的所有“伴侣正方形”的边长是 ．    16．如图，正方形的边长，对角线、相交于点，将直角三角板的直角顶点放在点处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点旋转时，线段的最小值为 ． 17．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“友好菱形”．问题：如图，在中， ，且的面积为S．如果存在“友好菱形”为菱形，那么S的取值范围是 ． 18．如图，已知在矩形中，点在边上，，将矩形沿着过点的直线翻折后，点分别落在边下方的点处，且点在同一条直线上，折痕与边交于点，与交于点．设，那么的周长为 ．（用含的代数式表示）． 三、解答题 19．如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 20．如图，在中，、分别平分、，交于点、． (1)求证：； (2)过点作，垂足为．若平行四边形的周长为，，求的面积． 21．如图，5×5网格是由边长为1个单位的小菱形组成，每个菱形较小的角都是．已知格点P，请按以下要求画格点四边形（四边形的顶点都在格点上）．      (1)在图和图中分别画，使，的面积为，且这两个平行四边形不全等． (2)在图和图中分别画矩形，使矩形的面积为，且这两个矩形互不全等． 22．如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 23．如图，已知在正方形中，，点是边上一点（不与点、重合），连接交于点，延长交的外角角平分线于点，连接．    (1)当时，求的面积； (2)求证：； (3)连接，当时，求的长． 24．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点． (1)求直线AM的解析式． (2)试在直线AM上找一点P，使得，请求出点P的坐标． (3)若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝4，点M是AC上一点，点N在射线CB上，且MB＝MN，联结DN，设AM＝x． (1)当点M、N（N在边BC上）运动时，∠MND的大小是否会变化？若不变请求出度数，若变化请说明理由． (2)若∠BMN＝30°，求AM的值． (3)当N在线段BC上时，设DN＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25讲 四边形 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．下列命题中，真命题是(　　　) A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形 【答案】C 【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项． 【解析】A．对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故错误； B．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故错误； C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，正确； D．对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定定理，难度不大． 2．若正多边形的一个外角为，则它的对角线条数为（    ）． A．9条 B．48条 C．54条 D．35条 【答案】C 【分析】根据正多边形的外角均相等，且和为求出正多边形的边，再根据公式（n为正数，且）即可求出正多边形的对角线条数． 【解析】∵正多边形的外角均相等，且和为， 又∵正多边形的一个外角为， ∴该正多边形的边数为：， ∴对角线条数为：（条）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求解正多边形边数以及对角线条数的知识，掌握正多边形的外角均相等，且和为，是解答本题的关键． 3．下列判断中，不正确的是（    ） A． B． C．如果，那么 D． 【答案】C 【分析】根据向量是既有方向又有大小的量，向量的加法满足所有的加法运算定律，逐项进行分析判断即可． 【解析】解：A．，故A正确，不符合题意； B．，故B正确，不符合题意； C．如果，那么或，故C错误，符合题意； D．，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了向量的计算，解题的关键是要考虑向量是既有大小又有方向的量，向量的运算满足所有加法运算定律． 4．如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、．那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，根据平行四边形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可出得结论． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为， 则， ∴ ∵， ∴ 同理可得，， ∵， ∴ 故选：D． 5．如图，在等腰梯形中，ADBC，，，，则BC=（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】过作交于，得出四边形是平行四边形，推出，，证出是等边三角形，得到，即可求出答案． 【解析】解：过作交于， ，， 四边形是平行四边形， ，， ∵， 是等边三角形， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，把等腰梯形转化成平行四边形和三角形是解此题的关键． 6．如图，矩形ABCD中，分别是边AD，BC的中点，于P，DP的延长线交AB于．下列结论：①；②；③．其中结论正确的有（      ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】连接，根据分别证明、，再利用勾股定理求出，逐个选项判断即可． 【解析】解：连接GF， ∵矩形， ∴，，，， ∵，是边的中点， ∴，故①正确； ∵分别是边，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴垂直平分 ∴ ∴（） ∴，即，故②正确； ∵，，， ∴（） ∴， 设，则，， 在中，， ∴解得，即，故③正确； 综上所述，正确的是①②③ 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上中线、勾股定理、全等三角形的性质与判定，涉及知识点比较多，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 二、填空题 7．如图，已知在▱ABCD中，E是边AB的中点，DE与对角线AC相交于点F．如果，，那么＝ (用含、的式子表示)． 【答案】 【分析】先求出DF：EF的值，从而可得DF：DE，表示出，即可得出． 【解析】∵DF：EF＝DC：AE＝2：1， 故答案为． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是先确定各线段之间的关系，难度一般． 8．一个多边形的内角中,锐角的个数最多有 个. 【答案】3 【分析】根据多边形的外角和为360°可得多边形外角最多有3个钝角，再利用多边形的内角与外角互为邻补角即可得答案. 【解析】∵一个多边形的外角和360度， ∴外角最多可以有3个钝角， 又∵多边形的内角与外角互为邻补角， ∴一个多边形中，它的内角最多可以有3个锐角． 故答案为3． 【点睛】考查了多边形内角与外角，考虑多边形的内角的问题，由于内角和不确定，而外角和是一个定值，因而转化为考虑外角和的问题比较简单． 9．如图，在梯形中，，，，、是边、的中点，过点作的平行线，交、于点、，那么线段 ．    【答案】 【分析】根据题意得出是梯形的中位线，，根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据即可求解． 【解析】解：∵在梯形中，、是边、的中点， ∴是梯形的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，梯形的中位线的性质，熟练掌握梯形的中位线的性质是解题的关键． 10．如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米后，又向左转45°；照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．    【答案】 【分析】根据多边形的外角和即可求出答案． 【解析】解：根据题意可知： ∵小明需要转次才会回到原点， ∴小明共走了米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数，熟练掌握任何一个多边形的外角和都是是解题的关键． 11．如图，在中，与相交于点，，，将沿直线翻折后，点落在点处，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等；由平行四边形的性质得，由折叠的性质得，由勾股定理即可求解；掌握平行四边形的性质，折叠的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【解析】解：如图， 四边形是平行四边形， ， 由翻折得： ， ， ， ， ； 故答案为：． 12．如图，被平行于边的直线l分成梯形和小，当为直角三角形，且时，我们叫梯形是“余角梯形”．如果一个“余角梯形”较短底边长5，两腰长分别是3和4，那么它的中位线长是 ．    【答案】 【分析】如图，过作交于，结合梯形，，证明四边形为平行四边形，，利用勾股定理求解，可得，再利用梯形的中位线的性质可得答案． 【解析】解：如图，过作交于，结合梯形，， ∴四边形为平行四边形，，    ∴，，而， ∴， ∴， ∴梯形的中位线长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，梯形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 13．如果一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．如图，在平行四边形中，，点在边上，且，过点的面积等分线与平行四边形的另一边交于点，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是熟练运用以上知识点．先作出平行四边形的高，即是梯形的高，根据梯形面积公式算出的长，进而算出的长度，根据勾股定理即可解决问题； 【解析】解：过点D作于点，过点作于， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， 解得：， 由题易得：四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 14．如图，矩形中，，．点E为上一个动点，把沿折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，的长为 ． 【答案】或 【分析】连接，过作，交于点,于点,作交于点,先利用勾股定理求出的长，然后分两种情况利用勾股定理解题即可． 【解析】解：连接，过作，交于点,于点,作交于点,则是直角三角形， ∵四边形 是矩形，点的对应点落在的角平分线上， ，， ∴四边形是矩形， ， ， 则四边形是正方形. 设 ， ， ， 又 ， 在中，根据勾股定理，得即， 解得或, 或. 设,当时，， 根据勾股定理，得，即 解得； 同理，当时, 根据勾股定理，得 解得 综上，或 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，矩形的判定与性质，正方向的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 15．已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图像的“伴侣正方形”．例如：在图中，正方形是一次函数图像的其中一个“伴侣正方形”，如图，若某函数是一次函数，则它的图像的所有“伴侣正方形”的边长是 ．    【答案】或/或 【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点，分在轴正半轴、点在轴负半轴上；点在轴负半轴、点在轴正半轴上，两种情况，正确画出图形，结合正方形的性质以及全等三角形的性质求解即可． 【解析】解：一次函数， 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当点在轴正半轴、点在轴负半轴上时： 正方形的边长为．    当点在轴负半轴、点在轴正半轴上时： 过D作轴于H点，同上可得：， ∵，， ∴，， ∴，又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时正方形的边长为．    所求“伴侣正方形”的边长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是一次函数综合题，比较复杂，先要正确理解伴侣正方形的意义，特别要注意的是正方形的顶点所处的位置，因为涉及到相关点的坐标，所以过某一点作坐标轴的垂线是必不可少的，再利用正方形的性质和全等三角形的知识确定相关点的坐标即可求解． 16．如图，正方形的边长，对角线、相交于点，将直角三角板的直角顶点放在点处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点旋转时，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．证明，得到，要使有最小值，即求的最小值，当时，有最小值，由等腰三角形的性质可求出． 【解析】解：四边形是正方形， ，，， ，，， ， ，， ， 故要使有最小值，即求的最小值，当时，有最小值， ，，， ， 线段的最小值为． 故答案为：． 17．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“友好菱形”．问题：如图，在中， ，且的面积为S．如果存在“友好菱形”为菱形，那么S的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由的面积为S可得的高为，然后再分三角形的高取最小值和最大值两种情况求解即可． 【解析】解：∵的面积为S， ∴， ∴边上的高为， 如图：当高取最小值时，为等边三角形，A与M或N或上重合， 如图：过A作，垂足为D， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 如图：当高取最大值时，菱形为正方形， ∴A在中点， ∴，即 ∴． 故填：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理，考查知识点较多，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 18．如图，已知在矩形中，点在边上，，将矩形沿着过点的直线翻折后，点分别落在边下方的点处，且点在同一条直线上，折痕与边交于点，与交于点．设，那么的周长为 ．（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据翻折的性质可得，再根据三角函数求出，则，根据对顶角相等可得，根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后判断出是等边三角形，过作于点，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的性质和勾股定理表示出，即可得解． 【解析】解：由翻折的性质得，，如图，连接， ∵， ∴， ∵点在同一条直线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 如图，过作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，平行线的性质和矩形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题 19．如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 【答案】(1)； (2) (3)图形见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，向量的运算，即可； （2）根据平行向量的意义求解； （3）根据三角形的作图，即可． 【解析】（1）∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）与平行的向量有：，，，，，，共个， 故答案为：． （3）以点为圆心，长为半径，延长，连接， ∴， ∴． 图形见下：    【点睛】本题考查向量，平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行向量的性质，平行四边形的性质． 20．如图，在中，、分别平分、，交于点、． (1)求证：； (2)过点作，垂足为．若平行四边形的周长为，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质和角平分线的性质证明即可； （2）过点作于点，利用角平分线的性质得到，利用三角形面积公式列式运算即可． 【解析】（1）证明：∵，分别平分，，交于点、， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：过点作于点，如图所示： ∵分别平分，于点， ∴， ∵，，且平行四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是192． 21．如图，5×5网格是由边长为1个单位的小菱形组成，每个菱形较小的角都是．已知格点P，请按以下要求画格点四边形（四边形的顶点都在格点上）．      (1)在图和图中分别画，使，的面积为，且这两个平行四边形不全等． (2)在图和图中分别画矩形，使矩形的面积为，且这两个矩形互不全等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由该5×5网格是由边长为1个单位的小菱形组成，每个菱形较小的角都是，求出该小菱形的高为，从而得出每个小菱形的面积为，即包含四个小菱形即可，进而可画出图形； （2）由题意可求出上下相邻的两个小菱形的较短对角线与其上底或下的夹角为，且长度为，即可做矩形的宽，再取其长为3即可画出一种；又可求出小菱形较短的对角线长度为1，较长的对角线长度为，且互相垂直，即取较短的对角线一条，较长的对角线3条即可又画出一种． 【解析】（1）解：如图中和图中即为所作；      （2）解：如图中和图中即为所作；      【点睛】本题考查格点作图，菱形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 22．如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据三角形中位线定理可得，，进而推出，，然后根据平行四边形的判定定理可得结论； （2）证明是等边三角形，求出即可． 【解析】（1）证明：在矩形中，， ∵点和分别是线段和的中点， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）知， ∴四边形是梯形， ∵在矩形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，等边三角形的判定和性质，等腰梯形的判定，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 23．如图，已知在正方形中，，点是边上一点（不与点、重合），连接交于点，延长交的外角角平分线于点，连接．    (1)当时，求的面积； (2)求证：； (3)连接，当时，求的长． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）如图1，作于点，延长，延长线交于点，得四边形是矩形，然后证明是等腰直角三角形，得，进而可以解决问题； （2）如图2，延长，交于点，证明是等腰直角三角形，，作交于M，则四边形是平行四边形，证明，进而可得结论； （3）如图3，证明四边形是平行四边形，可得，，，根据正方形的性质，结合（2）利用勾股定理可得，设，则，得，，再利用勾股定理列出方程求出的值，进而可以解决问题． 【解析】（1）解：四边形是正方形， ，， 如图1，作于点，延长，延长线交于点， ， 四边形是矩形， ， 是的外角的平分线， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积；    （2）证明：如图2，延长，交于点， 是的外角的平分线， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 作交于M， 则四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ；    （3）解：如图3，由（2）知：， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， 设，则， ，， 在中，根据勾股定理得：， ， 整理得， ，， 或． 的长为或．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解决问题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点． (1)求直线AM的解析式． (2)试在直线AM上找一点P，使得，请求出点P的坐标． (3)若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是直角梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，，，， 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由点M为线段OB的中点可得出点M的坐标，根据点A，M的坐标，利用待定系数法即可求出直线AM的函数解析式； （2）利用平行线间的距离处处相等，过O作直线，为与AM交点，由点P1到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离，求出的表达式，与直线AM的表达式联立求出交点即，再利用平移求出另一个点的坐标； （3）分情况讨论，作出不同的辅助线，求出对应点H的坐标即可． 【解析】（1）解：∵交x轴于A， ∴，解得， ∴， ∵交y轴于B， ∴当x=0时， ∴， ∵M为OB中点， ∴， 设过，， 得到，解得， ∴直线AM的解析式是． （2）解：过O作直线，为与AM交点，如图1，                            ∴ 点P1到直线AB的距离等于点O到直线AB的距离 ∴此时， 设直线， ∵， ∴ ∴， ∵直线AM的解析式是 ∴，解得， 此时 ∴， 由是直线AB:向下平移8个单位得到的， 把直线AB:向上平移8个单位得到 交直线AM于，此时， ∴由，得， ∴． 综上所述，点P的坐标为， （3）解：①过点B作BHAM，过点A作AH⊥BH于点H，如图2， 如图，则，                  设直线BH的表达式为： ∵ ∴ ∵直线BH经过点 ∴ ∴直线BH的表达式为， 设直线AH的表达式为， ∵， ∴，得到， 又∵直线AH过点 ∴，解得 ∴直线AH的表达式为， 由 解得 ∴此时点H的坐标为； ②过点A作，作BH⊥AH，垂足为点H，则，如图3， ∵，， ∴此时点H的坐标为， ③过点M作AB的平行线，分别过点A、B向AB的平行线作垂线，垂足分别为H1、H2，如图4，此时， 设直线MH1的表达式为 ∵ ∴ ∵直线MH1经过点 ∴ ∴直线MH1的表达式为， 设直线AH1的表达式为 ∵， 则，， ∵过点 ∴ 解得 ∴直线AH1的表达式为           由 解得 ∴， 当时， ∵为矩形， 把点经过向左平移4个单位，向上平移8个单位即可得到点H2 ∴点H的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像交点坐标、三角形的面积相等、直角梯形等相关知识，关键在于正确画出图形，进行正确的解答． 25．如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝4，点M是AC上一点，点N在射线CB上，且MB＝MN，联结DN，设AM＝x． (1)当点M、N（N在边BC上）运动时，∠MND的大小是否会变化？若不变请求出度数，若变化请说明理由． (2)若∠BMN＝30°，求AM的值． (3)当N在线段BC上时，设DN＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域． 【答案】(1)不变，∠MND=30°； (2)AM的长为2-2或4-4； (3) 【分析】（1）联结DM，设∠MBO=α，可表示出∠DMN，∠CDM，∠CMD，∠CMB，∠CMN，进而计算求得∠DMN=120°，从而求得结果； （2）分点N在边BC上和点N在CB延长线上时两种情况讨论，进而求得结果； （3）作ME⊥AB于E，MF⊥DN，在△ABM中表示出MB，进而表示出MN，进一步表示出DN，从而求得结果． 【解析】（1）解：如图1， 联结DM， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC=AC=2，BD=2OD=2OB，AD=AB， ∴DM=BM，OD=OB==2， ∴BD=4， ∴AD=AB=BD， ∴∠BCD=∠BAD=60°，∠CBD=60°， ∴∠ACD=∠BCD=30°， 设∠MBO=α， ∵MN=MB， ∴∠MBN=∠MNB=∠DBC+∠MBO=60°+α， 在△CBM中， ∠CMB=180°-∠ACB-∠CBM=180°-30°-（60°+α）=90°-α， ∴∠CMD=∠CMB=90°-α， 在△MND中， ∠BMN=180°-∠MBN-∠MNB=180°-2（60°+α）=60°-2α， ∴∠CMN=∠CMB-∠BMN=90°-α-（60°-2α）=30°+α， ∴∠DMN=∠CMN+∠CMD=（30°+α）+（90°-α）=120°， ∵BM=DM=MN， ∴∠MND=∠MDN==30°； （2）解：当点N在边BC上时， 在△MBN和△CBM中， ∠BMN=∠ACB=30°， ∠CBM=∠MBN， ∴∠CMB=∠MBN， ∵MB=MN， ∴∠MBN=∠MNB， ∴∠CBM=∠MBN， ∴CM=CB=4， ∴AM=AC-CM=4-4； 当点N在CB延长线上时， 过点M作MG⊥BN于点G， ∵MB=MN， ∴∠NMG=∠BMG=×30°=15°， ∴∠GMC=180°-90°-30°=60°， ∴∠BMO=45°， ∴△OBM是等腰直角三角形， ∴OB=OM=2， ∴AM=AO-OM=2-2； 综上，AM的长为2-2或4-4； （3）解：如图2， 作ME⊥AB于E，MF⊥DN， ∵∠CAB=30°， ∴EM=AM=x， ∴AE=， ∴BE=AB-AE=4-x， 在Rt△BEM中， BM=， 在Rt△MNF中， 同理可得：NF=MN=， ∴DN=2NF， ∴． 【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，等腰三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是设角，通过计算寻找角的数量关系． 5 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$