数列求和讲义-2025届高三数学一轮复习

数列求和 题型一 裂项相消1 例题1．已知为数列的前n项和，且满足，若，记数列的前n项和为，证明：． 练习1．已知等差数列满足，证明：数列的前n项和 巩固1．已知数列中，是公比为2的等比数列． (1)求； (2)，求证：． 题型二 裂项相消2 例题2．已知数列满足，求数列的前n项和． 练习2．已知数列满足.且，求数列的前项和. 巩固2．设各项均不为零的数列的前项和为，且对于任意，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前99项和. 题型三 裂项相消3 例题3．已知等差数列，其前项和满足为常数. (1)求及的通项公式； (2)记数列 ，求前项和的. 练习3．已知数列满足.且，求数列的前项和. 巩固3．已知是数列的前项和，满足，且. (1)求； (2)若，求数列的前项和. 题型四 裂项相消4 例题4．已知数列的前n项和为，且，设为数列的前项和，证明：． 练习4．已知数列满足，若，求数列的前n项和． 巩固4-1．已知数列中，且，证明：． *巩固4-2．已知数列的前项和满足. (1)求数列的通项； (2)记，证明：. 题型五 裂项相消5 例题5.已知数列满足，若数列，求数列的前n项和． 练习5．已知数列满足，求数列的前n项和． 巩固5-1．已知数列满足.且，求数列的前项和. *巩固5-2．数列的前n项和满足，且． (1)求的通项公式； (2)，时，，求的前n项和． 题型六 裂项相消6 例题6．已知等差数列的前项和为，且满足。设数列的前项和为，求的通项公式. 练习6．记为正项数列的前n项和．已知，当时，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 巩固6．已知数列满足.设，求数列的前项和. 题型七 裂项相消7 例7．数列满足，设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围． 练习7．记为数列的前n项和，已知，是公差为2的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 题型八 裂项相消8 例题8．已知数列满足，令，求的前n项和. 练习8．已知数列满足，设，的前项和为，证明：. *巩固8-1．正项数列的前n项和为，已知． (1)求证：数列为等差数列，并求出，； (2)若，求数列的前2023项和． 巩固8-2．已知数列的通项公式为，为数列的前n项和，求。 题型九 对数裂项 例题9．已知数列满足，求数列的前n项和． 题型十 数列放缩证明 例题10-1．证明：不等式． 例题10-2．证明不等式． 练习10-1．已知数列，，其前n项的和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 练习10-2．（1）已知数列的通项公式为，求证：； （2）已知数列的通项公式为，求证：． *练习10-3．记为数列的前项和，且满足，求证：． 巩固10-1．已知数列的前项和为，求证：. 巩固10-2．数列满足，设，数列的前项和为，证明. 巩固10-3．已知，求证：． 题型十一 错位相减 例题11．设数列 ​满足，求数列​的前​项和​. 练习11-1．数列的前项和为，，， (1)求数列的通项; (2)求数列的前n项和. 练习11-2．数列满足 ，设数列满足条件①；②，请从条件①②中选一个，求出数列的前项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． . (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 巩固11-2.复数的虚部是（    ） A．1012 B．1011 C． D． 题型十二 分组求和 例题12．数列满足，求数列的前n项和． 练习12-1．已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 练习12-2．已知为等差数列的前n项和，，，. (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，若，求n的最小值. 巩固12-1．已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ． 巩固12-2．已知数列满足，设，求数列的前项和. 题型十三 奇偶求和 例题13．设数列，求数列的前项和． 练习13．已知数列满足，求数列的前n项和． 巩固13-1．已知数列的前项和为，且，求. 巩固13-2．已知数列满足，若，求数列的前项和． 题型十四 并项求和 例题14．已知数列中，为前项和，且，，则 练习14-1．数列满足：，点在函数的图象上，其中k为常数，且. (1)若，，成等比数列，求k的值； (2)当时，求数列的前项的和 练习14-2．已知数列满足，记的前项和为，. (1)求； (2)求的最大值. 巩固14-1.已知数列满足，则数列的前20项和 ． 巩固14-2．已知数列满足．若，则 ；前60项和为 ． *巩固14-3．已知数列的项数为，且，则的前n项和为_． 题型十五 绝对值求和 例题15．已知数列满足，若，求数列的前项和． 练习15．数列满足，若，求数列的前项和． 巩固15．已知数列满足，求数列的前项和. 题型十六 倒序相加 例题16．设函数，设，．求数列的通项公式． 练习16-1．已知函数，等差数列满足，则 ． *练习16-2．求． 巩固16-1.已知为正项等比数列，且，若函数，则（    ） A．2023 B．2024 C． D．1012 *巩固16-2．求和：（    ） A．512 B．1024 C．5120 D．10240 题型十七 斐波那契数列 例题17．（多选）若数列满足，则称数列为斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列.则下列关于斐波那契数列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 练习17．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（    ）    A． B． C． D． 巩固17-1．数列称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多･斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，则数55是该数列的第 项；是斐波那契数列的第 项. 巩固17-2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，……．该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记是数列的前项和，则 ． 试卷第12页，共13页 试卷第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列求和 题型一 裂项相消1 例题1．已知为数列的前n项和，且满足，若，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】证明见解析 【详解】∵，∴， 所以， 又，且，所以数列是递增数列，． 综上可知，． 练习1．已知等差数列满足，证明：数列的前n项和 【答案】(证明见解析 【详解】证明：由，可得， 所以 ， 因为，可得，所以，即数列的前n项和. 巩固1．已知数列中，是公比为2的等比数列． (1)求； (2)，求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）因为是公比为2的等比数列，且，即， 所以，当时，， 累乘可得，，则， 当时，也满足上式，所以. （2）由（1）可得，，则， 则，即， 所以 . 题型二 裂项相消2 例题2．已知数列满足，求数列的前n项和． 【答案】． 【详解】因为， 所以． 练习2．已知数列满足.且，求数列的前项和. 【答案】答案见解析 【详解】∵，，则， 所以. 巩固2．设各项均不为零的数列的前项和为，且对于任意，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前99项和. 【答案】(1)；(2)9 【详解】（1）由题知.当时，； 当时，，所以， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列是首项为2，公差也为2的等差数列， 则，所以. （2）由（1）得，， 即. 题型三 裂项相消3 例题3．已知等差数列，其前项和满足为常数. (1)求及的通项公式； (2)记数列 ，求前项和的. 【答案】(1)；；(2) 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，，则，， 因为数列是等差数列，所以，即，解得，则， 满足，所以的通项公式为． （2）由（1）可得，，则， 所以． 练习3．已知数列满足.且，求数列的前项和. 【答案】答案见解析 【详解】∵，，则， 所以. 巩固3．已知是数列的前项和，满足，且. (1)求； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，显然， 所以，即， 所以 ， 所以，又当时，也满足，所以. （2）由（1）知，则当时，， 又也满足，所以，则， 则. 题型四 裂项相消4 例题4．已知数列的前n项和为，且，设为数列的前项和，证明：． 【答案】证明见解析. 【详解】，因此， 所以 练习4．已知数列满足，若，求数列的前n项和． 【答案】 【详解】因为， 所以. 巩固4-1．已知数列中，且，证明：． 【答案】证明见解析 【详解】，所以 ， 因为，所以． *巩固4-2．已知数列的前项和满足. (1)求数列的通项； (2)记，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）由，可得，两式相减得， 又由，可得，即，解得， 可得当时，，所以数列的通项公式为. （2）证明：由（1）知，当时，. 当时，， 所以 ，即. 题型五 裂项相消5 例题5.已知数列满足，若数列，求数列的前n项和． 【答案】 【详解】或      前n项和 练习5．已知数列满足，求数列的前n项和． 【答案】 【详解】因为， 所以. 巩固5-1．已知数列满足.且，求数列的前项和. 【答案】答案见解析 【详解】∵，，则， 所以. *巩固5-2．数列的前n项和满足，且． (1)求的通项公式； (2)，时，，求的前n项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）时，①－②得：，即， 时，，∴从第二项起是以3为公比的等比数列，∴ （2）时，，∵满足上式，∴， ∴。 题型六 裂项相消6 例题6．已知等差数列的前项和为，且满足。设数列的前项和为，求的通项公式. 【答案】 【详解】由题得，所以， 所以. 练习6．记为正项数列的前n项和．已知，当时，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由于当时，，所以，， 两式作差得：，，由于，所以， 当时，，解得，所以当时，，又，符合上式， 故是首项为，公差为的等差数列，所以． （2）由于，所以，由（1）知，则， 则， 故. 巩固6．已知数列满足.设，求数列的前项和. 【答案】 【详解】由题知，， 所以 题型七 裂项相消7 例7．数列满足，设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围． 【答案】 【详解】， ∵ ，∴， 当时，满足， 当时，存在，（其中，表示不超过的最大整数）， 使得，则，∴，不满足条件，∴． 练习7．记为数列的前n项和，已知，是公差为2的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)；；(2)证明见解析. 【详解】（1）由，得，依题意，，即， 当时，，则， 即，整理得， 所以，所以数列是常数列， 所以，所以，所以的通项公式为． （2）证明：由（1）知，， 所以． 题型八 裂项相消8 例题8．已知数列满足，令，求的前n项和. 【答案】 【详解】，所以.又， ∴。 练习8．已知数列满足，设，的前项和为，证明：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：因为， 所以. 所以， 因为，所以，即. *巩固8-1．正项数列的前n项和为，已知． (1)求证：数列为等差数列，并求出，； (2)若，求数列的前2023项和． 【答案】(1)；；(2). 【详解】（1）由可得，， 又因为为正项数列的前n项和，所以， 因为，所以， 所以，数列为等差数列， 所以 ，，，所以. （2），. 巩固8-2．已知数列的通项公式为，为数列的前n项和，求。 【答案】 【详解】因为， 所以 . 题型九 对数裂项 例题9．已知数列满足，求数列的前n项和． 【答案】 【分析】由于可以裂项为，利用裂项相消法求和. 【详解】因为， 所以. 题型十 数列放缩证明 例题10-1．证明：不等式． 【答案】证明见解析 【详解】∵，∴．所以可得 ． 当时，成立． 当时，成立．不等式得证． 例题10-2．证明不等式． 【答案】证明见解析 【详解】∵， ∴． 练习10-1．已知数列，，其前n项的和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）当时，， 又，所以，即，则， 又，所以数列是以3为首项，3为公差的等差数列，所以，则， 从而当时，， 显然，不符合上式，故数列的通项公式为 （2）由（1）得，当时，， 所以 ，故不等式成立. 练习10-2．（1）已知数列的通项公式为，求证：； （2）已知数列的通项公式为，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）∵， ． （2）， ， ． *练习10-3．记为数列的前项和，且满足，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】要证，即证，而， 则，且， 又，所以得证. 巩固10-1．已知数列的前项和为，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】当时，， 当时， 。当时，， 综上，. 巩固10-2．数列满足，设，数列的前项和为，证明. 【答案】证明见解析 【详解】由题意. 所以 巩固10-3．已知，求证：． 【答案】证明见解析. 【详解】证明： 当时，； 当时，； 当时， . 综上所述，对一切正整数，有. 题型十一 错位相减 例题11．设数列 ​满足，求数列​的前​项和​. 【答案】 【详解】∵， ① ② 所以①②得 即 解得 练习11-1．数列的前项和为，，， (1)求数列的通项; (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）则，所以又， ∴数列是首项为1、公比为3的等比数列，． ∴当时，，又，所以 （2）， 当时，； 当时，，        ① ，            ② 得：， ，又也满足上式，． 练习11-2．数列满足 ，设数列满足条件①；②，请从条件①②中选一个，求出数列的前项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】 答案见解析 【详解】若选①，， ； 若选②，， ， ， . 巩固11-1．已知是数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时，，∴， 当时，，∴， ∴是以、公比为2的等比数列，∴. （2）由（1）知，， 当时，. 当时，，① ∴，② ①-②得，， ∴，当时，也适合，∴. 巩固11-2.复数的虚部是（    ） A．1012 B．1011 C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以，① 因为，所以，， 所以化简①可得，所以虚部为， 故选：D. 题型十二 分组求和 例题12．数列满足，求数列的前n项和． 【答案】 【详解】∵，则， 则数列的前n项和 ． 练习12-1．已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设的公差为，由题意知，即， 即有，因为，可得，，所以； （2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ，所以． 练习12-2．已知为等差数列的前n项和，，，. (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，若，求n的最小值. 【答案】(1)；(2)4 【详解】（1）设数列的公差为d，依题意，， 即，解得， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，所以，， 恒成立，令，由，由于，所以.所以，所以的最小值为4. 巩固12-1．已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则 ． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为．由，得①， 由得②， 联立①②，，解得，所以． 则，所以． 故答案为： 巩固12-2．已知数列满足，设，求数列的前项和. 【答案】 【详解】当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 . 题型十三 奇偶求和 例题13．设数列，求数列的前项和． 【答案】 【详解】数列的前项和， 当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以. 练习13．已知数列满足，求数列的前n项和． 【答案】 【详解】∵，∴， 当n为偶数时， ． 当n为奇数时， ． 综上． 巩固13-1．已知数列的前项和为，且，求. 【答案】 【详解】当为偶数时，    当为奇数时，    所以，. 巩固13-2．已知数列满足，若，求数列的前项和． 【答案】 【详解】因为， 当为偶数时， ； 当为奇数时， ； 综上可得. 题型十四 并项求和 例题14．已知数列中，为前项和，且，，则 【答案】3025 【分析】根据题意得，，进而根据数列的周期性求解即可. 【详解】解：因为，所以， 所以，，即数列为周期数列，周期为， 因为，所以，所以故答案为： 练习14-1．数列满足：，点在函数的图象上，其中k为常数，且. (1)若，，成等比数列，求k的值； (2)当时，求数列的前项的和 【答案】(1)2；(2). 【详解】（1）由可得，，， 所以，，.又，，成等比数列，，即， 又，故. （2）时，，，，…，， . 练习14-2．已知数列满足，记的前项和为，. (1)求； (2)求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当为偶数时，，则， 累加可得 , （2）当为奇数时，由递推公式得，， 两式相减得，又（为奇数）； 当为偶数时，由递推公式得（为偶数）， 所以数列的奇数项均为，偶数项是以12为首项，为公差的等差数列，，，， 同理，又，，，， 所以当时，有最大值. 巩固14-1.已知数列满足，则数列的前20项和 ． 【答案】 【详解】因为， 又， 所以， 故答案为：. 巩固14-2．已知数列满足．若，则 ；前60项和为 ． 【答案】 1 1830 【详解】数列满足，，所以，解得， 所以，解得．因为， 所以有，，，，，…，…，， 从而可得，，，，，，，，…． 从第1项开始，依次取1个相邻奇数项的和都等于2；从第2项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，16为公差的等差数列． 所以的前60项和为． 故答案为·：1，1830. *巩固14-3．已知数列的项数为，且，则的前n项和为_． 【答案】 【详解】因为，又， 所以 又因为，所以，即. 故答案为：. 题型十五 绝对值求和 例题15．已知数列满足，若，求数列的前项和． 【答案】 【详解】由题．记，设数列的前项和． 当时，； 当时， 综上： 练习15．数列满足，若，求数列的前项和． 【答案】 【详解】， 当时，， 当时， ， 综上所述，. 巩固15．已知数列满足，求数列的前项和. 【答案】 【详解】当时，，数列的前n项和； 当时，， 数列的前n项和 ， . 综上所述： 题型十六 倒序相加 例题16．设函数，设，．求数列的通项公式． 【答案】 【详解】； 时，， ， 相加得， 所以，又，所以对一切正整数，有； 练习16-1．已知函数，等差数列满足，则 ． 【答案】/ 【详解】.依题意是等差数列， 令，， 结合等差数列的性质，两式相加得.故答案为：. *练习16-2．求． 【答案】 【分析】利用及可得答案. 【详解】记，由（*）式得． 又，代入上式得 整理得： 巩固16-1.已知为正项等比数列，且，若函数，则（    ） A．2023 B．2024 C． D．1012 【答案】A 【详解】因为为正项等比数列，且，所以， 由可得，所以， 所以设，则， 所以两式相加可得：，故，故选：A. *巩固16-2．求和：（    ） A．512 B．1024 C．5120 D．10240 【答案】C 【详解】令，① 则，即，② ①②可得，， 故．故选：． 题型十七 斐波那契数列 例题17．（多选）若数列满足，则称数列为斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列.则下列关于斐波那契数列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A选项，，.累加得，，即.又，所以，A正确； B选项，由A选项可知，故，B不正确； C选项，，.累加得，， 所以，C正确； D选项，由C选项中同理可知，，D不正确. 故选：AC. 练习17．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知：前项所占格子组成长为，宽为的矩形，其面积为，A正确； ，以上各式相加得， ，化简得，即，B正确； ，C错误； 易知，，D正确. 故选：C. 巩固17-1．数列称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多･斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，满足，则数55是该数列的第 项；是斐波那契数列的第 项. 【答案】 10 2025 【详解】显然，故数55是该数列的第10项； 由，相加得 ， 则，是第2025项. 故答案为：10，2025 巩固17-2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，……．该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记是数列的前项和，则 ． 【答案】198 【详解】当时，，则， 则当时，， 因此，而， 所以．故答案为：198． 试卷第16页，共27页 试卷第15页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $$