数学（辽宁卷01）-学易金卷：2025年中考押题预测卷

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考押题预测卷（辽宁卷01） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）. 1．蛇年春晚，机器人扭秧歌节目刷屏海内外，中国开启人形机器人智造的黄金时代．国产机器人不仅可以后空翻，而且能前空翻．若人形机器人向前进行15次空翻记作，则人形机器人向后进行10次空翻记作（  ） A． B． C． D． 2．如图所示几何体的左视图是（   ）． A． B． C． D． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．中国拥有万公里大陆海岸线和万公里岛屿海岸线，海洋资源丰富．近年来，中国持续推动海上养殖业转型升级，“蓝色粮仓”日渐充实．中国已建设169个国家级海洋牧场；依赖网箱、物联网监测、“鱼脸识别”等高新技术，实现精准养殖，1个智能网箱每年至少能产出110万条鱼，只需要4个工人来操作．数据“110万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程没有实数根，则t的值可以为（   ）． A． B． C．0 D． 6．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 7．已知点 ，点在一次函数 的图象上，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 8．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（   ） A．设有名客人，个盘子，根据题意可得 B．设有名客人，根据题意可得 C．有20名客人 D．有13个盘子 9．如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上） 11．化简 ． 12．在直角坐标系中，点关于轴的对称点为，将点向左平移3个单位得到点，则的坐标为 ． 13．长江是中华文明的重要摇篮，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选两种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”和“荆楚文化”的概率是 ． 14．如图，矩形的顶点C在反比例函数的图象．上，反比例函数的图象与，分别交于点E，F，轴于点H，轴于点G，与相交于点M．有下列说法：①矩形的面积是1；②的面积是 ；③矩形与矩形的面积一定相等；④若的面积为，矩形的面积为，则必有．其中说法正确的是 （填序号）． 15．如图所示，已知矩形，点E为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点G，则线段的最大值是 ． 三、解答题 （本大题共8小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（10分）（1）计算：； （2）化简：． 17．（8分）某商店销售，两种型号的商品，销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元． (1)求每台型和型商品的销售利润； (2)商店计划购进，两种型号的商品共10台，其中型商品数量不少于型商品数量的一半，设购进型商品台，这10台商品的销售总利润为元，求该商店购进，两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？ 18．（9分）2025年1月，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》的通知，将实验等探究实践纳入评价体系．某校根据实际情况组织了一次理化实验操作测试，分为物理组和化学组，每场测试每组各有12名学生，每名学生随机抽取1道试题进行测试，满分10分，成绩均为整数，下面是根据某场测试成绩绘制的不完整的统计图表： 组别 平均分 方差 中位数 物理组 2.08 7 化学组 8.25 1.52 请解答下列问题： (1)_________，_________． (2)你认为哪一组学生的成绩较好？请说明理由． (3)该场测试结束后，老师准备从四名得满分的学生中随机抽取两名分享实验操作经验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名物理组和一名化学组学生的概率． 19．（8分）景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 20．（8分）年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内?并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，） 21．（8分）如图，在中，点是边的中点，且，点在边上，经过点且与边相切于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径及的长． 22．（12分）综合与实践 【问题情境】 求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，小亮取了自变量x的4个值，再分别算出相应的y值，列表得： x的值 0 1 2 3 的值 13 30 小亮通过分析得出结论：方程必有两个解，其中一个解大于1且小于2，设这个解为x，即． 进一步取值，得到下表： x的值 1.0 1.1 1.2 1.3 的值 0.84 2.29 得出结论：． 【操作判断】 （1）若关于x的一元二次方程在实数范围内有两个解、（其中）． 根据下列表格 x的值 1 1.5 2 2.5 的值 4 10 你能得出_________的大致范围（填“”或“”）；请你写出这个解的取值范围：_________． 【实践探究】已知二次函数（n为常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． （2）若仅有一个交点的横坐标x满足，求出n的取值范围． （3）不论n为何值，二次函数必过定点E． ①求E点坐标； ②连结，若，请求出n的值． 23．（12分）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为　　． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第9页（共8页） 试题 第10页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考押题预测卷（辽宁卷 01） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 15分） 11．_________________ 12．___________________ 12．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8个小题，共 75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（9分） 组别 平均分 方差 中位数 物理组 a 2.08 7 化学组 8.25 1.52 b 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ x 的值 1 1.5 2 2.5 2ax bx c  的值 5 1 4 10 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 2025年中考押题预测卷（辽宁卷01） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）. 1．蛇年春晚，机器人扭秧歌节目刷屏海内外，中国开启人形机器人智造的黄金时代．国产机器人不仅可以后空翻，而且能前空翻．若人形机器人向前进行15次空翻记作，则人形机器人向后进行10次空翻记作（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负号的应用，向前空翻记作“”，则向后空翻记作“”，由此可解． 【详解】解：向前进行15次空翻记作，则人形机器人向后进行10次空翻记作， 故选：B． 2．如图所示几何体的左视图是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握左视图为在侧面内得到的由左向右观察物体的视图．注意：可见部分的轮廓线用实线表示，被其他部分遮挡而看不见的部分用虚线表示．根据左视图的定义即可得出答案． 【详解】解：根据几何体的图示可以得到左视图的形状应该是中间为虚线的直角梯形， 即左视图如下： 故选：D． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 4．中国拥有万公里大陆海岸线和万公里岛屿海岸线，海洋资源丰富．近年来，中国持续推动海上养殖业转型升级，“蓝色粮仓”日渐充实．中国已建设169个国家级海洋牧场；依赖网箱、物联网监测、“鱼脸识别”等高新技术，实现精准养殖，1个智能网箱每年至少能产出110万条鱼，只需要4个工人来操作．数据“110万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，正确记忆科学记数法的表示形式和a，n的值的取值要求是解题关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：万． 故选：C． 5．若关于x的一元二次方程没有实数根，则t的值可以为（   ）． A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当“”时，该方程无实数根．直接利用根的判别式进行判断，求出t的取值范围即可． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∴t的值可以是， 故选：A． 6．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查分式方程增根情况及运用，解题的关键是注意关键词“无解”与增根的关系． 找出方程中的最简公分母：，然后方程两边同乘最简公分母，化为整式方程可解，然后根据分式有无意义即可得出结果． 【详解】解： 根据题意，原分式方程无解， ①当时，即时，整式方程无解，所以原分式方程无解，符合题意； ②当原分式方程最简公分母时，即，是原分式方程的增根，也符合题意， 此时，， 解得； ∴的值是1或2， 故选：D． 7．已知点 ，点在一次函数 的图象上，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据得出随的增大而减小，结合随的增大而减小，则，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴随的增大而减小， ∵点 ，点在一次函数 的图象上，且 ∴， 故选：A． 8．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（   ） A．设有名客人，个盘子，根据题意可得 B．设有名客人，根据题意可得 C．有20名客人 D．有13个盘子 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设有x个客人，y个盘子．根据题意，得 ， 解得， 即：有30个客人，13个盘子． 所以，选项A，C错误；选项D正确； 设有x个客人，根据题意得，，故选项B错误； 故选：D． 9．如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，由折叠得是解题的关键．根据矩形的性质可得，，由平行线的性质及直角三角形的性质求出，根据折叠的性质可得，进而可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ，， 由折叠可知：， ， ， ． 故选：B． 10．如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算，正方形的性质，垂径定理，圆周角定理，作于H，利用垂径定理可得，利用圆周角定理得到，然后通过证得，得出，设，，根据勾股定理得出，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，作于H，则， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得， ，即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上） 11．化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质化简，二次根式有意义的条件，熟知二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由题意可知， ∴，则， ， 故答案为：． 12．在直角坐标系中，点关于轴的对称点为，将点向左平移3个单位得到点，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与轴对称，坐标与平移，根据关于轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到的坐标，再根据平移规则，求出的坐标即可． 【详解】解：由题意，， 将点向左平移3个单位得到点，则：， 即：； 故答案为：． 13．长江是中华文明的重要摇篮，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选两种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”和“荆楚文化”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出选择B巴蜀文化和C荆楚文化的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化分别用A、B、C、D表示， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中选择B巴蜀文化和C荆楚文化的结果数为2， 选中“巴蜀文化”和“荆楚文化”的概率是． 故答案为：． 14．如图，矩形的顶点C在反比例函数的图象．上，反比例函数的图象与，分别交于点E，F，轴于点H，轴于点G，与相交于点M．有下列说法：①矩形的面积是1；②的面积是 ；③矩形与矩形的面积一定相等；④若的面积为，矩形的面积为，则必有．其中说法正确的是 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】该题考查了反比例函数与几何综合，以及反比例函数值的几何意义，解题的关键是数形结合． 根据题意设，则，从而得出，再根据图象解答判断即可． 【详解】解：根据题意设， 则， ∴， ∴矩形的面积，故①错误； 的面积 ，故②正确； ∵反比例函数的图象与，分别交于点E，F， ∴， ∴， 即矩形与矩形的面积相等，故③正确； ∵的面积， 矩形的面积， ∴，故④错误； 故答案为：②③． 15．如图所示，已知矩形，点E为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点G，则线段的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】以为圆心，长为半径作圆，当与相切时，即，两点重合时，值最大，证明，得出，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：以为圆心，长为半径作圆，如图所示： 四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质得：，， ， 当与相切时，即，两点重合时，、、三点共线，值最大， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 在中，， ， 的最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、切线的性质等知识；熟练掌握折叠的性质，判断出当与相切时，即，两点重合时，值最大是解题的关键． 三、解答题 （本大题共8小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（10分）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了负整数指数幂、零次幂、算术平方根、分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简负整数指数幂、算术平方根以及零次幂，再运算加减，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，即可作答． 【详解】（1）解： （3分） ；（5分） （2）解： （8分） ． ．（10分） 17．（8分）某商店销售，两种型号的商品，销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元． (1)求每台型和型商品的销售利润； (2)商店计划购进，两种型号的商品共10台，其中型商品数量不少于型商品数量的一半，设购进型商品台，这10台商品的销售总利润为元，求该商店购进，两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？ 【答案】(1)型利润80元/台，型利润160元/台 (2)型4台，型6台，总利润最大 【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出一次函数解析式． （1）设型利润元/台，型利润元/台，由“销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元”建立方程组求解； （2）设型台，则型台，由总利润等于两种型号打印机利润之和列出利润W关于m的函数解析式，根据函数的增减性确定利润的最大值即可． 【详解】（1）解：设型利润元/台，型利润元/台 ， （2分） （4分） 答：型利润80元/台，型利润160元/台； （2）解：设型台，则型台， 型数量不少于型数量的一半， ， ， （6分） ， 随增大而减小 当时，， （8分） 答：型4台，型6台，总利润最大． 18．（9分）2025年1月，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》的通知，将实验等探究实践纳入评价体系．某校根据实际情况组织了一次理化实验操作测试，分为物理组和化学组，每场测试每组各有12名学生，每名学生随机抽取1道试题进行测试，满分10分，成绩均为整数，下面是根据某场测试成绩绘制的不完整的统计图表： 组别 平均分 方差 中位数 物理组 2.08 7 化学组 8.25 1.52 请解答下列问题： (1)_________，_________． (2)你认为哪一组学生的成绩较好？请说明理由． (3)该场测试结束后，老师准备从四名得满分的学生中随机抽取两名分享实验操作经验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名物理组和一名化学组学生的概率． 【答案】(1)7.5；8.5 (2)化学组，见解析 (3) 【分析】本题考查了平均数，方差，中位数，列表法或画树状图法求概率． （1）根据加权平均数和中位数的定义求解即可； （2）从平均数，方差，中位数中选一个特征量分析即可（答案不唯一）； （3）用列表法求解即可． 【详解】（1）解：分；（2分） ∵化学组成绩从小到大排，排在第6和第7位的分别是8和9， ∴．（4分） （2）解：化学组学生的成绩较好． 理由：化学组学生的高分人数多；化学组学生的平均分高于物理组；化学组学生成绩的方差比物理组小，即成绩更稳定，所以化学组学生的成绩较好．（6分） （3）解：记物理组的两名学生为、，化学组的两名学生为、．列表如下： — — — — 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名物理组和一名化学组学生的结果有8种， 所以（恰好抽到一名物理组和一名化学组学生）．（9分） 19．（8分）景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 【答案】(1) (2)70或80元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）令（1）中，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设，代入，， 则．（2分） 解得（3分） ．（4分） （2）解：．（6分） 解得，，（8分） 答：当获利12000元时，该纪念品的销售单价是70或80元． 20．（8分）年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内?并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)在规定范围内，理由见解析 【分析】（）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解； （）过点作于，解和求出的长，进而求出手绢端点与舞者距离即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，，（2分） ∴， ∴；（4分） （2）解：在规定范围内，理由如下： 过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，（6分） ∴在中，， ∵在中，，， ∴，（7分） ∴此时手绢端点与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内．（8分） 21．（8分）如图，在中，点是边的中点，且，点在边上，经过点且与边相切于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径及的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的半径为，的长为 【分析】（1）如图所示，延长至点，使得，连接，根据题意可证四边形是矩形，根据矩形的性质，切线的判定方法即可求证； （2）解直角三角形得到，如图所示，连接，根据切线的性质得到，设，则，由此列式得到，可得圆的半径为，从而得到，由勾股定理即可求． 【详解】（1）证明：如图所示，延长至点，使得，连接， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，（2分） ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，（3分） ∵经过点， ∴是半径， ∴是的切线；（4分） （2）解：由（1）可知，， ∴在中，，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵经过点且与边相切于点， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，，（6分） 当时，原分式方程有意义， ∴， ∴， ∴，（7分） ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴．（8分） 【点睛】本题主要考查切线的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形的运用，勾股定理的计算，掌握切线的判定和性质，解直角三角形的计算方法是关键． 22．（12分）综合与实践 【问题情境】 求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，小亮取了自变量x的4个值，再分别算出相应的y值，列表得： x的值 0 1 2 3 的值 13 30 小亮通过分析得出结论：方程必有两个解，其中一个解大于1且小于2，设这个解为x，即． 进一步取值，得到下表： x的值 1.0 1.1 1.2 1.3 的值 0.84 2.29 得出结论：． 【操作判断】 （1）若关于x的一元二次方程在实数范围内有两个解、（其中）． 根据下列表格 x的值 1 1.5 2 2.5 的值 4 10 你能得出_________的大致范围（填“”或“”）；请你写出这个解的取值范围：_________． 【实践探究】已知二次函数（n为常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． （2）若仅有一个交点的横坐标x满足，求出n的取值范围． （3）不论n为何值，二次函数必过定点E． ①求E点坐标； ②连结，若，请求出n的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）①；② 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合运用； （1）根据得到图象开口向上，再根据表格即可求出结果； （2）根据题意得到①或② ，计算求解即可； （3）①将函数变形为，根据当时，不论n取何值，y恒等于4，即可求出结果；②过点A作交于点D，分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F，证出，设，得到，得到，整理得到，对于函数，令，得到方程，由求根公式得到，并代入中，计算即可求出． 【详解】（1）∵， ∴图象开口向上， ∴根据表格数据能得出的大致范围，取值范围为， 故答案为：；；       （4分）                          （2）当时，； 当时，                   仅有一个交点的横坐标x满足， ①或②              （6分）     解①得：； 解②得：无解． 综上，n的取值范围为：；          （7分）     （3）①将函数变形为                由上式可知，当时，不论n取何值，y恒等于4， 故E点的坐标为．       （9分）           ②如图1，过点A作交于点D， 由可得为等腰直角三角形． 分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F， ， ， ．（10分） 设， 由题意可知，． ， ． ， ， ， 即，                                 整理得：．（★）（11分） 对于函数， 令，得到方程， 方程的判别式， 据题意，． 由求根公式，得， 代入（★）式，得，                   求得，此时满足． 其中，当时，情况如图2所示： 故．（12分） 23．（12分）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为　　． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）仍然成立，理由见解析； （3）或 【分析】延长交于点，根据矩形的性质和垂直的定义可证四边形是矩形，根据矩形的性质可知，根据直角三角形的性质可得； 由图可知，，从而可得：，由旋转可知，图中，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，从而可证仍然成立； 当时，四边形是正方形，当点在线段上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得，从而可得；当点在线段延长线上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得，从而可得． 【详解】解：如下图所示，延长交于点， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 又， ， 故答案为：；（3分） 解：仍然成立， 理由如下， 由图可知，，， ， ，（5分） 由图可知，由旋转可得：， ， ，（7分） ， ， ， ；.（8分） 解：当时，四边形是正方形， 如图，当点在线段上时，连接、， 四边形和四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ；（10分） 如图，当点在线段延长线上时，连接、， 四边形，四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ；（12分） 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据矩形的性质判断三角形相似，再利用相似三角形的性质找到边之间的关系． 28 / 29 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考押题预测卷（辽宁卷01） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 3 0 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11． _________________ 12 ． ___________________ 12． __________________ 14 ． __________________ 15. ___________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（本大题共8个小题，共 75 分 ， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 6 ．（ 10 分） 17 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 9 分） 组别 平均分 方差 中位数 物理组 2.08 7 化学组 8.25 1.52 19 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ．（ 8 分） 2 1 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( x 的值 1 1.5 2 2.5 的值 4 10 ) 22．（12分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 23．（12分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（辽宁卷01） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）. 1．蛇年春晚，机器人扭秧歌节目刷屏海内外，中国开启人形机器人智造的黄金时代．国产机器人不仅可以后空翻，而且能前空翻．若人形机器人向前进行15次空翻记作，则人形机器人向后进行10次空翻记作（  ） A． B． C． D． 2．如图所示几何体的左视图是（   ）． A． B． C． D． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．中国拥有万公里大陆海岸线和万公里岛屿海岸线，海洋资源丰富．近年来，中国持续推动海上养殖业转型升级，“蓝色粮仓”日渐充实．中国已建设169个国家级海洋牧场；依赖网箱、物联网监测、“鱼脸识别”等高新技术，实现精准养殖，1个智能网箱每年至少能产出110万条鱼，只需要4个工人来操作．数据“110万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程没有实数根，则t的值可以为（   ）． A． B． C．0 D． 6．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 7．已知点 ，点在一次函数 的图象上，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 8．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（   ） A．设有名客人，个盘子，根据题意可得 B．设有名客人，根据题意可得 C．有20名客人 D．有13个盘子 9．如图，科技社团的同学们用矩形硬纸板制作立体模型，其中一个结构的制作需将纸板沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上） 11．化简 ． 12．在直角坐标系中，点关于轴的对称点为，将点向左平移3个单位得到点，则的坐标为 ． 13．长江是中华文明的重要摇篮，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选两种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”和“荆楚文化”的概率是 ． 14．如图，矩形的顶点C在反比例函数的图象．上，反比例函数的图象与，分别交于点E，F，轴于点H，轴于点G，与相交于点M．有下列说法：①矩形的面积是1；②的面积是 ；③矩形与矩形的面积一定相等；④若的面积为，矩形的面积为，则必有．其中说法正确的是 （填序号）． 15．如图所示，已知矩形，点E为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点G，则线段的最大值是 ． 三、解答题 （本大题共8小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（10分）（1）计算：； （2）化简：． 17．（8分）某商店销售，两种型号的商品，销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元． (1)求每台型和型商品的销售利润； (2)商店计划购进，两种型号的商品共10台，其中型商品数量不少于型商品数量的一半，设购进型商品台，这10台商品的销售总利润为元，求该商店购进，两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？ 18．（9分）2025年1月，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》的通知，将实验等探究实践纳入评价体系．某校根据实际情况组织了一次理化实验操作测试，分为物理组和化学组，每场测试每组各有12名学生，每名学生随机抽取1道试题进行测试，满分10分，成绩均为整数，下面是根据某场测试成绩绘制的不完整的统计图表： 组别 平均分 方差 中位数 物理组 2.08 7 化学组 8.25 1.52 请解答下列问题： (1)_________，_________． (2)你认为哪一组学生的成绩较好？请说明理由． (3)该场测试结束后，老师准备从四名得满分的学生中随机抽取两名分享实验操作经验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名物理组和一名化学组学生的概率． 19．（8分）景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价． 20．（8分）年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内?并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，） 21．（8分）如图，在中，点是边的中点，且，点在边上，经过点且与边相切于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径及的长． 22．（12分）综合与实践 【问题情境】 求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，小亮取了自变量x的4个值，再分别算出相应的y值，列表得： x的值 0 1 2 3 的值 13 30 小亮通过分析得出结论：方程必有两个解，其中一个解大于1且小于2，设这个解为x，即． 进一步取值，得到下表： x的值 1.0 1.1 1.2 1.3 的值 0.84 2.29 得出结论：． 【操作判断】 （1）若关于x的一元二次方程在实数范围内有两个解、（其中）． 根据下列表格 x的值 1 1.5 2 2.5 的值 4 10 你能得出_________的大致范围（填“”或“”）；请你写出这个解的取值范围：_________． 【实践探究】已知二次函数（n为常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）． （2）若仅有一个交点的横坐标x满足，求出n的取值范围． （3）不论n为何值，二次函数必过定点E． ①求E点坐标； ②连结，若，请求出n的值． 23．（12分）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为　　． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 10 / 11 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（辽宁卷01） 数学·参考答案 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D D C A D A D B A 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上） 11． 12． 13． 14．②③ 15．/ 三、解答题 （本大题共8小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（10分） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了负整数指数幂、零次幂、算术平方根、分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简负整数指数幂、算术平方根以及零次幂，再运算加减，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，即可作答． 【详解】（1）解： （3分） ；（5分） （2）解： （8分） ． ．（10分） 17． （8分） 【答案】(1)型利润80元/台，型利润160元/台 (2)型4台，型6台，总利润最大 【分析】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出一次函数解析式． （1）设型利润元/台，型利润元/台，由“销售1台型和2台型商品的利润和为400元，销售2台型和1台型商品的利润和为320元”建立方程组求解； （2）设型台，则型台，由总利润等于两种型号打印机利润之和列出利润W关于m的函数解析式，根据函数的增减性确定利润的最大值即可． 【详解】（1）解：设型利润元/台，型利润元/台 ， （2分） （4分） 答：型利润80元/台，型利润160元/台； （2）解：设型台，则型台， 型数量不少于型数量的一半， ， ， （6分） ， 随增大而减小 当时，， （8分） 答：型4台，型6台，总利润最大． 18． （9分） 【答案】(1)7.5；8.5 (2)化学组，见解析 (3) 【分析】本题考查了平均数，方差，中位数，列表法或画树状图法求概率． （1）根据加权平均数和中位数的定义求解即可； （2）从平均数，方差，中位数中选一个特征量分析即可（答案不唯一）； （3）用列表法求解即可． 【详解】（1）解：分；（2分） ∵化学组成绩从小到大排，排在第6和第7位的分别是8和9， ∴．（4分） （2）解：化学组学生的成绩较好． 理由：化学组学生的高分人数多；化学组学生的平均分高于物理组；化学组学生成绩的方差比物理组小，即成绩更稳定，所以化学组学生的成绩较好．（6分） （3）解：记物理组的两名学生为、，化学组的两名学生为、．列表如下： — — — — 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名物理组和一名化学组学生的结果有8种， 所以（恰好抽到一名物理组和一名化学组学生）．（9分） 19． （8分） 【答案】(1) (2)70或80元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）令（1）中，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设，代入，， 则．（2分） 解得（3分） ．（4分） （2）解：．（6分） 解得，，（8分） 答：当获利12000元时，该纪念品的销售单价是70或80元． 20． （8分） 【答案】(1) (2)在规定范围内，理由见解析 【分析】（）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解； （）过点作于，解和求出的长，进而求出手绢端点与舞者距离即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，，（2分） ∴， ∴；（4分） （2）解：在规定范围内，理由如下： 过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，（6分） ∴在中，， ∵在中，，， ∴，（7分） ∴此时手绢端点与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内．（8分） 21． （8分） 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的半径为，的长为 【分析】（1）如图所示，延长至点，使得，连接，根据题意可证四边形是矩形，根据矩形的性质，切线的判定方法即可求证； （2）解直角三角形得到，如图所示，连接，根据切线的性质得到，设，则，由此列式得到，可得圆的半径为，从而得到，由勾股定理即可求． 【详解】（1）证明：如图所示，延长至点，使得，连接， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，（2分） ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，（3分） ∵经过点， ∴是半径， ∴是的切线；（4分） （2）解：由（1）可知，， ∴在中，，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵经过点且与边相切于点， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，，（6分） 当时，原分式方程有意义， ∴， ∴， ∴，（7分） ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴．（8分） 【点睛】本题主要考查切线的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形的运用，勾股定理的计算，掌握切线的判定和性质，解直角三角形的计算方法是关键． 22． （12分） 【答案】（1）；；（2）；（3）①；② 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合运用； （1）根据得到图象开口向上，再根据表格即可求出结果； （2）根据题意得到①或② ，计算求解即可； （3）①将函数变形为，根据当时，不论n取何值，y恒等于4，即可求出结果；②过点A作交于点D，分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F，证出，设，得到，得到，整理得到，对于函数，令，得到方程，由求根公式得到，并代入中，计算即可求出． 【详解】（1）∵， ∴图象开口向上， ∴根据表格数据能得出的大致范围，取值范围为， 故答案为：；；       （4分）                          （2）当时，； 当时，                   仅有一个交点的横坐标x满足， ①或②              （6分）     解①得：； 解②得：无解． 综上，n的取值范围为：；          （7分）     （3）①将函数变形为                由上式可知，当时，不论n取何值，y恒等于4， 故E点的坐标为．       （9分）           ②如图1，过点A作交于点D， 由可得为等腰直角三角形． 分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F， ， ， ．（10分） 设， 由题意可知，． ， ． ， ， ， 即，                                 整理得：．（★）（11分） 对于函数， 令，得到方程， 方程的判别式， 据题意，． 由求根公式，得， 代入（★）式，得，                   求得，此时满足． 其中，当时，情况如图2所示： 故．（12分） 23． （12分） 【答案】（1）； （2）仍然成立，理由见解析； （3）或 【分析】延长交于点，根据矩形的性质和垂直的定义可证四边形是矩形，根据矩形的性质可知，根据直角三角形的性质可得； 由图可知，，从而可得：，由旋转可知，图中，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，从而可证仍然成立； 当时，四边形是正方形，当点在线段上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得，从而可得；当点在线段延长线上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得，从而可得． 【详解】解：如下图所示，延长交于点， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 又， ， 故答案为：；（3分） 解：仍然成立， 理由如下， 由图可知，，， ， ，（5分） 由图可知，由旋转可得：， ， ，（7分） ， ， ， ；.（8分） 解：当时，四边形是正方形， 如图，当点在线段上时，连接、， 四边形和四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ；（10分） 如图，当点在线段延长线上时，连接、， 四边形，四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ；（12分） 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据矩形的性质判断三角形相似，再利用相似三角形的性质找到边之间的关系． 10 / 10 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$