精品解析：江苏省南京航空航天大学苏州附属中学2025届高三下学期二模适应性练习数学试题

南航苏州附中2024-2025学年第二学期高三年级二模适应性练习 数 学 命题人：史玉花 审核人：梁欢欢 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再求出子集个数即可. 【详解】由题意，得,故集合A子集个数为个. 故选：D. 2. 给出下列说法，其中正确的是（　　） A. 某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为 B. 已知数据的平均数为2，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别为5，13 C. 在回归直线方程中，相对于样本点的残差为 D. 样本相关系数 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的概念可判断A的真假；根据两组相关数据的平均数和方差的计算方法判断B的真假；计算残差判断C的真假；根据相关系数的取值范围判断D. 【详解】对A：将3，3，8，4，2，7，10，18由小到大排列为2，3，3，4，7，8，10，18，第50百分位数即为中位数，这组数的中位数为，所以A错误； 对B：由数据的平均数为2，方差为3，则数据，，的平均数为，方差为，所以B错误； 对C：残差，故C正确； 对D：样本的相关系数应满足，所以D错误． 故选：C 3. 若数列为等比数列，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据等比中项的应用，结合充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意知，数列为等比数列， 当时，得，故充分性成立； 当时，，解得，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 4. 在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由，，得到，结合平面向量的基本定理，化简得到，即可求解. 【详解】由题意，设，则在平行四边形ABCD中， 因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且， 所以， 又因为，且， 所以， 所以，解得，所以。 故选：B. 【点睛】平面向量的基本定理的实质及应用思路： 1、应用平面向量的基本定理表示向量的实质时利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算； 2、用平面向量的基本定理解决实际问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式、二倍角的余弦公式进行求解即可. 【详解】由， 由， ． 故选：C 6. 甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相应事件，根据独立事件概率求法求，，进而求条件概率. 【详解】设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B， 则，， 所以. 故选：C. 7. 设，函数，则下面正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 若，则当时， C. 若有3个零点，则的取值范围是 D. 若存在，满足，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分类求解含参函数的单调性，判断选项A，结合选项A中单调性即可直接判断选项BC，根据等量关系直接求解，即可判断选项D. 【详解】对于A选项，因为， 所以， 所以当时，，单调递增，无极值点； 当时，由得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 此时有两个极值点， 所以不一定有两个极值点，故A选项错误； 对于B选项，当，时， 由上述知，在上单调递减，在上单调递增， 则，故B选项错误； 对于C选项，当时，单调递增，至多只有一个零点，不合题意； 当时，若有个零点， 则由单调性可知必然有，解得. 而当时，，， 在区间，，中分别各有一个零点，故C选项正确； 对于D选项，， 等价于或，，故D选项错误. 故选：C. 8. 已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由与为单位向量及分析可知的夹角为.令，则，点是以原点为圆心，为半径的圆上的动点，且.结合图形即可求解. 【详解】因为与为单位向量， ， ∴. 又，，即的夹角为. ∴点是以原点为圆心的单位圆上的动点，且. 令，则， 易知点是以原点为圆心，为半径的圆上的动点， ∴. 如图1，设直线，过点作直线于点，作直线于点. 则. 又， 可知如图2，当点在点处，点在线段上时，取得最小值 此时，最小值为. ∴. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）． A. 函数的最小正周期为 B. 为函数图像的一条对称轴 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上有3个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】利用两角和的余弦展开式，正余弦二倍角公式以及辅助角公式化简函数，然后根据函数的性质及图像逐项分析. 【详解】由题意得： ， 所以，。 ∴的最小正周期，故A错误； ，故B正确； ∵，∴， ∴函数在上单调递减，故C正确； 令， 即， 因为，所以 令，则，所以选项D的问题转化为 与的交点个数问题， 如图所示： 观察可知，有2个零点，故D错误． 故选：BC． 10. 下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（ ） A. B. 设，则的个位数字是6 C. 已知，则等式对任意正整数，都成立 D. 等式对任意正整数都成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：根据运算求解；对B：可得，结合排列数分析运算；对C：根据组合数分析运算；对D：构建，利用的系数结合二项展开式的通项公式分析运算. 【详解】对A：，A正确； 对B：∵， 则， 故， ∵其个位数字是0， 故的个位数字是9，B错误； 对C：若，则，C正确； 对D：∵的展开式为， ∴， 故展开式的的系数为， 又∵，则， 同理可得：的展开式为， 即展开式的的系数为， 由于，故，D正确； 故选：ACD. 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程； 对于B，联立抛物线方程，求出点的坐标，即得； 对于C，将直点线与抛物线方程联立求出的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值； 对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断. 【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为， 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A正确； 对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得， 由图象对称性，可得，故，即B正确； 对于C， 如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点， 由解得，由解得，， 即得， 则弦长为：， 由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0， 即在第一象限部分满足，不妨设，则，且， 代入得，，（） 由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点坐标为，因，则点到直线的距离为， 于是，由图知，半个花瓣的面积必大于， 故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知展开式的第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则展开式中项的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数之和可得，结合展开式的通项运算求解即可. 【详解】由题意可知得，所以， 则的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中项的系数为. 故答案为：. 13. 双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，连接交左支于点Q.若，且，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用双曲线定义求出，然后把利用面积比求出最后代入余弦定理来求离心率. 【详解】如图所示，由双曲线的定义可知：，结合， 所以，又有， 故由可得， 所以，则， 则为等边三角形，， 由余弦定理可得： ， 解得. 故答案为： 14. 已知正四棱锥的一个侧面的周长为10，则该四棱锥体积的最大值为__________，此时其外接球表面积为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意作图，由题意得到关于底面边长和侧棱长以及高的等量关系，代入四棱锥体积公式，得到关于的函数，利用导函数研究其单调性，从而求得最大值.再利用此时各边长求出外接球的半径，计算球的表面积即可. 【详解】 如图，设正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，高为， 因为正四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心，侧棱长相等，侧面为等腰三角形，所以，所以，得，又，所以正四棱锥的体积. 设，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，所以. 此时，， 设该正四棱锥外接球的半径为，则，解得， 故其外接球表面积. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，对应边为，，，满足． （1）已知，若在上，且，求的最大值； （2）延长至点，使得．若，求的大小． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知可得，根据面积公式可得，由余弦定理结合不等式即可求解； （2）由已知可得，过作，交于点，可证，根据比例关系可得，结合正弦定理即可求解. 【小问1详解】 在中，， 由，得， 整理得，而， 所以，可得， 结合，可知，所以的面积， 因为是边上的高，所以，可得， 由余弦定理得，即， 根据，可得，即， 解得，即，当且仅当时，等号成立， 所以， 当时，取得最大值； 【小问2详解】 由，可得， 过作，交于点，则，可得， 在与中，，， 所以，可得，即， 所以， 结合正弦定理得，可得， 结合，可得或， 所以或. 16. 在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，． （1）求的通项公式； （2）求的前项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求为奇数时的通项公式，再代入条件求为偶数时的通项公式，并分段表示出. （2）根据（1）的结论，利用并项求和法及等比数列前项和公式求解即得. 【小问1详解】 依题意，， 当为偶数时，，则数列的奇数项是首项为2，公比为2的等比数列， 于是，即当为奇数时，，当为偶数时，， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， . 17. 已知点和直线：，点到的距离，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点作斜率不为0的直线与曲线交于，不同的两点，再过点作直线的平行线与曲线交于不同的两点，. ①证明：为定值； ②求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） ①设直线的方程为，则直线的方程为. 联立，得， 可得. 设，则. 联立，得，， 设，则. 因为，所以， 故为定值. ② 【解析】 【分析】（1）设出动点坐标，列出方程，化简可得答案； （2）①设出直线方程，联立，结合弦长公式可得定值；②写出面积表达式，换元，结合函数的单调性可求范围. 【小问1详解】 设，由题意， ，整理可得. 【小问2详解】 ①略 ②因为的面积, , . 设，则. 由对勾函数的性质可得，所以. 18. 在正三棱台中，，，分别是，的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若一只电子猫从点出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为，求. 【答案】（1） 证明：延长，，交于点，过点作平面，垂足为，连结. 在正三棱台中，，是正三角形， 因为，分别是，的中点， 所以，且， 又，且， 所以，且，四边形是平行四边形. 因为几何体是正三棱台， 所以三棱锥是正三棱锥，是底面正的中心，所以. 又平面，平面，所以. 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以，所以. 在正三棱台中，，是的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，. 所以. 所以四边形是矩形. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长，，交于点，过点作平面，垂足为，接着依次证明四边形是平行四边形和即可得证； （2）法一：根据线面角定义作出直线与平面所成角的平面角，求得正弦值即可； 法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法直接计算即可； （3）记电子猫在次运动后“在下底面”为事件，由全概率公式可得，再由等比数列定义证明数列是首项为，公比为的等比数列，可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：延长交于点，连结，过点作，垂足为，连结. 由（1）可知，平面，即平面， 因为平面，所以， 又，，，平面， 所以平面. 所以为直线与平面所成角. 在正三棱台中，，，不妨设， 则，，. 在等腰中，. 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 法二： 过作. 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 在正三棱台中，，，不妨设， 则，，，. 设上底面的中心为，在直角梯形中，， ，，所以. 故，又， 所以,. 设为平面的法向量， 即，取，得，， 所以是平面的一个法向量. 又， 所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 记电子猫在次运动后“在下底面”为事件，“在上底面”为事件. 显然，当，时，，. 由全概率公式，当，时， 可得， 即，整理得. 所以当，时，， 又，，， 所以当，时，为定值， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故， 可得. 19. 已知函数，，． （1）当时，求函数零点的个数； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）求函数的极值． 【答案】（1）有唯一的零点 （2） （3） 函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 因此函数有极大值，没有极小值； 当，即时，由，得；由，得或， 因此函数有极小值，极大值； 当，即时，，因此函数没有极值； 当，即时，由，得；由，得或， 因此函数有极小值，极大值 所以当时，函数有极大值，没有极小值； 当时，函数有极小值，极大值； 当时，函数没有极值； 当时，函数有极小值，极大值. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可得解. （2）利用分离参数法，构造新的函数，利用导数求出函数的最值，即可得解. （3）求导，再分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，再结合极值的定义即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为，，求导得， 函数在上单调递减， 而， 由零点存在定理，在区间内存在唯一零点， 所以函数在上有唯一的零点. 【小问2详解】 不等式，令函数， 依题意，恒成立，求导得， 当时，，函数在上单调递减，而， 则当时，，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 当且仅当，即时，恒成立， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而，则，因此， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南航苏州附中2024-2025学年第二学期高三年级二模适应性练习 数 学 命题人：史玉花 审核人：梁欢欢 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 给出下列说法，其中正确的是（　　） A. 某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为 B. 已知数据的平均数为2，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别为5，13 C. 在回归直线方程中，相对于样本点的残差为 D. 样本相关系数 3. 若数列为等比数列，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设，函数，则下面正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 若，则当时， C. 若有3个零点，则的取值范围是 D. 若存在，满足，则 8. 已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）． A. 函数的最小正周期为 B. 为函数图像的一条对称轴 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上有3个零点 10. 下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（ ） A. B. 设，则的个位数字是6 C. 已知，则等式对任意正整数，都成立 D. 等式对任意正整数都成立 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知展开式的第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则展开式中项的系数为______.（用数字作答） 13. 双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，连接交左支于点Q.若，且，则双曲线的离心率为______. 14. 已知正四棱锥的一个侧面的周长为10，则该四棱锥体积的最大值为__________，此时其外接球表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，对应边为，，，满足． （1）已知，若在上，且，求的最大值； （2）延长至点，使得．若，求的大小． 16. 在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，． （1）求的通项公式； （2）求的前项和． 17. 已知点和直线：，点到的距离，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点作斜率不为0的直线与曲线交于，不同的两点，再过点作直线的平行线与曲线交于不同的两点，. ①证明：为定值； ②求面积的取值范围. 18. 在正三棱台中，，，分别是，的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若一只电子猫从点出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在次运动后电子猫仍停留在下底面的概率为，求. 19. 已知函数，，． （1）当时，求函数零点的个数； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）求函数的极值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $