第八章 整式的乘除压轴满分题型-【上好课】2024-2025学年六年级数学下册同步精品课堂（鲁教版2024）

第八章 整式的乘除压轴满分题型 【压轴题型一 幂的混合运算】 1．化简求值：，其中，． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)． (2) 4．计算： (1) (2) (3) (4) 5．计算： (1) (2) (3) (4) 6．计算下列各题 (1) (2)（是整数） (3)（是整数） (4) (5)（是整数） (6) 7．如果，那么称b为n的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空： ， ； (2)劳格数具有如下性质：，根据运算性质，填空：① （a为正数）；②若， ， ． 【压轴题型二 整式的混合运算】 8．先化简，再求值：，其中，． 9．观察下列式子回答问题． (1)已知：，求的值； (2)已知：，求的值； (3)已知：，，求的值． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)用乘法公式简便计算：． 11．计算． (1) (2) (3) (4) 12．计算： (1)； (2)； (3)．（用乘法公式计算） (4)． (5)； (6) 13．求值及解方程 (1)先化简再求值：，其中与互为相反数； (2)解方程： 14．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第2项系数为________；各项系数之和为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式为____________________； (4)利用上面的规律计算：． 【压轴题型三 运用平方差、完全平方公式公式进行运算】 15．简便计算： (1)； (2)． 16．把下面左框里的整式分别乘，并将所得的积写在右框相应的位置． 17．计算 (1) (2) (3) (4)利用乘法公式计算： (5)利用乘法公式计算： 18．观察下列关于自然数的等式： … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：_____； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 19．同学们请认真观察以下三个算式，尝试着去发现存在的规律： ①； ②； ③； 请你结合这些算式，解答下列问题： (1)请你再写出两个符合上述规律的算式：_______，_______ (2)设两个连续奇数为（其中为正整数），请说明它们的平方差是8的整数倍． 20．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“任意两个连续奇数的平方差是否是8的倍数”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，得出如下部分信息（为正整数）． 任意两个连续奇数的平方差 8的倍数 表示结果 … … 一般结论 按上表规律，完成下列问题： （i）__________________． （ii）______． (2)请根据你学过的相关数学知识，证明（ii）中的结论成立． 21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 【压轴题型四 多项式乘多项式与图形面积】 22．现有足够多如图所示的长方形卡片和正方形卡片，分别选取1张1号卡片、3张2号卡片、4张3号卡片拼成一个长方形（不重叠、无缝隙）．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后图形面积之间的关系说明这个长方形的代数意义． 23．如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． (1)用含的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） (2)若，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 24．综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 项目背景 数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到： 问题探究 提出问题 （1）由图2可以得到：_____________． 迁移应用 （2）利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足，求的值． 拓展创新 （3）请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式：（画出一种即可） 25．已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示，面积分别为和：    (1)①用含m的代数式表示：__________，__________； ②用“<”“=”或“>”填空：__________； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是__________（用含m的代数式表示）； ②小方同学发现与的差是定值，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 26．【数学实验】如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为a、宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）．利用若干个图①中的图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如：图②可以解释为． 【初步运用】 （1）图③可以解释为_______； （2）取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的长和宽分别为和．不画图形，试通过计算说明需要多少个C类图形； 【拓展运用】 （3）若取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的面积为，通过操作发现拼成的长方形的长为_______，宽为_______． 27．如图①，有A，B，C，D四种不同型号的卡片，每种卡片各有2张．A型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，c的长方形，C型卡片是相邻两边长分别为c，d的长方形，D型卡片是相邻两边长分别为b，d的长方形．从中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），把取出的这些卡片拼成一个长方形（注：a，b，c，d各不相等）． (1)在图②，图③中画出拼得的两种长方形的示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）． (2)图②中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．图③中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______． (3)除了图②和图③，你觉得还可以拼出多少种不同的长方形？说说你的想法． 28．在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、．    (1)因式分解： ． (2)请用两种不同的方法求图（1）中的立体图形的体积（用含有a、b的代数式表示）： ① （整式乘积的形式）； ② ． 利用等体积法，能得到公式： ． (3)应用：利用在（2）中所得到的公式进行因式分解：． (4)拓展：若，，则的值为 ． 【压轴题型五 多项式乘法中的规律性问题】 29．观察下列关于自然数的等式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；； 利用等式的规律，解答下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 30．（1）计算：①_______；②_______；③_______；④_______． （2）观察第（1）小题每个等式中的两个因数与积的特征，尝试借助字母和符号将该特征表示出来． （3）用本章所学知识解释第（2）小题的结论． （4）口算：①_______；②_______；③_______． 31．观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律，_______． (2)由此归纳出一般规律_______（其中n为正整数）． (3)根据以上规律计算：． 32．综合与探究； 下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是； 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 【规律】（1）请根据规律，写出第4个等式：________________； 【猜想】（2）猜想：________（其中n为正整数，且）； 【应用】（3）利用（2）猜想的结论计算：． 33．杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：              1             1  1           1  2  1         1  3  3  1        1  4  6  4  1 …… …… 请根据上述材料解决下列问题： (1)的展开式中第三项为___________； (2)的展开式中系数为10的项是___________； (3)求的展开式中含项的系数． 34．综合与实践     【实际情境】如图，将一块矩形按照如图方式横纵分割成若干个不重复的小矩形，其中记分割的线段数量为，分割后小矩形的数量为，如图1，当时，；图2中，，；图3中，，． (1)【问题理解】若，则的值可能是______，并在图4中画出相应的示意图（任意画出一种符合条件的情况）； (2)【问题延伸】若，则的值可能是______（任写一个符合条件的值）； (3)【得出结论】当为偶数时，的最大值是多少？我们可以这样证明： 设，其中为正整数，若横线为条，则竖线为______条，其中，则最终分成的小矩形个数______，当______时，有最大值，此时______（用含有的式子表示）． 35．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 1 第二行 1  1 各项系数和为 第三行 1  2  1 各项系数和为 第四行 1  3  3  1 各项系数和为 … … … … 此图揭示了（为非负整数）、的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)多项式展开式共有 项，第二项的系数为 ，各项系数和为 ； (2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，…，记，，，…，请完成下列问题： ①计算； ②计算； 【压轴题型六 单项式乘多项式的应用】 36．计算： (1)； (2)． 37．请将小亮解答的问题（1）补充完整，再仿照他的方法解答问题（2）． (1)简便计算：．小亮的解答如下： 解：设，则 ，则 原式 (2)简便计算：． 38．如图①，将一张长为，宽为的矩形卡片过顶点A剪去一个角后分别以为轴旋转一周，得到两个几何体（图②，图③）．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想． 39．如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区（休息区面积大于泳池）．（结果需要化简） (1)求长方形游泳池面积； (2)求休息区面积； 40．如图，长方形的长，宽分别为米，米，，满足，一动点从出发以米/秒的速度沿运动，另一动点从出发以米/秒的速度沿运动，设、同时出发，运动的时间为． (1)求、的值； (2)用含的式子表示的面积（写出推理过程）． 41．7个如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为 的长度为m． (1)填空： ____，_______（用含a、b、m的式子表示）； (2)若的值与m的取值无关，求a与b的数量关系； (3)在（2）的条件下，直接写出的值． 42．（1）如图1，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （2）如图2，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （3）如图3，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，已知正方形的边长为8，则的面积为 （请直接写出结果，不需要过程） 【压轴题型七 平方差公式与几何图形】 43．如图所示：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形． (1)上述操作能验证的等式是 ． A． B． C． (2)已知，，则 ． (3)应用所得的公式计算： (4)应用所得的公式计算： 44．实践探究题 某数学兴趣小组利用“等面积法”分别构造了以下两种图形验证“平方差公式”． (1)探究：以下两种图形能够验证平方差公式的是_______（填序号） (2)应用：利用“平方差公式”计算 (3)拓展：运用平方差公式计算 45．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 46．如图1，在边长为a的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图2． [探究] （1）请列式表示：图1中阴影部分的面积为 ，图2中阴影部分的面积为 ；根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式 ． [应用] （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，则 ； ②计算：． 47．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ；  （请选择正确的一个） A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知 ，，求的值． ②计算： 48．【教材呈现】七年级教材下册“第8章 整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本39页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1）， 通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式： ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【活动材料】：如图2，4张A型直角三角形纸片． 【活动要求】：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 【活动内容】： （1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究 之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若，求的值． 49．如图，和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有，的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 【压轴题型八 完全平方公式在几何图形中的应用】 50．如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接、、． (1)用含、的代数式表示________________； (2)若两个正方形的面积之和为60，且，求图中线段的长； (3)记的面积为，则______________（用字母表示）． 51．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式：_______ (2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式； (3)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若，求的值 52．如图1，正方形A、B、C的边长分别为m、n、p，且． (1)将一个A种和一个B种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而可以得到一个乘法公式为 ． (2)如图3，将正方形A、B、C拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式 ． (3)利用用正方形A、B、C画出恰当的图形，说明 53．（1）如图1，是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为______； （2）①如图3，是几个正方形和长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值． （3）如图4，是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为的大正方体，通过用不同的方法表示这个大正方体的体积，求当时，代数式的值． 54．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． (1)观察下列图形，找出可以推出的代数公式． 公式： ；公式：； 公式：；公式：； 图对应公式 ；图对应公式 （填序号）； (2)解决问题：已知，，求的值； (3)如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都是正方形时，若，正方形和正方形的面积和为，求阴影部分的面积． 55．我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如，由图1可以得到，请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，，求的值； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽和长分别为和的长方形纸片拼出一个面积为的长方形．请仿照图2，画出拼出的长方形并求出的值． (4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数式恒等式．图4表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中的数据以及图形的变化关系，写出一个数学等式 ．（等式的两边均不用化简） 56．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论 (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形(下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号) 公式①；； 公式②：； 公式③；； 公式④：． 图1对应公式 ，图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 ． (2)如图5，在等腰直角三角形中，，为边上任意一点不与端点重合，过点作于点，过点作交的延长线于点．记与的面积之和为，与的面积之和为． ①若为边的中点，则的值为 ； ②若不为边的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程，请说明理由． 19 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 整式的乘除压轴满分题型 【压轴题型一 幂的混合运算】 1．化简求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的四则运算，原式根据单项式乘以多项式，完全平方公式去括号，合并同类项，得到最简结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： 当，时，原式 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算； （2）先将变形为，再根据同底数幂的乘法和除法法则计算． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查同底数幂的乘法和除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂，绝对值的意义等知识化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的意义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)） (2) (3) (4)0 【分析】本题考查幂的运算，零指数幂和负整数指数幂： （1）根据同底数幂的除法法则进行计算即可； （2）先进行幂的运算，再进行加减运算即可； （3）先进行幂的运算，再合并同类项即可； （4）先进行幂的运算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 5．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)6 (4) 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘除法求解即可； （2）先利用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可求解； （3）先进行有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算，再进行加减运算即可； （4）可根据积的乘方和同底数幂的乘法的逆运算进行简便运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算、整式的运算，涉及到幂的乘方和同底数幂的乘除法、积的乘方、负整数指数幂、零指数幂、合并同类项等知识，熟练掌握相关运算法则并灵活运用，正确求解是解答的关键． 6．计算下列各题 (1) (2)（是整数） (3)（是整数） (4) (5)（是整数） (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法和除法法则计算即可； （3）先化为同底数幂，再根据同底数幂的除法法则计算即可； （4）先算乘法和乘方，再合并同类项即可； （5）先逆运用同底数幂的乘法和积的乘方，再算同底数幂的除法即可； （6）先化简负整数指数幂和零次幂，再算加减即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算及其逆运用，熟练掌握幂的运算性质及零指数幂和负整数指数幂是解题的关键． 7．如果，那么称b为n的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空： ， ； (2)劳格数具有如下性质：，根据运算性质，填空：① （a为正数）；②若， ， ． 【答案】(1)1， (2)①2；②， 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）由新定义可得， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为：1，； （2）① ； 故答案为：； ②∵， ∴； 由题意得，， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 【压轴题型二 整式的混合运算】 8．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式，多项式除以单项式运算法则，进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得：原式． 9．观察下列式子回答问题． (1)已知：，求的值； (2)已知：，求的值； (3)已知：，，求的值． 【答案】(1) (2)16 (3) 【分析】（1）先将底数都化为2，再运用同底数幂的乘法计算即可． （2）把底数化成2后利用幂的乘方及同底数幂的乘法计算即可． （3）利用同底数幂的除法及幂的乘方的逆运算计算即可． 【详解】（1）解： ∴，解得． （2）解： ∵ ∴ （3）解： 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方的计算及逆运算，能够熟练运用公式进行计算是解题关键． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)用乘法公式简便计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，负整数指数幂公式，有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据负整数指数幂公式，有理数的混合运算求解即可； （2）根据整式的混合运算法则计算即可求解； （3）根据整式的混合运算法则计算即可求解； （4）根据整式的混合运算法则计算即可求解； （5）乘法公式简便计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解：． 11．计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了零指数、负整数指数幂的运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值，有理数的乘方，零次幂和负整数指数幂的运算法则计算即可； （2）先算积的乘方，同底数幂的乘除法，再合并即可； （3）先根据多项式与多项式，单项式与多项式的乘法计算，然后再合并同类项即可； （4）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 12．计算： (1)； (2)； (3)．（用乘法公式计算） (4)． (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) (6) 【分析】本题考查了含负整数指数幂、零指数幂的运算，整式的乘除法运算，平方差公式完全平方公式以及幂的运算等知识点，熟练掌握计算公式和运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方和负整数指数幂、零指数幂以及化简绝对值，再进行加减计算； （2）先计算积的、幂的乘方运算，再进行单项式的乘除运算； （3）将变形为，再由利用平方差公式计算即可； （4）将原式变形为，再由平方差公式和完全平方公式计算； （5）将原式变形为，再由完全平方公式和单项式乘以多项式计算； （6）分别计算同底数幂的乘法、幂的、积的乘方运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： 13．求值及解方程 (1)先化简再求值：，其中与互为相反数； (2)解方程： 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值、非负数的性质、解一元一次方程等知识点，掌握相关运算法则和方法成为解题的关键． （1）先由非负数的性质求得a、b的值，然后运用整式的混合运算法则化简，最后将a、b的值代入计算即可； （2）先运用整式的混合运算法则化简，最后解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ， 当时，原式． （2）解：， ， ， ， ． 14．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第2项系数为________；各项系数之和为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式为____________________； (4)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2)，， (3) (4) 【分析】本题考查了杨辉三角； （1）由图得，即可求解； （2）可得规律共有项，第2项系数为， 当，时，即可求解； （3）按杨辉三角展开，即可求解； （4）当，，代入公式，即可求解； 理解杨辉三角，能熟练利用杨辉三角形进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由图得 ， 故答案为：； （2）解：共有项， 展开式共有项； 第2项系数为， 第2项系数为； 当，时， 各项的系数之和为； 故答案为：，，； （3）解： ； 故答案为：； （4）解： ． 【压轴题型三 运用平方差、完全平方公式公式进行运算】 15．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式和平方差公式进行简便运算，有理数的乘方运算，熟练掌握相关知识是解决此题的关键． （1）将变为，再利用完全平方公式计算即可； （2）先变形为，然后利用平方差公式简算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 16．把下面左框里的整式分别乘，并将所得的积写在右框相应的位置． 【答案】右框从上到下的积分别为：． 【分析】本题考查了整式的乘法，完全平方公式，以及平方差公式，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据整式的乘法运算法则，完全平方公式，以及平方差公式计算求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， 故右框从上到下的积分别为：． 17．计算 (1) (2) (3) (4)利用乘法公式计算： (5)利用乘法公式计算： 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查整式的乘法，熟练掌握相关运算法则，乘法公式，是解题的关键： （1）根据幂的乘方和单项式乘以单项式的法则进行计算即可； （2）进行完全平方公式和去括号运算，再合并同类项即可； （3）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可； （4）利用平方差公式进行简算即可； （5）先用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式； （5）原式． 18．观察下列关于自然数的等式： … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：_____； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查的是整式的混合运算、数字的规律探究； （1）由所给三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是被减数的底数的2倍减1，计算的结果是从1开始连续自然数的平方的4倍，由此规律得出答案即可． （2）根据（1）发现的规律用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明． 【详解】（1）解：由题意得：第四个等式为， 故答案为：； （2）解：猜想：第个等式为， 证明：等式左边：． ∴等式左右两边相等， ∴第个等式为． 19．同学们请认真观察以下三个算式，尝试着去发现存在的规律： ①； ②； ③； 请你结合这些算式，解答下列问题： (1)请你再写出两个符合上述规律的算式：_______，_______ (2)设两个连续奇数为（其中为正整数），请说明它们的平方差是8的整数倍． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）仿照已知等式确定出两个算式即可； （2）列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断． 【详解】（1）解：． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：设两个连续奇数为（其中为正整数），则它们的平方差为 ， 所以它们的平方差是8的整数倍． 20．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“任意两个连续奇数的平方差是否是8的倍数”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，得出如下部分信息（为正整数）． 任意两个连续奇数的平方差 8的倍数 表示结果 … … 一般结论 按上表规律，完成下列问题： （i）__________________． （ii）______． (2)请根据你学过的相关数学知识，证明（ii）中的结论成立． 【答案】(1)（i）72；8；9；（ii） (2)见解析 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，平方差公式，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）（i）仿照题意求解即可；（ii）观察可知两个连续奇数的平方差等于8乘以这两个奇数和的四分之一，据此规律求解即可； （2）利用平方差公式求出去括号后的结果即可证明结论． 【详解】（1）解：（i）由题意得，； （ii）， ， ， ， ……， 以此类推可知，； （2）证明： ． 21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）当时，有最小值，最小值为1． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； ②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （2）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 【压轴题型四 多项式乘多项式与图形面积】 22．现有足够多如图所示的长方形卡片和正方形卡片，分别选取1张1号卡片、3张2号卡片、4张3号卡片拼成一个长方形（不重叠、无缝隙）．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后图形面积之间的关系说明这个长方形的代数意义． 【答案】图形见解析， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，列代数式，画出相应的图形，如图所示，正方形的面积有两种求法，边长的平方或四个面积之和，列出关系式即可． 【详解】解：画出草图如下， 长方形面积为：． 23．如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． (1)用含的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） (2)若，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 【答案】(1) (2)种植蔬菜所需的总成本为元． 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式表示式，代数式求值，解题的关键在于根据图形表示出种植蔬菜的面积． （1）根据“种植蔬菜的面积大长方形面积个小长方形面积”列出代数式即可； （2）将代入（1）中代数式求出种植蔬菜的面积，结合种植蔬菜每平方米的成本为10元，即可求出种植蔬菜所需的总成本． 【详解】（1）解：由图知，种植蔬菜的面积为 ； （2）解：若， 则种植蔬菜的面积为（平方米）， 又种植蔬菜每平方米的成本为10元， 所以种植蔬菜所需的总成本为（元）， 答：种植蔬菜所需的总成本为元． 24．综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 项目背景 数形结合是一种常用的数学思想，我们可以利用图形直观解释整式乘法运算．例如，由图1可以得到： 问题探究 提出问题 （1）由图2可以得到：_____________． 迁移应用 （2）利用图2所得的等式解答下列问题：若实数a，b，c满足，求的值． 拓展创新 （3）请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式：（画出一种即可） 【答案】（1）；（2）13；（3）见解析 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是运用多项式乘多项式的计算法则计算． （1）由图2可以得，按照多项式乘多项式的计算法则计算； （2）根据图2所得的等式，得，因为，求出； （3）依照示例画出图形即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：             （2）由（1）可知：                  （3）如图． 25．已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示，面积分别为和：    (1)①用含m的代数式表示：__________，__________； ②用“<”“=”或“>”填空：__________； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是__________（用含m的代数式表示）； ②小方同学发现与的差是定值，请判断小方同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【答案】(1)①；②> (2)①；②正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，比较基础，能够根据题意列出解题所需的代数式是解题关键． （1）①根据长方形面积公式列式计算； ②用作差法比较大小即可； （2）①求出乙长方形的周长，即可求出该正方形的边长；②列式计算与的差，可知与无关． 【详解】（1）解：①． ② ． 因为， 所以， 所以． 故答案为①；②>． （2）①长方形纸片乙的周长为． 因为正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等， 所以正方形纸片的边长为． 故答案为； ②正确．理由：， 所以与的差是定值，即小方同学的发现是正确的． 26．【数学实验】如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为a、宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）．利用若干个图①中的图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如：图②可以解释为． 【初步运用】 （1）图③可以解释为_______； （2）取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的长和宽分别为和．不画图形，试通过计算说明需要多少个C类图形； 【拓展运用】 （3）若取图①中的若干个图形拼成一个长方形，使它的面积为，通过操作发现拼成的长方形的长为_______，宽为_______． 【答案】（1）；（2）需要15个C类图形；（3）， 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用； （1）根据图③面积两种求法即可得到结论； （2）根据多项式乘多项式的法则即可得到结论； （3）根据已知条件可画出图形，于是得到长方形的两边． 【详解】解：（1）图③面积由面积公式可得，由四个图形拼成可得面积， ∴； 故答案为：； （2）∵，边长为b的大正方形（C类）面积为， ∴长方形的长和宽分别为和，需要15个C类图形； （3）图形如下： ∴长方形的面积为，它长是，宽是． 故答案为：，． 27．如图①，有A，B，C，D四种不同型号的卡片，每种卡片各有2张．A型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，c的长方形，C型卡片是相邻两边长分别为c，d的长方形，D型卡片是相邻两边长分别为b，d的长方形．从中取若干张卡片（每种卡片至少取1张），把取出的这些卡片拼成一个长方形（注：a，b，c，d各不相等）． (1)在图②，图③中画出拼得的两种长方形的示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）． (2)图②中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______．图③中，长方形的面积既可以表示为_______，又可以表示为_______，所以可得等式：_______． (3)除了图②和图③，你觉得还可以拼出多少种不同的长方形？说说你的想法． 【答案】(1)见详解 (2)，，， (3)5种 【分析】本题考查几何的基础模型，通过4个不同的长方形可以拼接成新的长方形，同时也是因式分解的几何表示方法． （1）通过图形可知，边需要和边重合，则有另一边为的矩形，边和边重合，则有另一边为的矩形，然后将的边重合，则得到新的矩形， （2）根据图②中的矩形数量，可知面积可以表示为，根据新的矩形的两边长分别为和可得，矩形面积为，故可以用等式来连接，图③同理可得， （3）根据前边的推论，结合多项式乘法即可推出其他种长方形． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：图②的面积可以表示为：，也可以表示为， ∴， 图③的面积可以表示为：，也可以表示为， ∴， 故答案为：，，； （3）解：根据条件可得，除了图②和图③外，还可以拼出五种不同的长方形， 第一种，由， 故长方形的长为，宽为，由1个卡片，2个卡片，2个卡片，1个卡片拼得； 第二种，由， 故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，2个卡片，2个卡片拼得； 第三种，由， 故长方形的长为，宽为，由1个卡片，1个卡片，2个卡片，2个卡片拼得； 第四种，由， 故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，1个卡片，1个卡片拼得； 第五种，由， 故长方形的长为，宽为，由2个卡片，2个卡片，2个卡片，2个卡片拼得． 28．在乘法公式的学习中，我们通过用不同的方法求同一平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式．这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，称为等体积法．根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个棱长为a的正方体中挖出一个棱长为b的正方体，如图（1）所示．然后切割剩余的立体图形，如图（2）所示．将之分成三部分，如图（3）所示．这三部分长方体的体积依次为、、．    (1)因式分解： ． (2)请用两种不同的方法求图（1）中的立体图形的体积（用含有a、b的代数式表示）： ① （整式乘积的形式）； ② ． 利用等体积法，能得到公式： ． (3)应用：利用在（2）中所得到的公式进行因式分解：． (4)拓展：若，，则的值为 ． 【答案】(1) (2)；； (3) (4)22 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，立方差公式的几何背景，乘法公式在因式分解中的应用，正方体的体积公式等，理解题意，熟练掌握因式分解的方法与技巧，乘法公式的结构特征是解决问题的关键． （1）根据提公因式法可得； （2）由（1）可得，立体图行体积等于图3的三个立体图形的体积和，根据等式可得①②；根据图1和图3可得立体图形体积关系是：； （3）根据，可进一步分解因式； （4）根据上述公式进行因式分解，同时运用完全平方公式进行变形可得． 【详解】（1）解：分解因式：， 故答案为：； （2）解：①； ②即； 利用等体积法，能得到公式：， 故答案为：；；； （3）解：； （4）解：因为，， 所以 ， 故答案为：22． 【压轴题型五 多项式乘法中的规律性问题】 29．观察下列关于自然数的等式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；； 利用等式的规律，解答下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了数字变化规律，整式的运算，读懂题意，找出规律是解题的关键． （）根据自然数的等式规律即可求解； （）根据自然数的等式规律即可求解，然后通过整式乘法法则进行验证即可． 【详解】（1）解：∵第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 故答案为：； （2）解：∵第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； ； ∴第个等式为：， 证明：左边， 右边， ∴左边右边． 30．（1）计算：①_______；②_______；③_______；④_______． （2）观察第（1）小题每个等式中的两个因数与积的特征，尝试借助字母和符号将该特征表示出来． （3）用本章所学知识解释第（2）小题的结论． （4）口算：①_______；②_______；③_______． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）；（3）见解析；（4）①3016；②4221；③9025 【分析】本题考查数字变化的规律． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）设第一个因数的十位数为a，个位数为b，则这两个因数分别表示为和； （3）根据多项式乘多项式的运算法则可得答案； （4）根据（3）的结论解答即可． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④． 故答案为：3021；1216；7224；5609； （2）设第一个因数的十位数为a，个位数为b，则这两个因数分别表示为和， ∴； （3） ； （4）①； ②； ③． 故答案为：3016；4221；9025． 31．观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律，_______． (2)由此归纳出一般规律_______（其中n为正整数）． (3)根据以上规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式中的规律性问题，准确计算是解题的关键． （1）根据给出式子的规律书写即可； （2）根据给出式子的规律即可得出结果； （3）根据（2）中的规律计算即可； 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案是：． （2）解：根据题意得：； 故答案是：； （3）解： 32．综合与探究； 下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是； 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 【规律】（1）请根据规律，写出第4个等式：________________； 【猜想】（2）猜想：________（其中n为正整数，且）； 【应用】（3）利用（2）猜想的结论计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查多项式乘法中的规律性问题，理解题意，发现规律是解题的关键． （1）观察式子，发现式子的规律即可写出等式； （2）根据式子的规律即可写出式子； （3）把（2）中式子中的，，代入即可求解． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）根据规律可得： 故答案为：； （3）设（2）式中的，，，则有 即 ∴， ∴． 33．杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：              1             1  1           1  2  1         1  3  3  1        1  4  6  4  1 …… …… 请根据上述材料解决下列问题： (1)的展开式中第三项为___________； (2)的展开式中系数为10的项是___________； (3)求的展开式中含项的系数． 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算中的某项的系数的规律探究，掌握探究的方法并总结运用规律是解本题的关键． （1）利用题干表的系数对应写出展开式，即可求解三项； （2）利用题干表的系数对应写出展开式，找出系数为10的项即可； （3）先计算，，，再观察得到的前面两项，再利用前面两项的系数规律可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴第三项为， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴系数为10的项为和， 故答案为：和； （3）解：，，，…， 观察可知：展开式的前两项为， ∴当时，含项的系数为． 34．综合与实践     【实际情境】如图，将一块矩形按照如图方式横纵分割成若干个不重复的小矩形，其中记分割的线段数量为，分割后小矩形的数量为，如图1，当时，；图2中，，；图3中，，． (1)【问题理解】若，则的值可能是______，并在图4中画出相应的示意图（任意画出一种符合条件的情况）； (2)【问题延伸】若，则的值可能是______（任写一个符合条件的值）； (3)【得出结论】当为偶数时，的最大值是多少？我们可以这样证明： 设，其中为正整数，若横线为条，则竖线为______条，其中，则最终分成的小矩形个数______，当______时，有最大值，此时______（用含有的式子表示）． 【答案】(1)4或6，作图见解析 (2)6（答案不唯一） (3)，，0， 【分析】本题考查找图形的规律，列代数式，整式的乘法． （1）画出分割图形，即可解答； （2）由于，或，或，可得到分割成小矩形的情况，即可解答； （3）根据题意，列出代数式，运用整式的乘法进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，可以如下进行分割，此时或， 故答案为：4或6 （2）解： ，可将大矩形分割为4行4列的小矩形，此时； 或，可将大矩形分割为8行2列的小矩形，此时； 或，可将大矩形分割为16行1列的小矩形，此时． 综上所述，或8，15． 故答案为：6（答案不唯一） （3）解：设，其中为正整数，若横线为条，则竖线为条，其中，则最终分成的小矩形个数， ∵， ∴当时，有最大值，此时． 故答案为：，，0， 35．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 1 第二行 1  1 各项系数和为 第三行 1  2  1 各项系数和为 第四行 1  3  3  1 各项系数和为 … … … … 此图揭示了（为非负整数）、的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)多项式展开式共有 项，第二项的系数为 ，各项系数和为 ； (2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，…，记，，，…，请完成下列问题： ①计算； ②计算； 【答案】(1)6，5，32 (2)①21；② 【分析】本题考查数字变化类，多项式的乘法； （1）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可． （2）①根据规律得出，进而将代入进行计算即可求解； ②将已知式子裂项，即可求解； 【详解】（1）解：根据“杨辉三角”可知， 第2行，展开后，各项的系数和为， 第3行，展开后，各项的系数和为， 第4行，展开后，各项的系数和为， 第5行，展开后，各项的系数和为， 第6行，展开后，各项的系数和为， … 展开后，各项的系数和为， ∴多项式展开式共有6项，第二项的系数为，各项系数和为32； 故答案为：6，5，32． （2）①由题意得：、、 ∴ ∴； ②由题意得：、、 ∴ ∴ ． 【压轴题型六 单项式乘多项式的应用】 36．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，积的乘方计算，单项式乘以单项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： ． 37．请将小亮解答的问题（1）补充完整，再仿照他的方法解答问题（2）． (1)简便计算：．小亮的解答如下： 解：设，则 ，则 原式 (2)简便计算：． 【答案】(1)，补充见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，正确理解题意是解题的关键， （1）根据多项式乘以多项式的计数法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）设，则，则只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：解：设，则 ，则 原式 ； （2）解：设，则， ∴原式 ． 38．如图①，将一张长为，宽为的矩形卡片过顶点A剪去一个角后分别以为轴旋转一周，得到两个几何体（图②，图③）．试猜想哪个几何体的体积更大，并通过计算证明自己的猜想． 【答案】图③中圆锥的体积更大，理由见解析 【分析】此题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是：分两种情况分别计算几何体的体积，再比较大小，先计算体积，再作差比较大小即可. 【详解】解：图③中圆锥的体积更大．理由如下： 设图②中圆锥的体积为，图③中圆锥的体积为， 则， ∴． ∴，则， ∴图③中圆锥的体积更大． 39．如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区（休息区面积大于泳池）．（结果需要化简） (1)求长方形游泳池面积； (2)求休息区面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，整式运算的实际应用： （1）用长方形的面积公式进行计算即可； （2）用大长方形的面积减去泳池的面积，进行计算即可． 【详解】（1）解：； 答：长方形游泳池面积为； （2）解：； 答：休息区面积为． 40．如图，长方形的长，宽分别为米，米，，满足，一动点从出发以米/秒的速度沿运动，另一动点从出发以米/秒的速度沿运动，设、同时出发，运动的时间为． (1)求、的值； (2)用含的式子表示的面积（写出推理过程）． 【答案】(1)，； (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】（1）由绝对值非负性即可得解； （2）分三种情况分析：、、，结合不同时间点、点的运动情况即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：且， 解得：，； （2）解：当时，在上，在上，（米）． 则；． 当时，在上，在上，， ∴， 则； 当时，和都在上，在的左边，，， 则，． 综上，当时，； 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查的知识点是绝对值非负性、列代数式、整式的乘法、整式的加减，解题关键是根据点、点的运动情况分时段讨论． 41．7个如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为 的长度为m． (1)填空： ____，_______（用含a、b、m的式子表示）； (2)若的值与m的取值无关，求a与b的数量关系； (3)在（2）的条件下，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的意义，整式加减中的无关型问题，正确求出和是解题的关键． （1）根据题意分别表示出两个阴影部分长方形的长和宽，进而表示出对应的面积即可； （2）根据（1）所求结合整式的加减计算法则求出的结果，再根据结果与m无关列式求解即可； （3）根据（2）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； ； （2）解：由（1）得， ∵的值与m的取值无关， ∴， ∴； （3）解：由（2）得． 42．（1）如图1，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （2）如图2，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （3）如图3，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，已知正方形的边长为8，则的面积为 （请直接写出结果，不需要过程） 【答案】（1）   （2）    （3）64 【分析】本题考查了整式的乘法运算的应用，关键是割补思想的应用； （1）由，结合整式的乘法即可求解； （2）由，结合整式的乘法即可求解； （3）利用（1）（2）的结论即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）连接，如图3， 由（1）可得的面积， 由（2）可得：三角形的面积为， 所以，的面积， 故答案为：64． 【压轴题型七 平方差公式与几何图形】 43．如图所示：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形． (1)上述操作能验证的等式是 ． A． B． C． (2)已知，，则 ． (3)应用所得的公式计算： (4)应用所得的公式计算： 【答案】(1)B (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）因为图1的面积，图2的面积，得到，即可得到答案； （2）根据平方差公式得到，继而得到； （3）利用平方差公式计算即可； （4）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：图1的面积，图2的面积， ， 故选：B； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解： ； （4）解： ． 44．实践探究题 某数学兴趣小组利用“等面积法”分别构造了以下两种图形验证“平方差公式”． (1)探究：以下两种图形能够验证平方差公式的是_______（填序号） (2)应用：利用“平方差公式”计算 (3)拓展：运用平方差公式计算 【答案】(1)① (2)1 (3) 【分析】此题考查了数形结合思想推导代数式恒等式和平方差公式的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）根据图形面积求法进行求解即可． （2）运用平方差公式进行求解． （3）将原式变形成，再根据平方差公式进行求解即可． 【详解】（1）解：图①验证了等式， 图②验证了等式， ∴图形①能够验证平方差公式， 故答案为：①； （2）解： ； （3）解： ． 45．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景， （1）用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式化为，再连续利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③； （2）解： ； （3）解： ． 46．如图1，在边长为a的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图2． [探究] （1）请列式表示：图1中阴影部分的面积为 ，图2中阴影部分的面积为 ；根据两图中阴影面积相等，可以得到乘法公式 ． [应用] （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，则 ； ②计算：． 【答案】（1）,，；（2）①8，② 【分析】（1）图①中阴影部分的面积是两个正方形面积的差，图②中阴影部分的面积是长为，宽为的长方形面积；易得两图的阴影部分面积相等，即可列出式子； （2）①根据（1）的公式，代入数值计算，即可作答． ②各项都应用公式计算即可抵消，得到结果． 本题考查平方差公式的几何意义和平方差公式的应用，解题的关键是数形结合思想的运用及熟练掌握平方差公式． 【详解】解：（1）依题意，在图①中， ∵大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 在图②中， ∵阴影部分为长方形，长为，宽为 ， ∴阴影部分的面积为； ∵两图的阴影部分面积相等， ∴可以得到乘法公式； 故答案为：,，； （2）① ∵，， 则， 故答案为：8； ② ． 47．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ；  （请选择正确的一个） A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知 ，，求的值． ②计算： 【答案】(1)C (2)①3；② 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式； （2）①把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解； ②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解． 【详解】（1）解：第一个图形中阴影部分的面积是，第二个图形的面积是， 则． 故选：C； （2）解：①∵，， ∴ 得：； ② ． 48．【教材呈现】七年级教材下册“第8章 整式乘法”中，通过拼图、推演，得到了整式乘法法则和公式，在学习过程中让同学们了解到了公式的几何背景，感受了数形结合的思想方法．如课本39页，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形（如图1）， 通过计算图中的阴影面积，小明发现了一个重要的乘法公式： ． 其实，通过拼图算面积这种方法不仅能得到许多公式，还可以证明很多重要的定理． 【活动材料】：如图2，4张A型直角三角形纸片． 【活动要求】：利用这些纸片（每种纸片需全部使用）拼成一个新的正方形，通过不同的方法计算图形的面积，从而探究出相应的等式． 【活动内容】： （1）图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”，它是由4张A型直角三角形纸片与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，最长的斜边为c．试探究 之间的数量关系并说明理由． （2）利用上述结论计算：若，求的值． 【答案】教材呈现：；活动内容：（1），理由见解析；（2） 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，结合图形得出关系式是解题的关键． 教材呈现：先用大小正方形的面积差表示第一个图的阴影部分面积，根据矩形面积公式表示第二个图的阴影面积，最后根据两个阴影部分的面积相等列出等式便可； 活动内容：（1）根据大正方形的面积等于4个全等直角三角形的面积加上中间小正方形的面积列出方程，再通过恒等变形得结论便可； （2）用及求得，再由求得，进而由平方差公式求得结果． 【详解】解：教材呈现：第一个图的阴影部分面积为：， 第二个图阴影部分的面积为：， ∴重要的结论为：， 故答案为：； 活动内容：（1），理由如下： ，或， ， ， ； （2）由题意知：， ， ， ， ， ， ． 49．如图，和谐广场有一块长为米、宽为米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米） (1)用含有，的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)13200平方米 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，熟练的应用整式的乘法运算解决问题是解题的关键． （1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积计算即可； （2）把，，代入（1）所求结果中计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意， 绿化的总面积为平方米． （2）解：当，时，（平方米）， 绿化的总面积为13200平方米． 【压轴题型八 完全平方公式在几何图形中的应用】 50．如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接、、． (1)用含、的代数式表示________________； (2)若两个正方形的面积之和为60，且，求图中线段的长； (3)记的面积为，则______________（用字母表示）． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，解题的关键是完全平方公式展开与合并． （1）可由图形直观的得出结论； （2）利用完全平方公式通过展开推导，再将数值代入计算可得； （3）通过割补法计算可得，的面积为． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：∵两个正方形的面积之和为60， ∴， ， ， ； （3）解： ． 故答案为：． 51．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式：_______ (2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式； (3)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若，求的值 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的应用，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （2）利用多项式乘以多项式的法则和完全平方公式进行计算即可； （3）利用（1）中结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：大正方形的面积为：； （2） ； 或 ； （3）由（1）知：， ∴， ∵， ∴； ∴． 52．如图1，正方形A、B、C的边长分别为m、n、p，且． (1)将一个A种和一个B种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，从而可以得到一个乘法公式为 ． (2)如图3，将正方形A、B、C拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式 ． (3)利用用正方形A、B、C画出恰当的图形，说明 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）方法一：求出这个大正方形的边长，利用正方形的面积公式求解即可得；方法二：根据这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和即可得；由此即可得出乘法公式； （2）利用两种方法求出大正方形的面积，由此即可得出等式； （3）利用正方形甲、乙、丙构造图形，根据图形中的面积关系即可得． 【详解】（1）解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 从而可以得到一个乘法公式为， 故答案为：； （2）解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 则所得到的等式为， 故答案为：； （3）解：构造图形如下：其中，图形是边长为的正方形， 则图形的面积为，阴影部分的面积为， 所以由图知． 53．（1）如图1，是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为______； （2）①如图3，是几个正方形和长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为______； ②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值． （3）如图4，是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为的大正方体，通过用不同的方法表示这个大正方体的体积，求当时，代数式的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用图形的面积和体积来得到数学公式，关键是灵活进行数形结合来分析． （1）由图形面积的两种不同表示方法可得等式； （2）①由图形面积的两种不同表示方法可得等式； ②由等式利用代入法即可求解； （3）由图形体积的两种不同表示方法可得等式，利用代入法即可求解． 【详解】解：（1）大长方形的长为，宽为，面积为， 也可表示为四个长方形的面积，，，的和， ∴， 故答案为：； （2）①如图3，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形， 用不同的方法表示这个大正方形的面积， 得到的等式为； 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴； （3）如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体， 整体上大正方形的体积为， 组成大正方体的2个小正方体和6个小长方体的体积的和为， ∴得到的等式为； ∵，， ． 54．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． (1)观察下列图形，找出可以推出的代数公式． 公式： ；公式：； 公式：；公式：； 图对应公式 ；图对应公式 （填序号）； (2)解决问题：已知，，求的值； (3)如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都是正方形时，若，正方形和正方形的面积和为，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，单项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）根据图、图中面积之间的关系可得答案； （2）根据完全平方公式求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，由于，正方形和正方形的面积和为，，，然后根据即可解答． 【详解】（1）解：图整体上是长为，宽为，因此面积为，拼成图的三个长方形的面积为， ， 图对应公式是， 图整体上是长为的正方形，因此面积为，拼成图的四个长方形的面积为， ， 图对应公式是， 故答案为：，； （2）解：， ，即， ， ， 解得：； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，由于，正方形和正方形的面积和为， ，， ． 55．我们知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如，由图1可以得到，请解答下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式 ； (2)利用（1）中所得到的结论，解决问题：已知，，求的值； (3)小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张宽和长分别为和的长方形纸片拼出一个面积为的长方形．请仿照图2，画出拼出的长方形并求出的值． (4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数式恒等式．图4表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中的数据以及图形的变化关系，写出一个数学等式 ．（等式的两边均不用化简） 【答案】(1) (2)； (3)图见解析，9； (4) 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答． （1）根据数据表示出正方形的长，再根据正方形的面积公式写出等式的左边，然后表示出每一小部分的面积，最后根据面积相等即可写出等式． （2）根据利用（1）中所得到的结论，将，作为整体代入即可求出． （3）根据题意画出图形，再根据多项式乘多项式求出，得出，，，然后求出代数式的值即可； （4）用两种方法表示正方体挖去一个长方体后剩余部分的体积，即可得出这个数学等式． 【详解】（1）解：图中所表示的数学等式为： ， 故答案为：． （2）解：∵， ， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 又∵边长为的正方形面积为，边长为的正方形面积为，宽、长分别为、的长方形纸片面积为， ∴需要边长为的正方形纸片2张，边长为的正方形纸片2张，宽、长分别为、的长方形纸片5张，如图， 即，，， ∴， 故答案为：9； （4）解：长为m的正方体挖去一个长方体后体积为：， 新长方体的长为，宽为m，高为，则体积为：， ∴可以得到的数学等式为． 故答案为：． 56．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论 (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形(下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号) 公式①；； 公式②：； 公式③；； 公式④：． 图1对应公式 ，图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 ． (2)如图5，在等腰直角三角形中，，为边上任意一点不与端点重合，过点作于点，过点作交的延长线于点．记与的面积之和为，与的面积之和为． ①若为边的中点，则的值为 ； ②若不为边的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程，请说明理由． 【答案】(1)①，②，④，③； (2)①，②成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了乘法公式与几何图形的面积，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断； （2）①由题意可得，，，都是等腰直角三角形，四边形是正方形，设，从而用含的代数式表示出、进行计算即可； ②由题意可得，，，都是等腰直角三角形，四边形是长方形，设，，从而用含、的代数式表示出、进行计算即可． 【详解】（1）解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③； 故答案为：①，②，④，③； （2）解：①由题意可得：，，，都是等腰直角三角形，四边形是正方形， 设， ，，，， ， ， ； 故答案为：； ②成立，证明如下： 由题意可得：，，，都是等腰直角三角形，四边形是长方形， 设，， ，，，， ， ， 仍成立． 56 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $$