精品解析：河南省洛阳市嵩县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

2024—2025学年第二学期期中考试八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟； 2．本试卷上不要答题，请按答题卷上注意事项的要求直接把答案填写在答题卷上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 使分式有意义的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数最小的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列代数式变形正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在▱ABCD中，∠D=50°，则∠A等于（   ） A. 45°                                      B. 135°                                      C. 50°                                      D. 130° 6. 已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（　　） A. B. C. D. 7. 如果，，那么代数式与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 已知一次函数，如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ） x …… 0 1 2 …… y …… 6 3 1 …… A. y随x的增大而增大 B. 该函数的图象经过一、二、三象限 C. 一次函数的图象可由一次函数的图象向上平移2个单位长度得到 D. 该函数的图象与y轴的交点是 10. 如图，中，、为对角线，，边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分式与的最简公分母是___________． 12. 如图，在中，是的平分线，，，则_________． 13. 若方程有增根，则的值为_____． 14. 如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点，点在轴上，且，则的值为_____． 15. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为_________________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）． （1）求一次函数和反比例函数表达式； （2）求△AOB的面积； （3）若y1＜y2，直接写出x的取值范围． 18. 如图，已知ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的角平分线．求证：AE=CF． 19. 如图，在中，过对角线的交点，且与边分别相交于点，，求四边形的周长． 20. “天宫课堂”开讲，传播普及空间科学知识，激发了广大青少年不断追求“科学梦”的热情．小明在周末从家骑自行车到本市科技馆探索科技的奥秘，他骑行了一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向科技馆方向骑行，在快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，然后继续前往科技馆．小明离科技馆的距离与离家的时间的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到本市科技馆的距离是  ； （2）小明等待红绿灯所用的时间为  ； （3）图中点表示意义是  ； （4）小明整个途中，哪个时间段骑车速度最快？ （5）小明在整个途中，共行驶了多少路程？ 21. “植”此青绿，共赴青山．2024年植树节，某学校计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵10元，用400元购买银杏树苗的棵数与用300元购买白杨树苗的棵数相同． （1）分别求每棵银杏树苗、白杨树苗的价格． （2）学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共100棵，若用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，那么最多可购买多少棵银杏树苗？ 22. 阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． （1）若分式，判段与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”． （2）已知分式，与互“关联分式”，且“关联值”． ①_____（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于_____． 23. 已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． （1）求该函数的表达式，并补画函数图象的另一支； （2）若该反比例函数与一次函数的图象交于第一象限内一点，求代数式的值． 下面是几位同学解决问题（2）时的讨论： 小平：把两个函数表达式联立求交点坐标，可是好像方程组不会解…… 小胜：可以用图象法！ 小王：也可以把通分，结合函数表达式求解． 请你选择一种合适的方法解决上面问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期期中考试八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟； 2．本试卷上不要答题，请按答题卷上注意事项的要求直接把答案填写在答题卷上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 使分式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是根据分母不等于0列式计算． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选C． 2. 下列各数最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的定义，负指数幂和0指数幂的法则分别计算各选项的值，再比较大小，即可得解． 本题主要考查了绝对值的定义，负指数幂和0指数幂的法则，以及比较有理数的大小，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ∵， 故选：A． 3. 下列代数式变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式的基本性质对四个选项一一进行恒等变形，即可得出正确答案. 【详解】解：A.，故本选项变形错误； B. ，故本选项变形错误； C.，故本选项变形错误； D.，故本选项变形正确， 故选D. 【点睛】本题考查了分式的基本性质.熟练应用分式的基本性质对分式进行约分和通分是解题的关键. 4. 人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，n为整数，当绝对值小于1时，n为负整数，由第一个非零数字前零的个数决定；确定a、n的值成为解题的关键．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 5. 如图，在▱ABCD中，∠D=50°，则∠A等于（   ） A. 45°                                      B. 135°                                      C. 50°                                      D. 130° 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据平行四边形的邻角互补即可得出的度数 详解：∵在▱ABCD中, ∴ 故选D. 点睛：考查平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，邻角互补. 6. 已知，一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a,b的符号确定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：若反比例函数 经过第一、三象限，则 ．所以 ．则一次函数 的图象应该经过第一、二、三象限； 若反比例函数经过第二、四象限，则a<0．所以b>0．则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限． 故选项A正确； 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 7. 如果，，那么代数式与之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了异分母分式的加减运算，首先求出，然后相加求解即可． 【详解】∵ ∴． 故选：B． 8. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分的性质，可得AO=3，在Rt△ABO中，由勾股定理可求得BO的长为5，进而可求得BD的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵ ∴在Rt△ABO中，由勾股定理可得， ， ∴BD=2BO=10． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形对角线的性质、勾股定理等，熟练掌握平行四边形对角线的性质是解题的关键． 9. 已知一次函数，如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ） x …… 0 1 2 …… y …… 6 3 1 …… A. y随x的增大而增大 B. 该函数的图象经过一、二、三象限 C. 一次函数的图象可由一次函数的图象向上平移2个单位长度得到 D. 该函数的图象与y轴的交点是 【答案】D 【解析】 【分析】根据信息的，求出一次函数表达式，根据一次函数图像与性质逐项判断即可得到答案． 本题考查待定系数法求函数表达式，涉及一次函数图像与性质，平移，熟记一次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：将和代入得到，解得， 一次函数为， A、由可知，随的增大而减小，该选项错误，不符合题意； B、由可知，该函数的图像经过一、二、四象限，该选项错误，不符合题意； C、一次函数的图象可由一次函数的图象向上平移3个单位长度得到，该选项错误，不符合题意； D、由一次函数为，当时，，函数图像与轴的交点是，该选项正确，符合题意； 故选：D． 10. 如图，中，、为对角线，，边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得出阴影部分的面积为平行四边形面积的一半，再由平行四边形的面积得出答案即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ，又， ， 同理：，， ， ． 故先C． 【点睛】本题考查了平行四边形的面积和性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：对角线互相平分． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分式与的最简公分母是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． ②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂； 【详解】解：分式与分母分别是，，所以最简公分母， 故答案为：． 12. 如图，在中，是的平分线，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，根据四边形是平行四边形得到，，得到，根据角平分线得到，即可得到，得到，即可得到答案 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 13. 若方程有增根，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程求出k的值即可．此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的步骤和解法． 详解】解：将原方程两边同时乘以，得， 当时，方程有增根， 此时， 将代入，得， 解得． 故答案为：1 14. 如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点，点在轴上，且，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了求反比例函数比例系数，设点A的坐标为，利用得到，即可得到答案． 【详解】解：设点A的坐标为， 点A在第二象限， ，， ， ， 是反比例函数的图象上一点， ， 故答案为：． 15. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接BC，将△ABC沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为_________________． 【答案】（12，0）或（3，0）##（ 3，0）或（-12，0） 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当A点落在y轴坐标轴上A'处时，在Rt△A'CO中，（8m）2=162+m2，求出m；当A点落在y轴负半轴上A'处时，在Rt△A'CO中，（8m）2=42+m2，求出m；即可求解． 【详解】解：∵， ∴A（8，0），B（0，6）， ∴OA=8，OB=6， ∴AB=10， 设C（m，0）， 如图1，当A点落在y轴坐标轴上A'处时，连结AA'，A'C， ∵A与A'关于BC对称， ∴AC=A'C，AB=A'B=10， ∴OA'=16， ∴AC=8m，AC=A'C=8m， 在Rt△A'CO中，（8m）2=162+m2， ∴m=12， ∴C（12，0）； 如图2，当A点落在y轴负半轴上A'处时，连结AA'，A'C， 由对称可得，AC=A'C=8m，A'B=AB=10， ∴OA'=4， 在Rt△A'CO中，（8m）2=42+m2， ∴m=3， ∴C（3，0）； 综上所述：C点坐标为（12，0）或（3，0）， 故答案为：（12，0）或（3，0）． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，灵活应用轴对称的性质，勾股定理解题是关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），1 【解析】 【分析】本题考查了分式运算和分式化简求值，解题关键是熟练掌握分式运算法则，准确计算； （1）先把除法转化为乘法，再利用分式乘法运算法则计算即可； （2）先化简，再代入数值计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）解： ， 当时，原式． 17. 如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）若y1＜y2，直接写出x的取值范围． 【答案】（1），y2＝2x+6，过程见解析； （2）15，过程见解析； （3）﹣4＜x＜0或x＞1，过程见解析． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得结论； （2）设直线AB与x轴交于点D，与y轴交于点C，利用直线AB解析式求得点C，D的坐标，用△AOC，△OCD和△OBD的面积之和表示△AOB的面积即可； （3）利用图象即可确定出x的取值范围． 【小问1详解】 解：点A（1，8）在反比例函数 上， ∴k1＝1×8＝8． ∴． ∵点B（﹣4，m）在反比例函数上， ∴﹣4m＝8． ∴m＝﹣2． ∴B（﹣4，﹣2）． ∵点A（1，8）、B（﹣4，﹣2）在一次函数y2＝k2x+b的图象上， ∴ ， 解得： ． ∴y2＝2x+6． 【小问2详解】 解：设直线AB与y轴交于点C，如图， 由直线AB: y2＝2x+6， 令x＝0，则y＝6， ∴C（0，6）． ∴OC＝6． 过点A作AF⊥y轴于点F，过点B作BE⊥y轴于点E， ∵A（1，8），B（﹣4，﹣2）， ∴AF＝1，BE＝4． ∴ =15 答：△AOB的面积是15． 【小问3详解】 解：由图象可知，点A右侧的部分和点B与点C之间的部分y1＜y2， ∴若y1＜y2，x取值范围为：﹣4＜x＜0或x＞1． 【点睛】本题是一道反比例函数与一次函数图象的交点问题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长和利用数形结合的思想方法求得x的取值范围是解题的关键． 18. 如图，已知ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的角平分线．求证：AE=CF． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定可得，最后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， 分别是的角平分线， ， ， 又， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 19. 如图，在中，过对角线的交点，且与边分别相交于点，，求四边形的周长． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可证，再根据四边形的周长，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，，，且， 在中， ， ∴， ∴， ∵四边形的周长， ∴四边形的周长． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差计算方法是解题的关键． 20. “天宫课堂”开讲，传播普及空间科学知识，激发了广大青少年不断追求“科学梦”热情．小明在周末从家骑自行车到本市科技馆探索科技的奥秘，他骑行了一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向科技馆方向骑行，在快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，然后继续前往科技馆．小明离科技馆的距离与离家的时间的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到本市科技馆的距离是  ； （2）小明等待红绿灯所用的时间为  ； （3）图中点表示的意义是  ； （4）小明在整个途中，哪个时间段骑车速度最快？ （5）小明在整个途中，共行驶了多少路程？ 【答案】（1）； （2）； （3）快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，此时小明离家，离科技馆是； （4）小明在整个途中，时间段的骑车速度最快； （5）小明在整个途中，共行驶了； 【解析】 【分析】（）根据题意和函数图象可以得到小明家到科技馆的距离； （）根据题意和函数图象可以得到小明等待红绿灯所用的时间； （）根据题意和函数图象可以得到小明在点时间段的意义 ； （）根据题意和函数图象可以得到小明在整个途中，时间段的骑车速度最快； （）根据题意和函数图象可以得到小明在整个途中共行驶路程． 小问1详解】 解：由图象可知小明家到本市科技馆的距离是， 故答案为； 【小问2详解】 解：由图象可知，小明在之间等待红绿灯， ∴小明等待红绿灯所用的时间为， 故答案为； 【小问3详解】 解：由图象可知点是快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，此时小明离家，离科技馆是， 故答案为 ：快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙, 此时小明离家，离科技馆是； 【小问4详解】 解： ∵时间段的速度为， 时间段的速度为， 时间段的速度为， 时间段的速度为， ∴， ∴小明在整个途中，时间段的骑车速度最快； 【小问5详解】 解：∵时间段的路程为， 时间段的路程为， 时间段的路程为， 时间段的路程为， ∴小明在整个途中，共行驶了． 【点睛】本题考查了函数图象，利用函数图象获取信息明白图中各点的意义是解题的关键． 21. “植”此青绿，共赴青山．2024年植树节，某学校计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵10元，用400元购买银杏树苗的棵数与用300元购买白杨树苗的棵数相同． （1）分别求每棵银杏树苗、白杨树苗的价格． （2）学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共100棵，若用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，那么最多可购买多少棵银杏树苗？ 【答案】（1）每棵银杏树苗的价格是40元，每棵白杨树苗的价格是30元 （2）最多可购买20棵银杏树苗 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，弄清等量关系和不等关系并列出分式方程和不等式成为解题的关键． （1）设每棵银杏树苗的价格是x元，则每棵白杨树苗的价格是元． 根据等量关系“用400元购买银杏树苗的棵数与用300元购买白杨树苗的棵数相同”列出分式方程求解即可； （2）设购买m棵银杏树苗，则购买棵白杨树苗，根据用于购买两种树苗的总费用不超过3200元列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每棵银杏树苗的价格是x元，则每棵白杨树苗的价格是元． 根据题意得．解得． 经检验，是原方程的解． ． 答：每棵银杏树苗的价格是40元，每棵白杨树苗的价格是30元． 【小问2详解】 解：设购买m棵银杏树苗．则购买棵白杨树苗， 根据题意，得． 解得． 答：最多可购买20棵银杏树苗． 22. 阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． （1）若分式，判段与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”． （2）已知分式，与互为“关联分式”，且“关联值”． ①_____（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于_____． 【答案】（1）2 （2）①；②1 【解析】 【分析】此题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减混合运算法则是关键． （1）根据定义进行计算即可； （2）①根据定义求出的值即可；②根据分式的值为正整数进行解答即可． 【小问1详解】 解：， ， 与互为“关联分式”，“关联值”； 【小问2详解】 解：①， ， 与互为“关联分式”，且“关联值”， ， ， 故答案为： ② ， 分式的值为正整数． 或，此时的值为1或， 为正整数， 的值为1． 故答案为：1 23. 已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． （1）求该函数的表达式，并补画函数图象的另一支； （2）若该反比例函数与一次函数的图象交于第一象限内一点，求代数式的值． 下面是几位同学解决问题（2）时的讨论： 小平：把两个函数表达式联立求交点坐标，可是好像方程组不会解…… 小胜：可以用图象法！ 小王：也可以把通分，结合函数表达式求解． 请你选择一种合适的方法解决上面问题． 【答案】（1） ，图象见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，作反比例函数图象，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用待定系数法直接求出k值，写出关系式即可，反比例函数图象的另一支关于原点成中心对称作图即可； （2）小平的解法：把两个函数表达式联立求交点坐标，可得，由此可得，，即可得解； 小胜的解法：可以用图象法，找出一次函数和反比例函数的图象的交点坐标为，由此可得，，即可得解； 小王的解法：利用点在函数图象上得，点在函数图象上得，再根据即可求解． 【小问1详解】 解： 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数表达式为，另一支图象如图所示： ； 【小问2详解】 解： 小平的解法：联立， 得， ， ， 解得，， ∴，， ∵P点在第一象限， ∴， ∴，， ∴； 小胜的解法：如图，在同一直角坐标线中作出一次函数和反比例函数的图象． 由图知两个函数图象在第一象限的交点坐标为， ∴，， ∴； 小王的解法： 点在反比例函数图象上， ， 点在函数图象上， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$