精品解析：广东省深圳市福田区红岭中学2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

2024－2025学年度第二学期 七年级期中考试 数学试卷 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 锄禾日当午 C. 手可摘星辰 D. 林深见鹿踪 2. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. （） 4. 如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就，其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即如图2．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（　　） A. B. C. D. 5. 利用一块含角的透明直角三角板过点A作的边的垂线，下列三角板摆放的位置正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法中不正确的是（ ） A. 在同一平面内，不相交的两条直线一定平行 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 等角的补角相等 7. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论错误是（　　） A B. C. D. 8. 方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（ ） A. 105° B. 120° C. 130° D. 145° 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，，则______． 10. 若，则的值是______． 11. 深圳某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如表所示的数学 问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到，则他输入的密码是______． 账号： ， ， 密码． 12. 已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 _____． 13. 如图，直角三角形与直角三角形的斜边在同一直线上，，,平分，将绕点D按逆时针方向旋转（），在旋转过程中，当________时，与的一边平行． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）利用乘法公式计算：． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 如图，、在上，且，，，求证：与互相平分，且．补全下面解题过程： 证明：， __________＝__________，即， 在和中， （__________________）， ． （__________________）． 在和中， （__________________）， ，，即与互相平分． 17. 红岭中学七年级数学小组在综合实践活动中调查肯德基、真功夫和必胜客三家餐饮店的外卖评价情况．他们在美团外卖上找到这三家店，并分别随机选出了800条网络评价，统计如表： 等级 评价条数 店铺 五星 四星 三星及三星以下 合计 肯德基 m 278 120 800 真功夫 359 n k 800 必胜客 325 275 200 800 （1）根据统计表中的信息，计算 ； （2）若在“真功夫”的评价中，三星及三星以下占比为，则 ； （3）当顾客给出评价不低于四星时，可以称之为一次良好的用餐体验．根据调查的结果，顾客选择 _________（填店名），获得良好用餐体验的可能性最大． 18 如图，已知和射线，作于E． （1）仅用无刻度的直尺和圆规完成以下作图：在射线上作一点F（异于点B），使得（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若平分，证明：． 19. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1： ，方法2： ； （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是 ； （3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，，则 ． ②已知，求的值． 知识迁移】 （4）如图5，红岭中学前不久举办了第一届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形与小正方形的边长分别为a和b．已知两正方形边长之和，边长之积，且E为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和是 ． 20. 【综合实践活动】 【问题背景】 小亮想测量他家门口水塘两个端点A，B长度（如图1），但是小亮找不足够长度的绳子，小亮寻求哥哥的帮助． 【理论准备】 哥哥帮他出了这样一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度（如图2），请你帮小亮说明的长度等于水塘两个端点长度的原因； 【实际操作】 小亮实际测量时发现但是由于房屋的阻挡，无法采用上述的方法进行测量，哥哥提出仍然可以计算出长度（如图3），方法如下： （1）在房屋M墙边找一点C，使得； （2）在院子里找一点E，使得：此时发现； （3）测量出B到房屋M墙的距离，即：，； （4）测量出A到的距离，即：AE⊥CE，，同时发现； 经过以上的方法可以计算出的长度． 请根据哥哥的思路提示，帮助小亮完成计算出的长度： 解：如图4，延长至F，使得，连接． …… 【成果迁移】 如图5，海警船甲在指挥中心（A处）北偏西的B处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的C处，并且两艘船到指挥中心A的距离相等（），可疑船只沿北偏东的方向以20海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从B点向正东方向以30海里/小时的速度追击，两船前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达D，E处，且两船和指挥中心形成的夹角为，（），请直接写出此时甲、乙两船之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度第二学期 七年级期中考试 数学试卷 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 锄禾日当午 C. 手可摘星辰 D. 林深见鹿踪 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类：必然事件、随机事件及不可能事件；一定发生的事件是必然事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件；根据不可能事件的概念进行判断即可． 【详解】解：A、黄河入海流是必然事件，故不符合题意； B、锄禾日当午是必然事件，故不符合题意； C、手可摘星辰是不可能事件，故符合题意； D、林深见鹿踪是随机事件，故不符合题意； 故选：C． 2. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据0.000000022用科学记数法表示为． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. （） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，涉及同底数幂的乘除法，幂的、积的乘方运算，负整数指数幂，掌握计算公式是解题的关键． 分别根据同底数幂的乘除法，幂的、积的乘方计算公式判断即可． 详解】解：A、，原写法错误，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就，其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即如图2．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了余角的性质，对顶角的性质，根据反射定律和余角的性质可得，结合对顶角的性质可得，即可求解． 【详解】解：根据反射定律知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 利用一块含角的透明直角三角板过点A作的边的垂线，下列三角板摆放的位置正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的高的定义即可求解．从三角形一个顶点向它的对边(或对边所在的直线)作垂线，那么这个顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线 ． 【详解】解：∵画上的垂线， ∴垂足在直线上，过顶点A， 故选：D． 【点睛】本题考查了画三角形的高，掌握三角形高的定义是解题的关键． 6. 下列说法中不正确的是（ ） A. 在同一平面内，不相交的两条直线一定平行 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 等角的补角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面内直线之间的位置关系、角之间的关系，解决本题的关键是根据平面内直线之间的位置关系和角之间的关系进行判断． 【详解】解：A选项，在同一平面内的直线的位置关系只有相交和平行，所以在同一平面内，不相交的两条直线一定平行，故A选项正确； B选项：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，如果两直线不平行，则同位角不相等，故B选项不正确； C选项：在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故C选项正确； D选项：同角或等角的补角相等，故D选项正确． 故选：B． 7. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义和性质可判断B和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断A；根据三角形角平分线的意义可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∴，故D选项正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，故C选项错误，符合题意； 故选：C． 8. 方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（ ） A. 105° B. 120° C. 130° D. 145° 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质可知，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数． 【详解】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴， ∴∠BFE＝∠DEF＝25°． 由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°， ∴图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°． 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°-3∠BFE．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接运用同底数幂相乘，底数不变，指数相加法则的逆用，进行作答即可． 【详解】解：因为，， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘的逆用，难度较小，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加法则的逆用是解题的关键． 10. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据，结合条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 解得：， 故答案为： 11. 深圳某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如表所示的数学 问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到，则他输入的密码是______． 账号： ， ， 密码． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，幂的乘方，先化简各式，得出密码与指数的关系即可得答案，熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．易得、的面积均为面积的一半，同理可得，进而得到，由为中点，可得阴影部分的面积等于的面积的一半． 【详解】解：为中点， ， 为中点， ， ， 为中点， ，即阴影部分的面积为， 故答案为：． 13. 如图，直角三角形与直角三角形的斜边在同一直线上，，,平分，将绕点D按逆时针方向旋转（），在旋转过程中，当________时，与的一边平行． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，利用三角形内角和定理，得到，，根据与的一边平行，分以下三种情况讨论，若时，当时，若时，结合平行线的性质求解，即可解题． 【详解】解：如图，设与的交点为H， ，， ，， 若时，如图， ， ， 当时， ， 若时，如图， ， ， ， 故答案为：或或． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）利用乘法公式计算：． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、整式的乘法、乘法公式，解决本题的关键是熟练掌握整式的乘法，利用乘方公式进行计算． 根据同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则，可得：原式，然后再合并同类项即可； 首先根据乘方的运算法则、负指数幂的运算法则、指数幂的运算法则进行计算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可； 根据完全平方公式和多项式乘以多项式的法则把算式展开，可得：原式，再根据合并同类项的法则合并同类项即可； 首先把写成的形式，再用平方差公式展开可得：原式，再利用有理数的加法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 小问4详解】 解： ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了整式的整式的混合运算——化简求值，先计算括号内完全平方公式，平方差公式，再合并，然后进行多项式除以单项式化成最简，最后把，代入求值即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 16. 如图，、在上，且，，，求证：与互相平分，且．补全下面的解题过程： 证明：， __________＝__________，即， 在和中， （__________________）， ． （__________________）． 在和中， （__________________）， ，，即与互相平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．先证得，再证，根据全等三角形的性质即可证明与互相平分． 【详解】证明：， 即， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ，， 即与互相平分． 17. 红岭中学七年级数学小组在综合实践活动中调查肯德基、真功夫和必胜客三家餐饮店的外卖评价情况．他们在美团外卖上找到这三家店，并分别随机选出了800条网络评价，统计如表： 等级 评价条数 店铺 五星 四星 三星及三星以下 合计 肯德基 m 278 120 800 真功夫 359 n k 800 必胜客 325 275 200 800 （1）根据统计表中的信息，计算 ； （2）若在“真功夫”的评价中，三星及三星以下占比为，则 ； （3）当顾客给出评价不低于四星时，可以称之为一次良好的用餐体验．根据调查的结果，顾客选择 _________（填店名），获得良好用餐体验的可能性最大． 【答案】（1）402 （2）150 （3）顾客选择肯德基餐饮店．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． （1）用800减去四星和三星及三星以下的人数，即可得出m的值； （2）用800乘以三星及三星以下占比，即可求出k的值； （3）根据概率公式先求出三家餐饮店获得良好的用餐体验的可能性，再进行比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：． 故答案为：402； 【小问2详解】 解：由题意，可得． 故答案为：150； 【小问3详解】 解：顾客选择肯德基餐饮店．理由如下： 从样本看，肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 真功夫餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 必胜客餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例最高， 由此估计，肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例最高． 故答案为：肯德基． 18. 如图，已知和射线，作于E． （1）仅用无刻度的直尺和圆规完成以下作图：在射线上作一点F（异于点B），使得（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若平分，证明：． 【答案】（1）画图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是作一条线段等于已知线段，角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练的画图是解本题的关键. （1）以圆心，为半径画弧交于，则； （2）先证明，再证明，可得，从而可得结论； 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； ∵，， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 19. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1： ，方法2： ； （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是 ； （3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，，则 ． ②已知，求的值． 知识迁移】 （4）如图5，红岭中学前不久举办了第一届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形与小正方形的边长分别为a和b．已知两正方形边长之和，边长之积，且E为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和是 ． 【答案】（1）；；；（2）；（3）①24；②；（4） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）方法1：用大正方形面积减去四个小长方形面积列式；方法2：用小正方形的边长列式，即可作答： （2）根据（1）中方法1和方法2表示的图形面积相等，即可得到等量关系； （3）①根据（2）所得等式求出，再根据多项式乘法法则将所求代数式展开，整体代入计算求值即可；②利用完全平方公式求解即可 （4）根据图形列式得到阴影部分面积和为，再根据（2）所得等式计算即可． 【详解】解：（1）方法1：用大正方形面积减去四个小长方形面积列式可得：， 方法2：用小正方形的边长列式可得：； 故答案为：；； （2）∵（1）中方法1和方法2表示的图形面积相等， ∴； 故答案为：； （3）①∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：24； ②∵，， ∴ ， ∴； （4）阴影部分面积和为： ， ∵，， ∴， ∴阴影部分面积和等于． 20. 【综合实践活动】 【问题背景】 小亮想测量他家门口水塘两个端点A，B长度（如图1），但是小亮找不足够长度的绳子，小亮寻求哥哥的帮助． 【理论准备】 哥哥帮他出了这样一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度（如图2），请你帮小亮说明的长度等于水塘两个端点长度的原因； 【实际操作】 小亮实际测量时发现但是由于房屋的阻挡，无法采用上述的方法进行测量，哥哥提出仍然可以计算出长度（如图3），方法如下： （1）在房屋M墙边找一点C，使得； （2）在院子里找一点E，使得：此时发现； （3）测量出B到房屋M墙的距离，即：，； （4）测量出A到的距离，即：AE⊥CE，，同时发现； 经过以上的方法可以计算出的长度． 请根据哥哥的思路提示，帮助小亮完成计算出的长度： 解：如图4，延长至F，使得，连接． …… 【成果迁移】 如图5，海警船甲在指挥中心（A处）北偏西的B处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的C处，并且两艘船到指挥中心A的距离相等（），可疑船只沿北偏东的方向以20海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从B点向正东方向以30海里/小时的速度追击，两船前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达D，E处，且两船和指挥中心形成的夹角为，（），请直接写出此时甲、乙两船之间的距离． 【答案】理论准备：见详解；实际操作：；成果迁移：150海里 【解析】 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确理解题意，做出辅助线解答． （理论准备）：证明，即可求解； （实际操作）：证明，得出再证明根据即可求解； （成果迁移）：延长并截取，证明， ，根据即可求解； 【详解】（理论准备）：在和中 ， ， ； （实际操作）： 证明：由题意可得， 在和中 ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ； （成果迁移）：延长并截取， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 海里． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$