精品解析：吉林省长春市东北师大附中明珠学校2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试题

2024-2025学年东北师大附中初中部初二年级数学学科试卷第二学期期中考试 （时长：120分钟；分值：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各图象中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的定义．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数． 【详解】解：由图象得D图象有唯一的值与之对应，故D符合题意； A，B，C三个选项均不符合函数的定义， 故选：D． 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法和乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的加减运算法则和乘除运算法则．结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能相加，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项错误，不符合题意； C．，故本选项错误，不符合题意； D．，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（　　） A. y=3x+5 B. y=3x﹣5 C. y=3x+1 D. y=3x﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可求解． 【详解】解：将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是y=3x﹣1, 故选：D 【点睛】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键． 4. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. ． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解决此题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ，即， 故选：A． 5. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解： A．，这四条线段不成比例，故不符合题意； B．，这四条线段成比例；符合题意； C．，这四条线段不成比例，故不符合题意； D．，这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选：B． 6. 如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，若设栅栏的长为，则下列各方程中，符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据的长表示出线段或线段的长，利用矩形的面积列出方程即可． 【详解】解：设的长为x米，则， 根据矩形的面积得： 故选：A． 7. 小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于开始以正常速度匀速行驶，接着停下修车，后来加快速度匀驶，所以开始行驶路S是均匀减小的，接着不变，后来速度加快，所以S变化也加快变小，由此即可作出选择． 【详解】解：因为开始以正常速度匀速行驶，所以s随着t的增加而增加，随后由于故障修车，此时s不发生改变，再之后加快速度匀驶，s随着t的增加而增加，综上可得s先缓慢增加，再不变，再加速增加． 故选：C．　　　　 8. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数的图象于点，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，反比例函数的几何意义，根据，得到，是解答本题的关键．过B点作于E点，根据旋转的性质可得：，，即有是等边三角形，则有，得出，根据，可得，即可求解． 【详解】解：过B点作于E点，如图， 根据旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形， ∵， ∴，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限，则， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 10. 已知，则的值为____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，利用设参法，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故答案为：． 11. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．根据题意令根的判别式大于或等于零求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：． 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，．根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设另一个根为，由题意得， ∴， 故答案为：． 13. 计算的结果是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键．先根据绝对值、二次根式的性质化简，再合并即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 如图，直线分别与轴、轴交于点，，直线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，则下列说法正确的有________． ①； ②直线与轴夹角为； ③无论取何值，直线一定过定点； ④若直线与直线相交于点，则不等式的解集为． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，等腰三角形的性质，一次函数与不等式的关系，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．根据一次函数的图象直接判断①；先求解一次函数与坐标轴的坐标，结合等腰三角形的性质可判定②，把代入可判断③，由一次函数与不等式的关系结合图象可判断④，从而可得答案． 【详解】解：直线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点， ∴，故①正确，符合题意； 直线分别与轴、轴交于点，， 则，，即， ∴为等腰直角三角形，，②正确，符合题意； 将代入可得，， 即函数图象过点，③正确；符合题意； 直线与轴相交于点，即 直线与直线相交于点，将代入可得，， 即， 又∵ 根据图形可得：不等式的解集为，④不正确；不符合题意； 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先计算二次根式除法，再化简二次根式，最后计算二次根式加减法即可； （2）先利用平方差公式计算二次根式乘法，再计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）直接利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得：， 因式分解，得： ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴， 解得：，． 17. 某商品经过两次涨价，每件零售价由元涨为元，求平均每次涨价的百分率． 【答案】平均每次涨价的百分率为 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程应用，解题关键是根据题意列出一元二次方程，涨价一次则乘，涨价两次则乘，直接列一元二次方程求解即可． 【详解】依题意得：， 解得． 因为，所以； 答：平均每次涨价的百分率为． 18. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点． （1）反比例函数表达式为_________，一次函数的表达式为________； （2）求的面积； （3）当时．根据图象直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解含义解析式，坐标与图形面积，利用函数图象解不等式；熟练的利用数形结合的思想解题是关键． （1）将A点坐标代入反比例函数可得反比例函数解析式，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）令直线与x轴的交点为M．由，再计算即可； （3）直接利用函数图象解答即可． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数得，． ∴反比例函数的解析式为． 将、两点坐标代入一次函数解析式得， ，解得． ∴一次函数解析式为． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：将代入一次函数解析式得， 即点的坐标为． ∴，， 故． 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，x的取值范围是：或． 20. 阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： （1）写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________． （2）计算：； （3）比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法． （1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简； （2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子，再进行加减计算，即可求解； （3）先计算两数的倒数，根据分母有理化，进而比较即可求解． 【小问1详解】 解：的一个有理化因式为；分母有理化得， 故答案为：；． 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ∵ ∴ 故答案为：． 21. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，甲、乙两种粽子的进价和售价如表所示．该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍．设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． 进价（元／个） 售价（元／个） 甲种粽子 乙种粽子 （1）求与的函数关系式，并求出的取值范围； （2）超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润多少元？ 【答案】（1）(且为正整数)； （2）购进甲粽子个，乙粽子个才能获得最大利润，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数解析式； （1）设购进甲粽子个，则乙粽子个，由题意得，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，得； （2）由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购进甲粽子m个，则乙粽子个，利润为元， 由题意得：， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍， ∴， 解得：， 又∵为正整数，且两种粽子共个（两种都有）， 且为正整数 与的函数关系式为且为正整数； 【小问2详解】 ，则随的增大而减小，，即的最小整数为， 当时，最大，最大值， 则， 答：购进甲粽子个，乙粽子个才能获得最大利润，最大利润为元． 22. 某物流公司派遣甲、乙两辆快递车从仓库沿同一路线向某小区运输快件，甲车先从仓库出发，乙车随后也从该仓库出发，已知甲车在途中因故障停留1小时，修复后保持原来的速度继续行驶．甲、乙两车距仓库的距离（千米）与甲车出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． （1）乙车行驶速度为________千米/小时，________； （2）甲车故障修复后，求甲车距仓库的距离与之间的函数关系式； （3）直接写出在乙车行㳏过程中，甲、乙两车相距50千米时的值． 【答案】（1）； （2） （3）或时，甲、乙两车相距50千米 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图像上获取信息是解题的关键． （1）结合函数图像求解即可． （2）设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为结合（1）得出点在函数图像上，利用待定系数法求解即可． （3）先求得甲车各段距仓库的距离y与x之间的函数表达式，以及乙车距仓库的距离y与x之间的函数解析式，根据题意分类讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：乙车的行驶速度为：（千米／小时） 甲车的速度为：（千米／小时）， 则， 解得：， 经检验， 是原分式方程的解， 故． 故答案为：80；5.5 【小问2详解】 解：设甲车故障修复后，甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为， 把点，代入，得： ， 解得：， 则甲车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：当时， 当时， 当时， 设乙车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为，代入，得 解得： ∴乙车距仓库的距离y与x之间的函数关系式为 当时，， 解得： ∴ 当两车相遇前相距50千米时，时， 解得： 当时， 解得：（舍去） 当两车相遇后相距50千米时，当时， 解得： 综上所述，或时，甲、乙两车相距50千米 23. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． （1）列表： … … 其中，________，________． （2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． （3）研究函数并结合图像与表格，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则______，______（填“＞”、“=”或“＜”）； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，则的值为________； ③若直线与此函数图象有三个相交，则的取值范围是________． 【答案】（1）；0； （2）见详解； （3）①，；②；③ 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，画出函数图象是解题的关键． （1）选择对应的函数解析式，代入求值即可； （2）描点连线即可； （3）①把代入中，得，把代入中，得，然后比较即可；由（2）中的图象可知，当时，或或，当时，，即可比较； ②点，，在直线右则, 时，点，，关于对称，即可求解； ③直线分别过和时，求得对应的的值，结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，代入得，，即； 当时，代入得，，即 故答案为：；0 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：①把代入中．得 把代入中，得 ∴ 由（2）中的图象可知，当时，或或 当时， ∴ 故答案为：<，<. ②点，，在直线右则, 时，点，，关于对称， ∴. 故答案为：. ③如图， 当经过点时，， 解得： 当经过点时，， 解得： 根据函数图象可得，直线与此函数图象有三个相交则 故答案为：． 24. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点．点在此一次函数的图象上，其横坐标为，直线上、两点间的部分（包括、两点）记为图象． （1）________； （2）当图象与轴有交点时，求的取值范围； （3）当图象最高点与最低点的纵坐标之差为6时，求的值； （4）平面内有一点，以点为对称中心构造正方形，使得轴，当图象与正方形的边有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合，一次函数的性质，正方形的性质，根据的坐标并结合正方形的性质得到四点坐标是解题的关键． （1）将点代入求出的值即可； （2）求出当时，的值即可得； （3）先求出点的纵坐标，再根据图像最高点与最低点的纵坐标之差为建立方程，解方程即可得； （4）分点在点的上方，点在点的下方两种情况，分别建立关于的不等式组，求解即可； 【小问1详解】 解：∵一次函数图像经过点， ∴， 解得： ∴该一次函数的表达式为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：当时，， 解得： ∵，一次函数经过一、二、三象限， ∴当图像与轴有交点时，， ∴m的取值范围为； 【小问3详解】 解：当时，，即， ∵，图像最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得：或， ∴的值为或； 【小问4详解】 解：如图，由题意可知，点在直线上， ∵以点为对称中心构造正方形，轴， ∴，， ∵点在一次函数的图像上，其横坐标为， ∴， 当点在点的上方时， ∵图像与正方形的边有且只有一个交点， ∴， 解得：； 当点在点的下方时， ∵图像与正方形的边有且只有一个交点， ①若点在第一象限，则 ， 该不等式组的解集为空集； ②若点在第三象限，则在第一象限， ， 解得：； 综上所述，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年东北师大附中初中部初二年级数学学科试卷第二学期期中考试 （时长：120分钟；分值：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各图象中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，计算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将函数y=3x +2图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是（　　） A. y=3x+5 B. y=3x﹣5 C. y=3x+1 D. y=3x﹣1 4. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. ． 5. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 6. 如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，若设栅栏的长为，则下列各方程中，符合题意的是（ ） A. B. C. D. 7. 小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（ ） A B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数的图象于点，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 10. 已知，则的值为____________ 11. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________． 12. 若关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为________． 13. 计算的结果是________． 14. 如图，直线分别与轴、轴交于点，，直线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，则下列说法正确的有________． ①； ②直线与轴夹角为； ③无论取何值，直线一定过定点； ④若直线与直线相交于点，则不等式的解集为． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 某商品经过两次涨价，每件零售价由元涨为元，求平均每次涨价的百分率． 18. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，求的长． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点． （1）反比例函数表达式为_________，一次函数的表达式为________； （2）求的面积； （3）当时．根据图象直接写出取值范围． 20. 阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： （1）写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________． （2）计算：； （3）比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）． 21. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，甲、乙两种粽子的进价和售价如表所示．该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍．设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． 进价（元／个） 售价（元／个） 甲种粽子 乙种粽子 （1）求与的函数关系式，并求出的取值范围； （2）超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 22. 某物流公司派遣甲、乙两辆快递车从仓库沿同一路线向某小区运输快件，甲车先从仓库出发，乙车随后也从该仓库出发，已知甲车在途中因故障停留1小时，修复后保持原来的速度继续行驶．甲、乙两车距仓库的距离（千米）与甲车出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． （1）乙车的行驶速度为________千米/小时，________； （2）甲车故障修复后，求甲车距仓库的距离与之间的函数关系式； （3）直接写出在乙车行㳏过程中，甲、乙两车相距50千米时的值． 23. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． （1）列表： … … 其中，________，________． （2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象． （3）研究函数并结合图像与表格，回答下列问题： ①点，，，在函数图象上，则______，______（填“＞”、“=”或“＜”）； ②在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，则的值为________； ③若直线与此函数图象有三个相交，则的取值范围是________． 24. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点．点在此一次函数的图象上，其横坐标为，直线上、两点间的部分（包括、两点）记为图象． （1）________； （2）当图象与轴有交点时，求的取值范围； （3）当图象最高点与最低点纵坐标之差为6时，求的值； （4）平面内有一点，以点为对称中心构造正方形，使得轴，当图象与正方形的边有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$