2026年九年级中考数学复习训练圆专题：垂径定理的应用

**基本信息** 聚焦垂径定理应用，分层设计基础巩固、能力提升、综合拓展三阶训练，梯度衔接中考要求，强化几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|垂径定理与勾股定理基本应用|结合圆形拱门、筒车等生活情境，考查半径、弦长计算，培养应用意识| |提升层|切线证明与综合计算|涉及中点、角平分线等条件，需构造辅助线（如连接半径），发展推理能力| |拓展层|作图与多步推理|包含无刻度直尺作图、动态问题，综合垂径定理与相似等知识，提升创新意识|

2026年九年级中考数学复习训练圆专题：垂径定理的应用 1.(25-26九年级上·山东济南期中)如图，圆形拱门的形状是以点0为圆心的圆的一部分， 如果D是⊙0的弦AB的中点，连接D0并延长交O0于点C,并且AB=6m,CD=9m, 求⊙O的半径， Ee0000881888e A D B 2.(25-26九年级上·北京门头沟·期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了 我国古代劳动人民的智慧.如图1，当筒车工作时，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O(O 在水面上方)为圆心的圆，已知⊙0被水面截得的弦AB长为6米，点C为运行轨道的最低 点，OC⊥AB于D,点C到水面的距离是1米，求O0的半径 筒 车 A DB水面 2------ 图1 3.（25-26九年级上·浙江绍兴期中)已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横 截面如图所示，半径OA=12,水的最大深度CD为6cm. D C (I)求水面宽AB的长： (2)求阴影部分面积. 4.(25-26九年级上·安微准南·期中)石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1)， 隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱 桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为AB.桥的跨度（弧所对的弦长） 试卷第1页，共3页 AB=26m,设AB所在圆的圆心为O,半径OC⊥AB,垂足为D,拱高（弧的中点到弦的距 离)CD=5m，,连接OB. 图1 图2 (I)直接判断AD与BD的数量关系； (②)求这座石拱桥主桥拱的半径 5.(25-26九年级上，安徽准南·期末)如图所示的是某景区“咏月碑林”景点入口处的门洞， 这类圆形门洞因形如满月而得名“月洞门”，是中国古典建筑中常见的过径门.某数学兴趣小 组利用周末时间实地勘测，测得该门洞地面入口宽MN为4米，拱高P9为4米，求该门洞 所在圆（⊙0）的半径， 咏月碑林闲 M 6.(25-26九年级上·新疆乌鲁木齐期末)天山胜利隧道是世界上最长的高速公路隧道，2025 年12月26日正式通车，标志着G0711乌鲁木齐至尉犁高速公路全线投入使用，这是天山 南北交通的一个历史性突破，如图所示，隧道主洞断面可以抽象成直径为12m的⊙0的一部 分，路面最大宽度AB约为2√35m,求隧道主洞断面的最大高度CD. D B 7.(2026陕西宝鸡一模)如图，AB为O0的直径，点C在⊙0上，连接0C、BC, OC⊥AB,点D为劣弧BC的中点，过点D作OO的切线DE交AB的延长线于点E,点F在 半径OA上，连接DF. 试卷第1页，共3页 B (I)求证：BC∥DE; ②若tan∠DFB=2,OF=2,求DF的长. 3 8.(25-26九年级下·江苏连云港月考)如图，已知ABC内接于⊙0，BC是⊙0的直径. (I)尺规作图：确定点D,E的位置，使得点D是弧AC的中点，DE∥AC交直线BC于点E ；(保留作图痕迹，不写作法) (②)在(1)的条件下，求证：DE是O0的切线 9.(2026辽宁葫芦岛一模)如图，AB是O0的直径，点C在O0上，D为BC的中点，过 点D作OO的切线DE,交AB的延长线于点E,连接CD,BC,BD. (I)求证：DE∥BC; (2)若00的半径为3，DE=4,求CD的长 10.(25-26九年级下·河南信阳期中)如图，AB是00的直径，C,D都是00上的点， AD平分∠CAB,过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F. B 试卷第1页，共3页 (1)求证：EF是⊙0的切线： (2)若AB=10,AC=6,求CE的值. 11.(2024九年级江西赣州专题练习)如图，已知A,B,C三点均在00上，请仅用无 刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）. D 0 图1 图2 (I)如图1若D是弧BC的中点，请作出ABC的边BC上的中线， (2)如图2，若AP∥BC,请作出ABC中∠BAC的平分线. 12.(25-26九年级上北京平谷期末)如图，△ABC内接于⊙O,点D为BC的中点，连接 AD、CD,CE平分∠ACB交AD于点E,过点D作DF BC交AB的延长线于点F. (I)求证：DF是⊙O的切线； (2)求证：DE=DC; (3)若DE=5,BF=3,求AC的长。 13.(25-26九年级下北京月考)如图，ABC中AB是00的弦，AC过点O交⊙0于点P, BC是OO的切线. B C (1)写出∠A与∠C的数量关系，并证明： (2)射线0D⊥AB于G,交O0于D,交CB延长线于点E,补全图形，若OG:GD=3:2, 试卷第1页，共3页 CP=6,求ED的值. 试卷第1页，共3页 参考答案 1.00的半径为5m 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程 是解题的关键 ,由垂径定理得CD上AB,AD)AB=3m,设⊙0的￥径为 OA=OC=rm,OD=(9-r)m,在Rt△OAD中，由勾股定理得出方程，解方程即可. 【详解】解：连接OA,如图所示： ○ D为AB中点，AB=6m, A D B CD⊥AB,AD=AB=3m. 设⊙0的半径为rm,则0A=0C=rm, CD=9m, 0D=(9-rm, 在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA=OD2+AD2, 即r2=(9-r)2+32,解得：r=5. 即o0的半径为5m. 2.5米 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关 键。 连接01，由垂径定理得4D=BD=号4B=3(米)，再根据勾股定理得求解即可。 【详解】解：如图1，连接OA, 答案第1页，共2页 D B 水面 图1 由题意得：0A=0C=1+0D,0C⊥AB, .0D=0A-1, :AD=BD=}AB=3(米)，∠AD0=90°， 2 在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2, 0A2=(0A-12+32, 0A=5（米)， 即00的半径为5米. 3.(1)AB=12√3cm (2)48元-36V5]cm 【分析】(I)由题意，结合垂径定理可得OC⊥AB,DA=DB,在RtAAOD中，由勾股定理 求出AD长即可得到答案； (2)由图形可知，S阴影=S第影04B-So4B,在Rt△0AD中，OD=)OA,则∠0AD=30°，从 而得到∠AOB=120°，由扇形面积公式及三角形面积公式代值求解即可得到答案， 【详解】(1)解：如图所示： ○ 由题意，结合圆的对称性可知，OC⊥AB,DA=DB, 在RtaA0D中，0A=12,0D=0C-CD=12-6=6, 由勾股定理可得AD=V0A2-0D2=V22-62=6√5， 答案第1页，共2页 .AB 2AD=12v3cm (2)解：由(1)可知，AB=12√5cm,0D=6cm, 在R1△0AD中，0D-01,则∠04D=30, ∠A0D=60°， 则∠A0B=120°， ·.S阴影=S扇形OAB-S04B 120 ×πOA2-AB-OD -360 s120 360 ×元x122_×12V3×6 =(48元-36v5)cm2. 【点晴】本题考查圆中求线段长、求不规则图形面积等知识，涉及圆的对称性、垂径定理、 勾股定理、含30°直角三角形性质、扇形面积公式及间接法求不规则图形面积，熟记圆的性 质、勾股定理求线段长及扇形面积公式是解决问题的关键. 4.(1)AD=BD (2)19.4m 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，熟练掌握垂径定理是解题的关键： (1)根据垂径定理即可得出结论； (2)利用垂径定理和勾股定理进行求解即可. 【详解】解：(1)：OC⊥AB, ∴.AD=BD (2)设主桥拱半径为R, :AB=26,CD=5, 98D)4B7x26=B,0D=0C-CD=R 在Rt△0BD中，由勾股定理，得OB2=BD2+OD, 即R2=132+(R-5),解得R=19.4. 答：这座石拱桥主桥拱半径为19.4m. 5米 答案第1页，共2页 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，设半径为，连接OM,利用勾股定理列出即可 解答 【详解】解：如图，连接OM, M 由题意可得PQ⊥MW, M0=MN=2米， 设半径为，则OQ=PQ-PO=4-r, 由勾股定理得M02=Q02+MQ2,即r=(4-r)2+22, 解药子 议该洞所在圆(00)的半径为)米 6.隧道主洞断面的最大高度CD的长度为7m 【分析】根君垂径定理可得BD4B=历，在R△0D8巾根据勾股定理列方程即可求出 OD的长，进而可得CD的长. 本题考查了圆中垂径定理和勾股定理的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键. 【详解】解：连接OB, :CD经过圆心O,CD⊥AB, 0h D :BD=AB=55, :直径为12m, ..OC=OB=6m, 在Rt△0DB中OD2+BD2=OB2, 答案第1页，共2页 0D2+35=62, 0D=1, :CD=0C+0D=7m. 答：隧道主洞断面的最大高度CD的长度为7m. 7.(①)见解析 (2)2V13 【分析】(1)连接OD交BC于点M,根据垂径定理，以及切线的性质推出OD⊥BC, OD⊥DE,即可证明BC∥DE; (2)过点D作DN⊥AB于点N,结合平行线性质，等腰三角形性质和判定，直角三角形性 质推出NE=ON=DN,利用m☑DFB号推出兴子设DN=2,则PW=3, ,再利用勾股定理，以及线段的和差求解，即可解题， 解题的关键在于灵活运用相关知识，并作辅助线构造直角三角形. 【详解】(1)证明：连接OD交BC于点M, E°点D为劣弧BC的中点， :OD⊥BC, :DE为O0的切线， :OD I DE :BC∥DE; (2)解：过点D作DN⊥AB于点N, M OC=OB,OC⊥AB, ○ :∠0BC=∠0CB=45°， :BC∥DE, ∠E=∠0BC=45°， 答案第1页，共2页 OD 1 DE LD0E=45°， .∠DOE=LE, :DO=DE, :OD⊥DE,DN⊥AB, .NE =ON =DN :tan2DFB 2 DN 2 FN=3' 设DN=2x, 则FN=3x,ON=2x, DF=DN2+FN2=13x, :OF=2, 0F=FN-0N=3x-2x=x=2, :DF=213 8.(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)过点O作线段AC的垂线交⊙0于点D,由垂径定理可得AD=CD,再经过点 D作OD的垂线，交BC的延长线于点E,得DE∥AC,则点D,E即为所求； (2)连接OA,设0D交AC于点M,可得∠A0D=∠C0D,即得OD⊥AC,得到 OD⊥DE,即可求证； 【详解】(1)解：如图所示，点D,E即为所求： B (2)证明：如图，连接OA,设0D交AC于点M, 答案第1页，共2页 B :点D是弧AC的中点， :4D=CD, .∠A0D=∠C0D, :0A=0C, OD⊥AC, :DE∥AC, :OD I DE :0D是⊙0的半径， DE是OO的切线. 9.(1)见解析 (2)5 5 【分析】(1)连接OC,OD,0D交BC于点F,求出L0DE=90°，∠0FB=90°，即可判断 DE∥BC; (2)过点D作DH⊥BO于点H,求出DH,OH,BH,最后求出BD,由D为BC的中点 即可求出CD的长 【详解】(1)证明：连接OC,OD,OD交BC于点F, :DE是OO的切线， DE⊥OD, .L0DE=90°， D为BC的中点， 答案第1页，共2页 ..CD=BD, :∠C0D=∠B0D, :0B=0C, OF⊥BC, ∠0FB=90°， :∠OFB=LODE, DE∥BC. (2)解：过点D作DH⊥BO于点H, :在Rt△0DE中，OD=3,DE=4, 0E=VD02+DE2=5, SA00=ODx DE-OEx DH. 2 12 :.DH= OH=JOD-DH =9 :.BH =0B-OH-3 6 BD=DH+BH 5 D为BC的中点， .CD=BD, 6V5 ∴CD=BD= 10.(1)见解析 (2)2 【分析】(1)连接0D,由圆的基本性质可得OD=OA,由角平分线的定义和等腰三角形的 性质可得∠ODA=∠EAD,进而证明OD∥AE,∠ODF=∠AEF=90°，即可证明EF是OO的 切线： (2)连接BC,交OD于H,易证四边形ECHD是矩形，CE=DH,因此只需求出OH即可， 由垂径定理可得CH=BH,可得OH是△ACB的中位线，进而求出OH=AC=3, 2 DH=0D-0H=2. 答案第1页，共2页 【详解】(1)证明：如图1，连接0D, D B 图1 :AD平分∠CAB, .∠OAD=∠EAD, 0D=0A, .LODA=∠0AD, .∠ODA=∠EAD, .OD∥AE, .∠ODF=LAEF=90°， 又D在⊙0上， .EF是⊙0的切线： (2)解：如图，连接BC,交OD于H, B :AB是OO的直径， .∠ACB=90°， :AB=10,AC=6, .BC=VAB2-AC2=V102-6=8, .∠E=∠ACB=90°， .BC∥EF, ∠0HB=∠0DF=90°， .OD⊥BC, 答案第1页，共2页 :CH =BC=4, .CH=BH,OA=0B, :OH是△ACB的中位线， :0H=AC=3, 2 .DH=5-3=2, :∠E=∠HCE=∠EDH=90°， .四边形ECHD是矩形， :CE=DH=2. 11.(1)见解析 (2)见解析 【分析】(I)连接OD,交BC于点E,由垂径定理可得E为BC的中点，连接AE,线段 AE即为所求； (2)连接BP,交AC于点D,连接OB、OC,连接OD并延长交OO于点F,连接AF交 BC于点H,线段AH即为所求， 【详解】(I)解：如图1，连接0D,交BC于点E,连接AE,线段AE即为所求. E D 图1 (2)解：如图2，连接BP,交AC于点D,连接OB、OC，,连接OD并延长交⊙0于点F, 连接AF交BC于点H,线段AH即为所求， 图2 :AP∥BC, 答案第1页，共2页 .∠APB=∠CBP, :AB=AB, .LAPB=∠ACB, ∠CBP=∠ACB, :DC=DB, 0B=0C, .OD垂直平分BC, :BF =CF, .∠BAH=∠CAH, .AH平分∠BAC. 12.(1)见解析 (2)见解析 ⑧含 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握垂径定理，同弧或等弧所对圆周角相等，相 似三角形的判定和性质等知识是关键 (1)连接OD,如图，根据垂径定理得到OD⊥BC,结合切线的判定方法即可求解； (2)根据同弧或等弧所对圆周角相等得到∠CAD=∠BCD,由角平分线的定义，三角形的 外角的性质得到∠DEC=∠DCE,由此即可求解； (3)根据题意证明aBDF∽aCAD,得到BF:CD=BD:AC,代入计算即可求解. 【详解】(1)证明：连接0D,如图， :点D为BC的中点， OD⊥BC, DF BC, .OD⊥DF, 答案第1页，共2页 :0D为⊙O的半径， DF是⊙O的切线： (2)证明：：点D为BC的中点， :ZBAD ZCAD :∠BCD=∠BAD, .∠CAD=LBCD, :CE平分∠ACB, .∠ECB=∠ECA, :∠DEC=LECA+∠CAD,∠DCE=LECB+∠BCD, :ZDEC ZDCE, :DE=DC (3)解：连接BD,如图， 由(2)得DC=DE=5, :点D为BC的中点， .DB=DC=5, BCI DF, .∠ABC=∠F,∠CBD=∠BDF, :∠ABC=∠ADC,∠CBD=∠CAD, ∠F=LADC,LBDF=∠CAD, .△BDFACAD, :BF CD BD:AC, 即3：5=5：AC, 解得，AC=25 13.(1)2LA+∠C=90°，证明见解析 g 【分析】(1)连接OB,利用切线的性质得到LC+∠COB=90°，证明∠A=∠OBA,再根据 三角形外角的性质即可得到结论； (2)利用垂径定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质求出BC=8,进一步得到 答案第1页，共2页 a-普0C-空o0-}再明：EC0,4c8,求出B0-5 ,根据ED=E0-D0即 可求出答案. 【详解】(1)解：2LA+∠C=90° 证明：连接OB, B C P :BC是OO的切线. OB⊥BC, .∠C+∠C0B=90°， 0A=0B, .∠A=∠OBA, .∠C0B=LA+∠0BA=2∠A, .2∠A+∠C=90 (2)解：补全图形，连接BP, E B D G :OD⊥AB, .AG=BG, .0G:GD=3:2, .可设OG=3x,GD=2x, .A0=B0=D0=5x ..AG=BG=0B2-0G2=4x, .AB =8x :AP=A0+0P=10x, 答案第1页，共2页 BP=AP2-AB2 =6x, :∠0BC=90°， .∠OBP+∠CBP=90°， 由(1)可知，∠C0B=2∠A, 0B=0P, A∠0PB=∠0BP-180°-∠B0C=90°-∠A, 2 ∠A=90°-∠0BP LCBP=90°-∠0BP=∠A, :∠C=∠C, .△BCPn△ACB, 役器即瓷g BC 6' .BC=8, OB2+BC2=OC2,0C=0P+CP=6+5x (5x)2+82=(6+5x 解得r=2 15 150c-2 AB= ,0D 3 AO=OB,OG⊥AB, .∠BOE=∠AOE :∠E+∠BOE=∠A+∠AOE=90°， .∠E=∠A, :∠C=∠C, .△ECOm△ACB, 56 AB EO ·BCco 825, 3 解得E0=3 1 :ED=E0-D0=357-14 939 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页