第七章 相交线与平行线易错必刷题型-【上好课】2024-2025学年六年级数学下册同步精品课堂（鲁教版2024）

第七章 相交线与平行线易错必刷题型 【易错必刷一 相交线】 1．如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 2．如图，∠1与∠C是一对 角，∠1与∠3是一对 角. 3．下列语句中，有一个是错误的，其余三个都是正确的： ①直线EF经过点C；      ②点A在直线l外； ③直线AB的长为5 cm；   ④两条线段m和n相交于点P． （1）错误的语句为________（填序号）． （2）按其余三个正确的语句，画出图形． 【易错必刷二 对顶角相等】 4．如图，一束光线从空气中照射到水中，会发生折射现象，其中为入射光线，为折射光线，直线为法线，点，，在同一条直线上．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，，直线都经过点C．若，则的度数为 ． 6．如图，，，求，，的度数．    【易错必刷三 求一个角的余角、补角】 7．如图，已知直线，相交于点，．    (1)写出的对顶角___________和余角___________； (2)若，求的度数． 8．如图，已知为直线上的一点，是直角，平分．    (1)与互余的角是___________，互补的角是___________； (2)若，求的度数． 9．如图，直线，，相交于点O． (1)请找出图中的补角． (2)若，求和的度数． 【易错必刷四 与余角、补角有关的计算】 10．已知与互为余角，与互为补角，有以下三个结论：①；②；③．其中正确的结论是（   ） A．①③ B．① C．③ D．①②③ 11．如图，直线过点，若与互余，且，则的度数是 ． 12．已知点O在直线上，与互补． (1)如图①，试说明：平分； (2)如图②，若，，求的度数； (3)在（2）的条件下，作，请直接写出的度数． 【易错必刷五 平面内两直线的位置关系】 13．如图所示的是平面上五条直线，，，，相交的情形．根据图中标示的角度，下列叙述正确的是（   ） A．和平行，和平行 B．和平行，和不平行 C．和不平行，和平行 D．和不平行，和不平行 14．如图所示，直线，被直线所截，∠1＝∠2，则直线，的位置关系为 （用符号表示）． 15．数学活动课上，小亮把两个含30°角的三角板按照如图所示方式摆放，点，，，在同一条直线上，他让小明判断直线与的位置关系，小明很快说出了答案并讲出了判断的依据.请你猜猜小明的答案和理由. 【易错必刷六 垂线的定义理解】 16．如图所示，，，当（   ）时，． A． B． C． D． 17．如图，，，若，则 ． 18．如图，直线相交于点O，，垂足为O． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【易错必刷七 点到直线的距离】 19．如图，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（　　） A．条 B．条 C．条 D．条 20．已知点A为直线上一点，点B在直线外，且A、B两点之间的距离是，如果点B到直线的距离是x，那么x的取值范围是 ． 21．按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【易错必刷八 同位角、内错角、同旁内角】 22．如图，数学课上老师用双手形象地表示了“两条直线被第三条直线所截”图形（两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上），那么这个图形表示的是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 23．如图， 与是直线与 被直线所截的同位角； 与 是直线与被直线所截的同位角．    24．观察下面表格，并阅读相关文字： 示意图                     … 相交情况 1条直线与2条直线相交 1条直线与3条直线相交 1条直线与4条直线相交 … 同位角对数 （）对 （）对 （）对 … 内错角对数 （）对 （）对 （）对 … 同旁内角对数 （）对 （）对 （）对 … 则由上述规律可知： (1)1条直线与6条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角； (2)1条直线与n条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角； (3)利用（2）中的结论，解决下列问题：三条直线两两相交（不交于同一点），可构成同位角的对数是（　　） A．12对     B．8对      C．6对       D．4对 【易错必刷九 内错角相等两直线平行】 25．下列图形中，由，能得到的是（   ） A．B．C．D． 26．如图，在四边形中，点E是延长线上一点，请你添加一个条件，使，那么可以添加的条件是 ．（写出一个即可） 27．如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 【易错必刷十 过直线外一点作已知直线的平行线】 28．下面四个图是小明用尺规过点作边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 29．如图1，要过直线外一点作直线的平行线，用尺规作图的方法作出如图2的形式，则图2的作法中判定两直线平行的依据是 ． 30．如图，在中，点D是射线上一点，用尺规作图法过点D作射线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【易错必刷十一 两直线平行同位角相等】 31．如图，直线，直线与分别交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 32．某人把“抖空竹”的一个姿势抽象成数学问题．如图所示，已知，，，则的度数是 ． 33．如图，若，，求的度数． 【易错必刷十二 两直线平行同旁内角互补】 34．如图，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 35．如图，，，，，，则，，三者的数量关系为 ． 36．如图是大众汽车的标志图案，其中蕴含这一些几何知识，根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【易错必刷十三 同(等)角的余(补)角相等的应用】 37．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出的大小，则图中与相等的角是（   ） A． B． C． D． 38．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，若，则等于 ．    39．已知三角形，点在直线上，过点作交直线于点，交直线于点．    (1)如图，若点在边上，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图，若点在边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，给予说明；若不成立，说明理由． 【易错必刷十四 根据平行线的性质探究角的关系】 40．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 41．已知，如图，，则 ．    42．如图（1），在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成一个平角，得出了如下结论：三角形的内角和等于．如何用说理的方式证明该结论呢．如图（2），已知，分别用、、表示的三个内角，证明：． 下面是证明该结论添加辅助线的两种方法，请你选择一种完成证明． 方法一 证明：如图，过点作． 方法二 证明：如图，过点作． 【易错必刷十五 平行线的性质在生活中的应用】 43．如图，地面上的琪琪看热气球上的明明为仰角，热气球上的明明看地面上的琪琪为（   ）    A．仰角 B．仰角 C．俯角 D．俯角 44．一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则 ．    45．图1是一款少儿自行车，其U型车架如图2所示，已知，，，求出∠BED的度数． 【易错必刷十六 根据平行线判定与性质求角度】 46．如图，直线被直线所截，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 47．为方便市民绿色出行，某市推出了共享单车服务，如图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其平面示意图，其中，都与地面l平行，，，当 时，． 48．综合与实践 在中华武术中，有双节棍，三节棍，四节镋（如图①），其中四节镋又称镋镰，是真正的软兵器之一．小李家是武术世家，他用四节镋能拼出许多几何图形，如图②，图③是拼出的两个示意图．已知． (1)如图②，求证：； (2)如图③，判断，和之间的数量关系，并说明理由； (3)在图③中，已知，比的3倍小，直接写出的度数． 【易错必刷十七 根据平行线判定与性质证明】 49．如图，点在直线上，点在直线上，若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 50．如图，，，，在不增加字母和线段的情况下，写出两个不同类型的结论 ． 51．课上老师给出了一道练习题“如图，已知，试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由．”小明迅速给出了答案：．理由如下： （已知） （______，______．） （______，______．） 又（已知） （______） （______，______．） 读你帮助小明给出推理的理由．    【易错必刷十八 平行公理推论的应用】 52．如图，已知，则图中所有平行的直线是（   ）    A． B． C． D．， 53．如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，另一片叶子 （填“能”或“不能”）与地面平行．其判断的依据是 ． 54．综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图1，直线，直线与，分别交于点C，D，点A在直线上，且在点C的左侧，点B在直线上，且在点D的左侧，点Р是直线上的一个动点（点Р不与点C，D重合）．当点Р在点C，D之间运动时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 独立思考： (1)请解答老师提出的问题．实践探究： 勤学小组对此问题进行了更深一步的思考：当点Р在C，D两点的外侧运动时，，，之间的数量关系又是如何？ (2)如图2，当点P运动到点C上方时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点P运动到点D下方时，请直接写出，，之间的数量关系． 12 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 相交线与平行线易错必刷题型 【易错必刷一 相交线】 1．如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角相等，平角的定义，角的和差， 先标注，再根据对顶角相等得，然后根据平角定义得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 2．如图，∠1与∠C是一对 角，∠1与∠3是一对 角. 【答案】 内错 同位 【详解】试题解析：由图形可知∠1与∠C是一对内错角，∠1与∠3是一对同位角. 故答案为内错；同位. 3．下列语句中，有一个是错误的，其余三个都是正确的： ①直线EF经过点C；      ②点A在直线l外； ③直线AB的长为5 cm；   ④两条线段m和n相交于点P． （1）错误的语句为________（填序号）． （2）按其余三个正确的语句，画出图形． 【答案】（1）③；（2）见解析 【分析】（1）点与直线的位置关系，直线的定义，两条直线的位置关系，逐项判断即可求解； （2）根据点与直线的位置关系，两条直线的位置关系，画出图形，即可求解． 【详解】解：（1）①直线EF经过点C，故本说法正确； ②点A在直线l外，故本说法正确； ③因为直线向两端无限延伸，所以长度无法测量，故本说法错误； ④两条线段m和n相交于点P，故本说法正确； 所以错误的语句为③； （2）图形如图所示：                         【点睛】本题主要考查了点与直线的位置关系，直线的定义，两条直线的位置关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【易错必刷二 对顶角相等】 4．如图，一束光线从空气中照射到水中，会发生折射现象，其中为入射光线，为折射光线，直线为法线，点，，在同一条直线上．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了对顶角的性质．先求得，再利用角的和差计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，，直线都经过点C．若，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，由垂线的定义得，由对顶角的性质得，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 6．如图，，，求，，的度数．    【答案】，， 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行得到，，而，即可求解，，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 【易错必刷三 求一个角的余角、补角】 7．如图，已知直线，相交于点，．    (1)写出的对顶角___________和余角___________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据对顶角相等和余角的定义解答即可； （2）首先根据，，得出，，再利用余角的关系求得的度数． 【详解】（1）解：根据对顶角的定义：的对顶角为， ， 的余角为， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，余角的定义，熟记概念与性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 8．如图，已知为直线上的一点，是直角，平分．    (1)与互余的角是___________，互补的角是___________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据得到，可得余角，再根据，可得补角； （2）首先求出，再根据角平分线的定义求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴与互余的角是； ∵， ∴与互补的角是． （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，掌握互为余角、互为补角的意义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键． 9．如图，直线，，相交于点O． (1)请找出图中的补角． (2)若，求和的度数． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据补角的定义求解即可； （2）根据邻补角的定义和对顶角的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，知，， ∴的补角是，； （2）解：∵，， ∴，． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义以及补角的定义等知识，掌握以上知识是解题的关键． 【易错必刷四 与余角、补角有关的计算】 10．已知与互为余角，与互为补角，有以下三个结论：①；②；③．其中正确的结论是（   ） A．①③ B．① C．③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查的是互余，互补的含义，等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．由与互为余角，与互为补角，可得 再利用等式的基本性质逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解： 与互为余角，与互为补角， 即，故①符合题意； ， ，故②不符合题意； ∵， ∴， ，故③符合题意； 综上分析可知：正确的有①③． 故选：A． 11．如图，直线过点，若与互余，且，则的度数是 ． 【答案】/115度 【分析】此题主要考查了邻补角的性质和角平分线定义，解题的关键是正确理清图中角之间的和差关系．根据与互余，且，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵与互余，且， ∴， ∴． 故答案为：． 12．已知点O在直线上，与互补． (1)如图①，试说明：平分； (2)如图②，若，，求的度数； (3)在（2）的条件下，作，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)或 【分析】本题主要考查学生根据图形进行计算角的能力及角平分线的应用． （1）根据同角的补角相等证明即可； （2）由题意得出，再根据角的和差关系列方程解答即可； （3）分在内部以及外部两种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵点O在直线上， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． ①当在内部时， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴； ②当在外部时， ∵，， ∴， ∵， ∴． 综上所述，的度数为或． 【易错必刷五 平面内两直线的位置关系】 13．如图所示的是平面上五条直线，，，，相交的情形．根据图中标示的角度，下列叙述正确的是（   ） A．和平行，和平行 B．和平行，和不平行 C．和不平行，和平行 D．和不平行，和不平行 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，对顶角相等，解题时关键是掌握平行线判定定理，根据同旁内角不互补，可得两直线不平行；根据内错角相等，可得两直线平行． 【详解】解：， 和不平行， 对顶角相等， ，， ， 和平行， ， 和平行， 故选：C． 14．如图所示，直线，被直线所截，∠1＝∠2，则直线，的位置关系为 （用符号表示）． 【答案】 【分析】根据对顶角的性质可得到，再根据同位角相等，两直线平行判断即可； 【详解】如图所示， 可得， 又∵∠1＝∠2， ∴， ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，准确分析是解题的关键． 15．数学活动课上，小亮把两个含30°角的三角板按照如图所示方式摆放，点，，，在同一条直线上，他让小明判断直线与的位置关系，小明很快说出了答案并讲出了判断的依据.请你猜猜小明的答案和理由. 【答案】，理由：内错角相等，两直线平行 【分析】根据三角尺的摆放方式，比较容易找到一组相等的内错角，从而证明两条直线平行． 【详解】，理由：内错角相等，两直线平行 【点睛】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【易错必刷六 垂线的定义理解】 16．如图所示，，，当（   ）时，． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，角的和差计算，掌握平行线的几种判定方法是解题的关键． 先根据垂直的定义得到，则当时，，得到，直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，， 即， 解得：， 故选：B． 17．如图，，，若，则 ． 【答案】36 【分析】此题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补得出，进而解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：36． 18．如图，直线相交于点O，，垂足为O． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，理清角的和差关系是解题的关键． （1）由垂线的定义得到的度数，再由角的和差关系求出的度数，最后由平角的定义即可求出答案； （2）根据平角的定义和已知条件求出的度数，再由平角的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【易错必刷七 点到直线的距离】 19．如图，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（　　） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：长表示到的距离， 长表示到的距离， 长表示到的距离， 长表示到的距离， 长表示到的距离， 综上，能表示点到直线（线段）的距离的线段有条， 故选：． 20．已知点A为直线上一点，点B在直线外，且A、B两点之间的距离是，如果点B到直线的距离是x，那么x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离， 解题的关键是熟练掌握垂线段最短； 利用垂线段最短即可解答； 【详解】解：当时，， ， 故答案为： 21．按下列要求画图并填空： 如图，直线与相交于点是上的一点， (1)过点画出的垂线，交直线于点． (2)过点画出，垂足为点． (3)点到直线的距离是线段______的长． (4)点到直线的距离为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)0 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离等知识： （1）（2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）（4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：点O到直线的距离是线段的长． 故答案为：； （4）解：点P到直线的距离为0， 故答案为：0． 【易错必刷八 同位角、内错角、同旁内角】 22．如图，数学课上老师用双手形象地表示了“两条直线被第三条直线所截”图形（两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上），那么这个图形表示的是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、同位角、内错角、同旁内角的定义，根据内错角的定义解答即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上，那么这个图形表示的是内错角， 故选：C． 23．如图， 与是直线与 被直线所截的同位角； 与 是直线与被直线所截的同位角．    【答案】 【分析】本题考查了同位角的概念，熟练掌握两个角分别在截线的同侧，且在两条被截直线的同旁，具有这样位置关系的一对角叫做同位角是解题的关键．根据同位角的概念，结合图形中各角的位置即可顺利完成填空． 【详解】解：如图，   与是直线与被直线所截的同位角；与是直线与被直线所截的同位角． 故答案为：，，， 24．观察下面表格，并阅读相关文字： 示意图                     … 相交情况 1条直线与2条直线相交 1条直线与3条直线相交 1条直线与4条直线相交 … 同位角对数 （）对 （）对 （）对 … 内错角对数 （）对 （）对 （）对 … 同旁内角对数 （）对 （）对 （）对 … 则由上述规律可知： (1)1条直线与6条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角； (2)1条直线与n条直线相交产生 ___________对同位角，___________对内错角； (3)利用（2）中的结论，解决下列问题：三条直线两两相交（不交于同一点），可构成同位角的对数是（　　） A．12对     B．8对      C．6对       D．4对 【答案】(1)； (2) (3)A． 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角问题中的规律问题，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据表格数据即可求解； （2）根据表格数据即可确定一般规律； （3）当条直线两两相交时，产生对同位角，据此即可求解． 【详解】（1）解：从表中的规律可知1条直线与6条直线产生： 对同位角，对内错角； 故答案为：； （2）解： 1条直线与n条直线相交产生： 对同位角，对内错角； 故答案为： （3）解：根据第（2）问的结论可知， 当条直线两两相交时，产生对同位角， 故当时，即：，产生对同位角． 故选：A． 【易错必刷九 内错角相等两直线平行】 25．下列图形中，由，能得到的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、如图， ，， ， ，符合题意； B、由，不能得到，不符合题意； C、由，能得到，不能得到，不符合题意； D、由，不能得到，不符合题意； 故选：A． 26．如图，在四边形中，点E是延长线上一点，请你添加一个条件，使，那么可以添加的条件是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．根据内错角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：使，那么可以添加的条件是，（内错角相等，两直线平行） 故答案为：．（答案不唯一） 27．如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定方法，也考查了角平分线定义．先由角平分线定义得出，那么，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】解：可以判断，理由如下： ∵，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 【易错必刷十 过直线外一点作已知直线的平行线】 28．下面四个图是小明用尺规过点作边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定，结合尺规作图方法即可判断． 【详解】解：若要过点C作AB的平行线， 则应过点C作一个角等于已知角， 由作图可知，选项A符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定． 29．如图1，要过直线外一点作直线的平行线，用尺规作图的方法作出如图2的形式，则图2的作法中判定两直线平行的依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查作图—复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图像信息，掌握平行线的判定．根据同位角相等两直线平行，判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 30．如图，在中，点D是射线上一点，用尺规作图法过点D作射线，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图，作，再延长得到射线，则射线和射线即为所求． 【详解】解：如图所示，射线和射线即为所求． 【易错必刷十一 两直线平行同位角相等】 31．如图，直线，直线与分别交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据邻补角的定义求角度．根据平行线的性质可得，根据邻补角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 32．某人把“抖空竹”的一个姿势抽象成数学问题．如图所示，已知，，，则的度数是 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．延长交于点，由两直线平行，同位角相等，得到，再根据三角形外角的性质，即可求出的度数． 【详解】解：如图，延长交于点， ，， ， ， ， 故答案为：． 33．如图，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，由两直线平行，同位角相等得出，再由两直线平行，同旁内角互补得出，即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【易错必刷十二 两直线平行同旁内角互补】 34．如图，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质．先利用对顶角相等求得的度数，根据两直线平行同旁内角互补，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 35．如图，，，，，，则，，三者的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 即：， 故答案为：． 36．如图是大众汽车的标志图案，其中蕴含这一些几何知识，根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁同角互补是解题的关键． （1）由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）可得，，据此求证即可； （2）由平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）可得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴ ∵，， ∴． 【易错必刷十三 同(等)角的余(补)角相等的应用】 37．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出的大小，则图中与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同角的余角，对顶角相等，根据同角的余角相等，得到，对顶角相等，得到，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵， ∴； 故选B． 38．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，若，则等于 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了余角的定义，余角的性质：同角或等角的余角相等．根据同角的余角相等是解此题的关键．根据分别与互余，与互余即可求解． 【详解】解：， ， 即与互余，与互余， ， ， 故答案为： 39．已知三角形，点在直线上，过点作交直线于点，交直线于点．    (1)如图，若点在边上，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图，若点在边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若成立，给予说明；若不成立，说明理由． 【答案】(1)；见解析 (2)不成立；见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，补角的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，，根据补角的性质得出结果即可； （2）根据平行线的性质得出，，从而得出． 【详解】（1）解：；理由： 因为， 所以， 因为， 所以． 所以． （2）解：（1）中的结论不成立． 当点在边的延长线上时，． 理由：因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 【易错必刷十四 根据平行线的性质探究角的关系】 40．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质和平角的定义，利用两直线平行的性质得到角关系是解答此题的关键．由平行线性质即可作出判断． 【详解】解：由平角定义可知，， ∵纸条两边平行， ， 又三角板为直角三角形， ， 故与相等的角是， 故选：A． 41．已知，如图，，则 ．    【答案】/180度 【分析】根据平行线的性质求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 42．如图（1），在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成一个平角，得出了如下结论：三角形的内角和等于．如何用说理的方式证明该结论呢．如图（2），已知，分别用、、表示的三个内角，证明：． 下面是证明该结论添加辅助线的两种方法，请你选择一种完成证明． 方法一 证明：如图，过点作． 方法二 证明：如图，过点作． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，根据平行线的性质结合平角的定义，即可得证． 【详解】证明： 方法一：过点作，则，．（两直线平行，内错角相等） 点，，在同一条直线上， ．（平角的定义）． ．即三角形的内角和为． 方法二：如图，过点作 ， ，， ． 即三角形的内角和为． 【易错必刷十五 平行线的性质在生活中的应用】 43．如图，地面上的琪琪看热气球上的明明为仰角，热气球上的明明看地面上的琪琪为（   ）    A．仰角 B．仰角 C．俯角 D．俯角 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，俯角、仰角的定义，解题关键是能正确理解俯角、仰角的定义． 根据平行线的性质，俯角、仰角的定义求解即可； 【详解】解：俯角和仰角都是视线与水平线的夹角，视线在水平线之上的是仰角，视线在水平线之下的是俯角， 根据题意可得：水平线互相平行，热气球上的明明看地面上的琪琪时视线在水平线之下， 故视线与水平线夹角为，故为俯角． 故选：C． 44．一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则 ．    【答案】100 【分析】由平行线的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，    由题意可得：，， ， ． 故答案为：100． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，掌握“两直线平行，内错角相等”是解本题的关键． 45．图1是一款少儿自行车，其U型车架如图2所示，已知，，，求出∠BED的度数． 【答案】130° 【分析】过点E作EF∥AB，根据平行线的性质得到∠ABE+∠BEF=180°，∠CDE+∠DEF=180°，再根据角的和差可得结果． 【详解】解：如图，过点E作EF∥AB， 则AB∥EF∥CD， ∴∠ABE+∠BEF=180°，∠CDE+∠DEF=180°， ∵∠ABE=110°，∠CDE=120°， ∴∠BEF=70°，∠DEF=60°， ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=130°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 【易错必刷十六 根据平行线判定与性质求角度】 46．如图，直线被直线所截，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，先证明，进而得到，邻补角求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 47．为方便市民绿色出行，某市推出了共享单车服务，如图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其平面示意图，其中，都与地面l平行，，，当 时，． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据两直线平行，同旁内角互补求得，再根据内错角相等，两直线平行可得结论． 【详解】解：∵，都与地面l平行， ∴， ∴， 即， ∴， 当时，， 故答案为：． 48．综合与实践 在中华武术中，有双节棍，三节棍，四节镋（如图①），其中四节镋又称镋镰，是真正的软兵器之一．小李家是武术世家，他用四节镋能拼出许多几何图形，如图②，图③是拼出的两个示意图．已知． (1)如图②，求证：； (2)如图③，判断，和之间的数量关系，并说明理由； (3)在图③中，已知，比的3倍小，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点C作，则，由平行线的性质可得，据此可证明结论； （2）过点C作，则，由平行线的性质可得，再由即可推出结论 ； （3）根据（2）的结论先得到，再由，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴； （3）解：由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∵比的3倍小， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷十七 根据平行线判定与性质证明】 49．如图，点在直线上，点在直线上，若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，首先根据角之间的关系可证，再根据两直线平行，内错角相等可得：． 【详解】解：，， ， ， ， 又， ， ， ． 故选：B． 50．如图，，，，在不增加字母和线段的情况下，写出两个不同类型的结论 ． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定及性质，牢记平行线的判定及性质是解决问题的关键．利用平行线的判定及性质直接解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：或（答案不唯一）． 51．课上老师给出了一道练习题“如图，已知，试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由．”小明迅速给出了答案：．理由如下： （已知） （______，______．） （______，______．） 又（已知） （______） （______，______．） 读你帮助小明给出推理的理由．    【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】证明：（已知） （同旁内角互补，两直线平行．） （两直线平行，同位角相等．） 又（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行．） 【易错必刷十八 平行公理推论的应用】 52．如图，已知，则图中所有平行的直线是（   ）    A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据内错角相等两直线平行直接证明结论即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ， ． 故选：D． 53．如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，另一片叶子 （填“能”或“不能”）与地面平行．其判断的依据是 ． 【答案】 不能 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行公理，解题的关键是理解并运用平行公理来判断直线与直线的平行关系． 根据平行公理判断叶子与地面是否平行． 【详解】解：平行公理为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 在本题中，把地面看作一条直线，风车的轴心可看作直线外一点，当叶子旋转到与地面平行时，因为经过风车轴心（直线外一点），有且只有一条直线与地面平行，此时已与平行，所以另一片叶子不能与地面平行． 故答案为：不能；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 54．综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图1，直线，直线与，分别交于点C，D，点A在直线上，且在点C的左侧，点B在直线上，且在点D的左侧，点Р是直线上的一个动点（点Р不与点C，D重合）．当点Р在点C，D之间运动时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 独立思考： (1)请解答老师提出的问题．实践探究： 勤学小组对此问题进行了更深一步的思考：当点Р在C，D两点的外侧运动时，，，之间的数量关系又是如何？ (2)如图2，当点P运动到点C上方时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点P运动到点D下方时，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点Р作，根据平行线的性质得出，再由平行线的推论得出，利用等量代换即可得出结果； （2）过点作，根据平行线的性质得出，再由平行线的推论得出，利用等量代换即可得出结果； （3）过点作，方法与（1）（2）类似，即可得出结果． 【详解】（1）解：． 理由：如解图1，过点Р作，则． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）． 理由：如解图2，过点作，则． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）． 如解图3，过点作，则． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】题目主要考查平行线的性质及推论，熟练掌握平行线的性质及推论是解题关键． 31 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$