数列求通项公式讲义-2025届高三数学一轮复习

数列通项公式 方法一 公式法 题型形式：已知数列为等差（等比）. 理论公式：1.等差数列通项公式:. 2.等比数列通项公式:. 解题方法：1.求（公差）公比；2.直接应用公式. 例题1．已知为等差数列，前项和为，若，，求。 练习1．记为数列的前项和，已知是公差为2的等差数列.求的通项公式。 巩固1．正项的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列，求数列的通项公式。 方法二 与递推关系式 题型形式：已知或 理论公式：. 解题方法：1.当时，求的表达式； 2.，求出或者； 3.求出，并代入的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据和的递推公式求出. 例题2．设各项都是正数的数列的前项和为，，且．求数列的通项公式。 练习2-1．已知数列的前项和．求。 练习2-2．记首项为的数列的前项和为，且当时，，证明：数列是等差数列。 练习2-3.已知数列的前项积，则（    ） A． B． C． D． 练习2-4．已知正项数列的前项和为，满足.求数列的通项公式； 巩固2-1．（自编）已知数列中，，，的前项和为，且满足（），试求数列的通项公式； 巩固2-2．已知等差数列，其前项和满足为常数.求及的通项公式。 巩固2-3．已知数列的首项为1，前项和为，且满足.求的通项公式。 巩固2-4．已知数列，，其前n项的和为，且满足，求数列的通项公式。 方法三 前n项和（积）法 题型形式：具有一定通项公式的前n项相加得到. 理论公式：. 解题方法：1.令题中通项和为； 2. 写出的表达式； 3.利用 求； 4.检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式. 例题3．在数列中，．求的通项公式； 练习3.已知数列的前项和为，且对任意正整数均满足，求数列的通项公式. 巩固3．已知正项数列的前项和满足关系式，求数列的通项公式。 方法四 累加法 题型形式：型如或. 理论公式：. 解题方法：1.题目写出的形式； 2.写出，并将它们累加起来； 3.得到的值，解出； 4.检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式. 例题4．根据条件，确定数列的通项公式．，； 练习4．已知数列满足，，求数列的通项公式。 *巩固4-1．已知数列满足，求数列的通项公式． 巩固4-2．已知正项数列满足，，求的通项公式。 方法五 累乘法 题型形式：型如或 理论公式：. 解题方法：1.题目写出的形式； 2. 写出，并将它们累乘起来； 3. 得到的值，解出； 4.检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式. 例题5．已知数列中，，求数列的通项公式。 练习5．数列中，．，求数列的通项公式． 巩固5-1.已知数列满足（），且，求数列的通项公式． *巩固5-2．已知数列的前项和为.求数列的通项公式； 方法六 构造法（1） 题型形式：型如（其中为常数，且 解题方法：1.假设将递推公式改写为； 2.由待定系数法，解得； 3.得到数列的通项公式； 4.得到数列通项公式. 例题6．在数列中，，且，求. 练习6．已知数列中，a1=2，，求的通项． 巩固6-1．已知数列的前项和为，，且.求数列的通项公式。 *巩固6-2．设数列的前n项和为，，，求数列的通项公式. 方法七 构造法（2） 题型形式：型如（其中为常数，且） 解题方法：1.假设将递推公式改写为； 2.由待定系数法，求出的值； 3.写出数列的通项公式； 4.写出数列通项公式. 例题7．已知数列满足，，求的通项公式． 练习7．已知：，时，，求的通项公式． 巩固7-1．已知数列满足，且，求通项 *巩固7-2.在数列中，，，求通项公式． 方法八 构造法（3） 题型形式：型如（其中为常数，且） 解题方法：1.在递推公式两边同除以，得； 2.设,则数列为等差数列； 3.求数列通项公式. 例题8．已知数列满足，且（，且），求数列的通项公式. 练习8.已知数列的前项和为，，且对任意的正整数，都有，求数列的通项公式. 巩固8．已知数列满足，，求数列的通项公式． 方法九 构造法（4） 题型形式：型如（其中为常数，且） 解题方法：1.在递推公式两边同除以，得； 2.设,求数列的通项公式（利用方法一或者方法六）； 3.求数列通项公式. 例题9．设数列的首项为常数，且.证明：是等比数列。 练习9-1．在数列{}中，求通项公式． *练习9-2．已知数列满足，求数列的通项公式． 巩固9-1．已知数列满足，求数列的通项公式． *巩固9-2．已知数列的前项和为，，，证明数列为等差数列，并由此求出通项公式. 方法十 构造法（5） 题型形式：型如（其中为常数） 解题方法：1.将递推关系式写成； 2.设,求数列的通项公式（利用方法一或者方法六）； 3.求数列通项公式（利用方法三或者方法六或者方法八）. 例题10．已知数列满足，，且，分别求和的通项公式． 练习10．已知数列，其中，，且当时，，求通项公式. 巩固10.知数列满足，，且，，求数列的通项公式. 方法十一 构造法（6） 题型形式：型如（其中为常数） 解题方法：1.将递推关系式写成； 2.设,求数列的通项公式（利用方法一或者方法六）； 3.求数列通项公式（利用方法三或者其他构造法）. 例题11.已知各项都为正数的数列满足； （1）证明：数列为等比数列； （2）若=，=，求的通项公式。 练习11．已知数列满足，求数列的通项． 巩固11．已知数列中，，求的通项公式． 方法十二 构造法（7） 题型形式：型如或者（其中为常数） 解题方法：1.将递推公式两边取倒数或者同时除以得； 2.设,求数列的通项公式（利用方法一或者方法六）； 3.求数列通项公式. 例题12．已知数列的首项，，.设，求数列的通项公式. 练习12.设是数列的前n项和，且，,求. 巩固12-1.已知数列满足，且，求数列的通项公式. *巩固12-2．，，求. 方法十三 特征根法 例题13-1．在数列中，，且，求其通项公式． 例题13-2．已知数列满足：，，求数列的通项公式． 练习13-1．已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式． 练习13-2．已知数列满足，，求数列的通项公式． 练习13-3.已知数列中，，,求证：是等差数列，并求数列的通项公式． 巩固13-1．已知数列满足，求数列的通项． 巩固13-2．已知数列满足，求通项. 巩固13-3．数列中，，，求的通项公式． 方法十四 奇偶求通项公式法（一） 例题14．已知数列的前项和为，且，，则 ；若，则的最小值为 . 练习14．已知数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)求的前10项和. 巩固14．（多选题）已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．数列为等差数列 D．为奇数时， 方法十五 奇偶求通项公式（二） 例题15．已知数列满足，当时，有，则（    ） A． B． C． D． *练习15-1．（多选）数列的前项和为，若， ，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．为递增数列 D．为周期数列 练习15-2．设是数列的前n项和，已知， (1)证明：是等比数列； (2)求满足的所有正整数n. 巩固15-1．已知数列满足.记，证明数列是等比数列，并求的通项公式； *巩固15-2．在已知数列中，，求及数列的通项公式； 方法十六 取对法 题型形式：型如 解题方法：1.对递推公式两边取对数，且令，转化为； 2.求出数列的通项公式（利用方法6）； 3.求出数列通项公式. 例题16.已知数列满足，若，求. 练习16．已知数列满足，，求的通项公式. *巩固16-1.已知数列，，，求. 巩固16-2．已知为正项数列的前项的乘积，且，.求的通项公式； 方法十七 因式分解型 题型形式：题中涉及，多数能因式分解. 解题方法：1.合并同类项； 2.提取公因式； 3.约分； 4.得到前面构造法的形式； 5.利用构造法求 例题17.设{an}是首项为1的正项数列且，求{an}. 练习17. 从①；②前项和满足，；③中任选一个，并将序号填在下面的横线上，再解答已知数列中，，且_____.求数列的通项公式； *巩固17-1.已知各项均为正数的数列的前项和为，，,求的通项公式. 巩固17-2.若正项数列满足，求． 方法十八 整体构造 题型形式：无固定模式，需要做题并不断积累. 解题方法：一般有以下解决方法： 1. 递推关系式左右同时取倒数; 2. 递推式同时除以或者等； 3. 递推关系式左右同时加一个常数再取倒数等； 4. 数学思想：利用函数思想将一堆看成整体进行解题. 例题18.已知在数列中，，,求数列的通项公式； 练习18-1.已知数列中，，前n项和为，且满足，证明：数列是等差数列，并求的通项公式； 练习18-2．已知数列满足，且，求数列的通项公式． 巩固18-1．已知数列满足，，求的通项公式。 *巩固18-2.已知首项为1的正项数列，，求数列的通项公式. 综合练习 1．已知数列的前项和为，，，，求出数列的通项公式． 2．已知数列的前n项和为，，若对任意的正整数n都有，求数列的通项公式； 3．已知数列，，，，．求证：数列是等比数列，并求数列的前n项和； 4．已知数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 5．数列满足，，λ为常数 (1)是否存在实数λ，使得数列成为等比数列，若存在，找出所有的λ，及对应的通项公式；若不存在，说明理由； 6．已知是各项都为正数的数列，为其前n项和，且，，求数列的通项。 7．已知数列中，，当时，其前项和满足：，且，数列满足：对任意有. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 8．已知数列中，，且，其前项和为，且当时，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 试卷第2页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列通项公式 方法一 公式法 题型形式：已知数列为等差（等比）. 理论公式：1.等差数列通项公式:. 2.等比数列通项公式:. 解题方法：1.求（公差）公比；2.直接应用公式. 例题1．已知为等差数列，前项和为，若，，求。 【答案】 【详解】（1）设的公差为， 所以， ， 解得，，所以 练习1．记为数列的前项和，已知是公差为2的等差数列.求的通项公式。 【答案】 【详解】因为，所以， 因为是公差为2的等差数列，所以，所以. 巩固1．正项的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列，求数列的通项公式。 【答案】 【详解】在正项的等差数列中，因为，所以设公差为， ，，成等比数列，所以， 即，即，即， 解得，或（舍去），所以. 方法二 与递推关系式 题型形式：已知或 理论公式：. 解题方法：1.当时，求的表达式； 2.，求出或者； 3.求出，并代入的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据和的递推公式求出. 例题2．设各项都是正数的数列的前项和为，，且．求数列的通项公式。 【答案】 【详解】已知，得， 两式作差，得，即． 又数列的各项都是正数，所以，所以， 显然数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以． 练习2-1．已知数列的前项和．求。 【答案】 【详解】当时，，当时，，， 作差得，故 练习2-2．记首项为的数列的前项和为，且当时，，证明：数列是等差数列。 【答案】证明见解析 【详解】当时，，即， 则，可得， 所以，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． 练习2-3.已知数列的前项积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，又，，..故选：C. 练习2-4．已知正项数列的前项和为，满足.求数列的通项公式； 【答案】 【详解】， 当时，，两式子作差可得 ， 又，所以， 可得数列为公差为2 的等差数列， 当时，， 所以，数列的通项公式为. 巩固2-1．（自编）已知数列中，，，的前项和为，且满足（），试求数列的通项公式； 【详解】由题意知（n≥3）， 即（n≥3），当n=2时，满足式子，所以. 巩固2-2．已知等差数列，其前项和满足为常数.求及的通项公式。 【答案】； 【详解】由题意，当时，， 当时，，则，， 因为数列是等差数列，所以，即，解得， 则，满足，所以的通项公式为． 巩固2-3．已知数列的首项为1，前项和为，且满足.求的通项公式。 【答案】 【详解】因为，，所以， 当时，，所以， 所以，所以，因为，所以， 所以，所以当时，， 又时，也符合，所以. 巩固2-4．已知数列，，其前n项的和为，且满足，求数列的通项公式。 【答案】 【详解】当时，， 又因为，所以， 即，则， 又，所以数列是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以，则， 从而当时，， 显然，不符合上式， 故数列的通项公式为 方法三 前n项和（积）法 题型形式：具有一定通项公式的前n项相加得到. 理论公式：. 解题方法：1.令题中通项和为； 2. 写出的表达式； 3.利用 求； 4.检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式. 例题3．在数列中，．求的通项公式； 【答案】 【详解】当时，， 当时，则，得， 两式相减得，，所以， 因为满足上式，所以 练习3.已知数列的前项和为，且对任意正整数均满足，求数列的通项公式. 【详解】当时，，得．当时， 由①，得 ②， ①②得，∴ 当时，得；当时，由． 又也满足上式，所以． 巩固3．已知正项数列的前项和满足关系式，求数列的通项公式。 【答案】 【详解】由得， 当时，， 两式相减得，， 当时，由，得，也满足上式.. 当时，，则， ，又，所以，∴数列是等差数列，. 方法四 累加法 题型形式：型如或. 理论公式：. 解题方法：1.题目写出的形式； 2.写出，并将它们累加起来； 3.得到的值，解出； 4.检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式. 例题4．根据条件，确定数列的通项公式．，； 【答案】 【详解】∵，∴， 其中，∴ ． 又适合上式，故 ． 练习4．已知数列满足，，求数列的通项公式。 【答案】 【详解】由题意知，所以，即 从而， ，则． 显然满足上式，所以 *巩固4-1．已知数列满足，求数列的通项公式． 【答案】. 【详解】由得， 则 巩固4-2．已知正项数列满足，，求的通项公式。 【答案】 【详解】对任意的，因为， 当时， ， 因为，故.当时，符合， 所以，. 方法五 累乘法 题型形式：型如或 理论公式：. 解题方法：1.题目写出的形式； 2. 写出，并将它们累乘起来； 3. 得到的值，解出； 4.检验是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式. 例题5．已知数列中，，求数列的通项公式。 【答案】 【详解】因为，，所以， 所以 当时， 满足条件，所以； 练习5．数列中，．，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】方法1：   当． 又也适合上式，． 方法2：为公比为2，首项为1的等比数列．， 巩固5-1.已知数列满足（），且，求数列的通项公式． 【答案】（）． 【详解】因为，且，所以，所以， 所以（）即，，，， 将个式子相乘得（）， 因为，所以（）， 又当时，，所以（）． *巩固5-2．已知数列的前项和为.求数列的通项公式； 【答案】 【详解】因为，显然，所以， 当时，由累乘法得， 则，又，所以， 所以当时，，时，也符合， 所以. 方法六 构造法（1） 题型形式：型如（其中为常数，且 解题方法：1.假设将递推公式改写为； 2.由待定系数法，解得； 3.得到数列的通项公式； 4.得到数列通项公式. 例题6．在数列中，，且，求. 【答案】 【详解】由，得， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列. 所以，即. 当时，，此式也满足，故. 练习6．已知数列中，a1=2，，求的通项． 【答案】 【详解】因为的特征函数为：，由， ∴∴数列是公比为的等比数列， ∴． 巩固6-1．已知数列的前项和为，，且.求数列的通项公式。 【答案】 【详解】由，解得. 因为，所以. 又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以. *巩固6-2．设数列的前n项和为，，，求数列的通项公式. 【答案】 【详解】由得，所以，又因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以. 方法七 构造法（2） 题型形式：型如（其中为常数，且） 解题方法：1.假设将递推公式改写为； 2.由待定系数法，求出的值； 3.写出数列的通项公式； 4.写出数列通项公式. 例题7．已知数列满足，，求的通项公式． 【答案】 【详解】设满足条件， 因为，所以成公比为2的等比数列， 则，即， 由得， 则由的不定性解得，． 所以，使，即成等比数列，其首项为，公比为2． 所以，故． 练习7．已知：，时，，求的通项公式． 【答案】 【详解】设，所以， ∴ ，解得：， 又 ，∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列， ∴ ，∴ ． 巩固7-1．已知数列满足，且，求通项 【答案】 【详解】构造数列使其为等比数列， 即，所以， 又，所以 ，解得， 所以为等比数列，且公比为2，首项为， 所以，故． *巩固7-2.在数列中，，，求通项公式． 【答案】 【详解】设．当代入上式比较系数得，．于是,， 令，则是公比为2，首项为的等比数列，所以，故． 方法八 构造法（3） 题型形式：型如（其中为常数，且） 解题方法：1.在递推公式两边同除以，得； 2.设,则数列为等差数列； 3.求数列通项公式. 例题8．已知数列满足，且（，且），求数列的通项公式. 【答案】 【详解】依题意，，两边同时除以， 得，即，，， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 即，所以. 练习8.已知数列的前项和为，，且对任意的正整数，都有，求数列的通项公式. 【答案】＝ 【详解】由题得，从而，即， 又，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以＝. 巩固8．已知数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】将两边除以，得，则， 故数列是以为首项，以为公差的等差数列，则， ∴数列的通项公式为． 方法九 构造法（4） 题型形式：型如（其中为常数，且） 解题方法：1.在递推公式两边同除以，得； 2.设,求数列的通项公式（利用方法一或者方法六）； 3.求数列通项公式. 例题9．设数列的首项为常数，且.证明：是等比数列。 【答案】证明见解析； 【详解】由可得：，即是常数， 又，即，故是以为首项，-2为公比的等比数列； 练习9-1．在数列{}中，求通项公式． 【答案】 【详解】可化为：．又 则数列是首项为，公比是2的等比数列．     ∴，则． 所以数列{}通项公式为 *练习9-2．已知数列满足，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】两边除以，得 ，则，故 ， ， 则数列的通项公式为． 巩固9-1．已知数列满足，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】由，可得，又， 则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，故．则数列的通项公式为. *巩固9-2．已知数列的前项和为，，，证明数列为等差数列，并由此求出通项公式. 【答案】 【详解】数列的前项和为，，，所以， 所以，整理得（常数）， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以． 方法十 构造法（5） 题型形式：型如（其中为常数） 解题方法：1.将递推关系式写成； 2.设,求数列的通项公式（利用方法一或者方法六）； 3.求数列通项公式（利用方法三或者方法六或者方法八）. 例题10．已知数列满足，，且，分别求和的通项公式． 【答案】， 【详解】因为，所以． 令，则，即，所以， 又，所以，所以， 所以．所以. ，累加可得． 练习10．已知数列，其中，，且当时，，求通项公式. 【详解】由得：， 令，则上式为． 因此是一个等差数列，，公差为1，故． 由于， 又，，即． 巩固10.知数列满足，，且，，求数列的通项公式. 【详解】令，则，而，∴是首项为2，公差为4的等差数列，即，∴，又，∴. 方法十一 构造法（6） 题型形式：型如（其中为常数） 解题方法：1.将递推关系式写成； 2.设,求数列的通项公式（利用方法一或者方法六）； 3.求数列通项公式（利用方法三或者其他构造法）. 例题11.已知各项都为正数的数列满足； （1）证明：数列为等比数列； （2）若=，=，求的通项公式。 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】证明：（1）各项都为正数的数列满足， 得，，所以数列是公比为3的等比数列； （2）因为，，所以， 由（1）知数列是首项为2，公比为3的等比数列，所以， 于是，，所以，即，也符合．故． 练习11．已知数列满足，求数列的通项． 【答案】 【详解】其特征方程为，解得，令， 由，得，． 巩固11．已知数列中，，求的通项公式． 【答案】 【详解】化为，即， ，可得或，（所得两组数值代入上式等价）， 不妨令，， 所以是以1为首项，为公比的等比数列，则， 累加法可得：， ，又符合上式，故. 方法十二 构造法（7） 题型形式：型如或者（其中为常数） 解题方法：1.将递推公式两边取倒数或者同时除以得； 2.设,求数列的通项公式（利用方法一或者方法六）； 3.求数列通项公式. 例题12．已知数列的首项，，.设，求数列的通项公式. 【答案】 【详解】因为，，所以，取倒得， 所以，即，即， 因为，所以是，的等比数列，所以. 练习12.设是数列的前n项和，且，,求. 【答案】 【详解】因为，，所以， 两边同除以得，因为，所以， 因此数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以. 巩固12-1.已知数列满足，且，求数列的通项公式. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列，则有，所以. *巩固12-2．，，求. 【答案】 【详解】因为，所以， 记，则，即，又， 所以当时， ，又当时满足此式，所以，所以. 方法十三 特征根法 例题13-1．在数列中，，且，求其通项公式． 【答案】 【详解】因为，所以特征方程为，解得, 令，代入原递推式得,因为，所以， 故,因此，，从而, 又因为，所以． 例题13-2．已知数列满足：，，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】因为，故且， 故，而 ，故，故， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故，解得． 练习13-1．已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】令．先求出数列的不动点，解得． 将不动点代入递推公式，得， 整理得，，∴． 令，则，． ∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列． ∴的通项公式为． 将代入，得．∴． 练习13-2．已知数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】． 【详解】令，整理得，故或， 由可得，令并将代入，可得， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 故，整理得. 练习13-3.已知数列中，，,求证：是等差数列，并求数列的通项公式． 【详解】证明：，， 又，是以为首项，为公差的等差数列， ，则； 巩固13-1．已知数列满足，求数列的通项． 【答案】 【详解】其特征方程为，即，解得，令， 由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，. 巩固13-2．已知数列满足，求通项. 【答案】 【详解】考虑特征方程的特征根， ， ∴数列是以为首项，公差为1的等差数列， 故  即. 巩固13-3．数列中，，，求的通项公式． 【答案】 【详解】， 只需，得：， 两式相除得：，即数列是公比为3，首项为3的等比数列， ∴，解得． 方法十四 奇偶求通项公式法（一） 例题14．已知数列的前项和为，且，，则 ；若，则的最小值为 . 【答案】 4 8 【详解】∵，∴，， ∵，∴的奇数与偶数项分别成等比数列，，各项均为正， 因此是递增数列，数列的前几项依次为： ，，∴的最小值是8，故答案为：4；8 练习14．已知数列中，，且. (1)求的通项公式； (2)求的前10项和. 【答案】(1)；；(2)707 【详解】（1）由题意可知当时，有，此时数列的奇数项成等差数列，由题意可知，公差为2，则，所以，（为奇数），当时，有，即此时数列的偶数项成等比数列， 由题意可知，公比为4，则，所以，（为偶数）， 综上. （2）由上可知 巩固14．（多选题）已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．数列为等差数列 D．为奇数时， 【答案】ABD 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，因为，则， 对任意的，由可得， 上述两个等式作差可得， 所以，数列中的奇数项成以为首项，公差为的等差数列， 数列中的偶数项成以为首项，公差为的等差数列， 当为奇数时，设，则， 当为偶数时，设，则， 综上所述，，B对； 对于C选项，，故数列不是等差数列，C错； 对于D选项，当为奇数时，设，则， 则 ，D对. 故选：ABD. 方法十五 奇偶求通项公式（二） 例题15．已知数列满足，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，，，则， 又因为，所以数列是首项为2，公比为2 的等比数列， 所以，即，所以当时，.故选：B. *练习15-1．（多选）数列的前项和为，若， ，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．为递增数列 D．为周期数列 【答案】BCD 【详解】由题意，数列满足， ， 当时，，当时，，A错误； 当时，； 若为奇数，则，为偶数，，为奇数， 则，，，； 若为偶数，则，为奇数，，为偶数， 则，，，. 所以数列是以4为周期的周期数列. 故，B正确： 又由，故递增，C正确； 由上述讨论可知，的项为1，，1，，故是周期数列，D正确． 故选：BCD． 练习15-2．设是数列的前n项和，已知， (1)证明：是等比数列； (2)求满足的所有正整数n. 【答案】(1)证明见解析；(2)正整数n为1，2 【详解】（1）由已知得，所以， 其中，，所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）知，所以，， 所以，所以 ， 当时，单调递减，其中，，，所以满足的所有正整数n为1，2. 巩固15-1．已知数列满足.记，证明数列是等比数列，并求的通项公式； 【答案】证明见解析， 【详解】由题可知， 当时，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 故. *巩固15-2．在已知数列中，，求及数列的通项公式； 【答案】9， 【详解】由题意得，， 所以成等比数列，故； ，而, 所以成等比数列，故， 故； 方法十六 取对法 题型形式：型如 解题方法：1.对递推公式两边取对数，且令，转化为； 2.求出数列的通项公式（利用方法6）； 3.求出数列通项公式. 例题16.已知数列满足，若，求. 【答案】 【详解】数列满足，．， ，变形为：，． 数列是等比数列，首项为，公比为．． 练习16．已知数列满足，，求的通项公式. 【答案】 【详解】取以10为底的对数可得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，即. *巩固16-1.已知数列，，，求. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 所以，， 所以， 所以，又，所以，所以 巩固16-2．已知为正项数列的前项的乘积，且，.求的通项公式； 【答案】 【详解】已知为正项数列的前项的乘积，且，， 则当时有，即，即， 即，则且为常数列，故，即， 又满足上式，即数列的通项公式为； 方法十七 因式分解型 题型形式：题中涉及，多数能因式分解. 解题方法：1.合并同类项； 2.提取公因式； 3.约分； 4.得到前面构造法的形式； 5.利用构造法求 例题17.设{an}是首项为1的正项数列且，求{an}. 【答案】 【详解】-(n＋1)－anan＋1＝0(n∈N*)，可得(an＋1+an)[nan＋1－(n＋1)an]＝0. 因为{an}是首项为1的正项数列，故an＋1+an为正数，故nan＋1－(n＋1)an＝0，即＝， 所以an＝a1·＝1. 且当时，符合an＝n，所以an＝n(n∈N*)．综上可知， an＝n(n∈N*)． 练习17. 从①；②前项和满足，；③中任选一个，并将序号填在下面的横线上，再解答已知数列中，，且_____.求数列的通项公式； 【答案】 【详解】若选①：当时，由得， 整理得，因，故， 故是以为首项以为公差的等差数列，所以； 若选②：当时，由得， 两式相减得， 整理得，因，故， 故是以为首项以为公差的等差数列，所以； 若选③：由得，得， 故当时， ，所以； 又，满足，故. *巩固17-1.已知各项均为正数的数列的前项和为，，,求的通项公式. 【答案】 【详解】当时，由，得，即. 又，解得.由，可知， 两式相减，得，即， 由于，可得，所以是首项为1，公差为3的等差数列，所以. 巩固17-2.若正项数列满足，求． 【答案】 【详解】在正项数列中，，则有，于是得，而，因此得：数列是公比为2的等比数列，则有，即，所以数列的通项公式是. 方法十八 整体构造 题型形式：无固定模式，需要做题并不断积累. 解题方法：一般有以下解决方法： 1. 递推关系式左右同时取倒数; 2. 递推式同时除以或者等； 3. 递推关系式左右同时加一个常数再取倒数等； 4. 数学思想：利用函数思想将一堆看成整体进行解题. 例题18.已知在数列中，，,求数列的通项公式； 【答案】 【详解】因为，所以，所以， 所以， 所以． 练习18-1.已知数列中，，前n项和为，且满足，证明：数列是等差数列，并求的通项公式； 【答案】 【详解】证明：因为，所以， 所以，，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， ，所以， 当时，， 当时，等式也成立，所以； 练习18-2．已知数列满足，且，求数列的通项公式． 【答案】（）． 【详解】因为，，所以， 原等式两边同除以得，，即， 所以，，…， （）， 各式相加得，（）. 则（）.（），又当时，， 综上所述，（）. 巩固18-1．已知数列满足，，求的通项公式。 【答案】 【详解】因为，所以， 即，即为常数列， 即，可得. *巩固18-2.已知首项为1的正项数列，，求数列的通项公式. 【答案】 【详解】由题得，，即，所以，所以数列为以1为首项，2为公差的等差数列，所以，所以． 综合练习 1．已知数列的前项和为，，，，求出数列的通项公式． 【答案】． 【详解】当，由，得，，，…，， 所以，即， 又，所以．当时，满足上式，故． 2．已知数列的前n项和为，，若对任意的正整数n都有，求数列的通项公式； 【答案】 【详解】由， 得当时，有， 二式相减并化简得， 由于，则，所以有， 又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 3．已知数列，，，，．求证：数列是等比数列，并求数列的前n项和； 【答案】证明见解析； 【详解】因为，所以， 当时， 当时， 所以 则当为偶数时， 累加得：，所以 当为奇数时，为偶数，则，则此时，综上可得 所以，则数列是以为首项，为公比的等比数列， 其前n项和 4．已知数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因为数列满足，则， 因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，即，则， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 则， 于是有， 两式相减得， 所以. 5．数列满足，，λ为常数 (1)是否存在实数λ，使得数列成为等比数列，若存在，找出所有的λ，及对应的通项公式；若不存在，说明理由； 【答案】存在，， 【详解】假设存在实数λ，使得数列成为等比数列， 则有，， ， 因为，所以数列成为等比数列，存在，； 6．已知是各项都为正数的数列，为其前n项和，且，，求数列的通项。 【答案】 【详解】法一： 因为，所以当时，， 所以，，两式相减可得，又， 所以是首项为，公差为的等差数列，所以，即， 故当时，， 经检验，当时，满足上式，所以. 法二： 因为，所以当时，， 故，等号两边平方得， 设，则，又，， 所以是首项为，公差为的等差数列， 故，即，则， 故，则，解得或， 当时，，则，而，矛盾，舍去， 当时，经检验，满足题意，故. 7．已知数列中，，当时，其前项和满足：，且，数列满足：对任意有. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析；(2)； 【详解】（1），， ，即① 由题意，将①式两边同除以，得， 数列是首项为，公差为1的等差数列. （2）由（1）可知 当时， ，即， 当时，②， 则③， ②③，，即， 因为满足，所以. 8．已知数列中，，且，其前项和为，且当时，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）由，得， 即， 化简得，所以数列是等比数列； （2）由（1）得数列得公比为，首项为，所以， 当时，， 所以； 试卷第3页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $$