3.1 导数几何意义及运算（精讲）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

3.1 导数的几何意义及运算（精讲） 考向一 导数的运算 【例1】（24-25山东淄博）求下列函数的导数. (1) (2)； (3)； (4) (5)； (6)； (7). 【一隅三反】 （24-25湖北）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 考向二 导数值 【例2-1】（24-25江苏扬州）已知函数的导函数为，且满足，则（   ） A． B．-1 C． D． 【例2-2】（24-25山东聊城）若在上可导，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【一隅三反】 1．（24-25安徽蚌埠）已知函数，则等于（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 2.（2024山东）如图，函数的图象在点处的切线是，则（    ） A． B． C．2 D．1 3．（2024·上海黄浦）已知函数，则 ． 考向三 导数定义及几何意义 【例3-1】（24-25江苏盐城）已知函数在处可导，且则（   ） A． B． C． D．2 【例3-2】（2025·河北唐山）已知曲线在处的切线为，则的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【例3-3】（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3-4】（2024春·河南）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 【一隅三反】 1.（24-25山西吕梁）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25安徽合肥）若曲线在点处的切线斜率为2，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 3（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4.（2024·新疆阿克苏）若直线与曲线相切，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5（24-25山东济宁）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考向四 在型切线 【例4-1】（24-25高三上·河南·期末）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2025·广东·一模）曲线在点处的切线方程为 . 2（2025·重庆·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 3（2025·四川·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 考向五 过型切线 【例5】（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 . 【一隅三反】 1.（2024·陕西西安·一模）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为 ． 2（2024四川绵阳·期末）过点作曲线的切线，则切线方程为 ． 3.（2025四川雅安·期中）已知，则经过点的曲线的切线方程为 . 考向六 切线求参数 【例6-1】（2024·山西·模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，，成等差数列，若直线与曲线相切，则 ． 【一隅三反】 1.（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）若直线与曲线相切，则（    ） A． B．1 C． D． 2（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 3（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线与曲线相切，则 ． 考向七 公切线 【例7-1】（2024·山东）已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 . 【例7-2】（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1.（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）与曲线和都相切的直线l的方程为 . 2.（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 3.（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为 4.（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 5.（2024·广东江门·二模）若曲线与曲线存在公切线，则a的最大值 ． 考向八 切线的数量 【例8】（2025·河南）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【一隅三反】 1．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 3．（2024北京）已知函数，则过点与曲线相切的直线有 条. 考向九 已知切线的条数求参数 【例9-1】（2024·山东·模拟预测）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例9-2】（2024·四川内江·模拟预测）若过点可以作两条直线与曲线相切，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1.（23-24辽宁本溪）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 2（2025·黑龙江·模拟预测）若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是 3（24-25高三上·广西·期中）已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 . 考向十 切线方程的应用 【例10-2】（2024·河南）直线 分别与曲线， 直线 交于 两点， 则 的最小值为（       ） A． B． C． D． 【例10-2】（23-24山东枣庄）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（   ） A．1 B． C． D． 【例10-3】（2023·四川·校考模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【一隅三反】 1.（2025海南）已知P是曲线（）上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（   ） A． B． C． D． 2（2024·陕西）设是曲线上的动点，且.则的取值范围是 . 3.（2024·江苏淮安）已知函数，，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1 导数的几何意义及运算（精讲） 考向一 导数的运算 【例1】（24-25山东淄博）求下列函数的导数. (1) (2)； (3)； (4) (5)； (6)； (7). 【答案】(1)(2)(3)(4) (5)(6)(7) 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）函数可以看作函数和的复合函数， 由复合函数的求导法则可得：. 所以； （6）函数可以看作函数和的复合函数， 由复合函数的求导法则可得：. 所以 （7）函数可以看作函数和的复合函数， ，所以. 【一隅三反】 （24-25湖北）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) (7)(8)(9)(10) 【解析】（1）． （2）． （3）∵是常数函数，∴． （4）∵，∴． （5）∵，∴． （6）． （7）． （8）． （9）， ． （10）令，则，即． 考向二 导数值 【例2-1】（24-25江苏扬州）已知函数的导函数为，且满足，则（   ） A． B．-1 C． D． 【答案】B 【解析】，令得，解得.故选：B 【例2-2】（24-25山东聊城）若在上可导，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】由，可得，所以，解得， 则，则.故选：B. 【一隅三反】 1．（24-25安徽蚌埠）已知函数，则等于（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解析】对求导，可得. 将代入中，可得.解得. 将代入原函数中，得到. 再将代入中，可得. 故选：D. 2.（2024山东）如图，函数的图象在点处的切线是，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解析】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点， 则切线，，，.故选：D． 3．（2024·上海黄浦）已知函数，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 则，解得：， 所以，则. 故答案为：. 考向三 导数定义及几何意义 【例3-1】（24-25江苏盐城）已知函数在处可导，且则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】因为函数在处可导，且， 所以. 故选：A 【例3-2】（2025·河北唐山）已知曲线在处的切线为，则的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】对求导得，，由题意曲线在处的切线的斜率为. 故选：A. 【例3-3】（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，令，则，故， 当时，，即的坐标为. 故选：B. 【例3-4】（2024春·河南）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 【答案】[0， 【解析】因为，所以，因为，所以，又，所以，故选：D. 【一隅三反】 1.（24-25山西吕梁）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则，所以，， 所以，. 故选：C. 2．（24-25安徽合肥）若曲线在点处的切线斜率为2，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【解析】由导数几何意义得， 由导数定义可知：. 故选：C. 3（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设切点坐标为，函数，所以， 因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为 故选：B 4.（2024·新疆阿克苏）若直线与曲线相切，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，由导数的几何意义可知，.故选：A 5（24-25山东济宁）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，设，则曲线在点处切线的斜率为， 则，又，切线斜率存在，故，则.故选：B 考向四 在型切线 【例4-1】（24-25高三上·河南·期末）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，因为，所以，所以切线方程为， 即，故选：D. 【一隅三反】 1．（2025·广东·一模）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】因为在点处的切线方程斜率为， 曲线在点处的切线方程为，即得. 故答案为：. 2（2025·重庆·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】因为，所以，所以，则，从而曲线在点处的切线方程为，整理得. 3（2025·四川·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】已知函数，则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即得. 故答案为： 考向五 过型切线 【例5】（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为 . 【答案】 【解析】设切点为，则，故切线方程为， 将代入可得，解得， 故切线方程为，即，故答案为： 【一隅三反】 1.（2024·陕西西安·一模）已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为 ． 【答案】或 【解析】∵，∴. 设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为， ∴过点的切线方程为， 即，又点在切线上， ∴，整理得， ∴， 解得或； ∴所求的切线方程为或. 故答案为：或. 2（2024四川绵阳·期末）过点作曲线的切线，则切线方程为 ． 【答案】 【解析】因为点不在曲线上，设切点，且，则，① 又，则切线斜率为，② 由①②解得，，所以，切线的斜率为， 切线方程为，即. 故答案为：. 3.（2025四川雅安·期中）已知，则经过点的曲线的切线方程为 . 【答案】或 【解析】令该切线方程的切点为， 则， ，， 则有， 又该直线过点，故有， 化简得，即， 故或， 当时，有，即， 当时，有，即. 故答案为：或. 考向六 切线求参数 【例6-1】（2024·山西·模拟预测）已知函数，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知， 所以，解得， 又， 所以，解得，所以. 故选：C. 【例6-2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，，成等差数列，若直线与曲线相切，则 ． 【答案】 【解析】由题意得，直线， 故直线过定点，且曲线过点， 故直线与曲线（无拐点）相切于点.∵， ∴直线的斜率，∴直线的方程为，∴， ∴.故答案为：. 【一隅三反】 1.（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）若直线与曲线相切，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】设直线与曲线的切点为，故 由得，故，得，故. 故选：B 2（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解法1：由得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为：，即. 由，得， 所以，解得， 故选：D. 解法2：由得，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为：，即. 因为，所以， 令，得， 所以与曲线的切点为， 由切点在切线得，解得， 故选：D. 3（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线与曲线相切，则 ． 【答案】 【解析】设直线（）与函数相切，切点为：， 因为，所以切线斜率为：. 所以切线方程为：. 由切线过点，得： 所以，解得：或. 所以（舍去）或.故答案为： 考向七 公切线 【例7-1】（2024·山东）已知（e为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程 . 【答案】或(写出其中一条即可) 【解析】设公切线与相切于点，与相切于点， ，，则公切线斜率， 公切线方程为或， 整理得或， 所以，即， ，解得或， 公切线方程为或. 故答案为：或<(写出其中一条即可) 【例7-2】（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 故选：B. 【一隅三反】 1.（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）与曲线和都相切的直线l的方程为 . 【答案】 【解析】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点， 又，，且，. 曲线在点处的切线方程为， 曲线在点处的切线方程为. 故解得，， 故 故，故直线的方程为. 故答案为：. 2.（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】由题意可得， 设直线与曲线的切点为，则 又切点在曲线上，所以，联立解得，即. ，设直线与曲线的切点为， 所以，又， 联立两式，解得. 故答案为：2 3.（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为 【答案】0或2 【解析】依题意得，设直线的方程为，即， 由直线和圆相切可得，，解得， 当时，和相切， ，设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得. 即时，； 当时，和相切， ，设切点为，根据导数的几何意义，， 又切点同时在直线和曲线上，即，解得. 即时，. 综上所述，或. 故选：A. 4.（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 【答案】-2 【解析】因为，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得， 所以，因此． 故答案为：． 5.（2024·广东江门·二模）若曲线与曲线存在公切线，则a的最大值 ． 【答案】 【解析】设公切线与曲线切与点，与曲线切与点， 由，得；由得. 则， 所以，所以，即. 设，则. 由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以函数. 即的最大值为. 故答案为： 考向八 切线的数量 【例8】（2025·河南）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【解析】设切点为，由，所以，得， 所以切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 所以过点作曲线的切线可以作2条. 故选：C 【一隅三反】 1．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】A 【解析】设切点为， 由可得， 则过坐标原点的切线的斜率， 故，即， 解得，故过坐标原点的切线共有1条． 故选：A． 2（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【解析】由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点不是切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B 3．（2024北京）已知函数，则过点与曲线相切的直线有 条. 【答案】2 【解析】曲线方程为，点不在曲线上， 设切点为，则点的坐标满足， 由，得， 由导数的几何意义知，在处的切线的斜率为， 故切线的方程为， 因为点在切线上，所以 联立得，解得或， 故所求切线方程为或， 则过点与曲线相切的直线有2条. 故答案为：2. 考向九 已知切线的条数求参数 【例9-1】（2024·山东·模拟预测）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，设切点坐标为，由，求导得， 则函数的图象在点处的切线方程为， 由切线过点，得， 令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点， ，当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，而当时，恒有， 又，因此当时，直线与函数的图象有3个公共点， 所以实数的取值范围是. 故选：B 【例9-2】（2024·四川内江·模拟预测）若过点可以作两条直线与曲线相切，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设切点， 因为，所以，所以点P处的切线方程为， 又因为切线经过点，所以，即， 令，则与有两个不同的交点， ， 当时，恒成立，所以单调递增，不合题意； 当时，当时，，当时，， 所以，则，即，故选：B 【一隅三反】 1.（23-24辽宁本溪）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在曲线上任取一点， ， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知，点在直线上，可得， 令函数， 则. 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以. 设， 所以， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 所以， 所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 的图象如图： 由题意可知，直线与的图象有两个交点，则. 故选：B 2（2025·黑龙江·模拟预测）若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是 【答案】 【解析】，则过的切线为，即. 由过点可作曲线的三条切线得有3个不等实根. 令，，由得或. 当或，，单调递增；当，，单调递减； 故当时，函数取得极大值为；当时，函数取得极小值为. 要使有3个不等实根，则，即得，即所求m的取值范围是. 故答案为：. 3（24-25高三上·广西·期中）已知函数，过点可作2条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】，设切点为， 则切线方程为， 将点代入切线方程得，，化简得， 设，则， 令，解得，令，解得或， 在，上单调递减，在上单调递增，且， 作出函数的大致图象如下图所示， 由图象可知，要使直线与的图象有两个交点，则， 故答案为：． 考向十 切线方程的应用 【例10-2】（2024·河南）直线 分别与曲线， 直线 交于 两点， 则 的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题，设到直线的距离为，直线的倾斜角为，则 ， 又，，故最小即最小，即为当过点处的切线与直线平行时最小， 由曲线，得，所以切点为， 可求得点到直线的距离最小值为 故，故选：C 【例10-2】（23-24山东枣庄）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率，函数定义域为， 点是曲线上任意一点，设，由， 令，解得或（舍去）， ，此时，∴曲线上与直线平行的切线的切点为， 所以曲线上点到直线的最小距离， 为点到直线的距离. 故选：C. 【例10-3】（2023·四川·校考模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，当趋向正无穷时，趋向正无穷，故作出的大致图象，如图所示． 由题知函数恰有2个零点，即函数的图象与直线的图象恰有2个交点， 易知点为与直线的公共点，又曲线在点处的切线方程为， 所以当，直线与与曲线有2个交点； 当时，直线与曲线有2个交点． 综上所述，实数的取值范围为． 故选：C． 【一隅三反】 1.（2025海南）已知P是曲线（）上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出曲线（）和直线的图象，如下图所示    若使得取最小值， 则曲线在点处的切线与直线平行， 对函数求导得，令，可得， 又，解得． 故选：C 2（2024·陕西）设是曲线上的动点，且.则的取值范围是 . 【答案】 【解析】∵，∴， 设点，则在点P处的切线斜率为， ∵，即：当且仅当PA垂直于切线时，取得最小值， 又∵， ∴，即：，① ∴，即：，② ∴由①②得：，解得：或， 又∵由①知，， ∴，即：，解得：， ∴. 故答案为：. 3.（2024·江苏淮安）已知函数，，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【解析】由得， 由题意得，函数与函数的图象恰有2个公共点， 作出函数的图象，如图， 再作出直线，它始终过原点， 设直线与相切，切点为， 由知，切线斜率为，切线方程为， 把代入得， 所以切线斜率为， 设与相切，则， 所以，，解得舍去）， 由图可得实数m的取值范围是或. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$