压轴专题10 向量综合（11大题型）-2025年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）

压轴题10 向量综合 1.向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算. 2、两个非零向量、的夹角：已知非零向量与，记、，则 ()叫做与的夹角. 说明：①当时，与同向； ②当时，与反向； ③当时，与垂直，记； ④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，夹角范围为. 3、平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有(). 规定与任何向量的数量积为. 说明：两个向量的数量积与向量同实数积的区别： (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成，书写时注意符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. (3)，. (4)在实数中，若，且，则， 但是在向量中，若，且，不能推出，∵其中. (5)已知实数、、()，则，但是向量不能推出， 如图：， ，但. (6)在实数中有，但是在向量中， 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线. 4、向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为. 5、向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积. 6.线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线上三点、、，且满足()，在直线外任取一点，设，，可得. 重要结论：若直线上三点、、，为直线外任一点， 则. 证明：，则， 则. 压轴题型一：压轴思维：等和线 √满分技法 形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得 1．在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点，动点满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ）. A．1 B． C． D． 压轴题型二：压轴思维：建系与三角换元 √满分技法 如果点在圆上运动，则可以借助圆的参数方程（或者三角换元），用向量的坐标运算求解 形如，求值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造三角函数辅助角形式求最值 1．已知向量满足，若向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（    ） A． B．40 C．64 D． 4．已知，向量满足，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 5．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 压轴题型三：等和线综合 √满分技法 利用向量基底理论，求出“和定”或者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围 基本不等式：≤； (1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2) (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3) 基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值； 形如，求关于二次型值或者范围，有如下思维： （1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题； （2）得到关于的不等式中没有，所以取，建立之间的关系； （3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式； （4）根据二次函数的最值及的范围求出最值. 形如，求值或者范围，有如下思维： 1. 如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。 2. 可以借助等和线，找到=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值 1．已知点M为中边上的中点，点N满足，过点N的直线与分别交于P，Q两点，且设，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．10 2．在扇形中，，若动点在弧上，满足：，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 4．已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 压轴题型四： 三角形向量重心 √满分技法 四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为垂心，则. 1．已知的外接圆圆心为O， 为的重心且则 2．在中，，G为其重心，直线经过点G，且与射线、分别交于D、E两点，记和的面积分别为，则当取得最小值时，的值为 ． 3．设G是△ABC重心，且，则 ． 4．在△ABC中，AH是边BC上的高，点G是△ABC的重心，若△ABC的面积为，AC＝，tanC＝2，则＝ ． 5．如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则的最大值为 ，若、分别是边、的中点，则的取值范围是 ．    压轴题型五：三角形向量外心 √满分技法 四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为外心，则； 1．在中，，．点满足．过点的直线分别与边交于点且，．已知点为的外心，，则为 ． 2．已知中，点满足，且，点是的外心，则 ． 3．如图所示，点P，Q分别位于边长为1的正方形的边上，，记点为的外心，若，则的最大值为 .    4．在中，，为的外心，且有，，若，，则 ． 5．设为的外心，，，分别为，，的对边.（1）若，，则 .（2）若，则的最小值为 . 压轴题型六： 三角形向量内心 √满分技法 四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为内心，则； 1．等边的边长为6，设其内心为，若平面内的点满足，则的最小值为 ． 2．已知点为的内心，，若，则 ． 3．已知为的内心，，且满足，则的最大值为 . 4．已知G为的内心，且，则 ． 5．如图，已知边长为2的正方形内有一点，满足，则的最小值是 ，过作，为的内心，则的最小值是 . 压轴题型七：三角形向量垂心 √满分技法 四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为垂心，则. 1．若为的垂心，，则＝ ， ． 2．已知为的垂心，且，，，，则 . 3．在中，三个内角分别为A，B，C，，，，H为的垂心．若，则 ． 4．设H是的垂心，且，则 . 5．已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 . 压轴题型八： 向量几何意义型解题：点域 1．如图，在平面直角坐标系中，原点为正八边形的中心，轴，若坐标轴上的点（异于点）满足（其中，且、），则满足以上条件的点的个数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，，点由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 3．如图，A、B分别是射线上的两点，给出下列向量：①;②；③；④；⑤这些向量中以O为起点，终点落在阴影区域内的是 （填序号）． 4．如图，OM//AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线组成的区域内（不含边界）运动，且，当时，y的取值范围是 5．如图所示，已知，由射线和射线及线段构成如图所示的阴影区（不含边界）．已知下列四个向量：①；②；③． 对于点、、落在阴影区域内（不合边界）的点有 ．（把所有符合条件的序号都填上） 压轴题型九：向量几何意义型解题：加减法几何意义 √满分技法 形如加减法，可以转化为点到线得距离。 1．已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（   ）. A． B． C． D． 2．(多选）已知向量，，满足，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 3．在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为 . 4．已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是 ． 5．已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ． 压轴题型十：数量积型范围最值 1．已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（   ）. A． B． C． D． 2．“超椭圆”是一种优美的封闭曲线．如图是当，时的图象，点是与轴正半轴的交点，过原点的直线交于点、，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知四边形中，，点在四边形的四条边上运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．已知中，为外接圆的圆心，为内切圆的圆心，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 压轴题型十一：向量与压轴第19题交汇 √满分技法 新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 1．设，集合（为向量），若，定义. (1)若，且，写出所有的； (2)若，且，设满足的的个数为，求的值； (3)从集合中任取两个不同的向量，记，求的分布列与数学期望. 2．已知a，b，c为三个内角A，B，C的对边，且，线段边对应的高为，内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H． (1)求中高的长度； (2)若的角平分线交于E，求证； (3)欧拉线定理：设的重心，外心，垂心分别是G，O，H，则G，O，H三点共线，且．请合理运用欧拉线定理，求的值． 3．从点引出三个不共面的向量，它们之间的关系和右手拇指、食指、中指相同，则这个标架构成右手标架，如图所示.规定：为一个向量，它的长度为，它的方向与向量均垂直，且使构成右手标架.该运算满足：.为单位正交基底，且符合右手标架，以的正方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，若，则记. (1)证明：； (2)已知向量，求的坐标表示； (3)①三棱锥中，，求三棱锥的体积； ②请结合“”与“数量积”的几何意义，用表示平行六面体的体积. 4．设和是空间中的两个不同点，则，，三点共线的充要条件是存在实数，使得，并且每个实数唯一对应直线上的点.仿照上面定义，设，，是共线的三个不同点，定义点关于，的分比为. (1)设，为空间中任意取定的一点，求证：； (2)若，，，是共线的四个不同点，满足，求的值； (3)如图，设，和分别是的边，和上的点，若三条直线，和交于一点，求证：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题10 向量综合 1.向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算. 2、两个非零向量、的夹角：已知非零向量与，记、，则 ()叫做与的夹角. 说明：①当时，与同向； ②当时，与反向； ③当时，与垂直，记； ④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，夹角范围为. 3、平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有(). 规定与任何向量的数量积为. 说明：两个向量的数量积与向量同实数积的区别： (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成，书写时注意符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. (3)，. (4)在实数中，若，且，则， 但是在向量中，若，且，不能推出，∵其中. (5)已知实数、、()，则，但是向量不能推出， 如图：， ，但. (6)在实数中有，但是在向量中， 显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线. 4、向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为；当时投影为；当时投影为. 5、向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积. 6.线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线上三点、、，且满足()，在直线外任取一点，设，，可得. 重要结论：若直线上三点、、，为直线外任一点， 则. 证明：，则， 则. 压轴题型一：压轴思维：等和线 √满分技法 形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得 1．在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点，动点满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据动点满足的条件，得到其轨迹方程，再利用点到直线的距离公式求出的最小值. 【详解】设点，由及，得， 即，又，消去得， 的最小值即为点到直线的距离， 由已知得，而，故的最小值为. 故选：C. 2．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案. 【详解】，故， ，故， 因为三点共线，故，解得. 故选：C 3．如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设且，应用向量加减、数乘的几何意义得，结合向量共线的推论得求参数，即可得. 【详解】设且，则， 又，则， 由共线，则，可得， 所以. 故选：B 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，得到的值，再由三角形内心的性质和向量的线性运算，求得，结合题意，得到，即,进而求得的值，得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为，可得，解得， 因为，所以；如图所示，设，延长交于点， 则，所以，同理可得， 过点作，则 又由，所以,所以，可得，即，因为为的外心，设的内切圆的半径为，可得，可得，即，又因为，即，可得， 由正弦定理得,又因为，可得，因为且，所以，可得，所以，可得，.故选：D. 5．在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ）. A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先选择两条不共线的向量作基底，再进行向量的线性运算，最后利用平面向量基本定理来求解即可． 【详解】 由图可知：，， 因为，所以， 整理得：， 根据平面向量基本定理可得：，解得，所以，故选：A． 压轴题型二：压轴思维：建系与三角换元 √满分技法 如果点在圆上运动，则可以借助圆的参数方程（或者三角换元），用向量的坐标运算求解 形如，求值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造三角函数辅助角形式求最值 1．已知向量满足，若向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：设，由得到，而表示圆上的点到原点的距离，即可得解；方法二：首先求出，再根据三角不等式得到，即可求出，从而得解. 【详解】方法一：由题意可设， 则，由，可得， 化简可得， 该方程表示以为圆心，以半径的圆，则表示圆上的点到原点的距离， 而圆心到原点的距离， 所以的取值范围是，即，即． 方法二：由，得，又， 即，即．故选：D 2．已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由与为单位向量及分析可知的夹角为.令，则，点是以原点为圆心，为半径的圆上的动点，且.结合图形即可求解. 【详解】因为与为单位向量，， ∴.又，，即的夹角为. ∴点是以原点为圆心的单位圆上的动点，且.令，则， 易知点是以原点为圆心，为半径的圆上的动点，∴. 如图1，设直线，过点作直线于点，作直线于点. 则. 又，可知如图2，当点在点处，点在线段上时，取得最小值此时，最小值为. ∴.故选：B. 3．若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（    ） A． B．40 C．64 D． 【答案】D 【分析】根据题意，设，结合向量的坐标运算，再由三角函数的性质即可得到最值. 【详解】因为，且向量与向量的夹角为， 设，其中，则 ，其中， 因为，当时，有最大值.故选：D 4．已知，向量满足，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据椭圆和圆的定义确定点和点的轨迹，然后求出圆心到椭圆上一点的最大距离，最后加上圆的半径得到的最大值. 【详解】记， 不妨设， ， ，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其方程为：；由得， 即，， ，点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆， ，设坐标为， 当时，，.故选：D. 5．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，，∴.   如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为.故选：C. 压轴题型三：等和线综合 √满分技法 利用向量基底理论，求出“和定”或者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围 基本不等式：≤； (1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2) (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3) 基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值； 形如，求关于二次型值或者范围，有如下思维： （1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题； （2）得到关于的不等式中没有，所以取，建立之间的关系； （3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式； （4）根据二次函数的最值及的范围求出最值. 形如，求值或者范围，有如下思维： 1. 如果动点P在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。 2. 可以借助等和线，找到=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值 1．已知点M为中边上的中点，点N满足，过点N的直线与分别交于P，Q两点，且设，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理可把用表示出来，再由平面向量共线定理的推论即可得出答案. 【详解】根据题意，得， 三点共线，，即.故选：D. 2．在扇形中，，若动点在弧上，满足：，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，建立直角坐标系，设，得到，从而得到，再由两角和的余弦公式及余弦函数的性质求出的取值范围. 【详解】以为原点，以所在的直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，设，则，其中且， 可得，又，所以， 则，则，所以 ，因为，所以，所以， 所以.故选：A 3．已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推理及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】依题意，，则，又， 于是，，则， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以时，取得最小值. 故选：C   4．已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意结合平面向量基本定理可得，，设，且，由，整理得，结合进而可得结果. 【详解】设，即， 可得，因为， 即，整理可得，且不共线，则，解得， 即，， 又因为点在内（不含边界），设，且， 可得， 则 可得，可得， 且，可得，所以的取值范围是. 故选：C.【点睛】关键点点睛： 1.设，根据题意结合平面向量基本定理可得； 2.根据三角形可设，且，用表示，即可得结果. 5．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意，得到点的轨迹，然后利用向量计算即可. 【详解】因为 得，即 所以点在的角平分线上，设的中点为   因为，所以点在线段上，不妨设，所以 易知所以 因为所以因为 所以故选：B 【点睛】关键点点睛：表示了两个向量的角平分线. 压轴题型四： 三角形向量重心 √满分技法 四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为垂心，则. 1．已知的外接圆圆心为O， 为的重心且则 【答案】 【分析】由三角形重心及外心的性质即可得出结果. 【详解】如图所示，取中点，过作，则是的中点. ∵为的重心，∴， ,同理， 故 故答案为： 【点睛】结论点睛： （1）三角形的重心是三角形三条中线的交点，且是中线的三等分点（靠中点近），即； （2）三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，即有：. 2．在中，，G为其重心，直线经过点G，且与射线、分别交于D、E两点，记和的面积分别为，则当取得最小值时，的值为 ． 【答案】 【分析】设，，根据重心位置及共线定理求得，根据面积公式分别表示出分别与，的关系，代入求得取最小值时的参数的值，根据与间的关系求得结果. 【详解】设，，，且G为三角形ABC的重心，延长AG交BC于H，延长CG交AB于M，则，则，又D，G，E三点共线，则，即，，同理得， 则，又，则 当且仅当即时，等号成立，此时， 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用共线定理求得两个参数的关系，根据比例关系表示出，进而求得取何条件时取最小值，此时求得，根据面积公式结合向量间的关系求得结果. 3．设G是△ABC重心，且，则 ． 【答案】 【分析】将重心G满足的向量关系式代入已知向量等式，消去一个向量，得到两向量间的关系，再由平面向量基本定理，得到对应系数为0，最后利用正、余弦定理求解. 【详解】如图，设三边AB中点为D，是的重心， ， 同理可得，，， ，即， 又与不共线，由平面基本定理得，， 由正弦定理得，，即，由余弦定理得， ， 又B为的内角，.故答案为：. 4．在△ABC中，AH是边BC上的高，点G是△ABC的重心，若△ABC的面积为，AC＝，tanC＝2，则＝ ． 【答案】1 【分析】由题意画出图形，结合图形求出AH、HC和BC、BH的值， 以BC为x轴，AH为y轴建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，计算数量积的值． 【详解】如图所示， △ABC中，AH是高，AC=，tan∠ACB==2， ∴AH=2，HC=1； 又△ABC的面积为S=BC•AH=BC•2=+1， ∴BC=+1； ∴BH=，以BC为x轴，AH为y轴建立平面直角坐标系， 则A（0，2），B（﹣，0），C（1，0），重心G（，）， 则+=（0，﹣2）+（1+，0）=（1+，﹣2）， +=（，﹣）+（，﹣）=（，﹣）， ∴（+）•（+）=（1+）×+（﹣2）×（﹣）=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了三角形的边角关系以及平面向量的数量积计算问题，建立平面直角坐标系是解题的关键，是中档题． 5．如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则的最大值为 ，若、分别是边、的中点，则的取值范围是 ．    【答案】 20 【分析】利用向量求得的表达式，由此求得的最大值. 利用向量求得的表达式，由此求得的取值范围. 【详解】由余弦定理，，由于，所以. 设是中点，则共线，如图，  ， . ，. 因为的最大值为，所以的最大值为. ，其中，即， 所以，故.即的取值范围是. 故答案为：； 【点睛】关键点睛：本题的关键在于利用向量数量积运算得到，从而转化为求的范围即可，同理得到，再代入相关数据转化为求的范围即可. 压轴题型五：三角形向量外心 √满分技法 四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为外心，则； 1．在中，，．点满足．过点的直线分别与边交于点且，．已知点为的外心，，则为 ． 【答案】 【分析】由三点共线可设，由此可利用表示出，得到，利用向量线性运算可表示出，由外心特点可知，由此可构造方程求得，结合向量数量积的运算律可求得，进而得到结果. 【详解】三点共线，可设， ，，即，， ，即，，；，，为的外心，，， 整理可得：，     ，解得：（舍）或； ，.故答案为：. 2．已知中，点满足，且，点是的外心，则 ． 【答案】 【分析】设的角，，所对边分别为，，，根据平面向量线性运算得到，依题意可得，结合平面向量基本定理求出，再根据数量积的运算律及外心的性质计算可得. 【详解】设的角，，所对边分别为，，， ，， 又，， 又、不共线，，，，又是的外心， 设为的中点，为的中点，则，， 所以，同理可得， ．故答案为：． 3．如图所示，点P，Q分别位于边长为1的正方形的边上，，记点为的外心，若，则的最大值为 .    【答案】/ 【分析】先证明一个引理，然后证明，再分别计算和，并使用引理将转化为关于和的表达式，最后对其进行处理即可得到结果. 【详解】先证明一个引理. 引理：若的外接圆半径为，则.证明如下： 设角所对的边的边长分别为，由正弦定理知， 故，从而引理得证. 回到原题.如下图所示，延长，交于.   则我们有. 由于在直线上，故，这就说明. 由于是圆周角，是圆心角，故，这说明. 设的外接圆半径为，则，且由引理知. 记，，则， . 这就表明.而我们又有： ， 所以，这就证明了.根据以上的证明过程，可知只要，就有， 从而. 显然我们可以分别在边上恰当选取，使得，此时有， 此时，满足题目条件. 且在这种情况下，有，所以，从而， 这意味着此时.综上，的最大值是.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，，由此即可顺利得解. 4．在中，，为的外心，且有，，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合正弦定理，可得，根据余弦定理，可求得，，根据数量积的定义及几何意义，可得、，可得关于x，y的方程组，可得x，y的值，即可得答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以， 又，所以，所以，整理得， 由余弦定理得，所以又， 所以，解得或（舍），所以， 所以， 由，得 所以，整理得①， 又 所以， 所以，整理得②， ①②联立可得，所以 【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦定理、余弦定理、数量积的定义及几何意义等知识，难点在于需根据题意求得、的值，进而可得x，y的关系，再求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 5．设为的外心，，，分别为，，的对边.（1）若，，则 .（2）若，则的最小值为 . 【答案】 10 【分析】利用，，得， ，，可得；由得， ，由余弦定理得和基本不等式可得答案. 【详解】，，所以， ，同理可得， 所以； 由得，所以，，由余弦定理得，当且仅当等号成立， 所以的最小值为.故答案为：①10；②. 压轴题型六： 三角形向量内心 √满分技法 四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为内心，则； 1．等边的边长为6，设其内心为，若平面内的点满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题先算出三角形的内切圆半径和外接圆半径，由可知点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，作图并化简，利用三角形中线性质将其化成取最小值问题，结合图形使两向量反向共线即得. 【详解】 设的内切圆半径为，则由可得，， 因等边的内心为，则也为的中心， 由正弦定理， ，可得. 又，故在以为圆心，1为半径的圆上，且的轨迹在三角形内部，如上图所示，. 由 ， 若是中点，则，综上，. 要使值最小，须使最小，即需，反向共线， 由，可得， 此时，． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查向量的数量积的范围问题，属于难题. 解题的关键在于结合点的轨迹特征，运用数形结合思想，将所求数量积进行转化，利用两向量反向共线时数量积最小即得. 2．已知点为的内心，，若，则 ． 【答案】 【详解】分析：先根据三角形内心向量性质得，再根据向量表示唯一性确定x,y值，即得结果. 详解：因为点为的内心， 所以,其中O为任一点，a,b,c为三角形三边. 因此, 所以 点睛:三角形中有关“心”的向量表示：内心I：；重心G：，外心P：. 3．已知为的内心，，且满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】延长交于D，将取值问题转换为的比值问题，根据图形将比值展开，根据内心的几何性质求解即可. 【详解】设内切圆半径为r，延长交于D，则，即， 由三点共线，得， ， ，. 当，即，亦即时等号成立，故. 故答案为：. 4．已知G为的内心，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题利用结论得，结合本题的条件与正弦定理得，即，同理得到另外两角相等，则得到的大小. 【详解】首先我们证明一个结论： 已知是所在平面上的一点，,,为的三边长，若,则是的内心. 证明:, 则, 等式两边同时除以得， ， 表示方向上的单位向量，同理表示方向上的单位向量，则由平行四边形定则可知表示的角平分线方向上的向量， 则为的角平分线，同理、分别为的角平分线，所以是的内心. 于是我们得到本题的一个结论． 又∵， ∴由正弦定理与题目条件可知． 由可得， 可得，同理可得，即．故答案为：. 5．如图，已知边长为2的正方形内有一点，满足，则的最小值是 ，过作，为的内心，则的最小值是 . 【答案】 【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，设，求出点的轨迹，然后再利用向量模的求法表示出，根据其几何意义即可求解. （2）由，，，求出内切圆半径，从而求出点坐标，再利用向量数量积的坐标运算表示出，根据式子的几何意义即可求解. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系， 由正方形的边长为2，则，，，， 设， 由，可得，即， 所以点是以为圆心，以为半径的圆上，且在正方形内的点， ，，， ， 所以 表示在正方形内部的圆上的 点到的距离，当，所以的最小值是 （2）为的内心，由，则，，则内切圆半径， 所以点坐标为，即，所以，， 所以， 由（1）可知的最小值为，所以的最小值为， 所以的最小值是.故答案为：； 压轴题型七：三角形向量垂心 √满分技法 四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为垂心，则. 1．若为的垂心，，则＝ ， ． 【答案】 / 【分析】依题意可得，设为的中点，为的中点，则，即可得到三角形面积之比，从而得到，，设，，表示出、，根据求出，即可得解. 【详解】因为，所以， 设为的中点，为的中点，则，， 所以， 所以为的中位线，且，所以为的中点，所以， 又，，所以，所以，所以，同理可得， 所以，，又为的垂心，，设，，则，， 所以，即，所以，则 所以，所以， 故答案为：； 2．已知为的垂心，且，，，，则 . 【答案】 【解析】由已知可得,从而,进而可知,结合已知条件,可求出 的值;由可得,结合余弦定理及的值,可推出,由余弦定理可求的大小. 【详解】解：， 整理得，，因为不共线，因此 ，又因为，，解得 . 因为为的垂心，所以 ，整理得， ，结合 可得 ， 解得 ，则，即. 故答案为:. 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，考查了余弦定理.本题的难点是垂心这一条件的应用.本题关键是求出参数的值. 3．在中，三个内角分别为A，B，C，，，，H为的垂心．若，则 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理可求解余弦，即可根据同角关系求解正切，进而运用定理4的结论，即可求解. 【详解】因为，，，所以， 由余弦定理可得， 由以及为锐角，可得，故． 同理，．于是． 接下来证明定理4：O是（非直角三角形）的垂心． 证明：O是（非直角三角形）的垂心 ，由定理4得， 故， 化简得．所以．故答案为： 4．设H是的垂心，且，则 . 【答案】 【解析】利用三角形的垂心与向量的关系得解. 【详解】先证明：已知是内的一点，的面积分别为，，，求证： 证明：如图2延长与边相交于点则    图1                                    图2    再证明：是的垂心           证明：如图为三角形的垂心， 同理得，由以上结论得： 是的垂心 由题设得.再由，得，.故.故答案为: 【点睛】本题考查三角形的垂心与向量关系求三角形角的余弦值，属于中档题. 5．已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 . 【答案】 30 5 【分析】利用向量的运算表示出，利用数量积运算可得答案；先利用面积及第一空结果求出，对平方可求模长. 【详解】如图，    是的边上的高，则；设， 因为，面积为15，所以，即； . 由第一空可知，所以； 所以，由可得，即；因为， 所以，. 故答案为：30;5. 压轴题型八： 向量几何意义型解题：点域 1．如图，在平面直角坐标系中，原点为正八边形的中心，轴，若坐标轴上的点（异于点）满足（其中，且、），则满足以上条件的点的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分点在、轴进行分类讨论，可得出点、关于坐标轴对称，由此可得出点的个数. 【详解】分以下两种情况讨论： ①若点在轴上，则、关于轴对称， 由图可知，与、与、与、与关于轴对称， 此时，符合条件的点有个； ②若点在轴上，则、关于轴对称， 由图可知，与、与、与、与关于轴对称， 此时，符合条件的点有个. 综上所述，满足题中条件的点的个数为. 故选：D. 【点睛】本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题. 2．如图，，点由射线，线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且，则实数对可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则以及图象，即可求解. 【详解】由，设，且， 故， 由图可知 ，因，所以，故AC错； 当时，，点在的右上方，不满足题意，故D错. 故选：B. 3．如图，A、B分别是射线上的两点，给出下列向量：①;②；③；④；⑤这些向量中以O为起点，终点落在阴影区域内的是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】设，证明当点P落在阴影区域内时，满足：且，对照各个条件一一验证即可. 【详解】 设. 当点P在线段AB上时，过点P分别作PE∥OA，PF∥OB分别交OB、OA于点E、F. 则。 同理可得：当点P落在阴影区域除了线段AB上时，. 因此当点P落在阴影区域内时，满足：且. 据此可知:只有①③满足条件. 故答案为：①③ 4．如图，OM//AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线组成的区域内（不含边界）运动，且，当时，y的取值范围是 【答案】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以和的反向延长线为两邻边，得到的取值范围，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到的范围． 【详解】解：如图，，点在由射线， 线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动， 且，由向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线， 该四边形应是以和的反向延长线为两邻边， 的取值范围是； 当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，，， 的取值范围是，． 故答案为： ， 【点睛】本题考查三角形法则，是一个基础题，向量是数形结合的最好的工具，在解题时注意发挥向量的优点． 5．如图所示，已知，由射线和射线及线段构成如图所示的阴影区（不含边界）．已知下列四个向量：①；②；③． 对于点、、落在阴影区域内（不合边界）的点有 ．（把所有符合条件的序号都填上） 【答案】①② 【分析】根据平面向量基本定理，可得到，由在阴影区域内可得实数，从而，且，逐项检验即可判断点、、是否落在阴影区域内. 【详解】解：设在阴影区域内，则射线与线段有公共点，记为， 则存在实数,使得， 且存在实数，使得，从而，且． 又由于，故． 对于①中，，解得，，满足也满足，故①满足条件，即点落在阴影区域内． 对于②，，解得，，满足也满足，故②满足条件，即点落在阴影区域内 对于③，，解得，，不满足，故③不满足条件，即点不落在阴影区域内.故答案为：①②． 压轴题型九：向量几何意义型解题：加减法几何意义 √满分技法 形如加减法，可以转化为点到线得距离。 1．已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知的最小值为，用含的式子表示，利用二次函数最小值的表示方式，表示其最小值让其等于构建方程，解得，由与的夹角为锐角，舍掉负值，代入原二次函数对称轴的表达式中，解得；表示，展开（设），将已知模长代入展开式，可化简为，利用三角函数的值域，即可得答案. 【详解】由题， 因为，，所以， 因最小值为，且由二次函数分析可知，当时，取得最小值， 所以，解得， 又因为与的夹角为锐角，所以，故； 因为， 又有， 将模长代入， 设，即原式， 因为，所以. 因此，的最大值为. 故选：D. 2．(多选）已知向量，，满足，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】根据向量的模长及夹角，不妨设，，，通过，可求出是以原点为起点，终点在以为圆心，为半径的圆上的向量.根据向量模长的坐标运算可判断项；根据圆上一点到圆上一点距离的最大值为直径可判断项，根据圆内一点到圆上一点距离的范围为可判断，项. 【详解】根据题意不妨设，，， 则， ，所以， 化简得，记为圆，即是以原点为起点，终点在以为圆心，为半径的圆上的向量. 对于，，所以，故错误； 对于，表示原点到圆上一点的距离， 因为原点在圆上，所以的最大值为圆的直径，即，故正确； 对于，，表示点到圆上一点的距离， 因为点在圆内，所以的最小值为, 的最大值为，故正确，错误. 故选：. 3．在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为 . 【答案】2 【分析】设，构造椭圆，利用三角换元可求最大值. 【详解】 如图，设，则为等边三角形，， 且，，故的轨迹为椭圆，其焦距为， 故短半轴长为，故椭圆方程为， 设，故 ， 故的最大值为2，, 故答案为：2. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构造出椭圆，并结合三角函数知识求解. 4．已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设,由题意可得，点在以为直径的圆上，设圆心为，作出图形，过点作，交于点，交圆于点，结合图形，推得在上的射影长的最大值为，通过设，将的最大值表示成关于的三角函数式，利用三角函数的值域即可求得范围. 【详解】 如图，设,则, 因对任意实数都有，成立， 即对任意实数都有，成立， 因与共线，与共线，由直线外一点到直线上的点连线中垂线段最短原则，知必有，, 即点在以为直径的圆上，设圆心为. 则，而为向量在上的射影的长. 过点作，交于点，交圆于点，因则， 则在上的射影即在上的射影，而由图知在上的射影长的最大值为，（当重合时取得最大值）， 则, 不妨设,则 于是，， 因，则，而， 即的最大值为， 当C与O重合，B与A重合时，均取到最大值2，， 此时取得最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查向量数量积的范围问题，属于难题. 解题的关键在于两点：其一，由题设两个不等式得出，其二，求解时，应利用向量数量积的几何意义—投影向量，结合图形理解并转化求解. 5．已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合二次函数的性质，由的最小值求得向量与的夹角，判断出点对应的轨迹，从而求得的取值范围. 【详解】设向量与的夹角为，，则， ， 所以当时，取得最小值为， 即， 所以. 如图所示，设，三角形是等边三角形， 设是的中点，则， 由于，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆的半径为， 根据圆的几何性质可知，即的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本小题解题难点有两点，第一点是的最小值的用法，有关向量模的试题，可以考虑利用平方再开方的方法进行转化，结合向量的数量积运算来求解.第二点是的用法，转化为向量垂直、轨迹为圆来配合解题. 压轴题型十：数量积型范围最值 1．已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知的最小值为，用含的式子表示，利用二次函数最小值的表示方式，表示其最小值让其等于构建方程，解得，由与的夹角为锐角，舍掉负值，代入原二次函数对称轴的表达式中，解得；表示，展开（设），将已知模长代入展开式，可化简为，利用三角函数的值域，即可得答案. 【详解】由题， 因为，，所以， 因最小值为，且由二次函数分析可知，当时，取得最小值， 所以，解得， 又因为与的夹角为锐角，所以，故； 因为， 又有， 将模长代入， 设，即原式， 因为，所以. 因此，的最大值为. 故选：D. 2．“超椭圆”是一种优美的封闭曲线．如图是当，时的图象，点是与轴正半轴的交点，过原点的直线交于点、，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出曲线的方程，分析可知，曲线关于原点和坐标轴对称，设点，其中，，则，计算得出，令，可得出，利用导数法求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】当，时，曲线的方程为， 在曲线上任取一点，则点关于原点的对称点为点， 则，即点在曲线上， 所以，曲线关于原点对称，同理可知，曲线关于、轴对称， 因为原点的直线交于点、，则点、关于原点对称， 在曲线的方程中，令，可得，即点， ， 由对称性，不妨设点，其中，，则， ， 令，令，其中， 则， 因为，令可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，又因为，则， 所以，，故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于换元，将转化为关于的函数，再利用导数求其值域. 3．已知四边形中，，点在四边形的四条边上运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意分析可知四线性关于直线对称，且，只需考虑点在边上的运动情况即可，然后分类讨论求出的最小值. 【详解】如图所示，因为，且，所以垂直且平分， 则为等腰三角形，又，所以为等边三角形. 则四边形关于直线对称，故点在四边形的四条边上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可， 因为，易知，即，则， ①当点在边上运动时，设， 则， 所以，当时，的最小值为； ②当点在边上运动时，设， 则， 所以，当时，的最小值为； 综上，的最小值为， 故选：C . 4．已知中，是外接圆的圆心，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】过点作，利用向量的减法运算和数量积化简，将问题转化为求的最值，再利用正弦定理和三角函数范围即可求最值. 【详解】过点作，垂足分别为， 因为是外接圆的圆心，则为的中点， 则， 由正弦定理得， 等号当且仅当时成立， 则， 所以的最大值为. 故选：C 5．已知中，为外接圆的圆心，为内切圆的圆心，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】由正弦定理求得外接圆半径，三角形面积求得内切圆半径，再由，再结合向量数量积的运算律即可求解. 【详解】由， 则，则， 由正弦定理可得外接圆半径为， 设内切圆半径为，则，即， 由，则， 设内切圆与分别切于点D，E，F，如图， 设，，， 则解得， 所以，则， ， 所以， 因此， 故选：B. 压轴题型十一：向量与压轴第19题交汇 √满分技法 新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 1．设，集合（为向量），若，定义. (1)若，且，写出所有的； (2)若，且，设满足的的个数为，求的值； (3)从集合中任取两个不同的向量，记，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)，， (3)分布列见解析， 【分析】（1）设设，，，根据定义列方程求，由此可得结论； （2）方法一：根据定义，由条件可得，由二项式定理可得，由此可求结论； 方法二：根据定义，由条件可得，结合组合数性质，分为奇数，为偶数两种情况结合裂项相消法分别求结论； （3）方法一：根据定义确定随机变量的可能取值，再结合定义和计数原理求，由此可得分布列，结合期望公式可得，再分别计算，，化简可得结论； 方法二：根据定义确定随机变量的可能取值，再结合定义和计数原理求，由此可得分布列，结合期望公式可得，再分别计算，，，由此可求结论. 【详解】（1）设，，， 因为，， 所以，， 所以， 若，则， 若，则，或，， 所以满足的为：. （2）解法1：因为， 则满足等价于向量的坐标中有个位置上的值为1，剩下个位置上的值为0，即. 由二项式定理，， 所以， 因此，，， 解法2：因为， 则满足等价于向量的坐标中有个位置上的值为1，剩下个位置上的值为0，即. 因为，所以，，，，， 所以，为奇数时， . 为偶数时， . 因此，，； （3）解法1：若，则，，与为不相等的向量矛盾， 所以随机变量的可能取值有， 对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系， 且个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等， 此时所对应情况数为种. 中元素的个数为个，所以. 所以随机变量的分布列为： 所以随机变量的数学期望为. 首先计算. 设， 两边求导得，， 两边乘以后得， 令，得， 所以 所以. 下面计算 因为， ， ， ， 因为， 所以，所以. 所以. 解法2：由题意可知，， 对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系， 且个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等， 此时所对应情况数为种. 中元素的个数为个，所以. 所以随机变量的分布列为： 所以随机变量的数学期望为， 令，因为， 可得 其中， 因为， 所以， ，， 所以. 2．已知a，b，c为三个内角A，B，C的对边，且，线段边对应的高为，内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H． (1)求中高的长度； (2)若的角平分线交于E，求证； (3)欧拉线定理：设的重心，外心，垂心分别是G，O，H，则G，O，H三点共线，且．请合理运用欧拉线定理，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）首先利用余弦定理求出，进一步求出，再利用正弦定理和三角形面积相等求出长； （2）在和中两次运用正弦定理可得，由此可得，进而可证明结论； （3）由（2）同理可得，利用重心的性质和欧拉线定理求得，再利用外心的性质和数量积的定义求得的值． 【详解】（1），故是锐角，， 由三角形的面积相等得，，则； （2）因为内心是三角形三条角平分线的交点，故连接延长交于点，如图所示： 在中由正弦定理可得，在中由正弦定理可得， 又，所以， 所以，即， 则； （3）又因为在中，平分，由（2）同理可得 ， 因为三点共线，，所以， 由重心的性质可知， 故由欧拉线定理可知， ， ， 而 ， 故． 3．从点引出三个不共面的向量，它们之间的关系和右手拇指、食指、中指相同，则这个标架构成右手标架，如图所示.规定：为一个向量，它的长度为，它的方向与向量均垂直，且使构成右手标架.该运算满足：.为单位正交基底，且符合右手标架，以的正方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，若，则记. (1)证明：； (2)已知向量，求的坐标表示； (3)①三棱锥中，，求三棱锥的体积； ②请结合“”与“数量积”的几何意义，用表示平行六面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）将两向量分共线和不共线两种情况，按照定义新运算分别判断与的模和方向即可证得； （2）按照定义新运算，用的展开式（用表示）进行运算，利用右手标架的规定求出结果，即得其坐标； （3）①利用的几何意义求出的面积，再由在方向上的投影长度，即可三棱锥的体积；②由的几何意义求出的面积，再求点到底面的距离，即得平行六面体的体积. 【详解】（1）若与共线时，； 若与不共线时， 即与的模相等； 根据定义知与同时垂直于，因此与共线； 由于按顺序与分别构成右手标架与， 所以与方向相反，因此. （2） ， 由定义知，，， 代入上式得，因此的坐标表示为 （3）①的几何意义为：以，为邻边的平行四边形的面积. ∴， 在方向上的投影长度为 ∴ ②由的几何意义可得平行六面体的底面的面积为. 点到底面的距离为在底面的法向量的投影的长度. 因此. 【点睛】思路点睛：本题主要考查关于空间向量的新定义运算，属于难题. 解题思路即是理解并弄清新定义运算的结果性质，按照规定进行相应的计算或判断，并把运算结果换成生活语言解决实际问题. 4．设和是空间中的两个不同点，则，，三点共线的充要条件是存在实数，使得，并且每个实数唯一对应直线上的点.仿照上面定义，设，，是共线的三个不同点，定义点关于，的分比为. (1)设，为空间中任意取定的一点，求证：； (2)若，，，是共线的四个不同点，满足，求的值； (3)如图，设，和分别是的边，和上的点，若三条直线，和交于一点，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意得到，变形得到； （2）设，则，因为是共线的三个不同点，故，推出，即，同理可得，相减得到答案； （3）设，参照（1）证明可得：，根据三点共线得到，故，同理得到，，联立消去，，因为，和中任意两个向量互不共线，故有，由此推出，，得到结论. 【详解】（1）由题意得，故， ，故； （2）设，则，因为是共线的三个不同点，故， 所以，， ，即， ，故，因为是共线的三个不同点，故 所以，，，故. （3）设， 因为和三点共线，，参照（1）证明可得： ①， 又因为三点共线，所以存在，使得，代入①式可得： ②， 同理，利用，可以找到实数和，使得 ③， ④， 联立②③消去，联立②④消去，可得： ，， 又因为，和中任意两个向量互不共线， 故有， 由得，由得， 又，故，即， 所以.得证. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$