精品解析： 重庆市长寿中学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年度长寿中学初2023级下期半期测试 数学试题 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列代数式中，是分式是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四幅图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 赵爽弦图 D. 斐波那契螺旋线 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 将点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 对于任何整数a，多项式都能（ ） A. 被a整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 6. 如图在中，，将绕点沿逆时针方向旋转后与重合，若，则值为（ ） A. 32 B. 48 C. 42 D. 58 7. 如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是　　 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 9. 如图，直线和直线相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点是边上一点，以为直角边作等腰直角，，交于点，连接，过点作交于点，交于点．则以下结论正确的有（ ）个 ①；②；③；④当时，；⑤当时，． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空趣（本大题7个小题，每小题4分，共28分） 11. 因式分解：________． 12. 若式子有意义，则的取值范围是_____． 13. 已知，则值为_______． 14. 如图，在平面内将Rt△EFC绕着直角顶点C顺时针旋转90°，得到Rt△ABC，若EF=，CF=2，则阴影部分的面积为________． 15. 在轴上有点，在轴上有点，点在坐标轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点最多有_______________个． 16. 若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的和为_____． 17. 对于各个数位均不为0的三位数t，将t的各个数位中任取两个数位构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，这六个两位数叫做t的“重生数”，例如：，则t的重生数字是52、25、51、15、21、12，t的所有“重生数”之和与11的商记为，若，________；若m和n是两个三位数，它们都有“重生数”，（，），（，a、b、c均为整数），若的值能被5整除，记，则p的最大值为________． 三、解答题（本大题9个大题，第18、19题8分，第20题6分，其余每小题10分，共82分） 18. （1）解不等式（组）： （2）化简分式： 19. 因式分解 （1）； （2）． 20. 如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数． 21. △ABC在直角坐标系中的位置如图，其中A点的坐标是（﹣2，3） （1）△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，请作出△A1B1C1，并写出A点的对应点A1的坐标； （2）若△ABC经过平移后A点的对应点A2的坐标是（2，﹣1），请作△A2B2C2，并计算平移的距离． 22. 如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 23. 为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知奖品的单价是10元；奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的4倍． （1）该学校有几种购买方案？ （2）设购买、两种奖品总费用为元，请写出（元）与种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用最少，并求出的最小值． 24. 【问题情景】 如图1，和有一条公共边，且，． 【猜想证明】 （1）求证：． 【深入探究】 （2）如图2，若将条件“”变成“”，其他条件不变，（1）中的数量关系是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 25. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”． 例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2022个智慧数是否存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来： ，，，，… 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到： 设两个数分别为，，其中，且为整数．则． （1）根据上述探究，可以得出：除1外，所有______都是智慧数，并直接写出11，15的智慧分解； （2）继续探究，他们发现，，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：（，且为整数）均为智慧数．请证明他们猜想； （3）根据以上所有探究，请直接写出第2022个智慧数，以及它的智慧分解． 26. 阅读材料题：有这样一个题目：已知，如图1，P是正方形内一点，连接，若，，，求的长． 小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将绕点A顺时针旋转得到，再利用勾股定理即可求解本题．请根据数学老师的提示帮小明求出图1中线段的长为______． 【方法迁移】：已知：如图2，为正三角形，P为内部一点，若，，，求的大小． 【能力拓展】：已知：如图3，等腰三角形中，D、E是底边上两点且，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度长寿中学初2023级下期半期测试 数学试题 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么叫做分式，据此判断即可． 【详解】解：根据分式的定义，、、是整式，是分式， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的定义，理解分式的定义是解答的关键． 2. 下面四幅图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. 科克曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 赵爽弦图 D. 斐波那契螺旋线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形即在平面内，沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形即把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选B 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、属于整式的乘法运算，不是分解因式，故本选项错误； B、等式右边不是整式积的形式，不是分解因式，故本选项错误； C、等式右边不是整式积的形式，不是分解因式，故本选项错误； D、符合因式分解的定义，故本选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解的定义，解题的关键是知道把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 4. 将点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【详解】解：将点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位， 得到的点的坐标为，即， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化—平移，关键是掌握点的坐标的变化规律． 5. 对于任何整数a，多项式都能（ ） A. 被a整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 将原式展开进行因式分解，进而即可得到答案． 【详解】解：， ∴多项式都能整除， 故选：D． 6. 如图在中，，将绕点沿逆时针方向旋转后与重合，若，则的值为（ ） A. 32 B. 48 C. 42 D. 58 【答案】C 【解析】 【分析】只需要求出∠BOD的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得∠COD=∠AOB=90°， ∵∠BOC=132°， ∴∠BOD=∠BOC-∠COD=42°， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键． 7. 如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，由平移得，进而可得，据此即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是　　 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为整理成多项式的乘积等于0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】解：∵a3-b3=a2b-ab2+ac2-bc2， ∴a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0， （a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0， a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0， （a-b）（a2+b2-c2）=0， 所以a-b=0或a2+b2-c2=0． 所以a=b或a2+b2=c2． 故选D. 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键. 9. 如图，直线和直线相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出直线y＝kx（k≠0）在直线y＝mx＋n（m≠0）上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，不等式kx≥mx＋n的解集为x≥2； 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 10. 如图，在中，，，点是边上一点，以为直角边作等腰直角，，交于点，连接，过点作交于点，交于点．则以下结论正确的有（ ）个 ①；②；③；④当时，；⑤当时，． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】①证明，即可得证；②根据，，进行判断即可；③连接，根据，易得为直角三角形，得到，证明，得到，进而得到；④则：，勾股定理求出，进而求出，过点作，求出，分别求出，进行判定即可；⑤过点作，交于点，，分别求出长，进行判断即可． 【详解】解：①∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； ②∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∵不一定等于， ∴不一定等于；故②错误； ③∵，， ∴， 由①知， ∴，，， ∴， 由②知，， ∴， 即：， 连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴；故③正确． ④设 ∵，， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴； 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故④错误； ⑤过点作，交于点， 设，则 ， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴ 故⑤正确； 综上，正确的是①③⑤，共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题，添加合适的辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 二、填空趣（本大题7个小题，每小题4分，共28分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若式子有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：要使式子有意义，则，即． 故答案为：． 13. 已知，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出，再把变形为，进而把所求式子变形为，进一步变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14. 如图，在平面内将Rt△EFC绕着直角顶点C顺时针旋转90°，得到Rt△ABC，若EF=，CF=2，则阴影部分的面积为________． 【答案】π－3 【解析】 【分析】根据勾股定理求得EC的长，S阴影= S扇形﹣S△ECF，扇形面积是以C为圆心，EC为半径的圆的面积的四分之一，求出扇形面积后代入即可求解． 【详解】∵Rt△ABC中EF=，CF=2， ∴EC=． ∵△ABC由△EFC旋转而成， ∴△EFC≌△ABC， ∴AC=EC=2，BC=FC=1， ∴S阴影=S扇形﹣S△ECF=． 故答案为π－3． 【点睛】本题考查扇形面积的计算及旋转的性质，掌握公式准确计算是本题的解题关键． 15. 在轴上有点，在轴上有点，点在坐标轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点最多有_______________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．分三种情况讨论，以为底，为腰，画出图形即可解答． 【详解】解：分三种情况讨论： ①以为底，在原点上； ②以为腰，且为顶点，点有种可能的位置； ③以为腰，且为顶点，点有种可能的位置； 则满足条件的点最多有个， 故答案为：． 16. 若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于，的二元一次方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的和为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的综合，掌握不等式组的取值方法，加减消元法解二元一次方程组，代入求值是解题的关键． 根据不等式的性质解不等式组，结合不等式组的取值方法得到，运用加减消元法解二元一次方程组得到，根据解为整数，分别代入计算得到满足条件的的值为0或6，由此即可求解． 【详解】解：， 解得，， 解得，， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴， 解得，， ， 解得，， ∵关于，的二元一次方程组的解为整数， ∴是的倍数，是的倍数， 当整数时，，符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，不符合题意； 当整数时，，符合题意； ∴， 故答案为： ． 17. 对于各个数位均不为0的三位数t，将t的各个数位中任取两个数位构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，这六个两位数叫做t的“重生数”，例如：，则t的重生数字是52、25、51、15、21、12，t的所有“重生数”之和与11的商记为，若，________；若m和n是两个三位数，它们都有“重生数”，（，），（，a、b、c均为整数），若的值能被5整除，记，则p的最大值为________． 【答案】 ①. 28 ②. 【解析】 【分析】本题考查新定义问题的解答，通过理解新定义问题并在接下来的问题中去应用、熟练掌握整除的意义、因式分解的应用、所有可能取值的列举等是解题关键． 由题中的定义可以直接得到的值，、的表达式，由、、的取值范围可以算出的取值，然后得到关于、、的等式，最后再根据、、的取值范围写出满足条件的几组、、的取值，从中选出使取值最小的组合并计算出的值． 【详解】解：， ， 同理， ， 由题意可得： ，， ， ，即， ，，， ， 的最小值为， 故答案为：28，． 三、解答题（本大题9个大题，第18、19题8分，第20题6分，其余每小题10分，共82分） 18. （1）解不等式（组）： （2）化简分式： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组、化简分式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别算出每个不等式的解集，再求出公共部分的解集，即可作答． （2）约去分子和分母的公因式，即可作答． 【详解】解：（1） 由得， 由得， ∴不等式组的解集为， （2）． 19. 因式分解 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数． 【答案】30° 【解析】 【分析】根据DE垂直平分AB，求证∠DAE=∠B，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠B的度数． 【详解】解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D， ∴∠DAE= ∠CAB=（90°-∠B）， ∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD， ∴∠DAE=∠B， ∴∠DAE=∠CAB=（90°-∠B）=∠B， ∴3∠B=90°， ∴∠B=30°． 若DE垂直平分AB，∠B的度数为30°． 【点睛】此题本题考查的知识点为线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点，比较简单． 21. △ABC在直角坐标系中的位置如图，其中A点的坐标是（﹣2，3） （1）△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，请作出△A1B1C1，并写出A点的对应点A1的坐标； （2）若△ABC经过平移后A点的对应点A2的坐标是（2，﹣1），请作△A2B2C2，并计算平移的距离． 【答案】（1）图详见解析，A1的坐标为（3，2）；（2）图详见解析，平移的距离为4． 【解析】 【分析】（1）分别作出三顶点绕点O顺时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接即可得； （2）将三顶点分别向右平移4个单位，再向下平移4个单位得到对应点，继而首顺次连接即可得． 【详解】解：（1）分别作出A、B、C绕点O顺时针旋转90°得到的A1、B1、C1，再顺次连接A1B1、A1C1、B1C1如图所示，△A1B1C1即为所求， A点的对应点A1的坐标为（3，2）； （2）由点A（﹣2，3）平移到对应点A2（2，﹣1）的平移规律为：向右平移4个单位，再向下平移4个单位 ∴将点B和点C也向右平移4个单位，再向下平移4个单位得到B2、C2，连接A2B2、A2C2、B2C2，如图所示，△A2B2C2即为所求，平移的距离AA2＝＝4． 【点睛】此题考查的是作图形的旋转和平移及求旋转和平移后的坐标，掌握图形的旋转和平移的作法和点的平移规律是解决此题的关键． 22. 如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出． （1）根据等边三角形的性质得出，，，求出，根据推出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，代入求出即可． 【小问1详解】 证明：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵是的外角 ∴ ∵，， ∴． 23. 为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知奖品的单价是10元；奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的4倍． （1）该学校有几种购买方案？ （2）设购买、两种奖品的总费用为元，请写出（元）与种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用最少，并求出的最小值． 【答案】（1）共有6种购买方案； （2），购买种奖品件，两种奖品件使得总费用最少，的最小值为元． 【解析】 【分析】（）根据题意列出不等式组，求解即可； （）列出函数关系式，再利用一次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数的应用及不等式组的应用，读懂题意，列出不等式组和函数关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设种奖品的数量是件，则种奖品的数量是件， ， 解得：， ∵是正整数， ∴种奖品的数量范围且是正整数； ∴共有6种购买方案； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，最小，（元）． 即购买种奖品件，两种奖品件使得总费用最少，的最小值为元． 24. 【问题情景】 如图1，和有一条公共边，且，． 【猜想证明】 （1）求证：． 【深入探究】 （2）如图2，若将条件“”变成“”，其他条件不变，（1）中的数量关系是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）成立，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由含度角的直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，，将两者相加即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，作于点，则，，由含度角的直角三角形的性质可得，，进而可得，由勾股定理可得，，由，可得，利用可证得，于是可得，则，由此即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ，， ， ， ； （2）成立，证明如下： 证明：如图，过点作交的延长线于点，作于点， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 25. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”． 例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2022个智慧数是否存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来： ，，，，… 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到： 设两个数分别为，，其中，且为整数．则． （1）根据上述探究，可以得出：除1外，所有______都是智慧数，并直接写出11，15的智慧分解； （2）继续探究，他们发现，，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：（，且为整数）均为智慧数．请证明他们的猜想； （3）根据以上所有探究，请直接写出第2022个智慧数，以及它的智慧分解． 【答案】（1）正奇数，5和6是11的智慧分解，7和8是15的智慧分解； （2）证明见解析 （3）第2022个智慧数是2699，1349和1350是它的智慧分解． 【解析】 【分析】（1）利用小明得到的公式，设2k+1=11和2k+1=15，解出k的值，即可得出结果； （2）仿照小明的方法，将（k+1）2-（k-1）2用平方差公式展开即可证明； （3）综合（1）、（2）可得，除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；再证出被4除余2的数不是智慧数，找到智慧数规律，从而解答问题． 【小问1详解】 解：根据小明的方法得到公式：（k+1）2-k2=（k+1+k）（k+1-k）=2k+1， 所以除1外，所有的正奇数都是智慧数， ∴设2k+1=11， 解得k=5，k+1=6， ∴5和6是11的智慧分解， 同理可得：7和8是15的智慧分解； 【小问2详解】 证明：设k≥2，且k为整数， ∵（k+1）2-（k-1）2=（k+1+k-1）（k+1-k+1）=4k，k=2时，4k=8， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴4k（k≥2且k为整数）均为智慧数； 【小问3详解】 解：由（1）、（2）可知： 除1外，所有的奇数都是智慧数； 除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； 这样还剩被4除余2的数，采用题目中小颖的方法， 得到特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数， 推广到一般式， 证明如下： ∵假设4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n， 使得4k+2=m2-n2， ∴4k+2=2（2k+1）=（m+n）（m-n） ①， ∵m+n和m-n这两个数的奇偶性相同， ∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外， 其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又∵（2022-1）÷3=673••••••2， ∴第2022个智慧数在1+673+1=675（组）， 并且是第三个数，即675×4-1=2699，是个奇数， ∴根据小明的方法可得： 2k+1=2699，解得k=1349，k+1=1350， 即第2022个智慧数是2699，1349和1350是它的智慧分解． 【点睛】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法，本题属于基础题，难度不大，题中文字较多，很多学生不喜欢这样的文字题，解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论． 26. 阅读材料题：有这样一个题目：已知，如图1，P是正方形内一点，连接，若，，，求的长． 小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将绕点A顺时针旋转得到，再利用勾股定理即可求解本题．请根据数学老师的提示帮小明求出图1中线段的长为______． 【方法迁移】：已知：如图2，为正三角形，P为内部一点，若，，，求的大小． 【能力拓展】：已知：如图3，等腰三角形中，D、E是底边上两点且，若，，求长． 【答案】，， 【解析】 【分析】阅读材料题：将绕点A顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质得，，从而可得，则由勾股定理即可求解； 【方法迁移】：把绕点C顺时针旋转得到，连接；由旋转的性质得是等边三角形，由勾股定理逆定理知是直角三角形，且，则可求得的度数，从而求得结果． 【能力扩展】：把绕点C逆时针旋转得到，连接，过点G作于点F，由旋转的性质得，从而得，则有，由勾股定理得，在中由勾股定理得；再证明，则；从而求得结果． 【详解】解：阅读材料题：如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得： ，，， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得：； 故答案为：6． 解：【方法迁移】： 如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接； 由旋转的性质得：，，； ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴直角三角形，且， ∴， ∴． 解：【能力拓展】： 如图，把绕点C逆时针旋转得到，连接，过点G作于点F； ∵， ∴； 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∴，由勾股定理得； ∵， 则在中，由勾股定理得； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是旋转的综合问题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等知识，关键是旋转的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$