特训06 期末解答压轴题（七大题型，上海最新精选+其他补充）-2024-2025学年六年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版2024，上海专用）

特训06 期末解答压轴题（七大题型，上海最新精选+其他补充） 目录： 题型1：比与比例的实际应用题 题型2：比与比例在圆与扇形的应用 题型3：圆与扇形 题型4：圆与扇形动态问题 题型5：圆柱与圆锥 题型6：新定义题——二元一次方程组 题型7：二元一次方程组的综合应用 题型1：比与比例的实际应用题 1．（24-25六年级下·上海·名校阶段练习）昨天六年级进行了纪念“一二·九”红歌合唱活动，最后一个合唱组合由三个班级组成．其中A班有49人，比两班人数和的少1人． (1)B班和C班共有多少人？ (2)其中两班女同学的人数比是，这两个班级男同学人数和比这两个班级女同学人数和多，A班男同学比B班女同学多1人，A班男同学有多少人？ (3)在（2）的条件下，音乐老师排好第一排队形后发现，如果让第一排再加入两个男同学，那么第一排的女同学的人数就比男同学少；如果加入一名女同学，那么第一排男、女同学人数就相等，合唱队伍共六排，第二至第五排每排男、女同学人数都和第一排一样，其余同学站在第六排，求此时第六排女同学比男同学少几分之几？ 【答案】(1)B班和C班共有100人； (2)A班男同学有人； (3)第六排女同学比男同学少． 【分析】本题考查了分数混合运算的应用． （1）根据分数的除法运算即可求解； （2）设两班女同学的人数为人，则男同学的人数为人，根据题意列方程求得，进一步计算即可求解； （3）设第一排有个男同学，则第一排有个女同学，由题意得，解得，再求得第6排女同学有人，男同学有人，据此求解即可． 【解析】（1）解：A班有49人，比两班人数和的少1人． 人 答：B班和C班共有100人； （2）解：设两班女同学的人数为人，则男同学的人数为人， 由题意得， 解得， ， ∴两班女同学的人数为人，男同学的人数为人， ∵两班女同学的人数比是， ∴班女同学的人数是人， A班男同学有人 答：A班男同学有人； （3）解：由（2）得，A班男同学有人，女同学有人， 两班女同学的人数为人，男同学的人数为人， ∴合唱队伍中女同学有人，男同学有人， 设第一排有个男同学，则第一排有个女同学， 由题意得 解得 ∴第一排有13个男同学，有12个女同学， 前5排共有个男同学，有个女同学， ∴第6排女同学有人，男同学有人， ∴ 答：第六排女同学比男同学少． 2．（24-25六年级下·上海·期中）上海特产“蝴蝶酥”、“梨膏糖”是游客必选的美食产品，为适应市场不同消费需求，某食品公司计划对两种产品进行精包装和简包装的方案．计划精包装梨膏糖9000箱，精包装蝴蝶酥的数量比精包装梨膏糖的数量少，其余产品进行简包装． (1)求计划精包装蝴蝶酥多少箱？ (2)计划简包装的产品数量与这批产品总数之比为，求这批产品共有多少箱？ (3)在（2）的条件下，经过市场调研发现精包装的蝴蝶酥产品比精包装的梨膏糖产品畅销，故公司决定调整包装方案．在保证精包装产品总数量不变的情况下，减少梨膏糖产品精包装的数量，增加蝴蝶酥产品精包装的数量，结果精包装梨膏糖产品数量与简包装梨膏糖产品数量的比为，新增加精包装蝴蝶酥产品数量占这批产品总数量的．那么简包装梨膏糖有多少箱？ 【答案】(1)7200箱 (2)25200箱 (3)4040箱 【分析】本题主要考查了比的分配以及百分数的应用，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据精包装梨膏糖9000箱，精包装蝴蝶酥的数量比精包装梨膏糖的数量少，列出算式进行计算即可； （2）根据计划简装的产品数与这批产品总数之比为，列出算式进行计算即可； （3）先求出新增加精包装蝴蝶酥数量，则精装蝴蝶酥总共数量即可求出来，那么再求出新的精包装梨膏糖总数，最后由占比求解简包装梨膏糖数量． 【解析】（1）解：由题意得，（箱） ， 答：计划精包装蝴蝶酥7200箱； （2）解：， （箱）， （箱）， 答： 这批产品共有 25200箱； （3）解：新增加精包装蝴蝶酥数量：（箱）， 精装蝴蝶酥共（箱）， 新的精包装梨膏糖总数：（箱）， 简装梨膏糖总数：（箱） 3．（24-25六年级下·上海宝山·期中）王明开着小轿车去“中石化”加油站加“92#”汽油（当天油价“92#”是元/升，“95#”是元/升，“98#”是元/升，“0#”柴油是元/升）。“中石化”加油站规定若用卡加油，“92#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，“95#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，正好该加油站当天也在搞促销活动，一张面值300元加油卡打九折出售，且两项活动可一起享受，他盘算了下，决定这次买一张面值300元加油卡加油． (1)他实际花了多少钱购买了这张加油卡？ (2)假设这次加油他把这张卡内钱一次性全部用完，求： ①用卡加油比不用卡加油在加油量相等的条件下一共便宜了多少钱？ ②用卡加油的实际单价比不用卡加油的单价便宜了百分之几?（精确到） 【答案】(1)他实际花了元购买了这张加油卡 (2)①元；② 【分析】本题考查了百分数的应用，根据题意列出算式是解题的关键； （1）根据乘以，即可求解； （2）①先求得用卡加油的单价，再求得元可以加升，进而计算不用卡加油的费用，再求差即可求解； ②用卡加油的实际单价减去不用卡加油的单价再比用卡加油的实际单价，最后化为百分数，即可求解． 【解析】（1）解：（元） 答：他实际花了元购买了这张加油卡 （2）解：① 用卡加油比不用卡节省金额： 用卡加油：油价为元/升，300元可加：升 实际购卡花费270元 不用卡加油：加40升需支付：元 节省金额为：元 ②用卡加油实际单价为元/升，原价元/升，单价降低： 题型2：比与比例在圆与扇形的应用 4．（24-25六年级下·上海虹口·期中）小明用边长为3厘米的木条做了个正三角形框架，之后又用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚了一圈． (1)求这个圆扫过的面积是多少？（结果保留） (2)小明又用木条做了长方形框架，长方形的长，宽，点、分别在边上的点，且，半径为的圆在长方形外侧从点经过点无滑动滚动到点，求圆扫过的面积是多少？（结果保留π） 【答案】(1)这个圆扫过的面积是平方厘米 (2)圆扫过的面积是 【分析】本题考查了圆的面积公式等知识，解决问题的关键是弄清圆的运动过程中的经过的面积组成． （1）由滚过的区域的面积是3个长是，宽是的矩形的面积和3个半径为，圆心角是的扇形面积之和即可得解； （2）由圆滚动的区域的面积是一个半径是1的圆的面积，半径是2的半圆的面积和三个矩形的面积之和即可得解． 【解析】（1）解：如图， 滚过的区域的面积是3个长是，宽是的矩形的面积和3个半径为，圆心角是的扇形面积之和： 平方厘米； （2）解：如图， ，宽，， ， 圆滚动的区域的面积是一个半径是1的圆的面积，半径是2的半圆的面积和三个矩形的面积之和：． 5．（24-25六年级下·上海嘉定·期中）中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛： 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛．（本题取3） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是_________； (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，工人甲承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请工人乙来帮忙，工人乙的工作效率是甲的，且在乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务．若修1米花坛可得到100元钱，则修完花坛后，工人甲和乙分别可以得到多少报酬？ 【答案】(1) (2)不省料，因为方案B与方案A的周长相等． (3)甲可以得到3600元，乙可以得到2400元． 【分析】本题考查的是圆的周长的计算，一元一次方程的应用． （1）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求此直径是10米的两个圆的周长即可． （2）首先根据圆的周长公式：，求出直径是8米、和12米的圆的周长和，然后与图1进行比较． （3）因为圆的周长和直径成正比例，所以5个小圆的周长和等于直径20米的圆的周长．设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米，据此列方程解答． 【解析】（1）解：（米）， 答：修的花坛的周长是米． （2）解：， （米） （米）， （米）， 答：不省料，因为方案B与方案A的周长相等． （3）解：综合前两问可得，花坛的总周长为，修完花坛共花费元， 设甲原来每小时的工作效率为每小时x米，则乙的工作效率为每小时x米，甲的速度提高后为每小时x米， ， 解得， ∴甲获得（元），乙获得元， 答：甲可以得到3600元，乙可以得到2400元． 6．（24-25六年级下·上海·期中）综合实践题：变速自行车中的数学奥秘 请阅读材料，并完成下列问题： 材料一：如今，骑自行车作为一种广受欢迎的健身方式变得越来越流行．你知道吗，自行车一般通过链条带动，链条连接前后齿轮．前齿轮与脚踏相连，骑行者踩动脚踏一圈，前齿轮随其一并转动一圈；后齿轮与后轮相连，后齿轮转动一周，后轮也将转动一周，并通过后轮转动带动自行车前进．变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上往往具有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合改变骑行效果． 材料二：“传动比”指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 已知小明的自行车前齿轮齿数为、，后齿轮齿数为、、、、，后轮直径厘米． (1)①计算传送比：前齿轮齿后齿轮齿_____． ②若要使传动比为，请找出所有可能的齿轮组合，并用比例式验证． (2)①小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为，后齿轮齿数为；并计算此时踏脚蹬一圈，后轮转动圈． ②小明以每分钟圈的速度蹬踏脚，使用不同的齿轮组合时，自行车每小时行驶的最大距离和最小距离分别是多少千米？（结果保留） (3)若想保持时速千米，使用传动比时，小明需每分钟蹬多少圈？ 【答案】(1)①；②前齿轮齿，后齿轮齿；前齿轮齿后齿轮齿 (2)①，，；②自行车每小时行驶的最大距离和最小距离分别是千米和千米； (3)小明需每分钟蹬圈圈 【分析】本题主要考查了圆的周长和面积的有关计算，分数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算公式，准确计算即可． （1）①根据题意化简比，即可求解； ②根据比的性质求出组合，根据比例式验证，即可求解； （2）①根据传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快，应选择前齿轮齿数为，后齿轮齿数为，进而根据前齿轮齿数×前齿轮转数=后齿轮齿数×后齿轮转数，即可求解； ②分别求得最小传动比和最大传动比，计算后轮的周长，进而求得最大距离和最小距离，注意单位的换算； （3）先转化单位，进而求得后轮要转的圈数，根据传动比，即可求解． 【解析】（1）解：①前齿轮齿后齿轮齿 故答案为：． ②前齿轮齿，后齿轮齿；前齿轮齿后齿轮齿 ∵ ∴ （2）①明想在上坡时更省力，根据传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快， ∴应选择前齿轮齿数为，后齿轮齿数为 ∵前齿轮齿数×前齿轮转数=后齿轮齿数×后齿轮转数 ∴此时踏脚蹬一圈，后轮转动圈 故答案为：，，． ②小明的自行车前齿轮齿数为、，后齿轮齿数为、、、、， ∴最小传动比为： 最大传动比为： 小明以每分钟圈的速度蹬踏脚， ∵后轮直径厘米 ∴每分钟，后车轮前进的最少距离为：米，最大距离为：米 ∴自行车每小时行驶的最小距离为：千米，自行车每小时行驶的最大距离为：千米 （3）解：千米/小时 ∵后轮直径厘米 ∴后轮要转圈 ∵传动比， ∴小明需每分钟蹬圈圈 题型3：圆与扇形 7．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）我们已经学习了扇形的面积，试回忆扇形面积公式的推导过程，并解决下列问题． (1)已知扇形的半径为，圆心角为，那么该扇形的面积是_______． (2)你认为上述扇形面积公式的推导过程，与下列哪个公式的推导使用的方法基本相同(    ) A．圆的面积公式     B．圆的周长公式   C．平行四边形的面积公式        D．弧长公式 (3)在上述扇形面积的推导过程中，下列哪些知识起着重要的作用(有几个选几个)(    ) A．圆的面积公式        B．圆的周长公式    C．弧长公式        D．分数的意义        E．角的有关概念 (4)已知扇形的弧长为，半径为，试用和表示该扇形的面积，并写出简要的推导过程． (5)如图，一把展开的扇子的扇面的外弧的长是厘米，内弧的长为厘米，扇面宽的长是厘米，求扇面的面积． 【答案】(1) (2)D (3)A、D、E (4)见解析 (5) 【分析】本题考查了圆的面积公式，扇形面积公式，分数的运算； （1）根据扇形面积公式填空即可求解； （2）由扇形面积公式的推导过程可知，跟弧长公式的推导方法相同，据此选择即可； （3）在扇形面积公式的推导过程中，用到了圆的面积公式、分数的意义、角的有关知识，据此选择即可； （4）根据扇形的弧长占所在圆周长的几分之几，就等于其面积占圆面积的几分之几来推导即可； （5）设，先根据两段弧长求得半径，进而根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【解析】（1）解：一个半径为，圆心角为的扇形，其面积为：， 故答案为：． （2）由扇形面积公式的推导过程可知，跟弧长公式的推导方法相同，所以D选项正确； 故答案为：D． （3）在扇形面积公式的推导过程中，用到了圆的面积公式、分数的意义、角的有关知识， 所以A、D、E都正确； 故答案为：A、D、E． （4）因为扇形的弧长占所在圆周长的几分之几，就等于其面积占圆面积的几分之几； 已知一个扇形的弧长为l，半径为， 则扇形的面积占所在圆面积的：， ∴ （5）解：如图所示，设， ∵外弧的长是厘米，内弧的长为厘米， ∴ ∴ ∴扇面的面积为 8．（24-25六年级下·上海青浦·期中）你还记得圆的面积公式推导过程吗？我们把圆等分成若干份，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积也就越接近于圆的面积，故就由长方形的面积公式推导出圆的面积公式． (1)如图，近似长方形的一边的长度相当于圆的_______________；另一边的长度相当于圆的_______________； (2)当时，则这个圆的周长为_____________，面积为_______________．（结果保留） (3)若将一个圆等分成12份，其中一个扇形的周长是，求这个圆的面积是多少平方厘米？（结果保留） 【答案】(1)半径长，周长的一半 (2)， (3) 【分析】本题考查圆的周长和面积，解题的关键是得到长方形的长为圆的周长的一半，宽为圆的半径长． （1）根据图形易得长方形的长为圆的周长的一半，宽为圆的半径长，进行作答即可； （2）根据圆的周长和面积公式进行计算即可； （3）根据扇形的周长等于2条半径的长加上弧长，求出半径，再根据面积公式进行计算即可． 【解析】（1）解：由题可知：的长度相当于圆的半径长，的长度相当于圆的周长的一半； 故答案为：半径长，周长的一半； （2）解：当时，即圆的半径为， ∴圆的周长为：，圆的面积为：， 故答案为：，； （3）解：设圆的半径为，由题意，得：， ∴， ∴圆的面积是． 9．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为的正方形． ①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为、、． (1)请你直接写出____．（结果保留） (2)请你直接将和的数量关系填在横线上：_______．（由题（2）中面积的数量关系，可直接求得______．（结果保留．） 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了圆的面积，扇形面积，解本题的关键是数形结合． （1）用半径是的圆的面积减去直角边长是的等腰直角三角形的面积可得阴影部分面积的一半，进而可知阴影部分面积； （2）用半径是的圆的面积减去直角边长是的等腰直角三角形的面积可得阴影部分面积的四分之一，进而可得，即可得到和的数量关系；最后根据，即可求出． 【解析】（1）解：， 故答案为：； （2），， ， 故答案为：； ， 故答案为：，． 10．（24-25六年级下·上海·期中）小明用长度为的铁丝分别围成了正三角形、正方形和正五边形，之后又分别用半径为的圆沿着这些图形的外围滚了一圈．圆扫过的图形都是由扇形和长方形组成，观察图形，并完成下列问题（结果保留） (1)如图1，半径为的圆沿着正三角形的外围滚了一圈．阴影部分的面积为________，的面积为_________； (2)如图2，半径为的圆沿着正方形的外围滚了一圈．阴影部分的面积为________，的面积为_________； (3)如图3，半径为的圆沿着正五边形的外围滚了一圈．阴影部分的面积为_________，的面积为_________； (4)根据上述规律，尝试探索并归纳：半径为的圆沿着正边形的外围滚了一圈．圆扫过的图形的面积为________． 【答案】(1)；； (2)；； (3)；； (4) 【分析】本题主要考查了扇形面积计算和长方形面积计算，图形类的规律探索，正确理解题意是解题的关键； （1）三个阴影部分的扇形圆心角度数均为，半径为，三个长方形都是长为，宽为的长方形，据此求解即可； （2）四个阴影部分的扇形圆心角度数均为，半径为，四个长方形都是长为，宽为的长方形，据此求解即可； （3）五个阴影部分的扇形圆心角度数之和为，半径为，五个长方形都是长为，宽为的长方形，据此求解即可； （4）半径为的圆沿着正边形的外围滚了一圈．圆扫过的图形的面积为n个扇形面积加上n个长方形的面积，据此仿照前面计算求解即可． 【解析】（1）解：由题意得，三个阴影部分的扇形圆心角度数均为，半径为， ∴； ∵三个长方形都是长为，宽为的长方形， ∴； （2）解：由题意得，四个阴影部分的扇形圆心角度数均为，半径为， ∴； ∵四个长方形都是长为，宽为的长方形， ∴； （3）解：由题意得，五个阴影部分的扇形圆心角度数之和刚好为，半径为， ∴； ∵五个长方形都是长为，宽为的长方形， ∴； （4）解：由前三问可知半径为的圆沿着正边形的外围滚了一圈．圆扫过的图形的面积为n个扇形面积加上n个长方形的面积，且五n个扇形的圆心角度数之和为，半径为，n个长方形的长都为，宽都为， ∴半径为的圆沿着正边形的外围滚了一圈．圆扫过的图形的面积为． 题型4：圆与扇形动态问题 11．（24-25六年级下·上海·名校阶段练习）如图所示，扇形从图①无滑动绕着点A旋转到图②（）的位置，再由图②紧贴直线运动到图③，已知，． (1)求由图①到图②点O所运动的路径长；（结果保留） (2)点O所走过的路径与直线l围成的面积是多少？（结果保留π） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）点的运动路径是以为圆心，为半径，圆心角为的弧，根据弧长公式即可求解； （2）如图，找出点的完整运动路径是由三段组成，分别求出面积即可求解． 【解析】（1）解：由图①到图②： ． （2）解：如图 ， ， ， ． 答：点O所走过的路径与直线l围成的面积是． 【点睛】本题考查旋转产生的点的路径问题，重点考查了弧长公式，掌握弧长公式，并能找出点的运动路径是解题的关键． 12．（24-25六年级下·上海·期中）如图，长方形的长厘米，宽厘米． (1)如图1，一个半径为1厘米的圆，沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积； (2)如图2，、分别为、上的点，且，，一个半径为1厘米的圆，沿着长方形的外侧从点经过点滚动到点，求圆滚过的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图所示，圆滚过的面积长方形的面积中间白色长方形的面积四个直角处的面积和；四个直角处的面积和边长为厘米的正方形的面积半径为的圆的面积，据此解答即可； （2）如图把圆滚过的面积分为部分，个长方形，起点、终点分别为两个半圆，两个角处分别为半径为厘米的圆；起点、终点加起来正好是一个半径长为厘米圆的面积；两个角面积之和是半径为厘米的半圆的面积；据此解答即可． 【解析】（1）解：如图中， 空白部分的长（），宽（）， ∴阴影部分的面积= （2）如图2中， 由题意，， ∴圆滚过的面积为． 13．（24-25六年级下·上海普陀·阶段练习）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮．如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米．    (1)如果拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了______圈；（取3.14） (2)如果拖拉机模型的一个前轮和一个后轮一共滚动了700圈，那么这辆拖拉机模型向前行驶了多少米？（取3.14） (3)拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留） 【答案】(1)100 (2)这辆拖拉机向前行驶了米； (3)这一过程中前轮扫过的面积是平方厘米 【分析】本题考查了圆的周长和面积的应用，关键注意数据的单位换算． （1）先计算后轮滚动一圈向前行驶了厘米，据此计算即可求得答案； （2）先计算前后轮滚动圈数比为，得到前轮滚动500圈，据此计算即可求得答案； （3）画出图形，利用圆的面积公式和长方形的面积公式求解即可． 【解析】（1）解：由题意得一个后轮滚动一圈向前行驶了厘米， 则拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了100圈， 故答案为：100； （2）解：前后轮滚动圈数比 前轮滚动500圈，后轮滚动200圈． 米． 答：这辆拖拉机向前行驶了米； （3）解：如图，这一过程中前轮扫过的面积是如图的阴影部分，   ，， ， ， ∴这一过程中前轮扫过的面积是平方厘米 14．（24-25六年级下·上海·期中）圆的滚动问题探索（本大题结果保留）： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆沿直线无滑动滚动一周，圆心经过的距离为____cm 如图2，将圆固定，让圆绕着圆外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆、圆的半径都为1厘米，则圆心经过的距离为_______cm． (2)如图3，已知等边三角形的边长为，将半径为的圆从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，圆滚过的区域面积为______cm²． (3)如图4，长方形的长，宽，点、分别在边、上的点，且，半径为的圆．在长方形外侧从点经过点、无滑动滚动到点，圆滚过的区域面积为_______． (4)如果小明用根长度的木条做一个正边形（条边相等，个内角相等的图形）的框架，再用半径为的圆沿着这个架子的外围滚一圈，圆扫过的图形都是由扇形和长方形组成．现标记这个正边形的内角大小为，请用含的代数式表示：______，圆滚过的区域面积是_____． 【答案】(1)厘米；厘米， (2)平方厘米 (3)平方厘米 (4)， 【分析】本题考查圆的周长和面积问题，将圆的运动轨迹转化为规则的圆或者扇形即可解答； （1）图1中，圆心O经过的距离为半径为1厘米的圆的周长；图2中圆心O经过的距离为以为半径的圆的周长； （2）圆O滚过区域的面积为三个半径为，圆心角等于的扇形的面积加上三个长方形的面积； （3）圆O滚过区域的面积为两个半径为，圆心角等于的扇形的面积加上三个长方形面积、两个半径为圆心角等于的扇形的面之和； （4）根据旋转滚一圈可知，圆旋转了次，每次旋转，由此即可求出，圆滚过的区域面积是个长方形和一个半径半径为的圆面积之和． 【解析】（1）解：半径为1厘米的圆沿直线无滑动滚动一周，圆心经过的距离为：（厘米） 让圆绕着圆外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆、圆的半径都为1厘米，（厘米），则圆心经过的距离为：（厘米） （2）解： 如图： 将半径为的圆从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时， （厘米） （平方厘米） （平方厘米） 圆O滚过区域的面积为平方厘米； （3）长方形的长，宽，点、分别在边、上的点，且， 解：如图，半径为的圆．在长方形外侧从点经过点、无滑动滚动到点， ，， ，， （平方厘米） （厘米） （平方厘米） （平方厘米） 圆O滚过区域的面积为平方厘米 （4）由图可知：， 旋转一周后，返回到起点，故旋转 圆滚过的区域面积是 15．（24-25六年级下·上海黄浦·期中）小明有一辆前后车轮直径都是厘米的自行车，如图，图是图中自行车齿轮的局部放大图，这辆自行车的前齿轮的齿数为（齿数是齿轮的尖齿数量），后齿轮的齿数为．（结果保留）    小明发现可以利用自行车的行进原理估算自己的行进路程．自行车的行进原理和小明的估算方法如下：小明每踩一圈脚蹬，与脚蹬相连的前齿轮就转动一圈，而前齿轮的转动会通过链条带动后齿轮的转动（前齿轮转动的齿数等于后齿轮转动的齿数），那么后齿轮相应的转动圈，也就是后车轮的转动圈数．通过计算可以得到每踩一圈脚蹬，后车轮就前进米，这样只要数清楚自己踩了几圈脚蹬就能知道行进的路程了．如果小明踩动5圈脚蹬，那么后车轮前进了______米． (1)补全上面空格中的内容； (2)如图3，小明学校有一个四跑道的操场，每条跑道的宽度都相等，跑道从内向外编号分别为到．已知操场的左右两侧分别是以和为直径的半圆，中间部分是长方形．记号跑道和号跑道的面积之和为，号和号条跑道的面积总和为，小明认为和有一定的数量关系，但他手边没有其它测量工具，因此他打算用上述用自行车估算行进路程的方法进行测量和探究． ①小明首先沿着号跑道最外侧边线骑行一圈（忽路行进和转弯时产生的误差），发现自己正好踩了圈脚蹬，随后小明从点处沿直线骑行到点处，发现需要踩圈脚蹬．请帮助小明计算出直径的长度； ②小明又沿着号跑道最内侧边线骑行一圈，发现自己正好踩了圈脚蹬．请帮助小明计算与的比值． 【答案】(1)；； (2)①直径的长度是32米；② 【分析】本题主要考查了圆的周长和面积的有关计算，分数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算公式，准确计算即可． （1）根据圆的周长公式，大齿轮和小齿轮数列式计算即可； （2）①先求出以为直径的圆的长，再求出圆的直径即可； ②分别求出，，然后求出结果即可． 【解析】（1）解：每踩一圈脚蹬，后齿轮相应的转动的圈数为： ； 每踩一圈脚蹬，后车轮就前进的距离为： （米）， 小明踩动5圈脚蹬，那么后车轮前进了： （米）． 故答案为：；；． （2）解：①（圈）， （米）， 答：直径的长度是32米． ②（圈）， （米）， （平方米）， （平方米）， ∴； （平方米）， （米）， （米）， （平方米）， ∴（平方米）， ∴． 16．（21-22六年级上·上海杨浦·期末）（1）如图1，是等边三角形，曲线……叫做“等边三角形的渐开线”，曲线的各部分均为圆弧．设的边长为3厘米，求前5段弧长的和（即曲线的长）是多少厘米？ （2）如图2，有一只狗被拴在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长为400厘米的正方形，拴狗的绳子长18米．现狗从点A出发，将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑多少米？ 【答案】（1）厘米；（2）米． 【分析】（1）利用弧长公式计算．但要先确定弧所对的圆心角都是120度，半径却在不断的增大，第一次是3厘米，第二次是6厘米，第三次是9厘米，依此下去第五次是15厘米，总和就是把五段弧加起来； （2）分别以B为圆心，为半径跑到F点，以E为圆心，为半径跑到G点，此时跑的距离是，以D为圆心，为半径跑到H点，此时距离是，以C为圆心，为半径跑到K点，此时距离是，以B为圆心，为半径跑到点L，此时距离是，求出总距离即可． 【解析】（1）解：前5段弧长的和（即曲线的长）是： （厘米）． 故前5段弧长的和（即曲线的长）是厘米． （2）解：以B为圆心，为半径跑到F点，此时跑的距离是， ∵，， ∴， 以E为圆心，为半径跑到G点，此时跑的距离是， ∵，， ∴， 以D为圆心，为半径跑到H点，此时距离是 ， ∵，， ∴， 以C为圆心，为半径跑到K点，此时距离是， ∵，， ∴， 以B为圆心，为半径跑到点L，此时距离是， ∴， ∴将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑米． 【点睛】本题考查了圆的应用和弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），等边三角形和正方形的性质，确定每一段弧所在圆的半径是解题的关键． 17．（24-25六年级下·上海闵行·期中）最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等．于是，组同学思考如下问题：（本题最终结果保留） （1）已知线段，一个半径长为的圆，沿着滚动，则扫过的面积是___________ 组内同学讨论，画出圆运动过程的图形如图所示． 请你根据以上信息，完成下列各题（本题最终结果保留） （2）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （3）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （4）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的外侧滚动，则该圆滚动过程中所扫过的面积是___________． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）扫过的面积即为一个长为，宽为圆的直径的长方形面积和一个半径长为的圆的面积； （2）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积； （3）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积； （4）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再加上扇形的面积，而扇形的面积是半径是、圆心角是． 【解析】解：（1）由图得，扫过的面积即为一个长为，宽为圆的直径的长方形面积和一个半径长为的圆的面积， 扫过的面积是． 故答案为：． （2）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积， 扫过的面积 （3）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积， 扫过的面积． （4）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再加上扇形的面积，而扇形的面积是半径是、圆心角是， 扫过的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是含圆的组合图形的面积计算、扇形的面积公式，解题关键是理清楚圆的滚动过程． 18．（24-25六年级下·上海松江·期中）定义：分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的封闭图形称为“圆弧三角形”．例如：如图1，等边的边长为a，分别以点A、B、C为圆心，a为半径画弧，则弧、弧、弧围成的图形就是“圆弧三角形”．（以下计算结果保留π） (1)等边的边长a为时，求“圆弧三角形”的周长； (2)如图2，在第（1）题的条件下，“圆弧三角形”上有一个直径为的圆O．“圆弧三角形”保持不动，圆O紧贴“圆弧三角形”的外侧滚动一周． ①求圆心O经过的路程长； ②直接写出圆O所扫过区域的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了圆的滚动问题，涉及弧长公式和扇形面积公式，难度较大，正确理解题意，找出滚动的路径和扫过的图形是解题的关键． （1）根据题意可得，再根据弧长公式即可求解； （2）①根据圆心O经过的路径长为，再由弧长公式求解即可； ②可知阴影部分的面积就是圆O所扫过的区域面积，则，再由扇形面积公式求解． 【解析】（1）解：由题意得，， ∴， 答：“圆弧三角形”的周长为； （2）解：直径为的圆O，其半径为. ①如图： 圆心O经过的路径长为 ， 答：圆心O经过的路径长为； ②如图，阴影部分的面积就是圆O所扫过的区域面积： ∴ 答：圆O所扫过区域的面积为． 19．（24-25六年级下·上海普陀·期中）我们可以用标准体重法来判断是否肥胖： 岁少年儿童的标准体重的计算方法：标准体重（千克）年龄； 肥胖程度的计算公式：． 一般的，我们可以按照肥胖程度将肥胖分为三种类型，如表所示： 肥胖程度 以上 肥胖类型 轻度肥胖 中度肥胖 重度肥胖 (1)小胖今年12岁，体重40千克，请你判断一下小胖是否肥胖？如果是，那么他属于哪一类的肥胖？ (2)为了管理体重，小胖决定每天在学校操场上沿着跑道跑步进行锻炼，跑道的长度是一个由长方形和两端的半圆组成的图形的周长（如图）．经过测试，小胖在第一个10分钟内，跑步的平均速度为120米/分钟；从第二个10分钟开始，每个10分钟内的平均速度都比上一个10分钟内的平均速度降低．小胖咨询医生后得知，如果要达到减重的目的，跑步需要同时满足以下两个条件： ①每天跑步的总路程不少于3千米； ②每天连续跑步时间不少于30分钟． 现在小胖计划每天放学后在操场上连续跑8圈，这个计划是否能满足减重的条件？请通过计算加以说明（取3.14）． (3)小胖想自己既然已经运动健身，那么吃一点自己喜欢的零食应该没啥问题．于是他买了一包100克的薯片，包装袋上显示总热量为550千卡．他上网查了一下，跑步热量消耗公式如下： 跑步消耗的热量（千卡）体重（千克）跑步距离（千米） 请你帮助小胖估算一下，按照现在40千克的体重，要完全消耗掉这包薯片的热量。他至少需要在操场上跑几圈？（结果保留整数） 【答案】(1)是肥胖，属于轻度肥胖 (2)能满足减重条件 (3)至少要跑圈 【分析】本题考查了圆的周长公式，百分数的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）先计算出标准体重，再由肥胖程度公式计算即可得解； （2）先求出跑道周长，再求出总路程，分别计算出第1个10分钟、第2个10分钟、第3个10分钟所跑的路程，结合题意判断即可； （3）先求出跑步距离，从而即可得出圈数． 【解析】（1）解：是肥胖，属于轻度肥胖， 标准体重为：（千克）， 肥胖程度为：，属于轻度肥胖； （2）解：跑道周长：（米）， 总路程为：（米）， 满足大于3千米， 第1个10分钟跑的路程：米， 第2个10分钟跑的路程：米， 第3个10分钟跑的路程：米， 米米， 故能满足减重条件； （3）解：跑步距离千米， 米， 圈， 故至少要跑圈． 20．（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，等距离的分布在半径为的圆上． (1)一只速度为的蚂蚁从出发沿着圆周顺时针爬行，若蚂蚁爬时便需要休息，则蚂蚁爬行一周回到A需要多久？ (2)两只蚂蚁同时从出发沿着圆周顺时针结伴爬行．若挡在前面爬行需要承受风雨体能最多可以支撑爬行，爬在后面体能最多可以支撑爬行，两只蚂蚁爬行过程中允许交换一次位置；两只蚂蚁能否通过合作顺利爬行一周回到A？为什么？ (3)若、、、、、每个位置各表示一个数字（简称位置数字），六只蚂蚁分别各占领了、、、、、中的一个位置并且遮住了位置数字；为了保留信息，每个蚂蚁在身上标出了一个数字，且身上的这个数字是相邻两个位置的位置数字的平均数．已知在位置的蚂蚁身上标出的数字为5；在位置的蚂蚁身上标出的数字等于在位置的蚂蚁身上标出的数字；在位置的蚂蚁身上标出的数字是在、位置的蚂蚁身上标出的数字之和；在位置的蚂蚁身上标出的数字和的位置数字相等；在位置的蚂蚁身上标出的数字和的位置数字相等： A、B、C、D、E、F的位置数字之和为23；直接写出A、B、C、D、E、F每个位置数字各是多少． 【答案】(1) (2)能，理由见详解 (3)3，1，4，1，5，9．或1，4，3，4，5，6． 【分析】本题主要考查了圆周长，平均数，解方程等知识． （1）先求出圆的周长，再求出蚂蚁爬行爬行的距离，即可得出爬行，用即可求出时间． （2）根据即可得出答案． （3）根据平均数的定义列出方程求解即可． 【解析】（1）解：圆的周长为：， 蚂蚁爬行爬行的距离为：， 若蚂蚁爬时便需要休息，则爬行， 次， 则蚂蚁爬行一周回到A需要：． （2）解：假设两只蚂蚁先让一只在前爬，然后交换位置，另一只再爬， 所以两只蚂蚁能通过合作顺利爬行一周回到A． （3）解：设A、B、C、D、E、F位置的数字分别为a、b、c、d、e、f ， 已知在A位置的蚂蚁身上标出的数字为5， 则，即， 在位置的蚂蚁身上标出的数字等于在位置的蚂蚁身上标出的数字， 所以 ， 所以， 所以， 在D位置的蚂蚁身上标出的数字是在B、C位置的蚂蚁身上标出的数字之和， 所以， 即，即， 在位置的蚂蚁身上标出的数字和的位置数字相等， 所以，即， 在位置的蚂蚁身上标出的数字和的位置数字相等， 所以，即， A、B、C、D、E、F的位置数字之和为23， ∴， 综上：， 解得：，，，，，，或，，，，， 即A、B、C、D、E、F每个位置数字各是3，1，4，1，5，9．或1，4，3，4，5，6． 21．（2025六年级下·上海·专题练习）一个装水的四柱体玻璃杯，底面直径是20厘米，杯中放入一个不规则的铁块，当铁块完全浸入水中，杯中水面上升2厘米．（结果保留） (1)求不规则铁块的体积； (2)把铁块取出，削减成一个圆柱，它的体积比原来减少了，圆柱的底面半径为2厘米，求圆柱铁块的高是多少？ (3)把（2）中的圆柱体铁块放入另一个圆柱体玻璃杯中，圆柱体铁块的一个底面与圆柱形水杯底面完全接触，仍有高的铁块露出水面．如果再把钢材垂直露出水面5厘米，则玻璃杯中水面下降2厘米，求这个圆柱体玻璃杯中水的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)立方厘米 (2)厘米 (3)立方厘米 【分析】本题考查圆柱的体积． （1）求出上升的水的体积即为铁块的体积； （2）先求圆柱的体积，再根据圆柱体积的计算公式，进行求解即可； （3）根据钢材垂直露出水面5厘米，则玻璃杯中水面下降2厘米，求出玻璃杯的底面积，再用玻璃杯的底面积减去铁块的底面积乘以高度，进行求解即可． 掌握圆柱的体积公式，是解题的关键． 【解析】（1）解：厘米，立方厘米； 不规则铁块的体积是立方厘米； （2）圆柱的体积为：， 圆柱的高为厘米； （3）因为钢材垂直露出水面5厘米，则玻璃杯中水面下降2厘米， 所以玻璃杯的底面积为， 圆柱体铁块的一个底面与圆柱形水杯底面完全接触时，水的高度为厘米； 所以玻璃杯中水的体积为：立方厘米． 22．（24-25六年级下·上海·期中）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式： ①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式 ②，得出扇形面积的另一种计算方法 ③．请解决下列问题： 问题I：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题II：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知和所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，求花坛的面积． （1）请你解答问题I； （2）在解决问题II的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） （3）乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积． （4）丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中和所在的半径的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，所在圆的半径 ；它所对的圆心角的度数为 ． 【答案】（1）；（2）正确，理由见解析；（3）；（4）， 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用． （1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果． （2）根据（1）的公式进行计算即可求解； （3）根据（2）的结论进行计算即可求解； （4）根据弧长公式得出，进而根据得出圆心角的度数，进而求得，即可求解． 【解析】解：已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法． 问题I：，圆心角为， 即， ∴， ∴； （2）他的猜想正确．理由如下： 设大扇形半径为R，小扇形半径为r,圆心角度数为n,则由得 ∴花坛的面积 ； （3）∵， ∴，， 由（2）可得，侧面展开的图形面积为； （4）∵，， ∴， 由∵，即， 解得： ∴即 故答案为：，． 题型5：圆柱与圆锥 23．（22-23六年级上·上海杨浦·期末）在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼近”的数学思想． (1)小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并量的这个长方形的长是厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？ (2)生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图），它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱体的高． 小明在学习了《圆的面积》后，也想用类似的方法研究圆柱体的体积，他将一个圆柱体等分成若干分，拼成了一个近似的长方体（如图），他发现把圆柱体等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱体的体积，故由长方体的体积推导出圆柱体的体积.如果设这个圆柱体底面的半径为，高为，体积为，那么这个长方体的长= ，宽= ，所以圆柱体的体积 ． (3)将一个底面周长是厘米的圆柱体斜着截去一段，截后的形体如图所示，求这个截后的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)平方厘米 (2)，， (3)立方厘米 【分析】（1）求出圆的半径，再根据圆的面积公式求出结果即可； （2）由（1）可知拼成的长方体的长、宽，再根据长方体体积的计算公式进行计算即可； （3）求出圆柱的底面半径，再根据截后的体积底面半径为2，高为2的圆柱体体积的一半底面半径为2，高为3的圆柱体的体积进行计算即可． 【解析】（1）解：设圆的半径为厘米，由题意得， ， 解得， 圆的面积为（平方厘米）， 答：这个圆的面积是28.26平方厘米； （2）由（1）可知，所拼成的长方体的长为圆周长的一半，即，宽为圆的半径， 由于长方体的体积为长宽高， 所以圆柱的体积为， 故答案为：，，； （3）设圆柱底面半径为厘米，则， 解得， 所以截后的体积为 （立方厘米）， 答：截后的体积为50.24立方厘米． 【点睛】本题考查认识立体图形，截一个几何体，掌握圆面积、圆周长、长方体体积、圆柱体积的计算方法是正确解答的前提． 24．（2025六年级下·上海·专题练习）一个装满水的圆锥形容器，底面积是，高是，将这些水全部倒入一个长方体水槽中，已知这个长方体水槽的长、宽、高分别是 (1)求这个长方体水槽中水的深度； (2)如果把一个底面半径是2厘米的圆柱形铁块垂直放入长方体水槽中，当它的一个底面在水中与长方体水槽的底面完全接触时，仍有的铁块露出水面，求这个圆柱形铁块的高；（取3） (3)冰雪节马上就要到了，萧红中学组织学生制作小冰灯．小明决定将（2）问长方体水槽中的圆柱形铁块移动到水槽中央，作为冰灯的支架，然后放入4个相同的彩灯，冷冻成长方体小冰灯（彩灯是由等底等高的圆柱和圆锥组合而成）．已知水结成冰后体积增加，如果彩灯的底面半径是厘米，那么能够放入的彩灯的高最大是多少厘米，才会使冻成的冰灯表面恰好不会溢出水槽？（取3） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）长方体水槽内的水的体积=装满水的圆锥内水的体积=圆锥的体积底面积×高，所以长方体水槽中水的深度=水的体积÷长方体水槽的底面积，从而求得结果； （2）圆柱形铁块的体积=长方形水槽的底面积×圆柱形铁块放入水槽后水面上升的高度，通过设出圆柱形铁块的高为，然后列出方程，从而求得结果；． （3）要使冻成的冰灯表面恰好不会溢出水槽，则圆柱形铁块在冰内的高度为，设彩灯的高最大是，根据水的体积圆柱形铁块在长方形冰灯内的体积个彩灯的体积=长方体水槽的体积，列出方程，解得彩灯的最大高度． 【解析】（1）长方体水槽内的水的体积， 长方体水槽中水的深度． ∴这个长方体水槽中水的深度是． （2）设圆柱形铁块的高为h cm，则圆柱形铁块在水下的高度为，水面上升的高度， ， ， ， 解得. ∴这个圆柱形铁块的高是． （3）设彩灯的高最大是x厘米，才会使冻成的冰灯表面恰好不会溢出水槽， 则1个彩灯的体积， 圆柱形铁块在长方体冰灯内的体积， ， 解得， ∴彩灯的高最大是． 【点睛】本题考查了圆柱与圆锥的有关计算，以及简单方程的应用，根据已知数量和所求数量找到等量关系，建立方程模型是解题的关键． 25．（2025六年级下·上海·专题练习）某地要修建一个如图1所示足球场，足球场的中间是一个长为宽为的长方形、两边为两个半圆形，建设过程中足球场场地要铺上一层厚的石灰土做垫层，如图2，石灰土堆放近似于一个圆锥，底面圆的直径为，高为．（π取3） (1)通过计算说明这堆石灰土是否够用？ (2)压路机的前轮直径是2米，轮宽是米，前轮每分钟转动2周，若4台压路机同时工作，将的长方形区域压完一次至少需要多少时间？（压路机掉头时间忽略不计，压路时无缝隙、无重叠） (3)计划由甲、乙两个工程队来共同铺设石灰土垫层，已知甲、乙两个工程队每天所铺设的面积之比为，实际铺设时，甲、乙两个工程队一起铺了7天后，乙工程队因故离开，由甲工程队又单独铺了2天，恰好将这足球场的石灰土垫层全部铺完，求甲、乙两个工程队每天各铺多少平方米？ 【答案】(1)这堆石灰土够用 (2)压完一次至少需要50分钟 (3)甲、乙两个工程队每天各铺500平方米、600平方米 【分析】本题考查了圆锥的体积、圆的面积、一元一次方程的应用、圆柱的侧面积： （1）先求出足球场需要石灰的体积，再利用圆锥的体积公式计算出石灰的体积，再进行比较即可求解； （2）利用圆柱的表面积公式求出4台压路机每分钟压过的面积，再利用总面积除以4台机器每分钟压过的面积即可求解； （3）设甲每天铺平方米，则乙每天铺平方米，先计算出足球场的面积，再根据甲乙工程队的总工程量等于足球场的面积为等量关系列出方程即可求解； 理清题意，熟练掌握相关面积公式及找准等量关系列出方程是解题的关键． 【解析】（1）解：足球场需要石灰： （）， 石灰有： （）， ， 答：这堆石灰土够用． （2）4台压路机每分钟压过的面积为： （）， （分钟）， 答：压完一次至少需要50分钟． （3）设甲每天铺平方米，则乙每天铺平方米， 足球场的面积为： （平方米）， ， 解得：， 甲每天铺：（平方米）， 乙每天铺：（平方米）， 答：甲、乙两个工程队每天各铺500平方米、600平方米． 题型6：新定义题——二元一次方程组 26．（2025六年级下·上海·专题练习）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)或 (3)具有“友好关系”，或 【分析】（1）求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； （2）求出方程组的解，根据“友好关系”的定义列出方程解答即可求解； （3）由方程组可得，再根据都是正整数求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，方程组的解，理解定义是解题的关键． 【解析】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①②得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为， ， 方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②①得，， ∴ 方程组的解与具有“友好关系”， ， 解得或， 的值为或； （3）解：， ①得，， 解得， 由②得， ∴ ∵方程组的解具有“友好关系”； ∴ ∴ ∴其中与都是正整数， ∴或 ∴或时，此时方程组的解具有“友好关系”． 27．（2025六年级下·上海·专题练习）数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【解析】（1）设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：； （2）设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． 题型7：二元一次方程组的综合应用 28．（20-21七年级上·上海·期中）在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15． （1）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得______．（用含的代数式表示）； （2）图3是显示部分代数式的“等和格”，可得______．______． 【答案】（1）；（2）a=-2，b=-1 【分析】（1）根据“等和格”的定义可得：，依此即可求解； （2）由题意得，解方程可得，再由（1）得可求． 【解析】解：（1）由题意得：， 则， 故． （2）由题意得：， 解得， 由（1）得， 则． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是充分利用“每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等”，得出等式求解． 29．（2025六年级下·上海·专题练习）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每月每户用水量（吨） 单价（元/吨） 单价（元/吨） 17 吨及以下部分 2.8 b 超过 17 吨且不超过 30 吨的部分 a b 超过 30 吨的部分 6.6 b （说明：①每户的生活污水量等于该户的用水量；②水费＝自来水费＋污水处理费）已知小明家去年 4月份用水 20 吨，交水费 86 元；5 月份用水 27 吨，交水费 128 元． (1)求 a、b 的值； (2)随着夏天的到来，用水量将大幅度增加，小明家 6 月分水费为 185 元，则小明家 6 月份用水多少 吨？ 【答案】(1)a 的值为 4.8，b 的值为 1.2 (2)小明家 6 月份用水 35 吨 【分析】（1）根据题意列出关于a、b的二元一次方程组求解即可； （2）设小明家 6 月份用水x吨，由题意列出一元一次方程即可求解． 【解析】（1）解：由题意得：， 解方程组得：， 答：a 的值为 4.8，b 的值为 1.2； （2）解：当用水30吨时，水费为（元），表明小明家的用水量超过了30吨 设小明家 6 月份用水x吨，由题意得：， 解得：， 答：小明家 6 月份用水 35 吨． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次方程解决分段计费的问题，根据题意找到等量关系，并正确列出方程组与方程是解题的关键． 30．（2025六年级下·上海·专题练习）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 【答案】（1）2760；（2），；（3）434元，建议：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．理解电费由高峰用电费用和低谷用电费用组成是解决本题的关键．掌握最多用电量和最贵电费的求法是解决本题的易错点． （1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，根据第一档共产生电费1354.88元列出方程求解可得高峰用电量，加上低谷用电量即为的值； （2）根据高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元和高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．列出方程组求解即可得到和的值； （3）最多用电量第一档的总花费第一档的低谷电价，那么最多需要的电费高峰电价，所以需要节约用电，尽量控制高峰用电． 【解析】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时． ． ． ． ． ； （2）由题意得：． 解得：． 答：，； （3）（千瓦时）． （元． 答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．建议是：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训06 期末解答压轴题（七大题型，上海最新精选+其他补充） 目录： 题型1：比与比例的实际应用题 题型2：比与比例在圆与扇形的应用 题型3：圆与扇形 题型4：圆与扇形动态问题 题型5：圆柱与圆锥 题型6：新定义题——二元一次方程组 题型7：二元一次方程组的综合应用 题型1：比与比例的实际应用题 1．（24-25六年级下·上海·名校阶段练习）昨天六年级进行了纪念“一二·九”红歌合唱活动，最后一个合唱组合由三个班级组成．其中A班有49人，比两班人数和的少1人． (1)B班和C班共有多少人？ (2)其中两班女同学的人数比是，这两个班级男同学人数和比这两个班级女同学人数和多，A班男同学比B班女同学多1人，A班男同学有多少人？ (3)在（2）的条件下，音乐老师排好第一排队形后发现，如果让第一排再加入两个男同学，那么第一排的女同学的人数就比男同学少；如果加入一名女同学，那么第一排男、女同学人数就相等，合唱队伍共六排，第二至第五排每排男、女同学人数都和第一排一样，其余同学站在第六排，求此时第六排女同学比男同学少几分之几？ 2．（24-25六年级下·上海·期中）上海特产“蝴蝶酥”、“梨膏糖”是游客必选的美食产品，为适应市场不同消费需求，某食品公司计划对两种产品进行精包装和简包装的方案．计划精包装梨膏糖9000箱，精包装蝴蝶酥的数量比精包装梨膏糖的数量少，其余产品进行简包装． (1)求计划精包装蝴蝶酥多少箱？ (2)计划简包装的产品数量与这批产品总数之比为，求这批产品共有多少箱？ (3)在（2）的条件下，经过市场调研发现精包装的蝴蝶酥产品比精包装的梨膏糖产品畅销，故公司决定调整包装方案．在保证精包装产品总数量不变的情况下，减少梨膏糖产品精包装的数量，增加蝴蝶酥产品精包装的数量，结果精包装梨膏糖产品数量与简包装梨膏糖产品数量的比为，新增加精包装蝴蝶酥产品数量占这批产品总数量的．那么简包装梨膏糖有多少箱？ 3．（24-25六年级下·上海宝山·期中）王明开着小轿车去“中石化”加油站加“92#”汽油（当天油价“92#”是元/升，“95#”是元/升，“98#”是元/升，“0#”柴油是元/升）。“中石化”加油站规定若用卡加油，“92#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，“95#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，正好该加油站当天也在搞促销活动，一张面值300元加油卡打九折出售，且两项活动可一起享受，他盘算了下，决定这次买一张面值300元加油卡加油． (1)他实际花了多少钱购买了这张加油卡？ (2)假设这次加油他把这张卡内钱一次性全部用完，求： ①用卡加油比不用卡加油在加油量相等的条件下一共便宜了多少钱？ ②用卡加油的实际单价比不用卡加油的单价便宜了百分之几?（精确到） 题型2：比与比例在圆与扇形的应用 4．（24-25六年级下·上海虹口·期中）小明用边长为3厘米的木条做了个正三角形框架，之后又用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚了一圈． (1)求这个圆扫过的面积是多少？（结果保留） (2)小明又用木条做了长方形框架，长方形的长，宽，点、分别在边上的点，且，半径为的圆在长方形外侧从点经过点无滑动滚动到点，求圆扫过的面积是多少？（结果保留π） 5．（24-25六年级下·上海嘉定·期中）中学原计划在一个直径为20米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛： 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； 方案C：如图3所示，先画一条直径，然后在直径上任意取四点，把直径分成5条线段，再分别以这5条线段为直径修5个圆形花坛．（本题取3） (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是_________； (2)如果按照方案B修，与方案A比，省材料吗？为什么？ (3)如果按照方案C修，学校要求在8小时内完成，工人甲承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请工人乙来帮忙，工人乙的工作效率是甲的，且在乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务．若修1米花坛可得到100元钱，则修完花坛后，工人甲和乙分别可以得到多少报酬？ 6．（24-25六年级下·上海·期中）综合实践题：变速自行车中的数学奥秘 请阅读材料，并完成下列问题： 材料一：如今，骑自行车作为一种广受欢迎的健身方式变得越来越流行．你知道吗，自行车一般通过链条带动，链条连接前后齿轮．前齿轮与脚踏相连，骑行者踩动脚踏一圈，前齿轮随其一并转动一圈；后齿轮与后轮相连，后齿轮转动一周，后轮也将转动一周，并通过后轮转动带动自行车前进．变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上往往具有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合改变骑行效果． 材料二：“传动比”指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 已知小明的自行车前齿轮齿数为、，后齿轮齿数为、、、、，后轮直径厘米． (1)①计算传送比：前齿轮齿后齿轮齿_____． ②若要使传动比为，请找出所有可能的齿轮组合，并用比例式验证． (2)①小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为，后齿轮齿数为；并计算此时踏脚蹬一圈，后轮转动圈． ②小明以每分钟圈的速度蹬踏脚，使用不同的齿轮组合时，自行车每小时行驶的最大距离和最小距离分别是多少千米？（结果保留） (3)若想保持时速千米，使用传动比时，小明需每分钟蹬多少圈？ 题型3：圆与扇形 7．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）我们已经学习了扇形的面积，试回忆扇形面积公式的推导过程，并解决下列问题． (1)已知扇形的半径为，圆心角为，那么该扇形的面积是_______． (2)你认为上述扇形面积公式的推导过程，与下列哪个公式的推导使用的方法基本相同(    ) A．圆的面积公式     B．圆的周长公式   C．平行四边形的面积公式        D．弧长公式 (3)在上述扇形面积的推导过程中，下列哪些知识起着重要的作用(有几个选几个)(    ) A．圆的面积公式        B．圆的周长公式    C．弧长公式        D．分数的意义        E．角的有关概念 (4)已知扇形的弧长为，半径为，试用和表示该扇形的面积，并写出简要的推导过程． (5)如图，一把展开的扇子的扇面的外弧的长是厘米，内弧的长为厘米，扇面宽的长是厘米，求扇面的面积． 8．（24-25六年级下·上海青浦·期中）你还记得圆的面积公式推导过程吗？我们把圆等分成若干份，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积也就越接近于圆的面积，故就由长方形的面积公式推导出圆的面积公式． (1)如图，近似长方形的一边的长度相当于圆的_______________；另一边的长度相当于圆的_______________； (2)当时，则这个圆的周长为_____________，面积为_______________．（结果保留） (3)若将一个圆等分成12份，其中一个扇形的周长是，求这个圆的面积是多少平方厘米？（结果保留） 9．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为的正方形． ①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为、、． (1)请你直接写出____．（结果保留） (2)请你直接将和的数量关系填在横线上：_______．（由题（2）中面积的数量关系，可直接求得______．（结果保留．） 10．（24-25六年级下·上海·期中）小明用长度为的铁丝分别围成了正三角形、正方形和正五边形，之后又分别用半径为的圆沿着这些图形的外围滚了一圈．圆扫过的图形都是由扇形和长方形组成，观察图形，并完成下列问题（结果保留） (1)如图1，半径为的圆沿着正三角形的外围滚了一圈．阴影部分的面积为________，的面积为_________； (2)如图2，半径为的圆沿着正方形的外围滚了一圈．阴影部分的面积为________，的面积为_________； (3)如图3，半径为的圆沿着正五边形的外围滚了一圈．阴影部分的面积为_________，的面积为_________； (4)根据上述规律，尝试探索并归纳：半径为的圆沿着正边形的外围滚了一圈．圆扫过的图形的面积为________． 题型4：圆与扇形动态问题 11．（24-25六年级下·上海·名校阶段练习）如图所示，扇形从图①无滑动绕着点A旋转到图②（）的位置，再由图②紧贴直线运动到图③，已知，． (1)求由图①到图②点O所运动的路径长；（结果保留） (2)点O所走过的路径与直线l围成的面积是多少？（结果保留π） 12．（24-25六年级下·上海·期中）如图，长方形的长厘米，宽厘米． (1)如图1，一个半径为1厘米的圆，沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积； (2)如图2，、分别为、上的点，且，，一个半径为1厘米的圆，沿着长方形的外侧从点经过点滚动到点，求圆滚过的面积． 13．（24-25六年级下·上海普陀·阶段练习）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮．如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米．    (1)如果拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了______圈；（取3.14） (2)如果拖拉机模型的一个前轮和一个后轮一共滚动了700圈，那么这辆拖拉机模型向前行驶了多少米？（取3.14） (3)拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留） 14．（24-25六年级下·上海·期中）圆的滚动问题探索（本大题结果保留）： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆沿直线无滑动滚动一周，圆心经过的距离为____cm 如图2，将圆固定，让圆绕着圆外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆、圆的半径都为1厘米，则圆心经过的距离为_______cm． (2)如图3，已知等边三角形的边长为，将半径为的圆从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，圆滚过的区域面积为______cm²． (3)如图4，长方形的长，宽，点、分别在边、上的点，且，半径为的圆．在长方形外侧从点经过点、无滑动滚动到点，圆滚过的区域面积为_______． (4)如果小明用根长度的木条做一个正边形（条边相等，个内角相等的图形）的框架，再用半径为的圆沿着这个架子的外围滚一圈，圆扫过的图形都是由扇形和长方形组成．现标记这个正边形的内角大小为，请用含的代数式表示：______，圆滚过的区域面积是_____． 15．（24-25六年级下·上海黄浦·期中）小明有一辆前后车轮直径都是厘米的自行车，如图，图是图中自行车齿轮的局部放大图，这辆自行车的前齿轮的齿数为（齿数是齿轮的尖齿数量），后齿轮的齿数为．（结果保留）    小明发现可以利用自行车的行进原理估算自己的行进路程．自行车的行进原理和小明的估算方法如下：小明每踩一圈脚蹬，与脚蹬相连的前齿轮就转动一圈，而前齿轮的转动会通过链条带动后齿轮的转动（前齿轮转动的齿数等于后齿轮转动的齿数），那么后齿轮相应的转动圈，也就是后车轮的转动圈数．通过计算可以得到每踩一圈脚蹬，后车轮就前进米，这样只要数清楚自己踩了几圈脚蹬就能知道行进的路程了．如果小明踩动5圈脚蹬，那么后车轮前进了______米． (1)补全上面空格中的内容； (2)如图3，小明学校有一个四跑道的操场，每条跑道的宽度都相等，跑道从内向外编号分别为到．已知操场的左右两侧分别是以和为直径的半圆，中间部分是长方形．记号跑道和号跑道的面积之和为，号和号条跑道的面积总和为，小明认为和有一定的数量关系，但他手边没有其它测量工具，因此他打算用上述用自行车估算行进路程的方法进行测量和探究． ①小明首先沿着号跑道最外侧边线骑行一圈（忽路行进和转弯时产生的误差），发现自己正好踩了圈脚蹬，随后小明从点处沿直线骑行到点处，发现需要踩圈脚蹬．请帮助小明计算出直径的长度； ②小明又沿着号跑道最内侧边线骑行一圈，发现自己正好踩了圈脚蹬．请帮助小明计算与的比值． 16．（21-22六年级上·上海杨浦·期末）（1）如图1，是等边三角形，曲线……叫做“等边三角形的渐开线”，曲线的各部分均为圆弧．设的边长为3厘米，求前5段弧长的和（即曲线的长）是多少厘米？ （2）如图2，有一只狗被拴在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长为400厘米的正方形，拴狗的绳子长18米．现狗从点A出发，将绳子拉紧按顺时针方向跑，可跑多少米？ 17．（24-25六年级下·上海闵行·期中）最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等．于是，组同学思考如下问题：（本题最终结果保留） （1）已知线段，一个半径长为的圆，沿着滚动，则扫过的面积是___________ 组内同学讨论，画出圆运动过程的图形如图所示． 请你根据以上信息，完成下列各题（本题最终结果保留） （2）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （3）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （4）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的外侧滚动，则该圆滚动过程中所扫过的面积是___________． 18．（24-25六年级下·上海松江·期中）定义：分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的封闭图形称为“圆弧三角形”．例如：如图1，等边的边长为a，分别以点A、B、C为圆心，a为半径画弧，则弧、弧、弧围成的图形就是“圆弧三角形”．（以下计算结果保留π） (1)等边的边长a为时，求“圆弧三角形”的周长； (2)如图2，在第（1）题的条件下，“圆弧三角形”上有一个直径为的圆O．“圆弧三角形”保持不动，圆O紧贴“圆弧三角形”的外侧滚动一周． ①求圆心O经过的路程长； ②直接写出圆O所扫过区域的面积． 19．（24-25六年级下·上海普陀·期中）我们可以用标准体重法来判断是否肥胖： 岁少年儿童的标准体重的计算方法：标准体重（千克）年龄； 肥胖程度的计算公式：． 一般的，我们可以按照肥胖程度将肥胖分为三种类型，如表所示： 肥胖程度 以上 肥胖类型 轻度肥胖 中度肥胖 重度肥胖 (1)小胖今年12岁，体重40千克，请你判断一下小胖是否肥胖？如果是，那么他属于哪一类的肥胖？ (2)为了管理体重，小胖决定每天在学校操场上沿着跑道跑步进行锻炼，跑道的长度是一个由长方形和两端的半圆组成的图形的周长（如图）．经过测试，小胖在第一个10分钟内，跑步的平均速度为120米/分钟；从第二个10分钟开始，每个10分钟内的平均速度都比上一个10分钟内的平均速度降低．小胖咨询医生后得知，如果要达到减重的目的，跑步需要同时满足以下两个条件： ①每天跑步的总路程不少于3千米； ②每天连续跑步时间不少于30分钟． 现在小胖计划每天放学后在操场上连续跑8圈，这个计划是否能满足减重的条件？请通过计算加以说明（取3.14）． (3)小胖想自己既然已经运动健身，那么吃一点自己喜欢的零食应该没啥问题．于是他买了一包100克的薯片，包装袋上显示总热量为550千卡．他上网查了一下，跑步热量消耗公式如下： 跑步消耗的热量（千卡）体重（千克）跑步距离（千米） 请你帮助小胖估算一下，按照现在40千克的体重，要完全消耗掉这包薯片的热量。他至少需要在操场上跑几圈？（结果保留整数） 20．（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，等距离的分布在半径为的圆上． (1)一只速度为的蚂蚁从出发沿着圆周顺时针爬行，若蚂蚁爬时便需要休息，则蚂蚁爬行一周回到A需要多久？ (2)两只蚂蚁同时从出发沿着圆周顺时针结伴爬行．若挡在前面爬行需要承受风雨体能最多可以支撑爬行，爬在后面体能最多可以支撑爬行，两只蚂蚁爬行过程中允许交换一次位置；两只蚂蚁能否通过合作顺利爬行一周回到A？为什么？ (3)若、、、、、每个位置各表示一个数字（简称位置数字），六只蚂蚁分别各占领了、、、、、中的一个位置并且遮住了位置数字；为了保留信息，每个蚂蚁在身上标出了一个数字，且身上的这个数字是相邻两个位置的位置数字的平均数．已知在位置的蚂蚁身上标出的数字为5；在位置的蚂蚁身上标出的数字等于在位置的蚂蚁身上标出的数字；在位置的蚂蚁身上标出的数字是在、位置的蚂蚁身上标出的数字之和；在位置的蚂蚁身上标出的数字和的位置数字相等；在位置的蚂蚁身上标出的数字和的位置数字相等： A、B、C、D、E、F的位置数字之和为23；直接写出A、B、C、D、E、F每个位置数字各是多少． 21．（2025六年级下·上海·专题练习）一个装水的四柱体玻璃杯，底面直径是20厘米，杯中放入一个不规则的铁块，当铁块完全浸入水中，杯中水面上升2厘米．（结果保留） (1)求不规则铁块的体积； (2)把铁块取出，削减成一个圆柱，它的体积比原来减少了，圆柱的底面半径为2厘米，求圆柱铁块的高是多少？ (3)把（2）中的圆柱体铁块放入另一个圆柱体玻璃杯中，圆柱体铁块的一个底面与圆柱形水杯底面完全接触，仍有高的铁块露出水面．如果再把钢材垂直露出水面5厘米，则玻璃杯中水面下降2厘米，求这个圆柱体玻璃杯中水的体积是多少立方厘米？ 22．（24-25六年级下·上海·期中）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式： ①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式 ②，得出扇形面积的另一种计算方法 ③．请解决下列问题： 问题I：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题II：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知和所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，求花坛的面积． （1）请你解答问题I； （2）在解决问题II的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） （3）乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积． （4）丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中和所在的半径的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，所在圆的半径 ；它所对的圆心角的度数为 ． 题型5：圆柱与圆锥 23．（22-23六年级上·上海杨浦·期末）在研究圆的面积时，将圆等分成若干个扇形再拼起来，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积就越接近于圆的面积，其中这个长方形的长是圆周长的一半，宽等于圆的半径，故由长方形的面积推导出圆的面积，这个过程体现了“无限逼近”的数学思想． (1)小明在数学活动中，把一个圆等分成若干个扇形，然后拼成了一个近似的长方形，并量的这个长方形的长是厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？ (2)生活中的易拉罐、圆形笔筒等都是一种叫做圆柱体的立体图形（如图），它的上底面、下底面是两个大小相等的圆，侧面展开后是一个长方形，上、下底面之间的距离叫做圆柱体的高． 小明在学习了《圆的面积》后，也想用类似的方法研究圆柱体的体积，他将一个圆柱体等分成若干分，拼成了一个近似的长方体（如图），他发现把圆柱体等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方体，这个长方体的体积就越接近于圆柱体的体积，故由长方体的体积推导出圆柱体的体积.如果设这个圆柱体底面的半径为，高为，体积为，那么这个长方体的长= ，宽= ，所以圆柱体的体积 ． (3)将一个底面周长是厘米的圆柱体斜着截去一段，截后的形体如图所示，求这个截后的体积是多少立方厘米？ 24．（2025六年级下·上海·专题练习）一个装满水的圆锥形容器，底面积是，高是，将这些水全部倒入一个长方体水槽中，已知这个长方体水槽的长、宽、高分别是 (1)求这个长方体水槽中水的深度； (2)如果把一个底面半径是2厘米的圆柱形铁块垂直放入长方体水槽中，当它的一个底面在水中与长方体水槽的底面完全接触时，仍有的铁块露出水面，求这个圆柱形铁块的高；（取3） (3)冰雪节马上就要到了，萧红中学组织学生制作小冰灯．小明决定将（2）问长方体水槽中的圆柱形铁块移动到水槽中央，作为冰灯的支架，然后放入4个相同的彩灯，冷冻成长方体小冰灯（彩灯是由等底等高的圆柱和圆锥组合而成）．已知水结成冰后体积增加，如果彩灯的底面半径是厘米，那么能够放入的彩灯的高最大是多少厘米，才会使冻成的冰灯表面恰好不会溢出水槽？（取3） 25．（2025六年级下·上海·专题练习）某地要修建一个如图1所示足球场，足球场的中间是一个长为宽为的长方形、两边为两个半圆形，建设过程中足球场场地要铺上一层厚的石灰土做垫层，如图2，石灰土堆放近似于一个圆锥，底面圆的直径为，高为．（π取3） (1)通过计算说明这堆石灰土是否够用？ (2)压路机的前轮直径是2米，轮宽是米，前轮每分钟转动2周，若4台压路机同时工作，将的长方形区域压完一次至少需要多少时间？（压路机掉头时间忽略不计，压路时无缝隙、无重叠） (3)计划由甲、乙两个工程队来共同铺设石灰土垫层，已知甲、乙两个工程队每天所铺设的面积之比为，实际铺设时，甲、乙两个工程队一起铺了7天后，乙工程队因故离开，由甲工程队又单独铺了2天，恰好将这足球场的石灰土垫层全部铺完，求甲、乙两个工程队每天各铺多少平方米？ 题型6：新定义题——二元一次方程组 26．（2025六年级下·上海·专题练习）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与 （填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与都是正整数，该方程组的解与是否具有“友好关系”？如果具有，请求出、的值；如果不具有，请说明理由． 27．（2025六年级下·上海·专题练习）数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组． (3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为， 求关于x，y的方程组的解． 题型7：二元一次方程组的综合应用 28．（20-21七年级上·上海·期中）在的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”．如图1的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15． （1）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得______．（用含的代数式表示）； （2）图3是显示部分代数式的“等和格”，可得______．______． 29．（2025六年级下·上海·专题练习）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每月每户用水量（吨） 单价（元/吨） 单价（元/吨） 17 吨及以下部分 2.8 b 超过 17 吨且不超过 30 吨的部分 a b 超过 30 吨的部分 6.6 b （说明：①每户的生活污水量等于该户的用水量；②水费＝自来水费＋污水处理费）已知小明家去年 4月份用水 20 吨，交水费 86 元；5 月份用水 27 吨，交水费 128 元． (1)求 a、b 的值； (2)随着夏天的到来，用水量将大幅度增加，小明家 6 月分水费为 185 元，则小明家 6 月份用水多少 吨？ 30．（2025六年级下·上海·专题练习）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$