精品解析：重庆市第十八中学2024-2025学年八年级下学期半期模拟检测数学试题

重庆市第十八中学2024-2025学年度下期 八年级半期模拟检测（数学试题） 考试注意： 1．时间120分钟，满分150分； 2．作答前请注意答题卡上的注意事项； 3．考试结束后，试卷自行保管，答题卡上交． 一、选择题：每小题4分，共40分．在给出的A、B、C、D四个选项中，仅有一个选项是正确的，将正确的选项填涂在答题卡上． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的特点：被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，进行判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，被开方数含有能开的尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有能开的尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 某中学校园文化艺术节歌唱比赛有13 名同学参赛，得分前7名的同学进入决赛，经过角逐，这13名同学的得分各不相同，小明知道自己的得分后，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学得分的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的知识，熟练掌握中位数的定义是解题关键．根据中位数的定义分析判断即可． 【详解】解：13个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有7个数， 故只要知道自己的成绩和中位数，就可以知道是否进入决赛． 故选：D． 3. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，无理数的大小估算．先根据二次根式的运算法则进行计算，再估算无理数的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故选：C． 4. 下列命题中说法一定正确的一项是（ ） A. 邻边相等的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是正方形 C. 正方形是邻边相等的平行四边形 D. 两组对边平行的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理即可作出判断． 【详解】解：A选项，邻边相等的平行四边形是菱形，正确，本选项符合题意； B选项，对角线相等的平行四边形是矩形，原说法不正确，本选项不符合题意； C选项，正方形是邻边相等的矩形，原说法不正确，本选项不符合题意； D选项，两组对边平行的四边形是平行四边形，原说法不正确，本选项不符合题意； 故选：A． 5. 如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，勾股定理．根据题意画出台阶的侧面展开图，再根据勾股定理求出的长即可得出结论． 【详解】解：如图所示， ， ． 故选C． 6. 直线与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶ 设与y轴的交点为点B， 令，得；令，即， ∴， ， ∴，， 即 ∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线， ∴，， ∴ ∴， 则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， 那么，直线的解析式为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直角三角形的性质、勾股定理以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长． 7. 张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是 A. 加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=﹣8t+25 B. 途中加油21升 C. 汽车加油后还可行驶4小时 D. 汽车到达乙地时油箱中还余油6升 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、设加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系式为y=kt+b． 将（0，25），（2，9）代入，得，解得， ∴y=﹣8t+25，正确．故本选项不符合题意． B、由图象可知，途中加油：30﹣9=21（升），正确，故本选项不符合题意． C、由图可知汽车每小时用油（25﹣9）÷2=8（升）， ∴汽车加油后还可行驶：30÷8=＜4（小时），错误，故本选项符合题意． D、∵汽车从甲地到达乙地，所需时间为：500÷100=5（小时）， ∴5小时耗油量为：8×5=40（升）． 又∵汽车出发前油箱有油25升，途中加油21升， ∴汽车到达乙地时油箱中还余油：25+21﹣40=6（升），正确，故本选项不符合题意． 故选C 8. 已知直线与轴、轴分别交于点，，另一直线经过点，且把的面积分为的两部分．则的值为（ ） A. B. 2或 C. 或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式．分两种情况讨论，设与交于点，根据题意得，求得，过点D作交于点，再求得，据此利用待定系数法即可求解． 【详解】解：设与交于点，分的面积比为， 得，即， ∴， ∴， 如图，过点D作交于点，则， 因为点E在直线上， ∴， 所以， 所以直线经过点、或、， ∴或， 解得或， ∴或． 故选：C． 9. 如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心（即三条内角平分线的交点），的延长线交于点，是上一动点，连接，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H， ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 10. 如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等．先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 二、填空题（一）：每小题4分，共16分．将答案填写在答题卡的对应位置上． 11. 一个正多边形的内角和为，则这个多边形的边数是_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理的应用．根据多边形内角和定理，列方程解答出即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 根据正多边形内角和定理得， ， 解得． 故答案为：12． 12. 某果农将直径从至的苹果每相差分为1个等级，共分，，，四个等级，它们每箱的价格依次是20元，30元，40元，50元．某天这四个等级苹果销售数量的百分比为：等级，等级，等级，等级，则这天销售的苹果平均每箱的价格为______________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数．根据加权平均数定义即可求出这天销售的苹果每箱平均价格． 【详解】解：这天销售的苹果每箱平均价格是： （元）， 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，点，分别在，的延长线上，，，，，则的长是_______________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 证明四边形是平行四边形，得到，则，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴在中，由勾股定理得， 故答案为：2． 14. 如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接，．若与关于直线对称，则的周长是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和折叠的性质．根据正方形的性质可求出，根据轴对称的性质可得，则，再求出，，即可求出答案． 【详解】解：正方形的边长为2， ∴，，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故答案为：． 三、填空题（二）：每小题4分，共16分．将答案填写在答题卡上的对应位置上． 15. 已知一次函数的图象不经过第四象限，且关于的不等式组至少有2个整数解，则所有满足条件的整数的值和为__________________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一元一次不等式组的整数解．由一次函数图象不经过第四象限，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由关于x的不等式组至少有2个整数解，即可求出a的取值范围，进而可确定a的取值范围，再将其内的整数值相乘即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， 解得：， 解不等式组， 得：， 又∵关于x的不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：． 综上， ∴所有满足条件的整数a值之和为． 故答案为：9． 16. 如图所示，在正方形中，，、、分别为、、边上的动点，且，则的最小值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．延长至，使，延长至，使，延长至，使，连接，，，，证明和，推出和，由两点之间线段最短，知当共线时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 延长至，使，延长至，使，延长至，使，连接，，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在菱形中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，是延长线上一点，且，连接，，交的延长线于点，连接．若，，则的长为_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，在上取一点N，使，连接，根据菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质可得，再根据勾股定理以及直角三角形的性质可得，进而得到，最后将代入计算即可. 【详解】解：如图：连接，在上取一点N，使，连接， ∵菱形， ∴ 由题意可知：均为直角三角形， 在和， ， ∴， ∴， ∵菱形，，， ∴是线段的垂直平分线， ∴点在直线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 过A作于J， ∵， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质等知识点，灵活运用全等三角形成为解题的关键. 18. 若一个四位数M的千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的和也为10，则这个四位数M为“双十数”．例如：，∵，∴3278是“双十数”；又如：，∵ ，∴1294不是“双十数”．若一个“双十数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，当是整数时，的最大值为______，若、均为整数时，记，当取得最大值，且时，M的值为______． 【答案】 ①. 6 ②. 2684 【解析】 【分析】根据的定义可得的值，进而得出的最大值，根据进而求值即可． 【详解】∵是整数，， ∴为能被4整除的数， ∴或8或12或16， ∴的最大值为6， ∵、均为整数，， ∴， ∴， 当取得最大值，且时， 此时，，的最大值为11， ∴， ∴M的值为2684， 故答案为：6，2684． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及整除，新定义等知识，准确理解新定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 四、解答题：第19题8分，其余每题10分．作答时写出必要的解题过程和文字注释（包括辅助线）． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及二次根式的加减法，乘法，负整数指数幂，和乘法公式，掌握运算法则，正确化简是解题的关键． （1）先分别化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，再进行二次根式的加减计算； （2）先利用平方差公式和完全平方公式进行二次根式乘法运算，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 小高在学习矩形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是矩形的方法，他的想法是作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则可论证该平行四边形是矩形． （1）用直尺和圆规，作射线平分交于点； （2）已知：如图，在平行四边形中，平分交于，平分交于点，且．求证：平行四边形是矩形． 证明：，分别平分，， ，． 四边形为平行四边形， ，①___________， ，， ，②______________， ，，． 在和中，，，， ． ． ，， ③_________________， 平行四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线作图，角平分线性质，平行四边形性质，矩形的判定，熟练掌握相关性质定理即可解题． （1）以为圆心，任意长为半径，分别交与于一点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的为半径画弧，交于一点，连接点和这一点，并延长交于点，射线即为所作； （2）根据角平分线性质以及平行四边形性质证明，得到，利用平行线性质得到，进而得到，即可证明平行四边形是矩形． 【小问1详解】 解：根据题意所作射线如图所示： ； 【小问2详解】 证明：，分别平分，， ，． 四边形为平行四边形， ，，， ，， ，， ，， ． 在和中， ， ． ， ， ， ， 平行四边形是矩形． 21. 为了让师生更规范地操作教室里的多媒体设备，我校电教中心制作了“教室多媒体设备培训”视频，并在电视课期间进行播放．结束后为了解初高中各班电教委员对设备操作知识的掌握程度，现教中心对他们进行了相关的知识测试．现从初高中各随机抽取了15名电教委员的成绩，得分用x表示，共分成4组：A： 60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100，对得分进行整理分析，给出了下面部分信息： 初中电教委员的测试成绩在C组中的数据为：81，85，88． 高中电教委员的测试成绩：76，83，71，100，81，100，82，88，95，90，100，86，89，93，86． 成绩统计表如下： 学部 平均数 中位数 最高分 众数 极差 初中 88 a 98 98 32 高中 88 86 100 b c （1）a= ，b= ，c= （2）通过以上数据分析，你认为 (填“初中”或“高中”)学部的电教委员对多媒体设备操作的知识掌握更好？请说明理由（一条理由） （3）若初高中共有240名电教委员，请估计此次测试成绩达到90分及以上的电教委员约有多少人？ 【答案】（1）85；100；24； （2）高中，理由见解析 （3）96 【解析】 【分析】（1）根据条形图排序中位数在C组数据为81，85，88．根据中位数定义知中位数位于（15+1）÷2=8位置，第8个数据为85，即可求出a；高中的测试成绩重复最多是3次的100即可求出b；根据极差的定义即可求出c； （2））由平均数相同，从众数和中位数看，高中众数100，中位数86都比初中大即可得出结论； （3）求出初中和高中 90分以上占样本的百分比，此次测试成绩达到90分及以上的学生约：总数×样本中90分以上的百分比即可． 【小问1详解】 解：A与B组共有6个，D组有6个，则中位数落在C组，而C组数据为81，85，88． 根据中位数定义知中位数在（15+1）÷2=8位置上， 第8个数据为85， 中位数为85， ， 观察高中的测试成绩，重复次数最多是3次的100，则高中的测试成绩的众数为100， ； ∵高中的最高成绩为100，最低成绩为76， ∴极差， 故答案为：85；100；24； 【小问2详解】 解：从众数和中位数看，高中众数100，中位数86都比初中大，在平均数相同时，高中的众数（中位数）更大；说明高中的大部分学生的测试成绩优于初中； 故答案为：高中； 【小问3详解】 解：初中，有6人，高中90分以上有6人， 初中和高中90分以上占样本的百分比为， 此次测试成绩达到90分及以上的学生约：， 答：此次测试成绩达到90分及以上的电教委员约有96人． 【点睛】本题考查中位数，众数，平均数，利用中位数和众数进行决策，利用样本的百分含量估计总体的数量，掌握中位数，众数，平均数，利用中位数和众数进行决策，利用样本的百分含量估计总体的数量是解题关键． 22. 如图，考古人员在古墓大门A处探测到一青铜古物O，由于大门A正北方向有间墓室，考古人员无法沿直线直接挖掘前往．经勘测，考古人员发现有两条线路可以挖掘前往青铜古物O：线路①；线路②．其中点C在点A的正东方10米处，点O在点C北偏西 方向，点D在点C正北方，点O在点D西北方向20米处，点B在点A正西方向，点O在点B北偏东方向．（参考数据：，） （1）求的长度；（结果保留根号） （2）受周围环境的影响，考古人员在线路①挖掘的平均速度为3米/小时，在线路②挖掘的平均速度为3.2米/小时，请通过计算说明选择哪条线路能更快挖掘到古物O． 【答案】（1） （2） 解：过点O作于点F， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴线路②路程为：， ∴（小时）， 线路①路程为：， ∴（小时） ∴，因此线路①能更快挖掘到古物O． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是构造直角三角形． （1）过点O作延长线的垂线，垂足为点E，先解，再解即可； （2）过点O作于点F，发现为等腰三角形，解算出，最后利用利用时间等于路程除以速度，求出两条路线所需的时间，比较即可． 【小问1详解】 解：过点O作延长线的垂线，垂足为点E， 由题意得：，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：的长度为； 【小问2详解】 略 23. 如图，在四边形中，，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，运动到点停止，设运动时间为秒，的面积为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质： （3）若一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）作图见详解，当时，随的增大而增大；当时，有最大值，最大值为；当时，随的增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查动点与函数图象的性质，两直线交点求二元一次方程组，掌握几何图形面积的计算，函数图象的性质，两直线的交点的计算方法是解题的关键． （1）当点在上时，，则，由，可得；当点在上时，，∴，，则有；由此即可求解； （2）根据解析式作图即可，根据图示得到性质； （3）根据题意可得一次函数的图象经过，，随的增大而增大，当时，即一次函数与有1个交点，且另一个交点式；当在一次函数的图象上时，解得，，即当时，一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点；由即可求解． 【小问1详解】 解： ∵四边形，， ∴， ∴四边形是梯形， ∴， 已知动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，运动到点停止，设运动时间为秒，， 当点在上时，，则， ∴，， ∵， ∴； 当点在上时，， ∴，， ∴； 综上所述，； 【小问2详解】 解：根据（1）中的解析式，作图如下， ∴当时，随的增大而增大；当时，有最大值，最大值为；当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：由（2）可得，时，，当时，，时，， 在中，时，，当时，， ∴一次函数的图象经过，，随的增大而增大， 当时，一次函数解析式为，如图所示， 联立方程组得，， 解得，， 即一次函数与有1个交点，且另一个交点式，如直线； ∴当时，一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点； 当在一次函数的图象上时，， 解得，， 即当时，一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点，如直线； 当时，时，， 解得，，一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点，如直线； 综上所述，当时或时，一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点． 24. 夏天到了，水果陆续上市．某水果店看好有机水果蓝莓和樱桃的市场价值．若购进40千克蓝莓和30千克樱桃需要1250元；若购进60千克蓝莓和20千克樱桃需要150元，两次购进同种水果的价格一样． （1）求有机水果蓝莓和樱桃每千克的购进价格各是多少元？ （2）该水果店决定每天购进有机水果蓝莓和樱桃共500千克进行销售，但投入资金不超过9000元，假定该水果店将蓝莓和樱桃的售价分别定为每千克35元和每千克25元，设购进蓝莓x千克，请问当x为何值时，该超市总店将获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）有机水果蓝莓和樱桃每千克的进价分别是20元和15元； （2）当x＝300时，该水果店将获得最大利润6500元． 【解析】 【分析】（1）设蓝莓和樱桃每千克的进价分别是a元和b元，根据购进40千克蓝莓和30千克樱桃需要1250元；若购进60千克蓝莓和20千克樱桃需要150元列二元一次方程组解答； （2）根据投入资金不超过9000元列不等式求出x的取值范围，设利润为W元，列得函数解析式，根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设蓝莓和樱桃每千克的进价分别是a元和b元， 依题意得， 解方程组得， 答：有机水果蓝莓和樱桃每千克的进价分别是20元和15元； 【小问2详解】 因为购进蓝莓x千克，则购进樱桃（500﹣x）千克， 由题意20x+15（500-x）≤9000， 解得x≤300， ∴， 设利润为W元， 则W＝（35﹣20）x+（25﹣15）（500﹣x）＝5000+5x， ∵50， ∴W随x的增大而增大， ∴当x＝300时，W最大，最大值为5000+5×300＝6500， 答：当x＝300时，该水果店将获得最大利润6500元． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 25. 如图1，直线交轴，轴于点和点，直线交轴，轴于点和点，和交于点，已知． （1）求直线的解析式； （2）如图2，已知点是轴上一动点，点在直线上，且在点的右侧，连接，当的面积为时，连接，，当取最小值时，求点的坐标； （3）如图3，连接，将绕点顺时针旋转得到，所在直线交轴于点，连接，点是轴上的一点，是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求解，，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由题意设，结合的面积为，求解，，如图，作关于轴的对称点，可得，当三点共线时，最小，再进一步求解即可； （3）由旋转可得，，，过作轴于，证明，可得，求解的解析式为，直线的解析式为：，结合，再分两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵直线交轴，轴于点和点， ∴当，则，当，则， ∴，， ∵， ∴，， ∵和交于点， ∴， ∴， ∵为， ∴，解得：， ∴直线为：． 【小问2详解】 解：由题意设， ∵的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∵直线为：． ∴当时，， ∴， 如图，作关于轴的对称点， ∴， ∴， 当三点共线时，最小， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，， 解得：， ∴． 【小问3详解】 解：如图，∵，，，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， 过作轴于， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理可得：的解析式为， 同理可得：， 同理可得：直线的解析式为：， ∵， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，解得， ∴， 如图，当时，记的交点为， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：， 当时，解得：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，旋转的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，坐标与图形面积，轴对称的性质，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26. 如图1，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作平行四边形． （1）求证：平行四边形是菱形； （2）如图2，若，连接，，，，求的度数并判断的形状； （3）如图3，若，，，是的中点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）；是等边三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形，即可解决问题； （2）连接，先证明，得出，， 证明，得出是等边三角形，即可得出结论； （3）首先证明四边形为正方形，再证明可得，，再根据可得到是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：；是等边三角形； ∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 又由（1）可知四边形为菱形，， ∴四边形为正方形． 根据解析（2）可知，， ∵M为中点， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，． ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质、正方形的性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学2024-2025学年度下期 八年级半期模拟检测（数学试题） 考试注意： 1．时间120分钟，满分150分； 2．作答前请注意答题卡上的注意事项； 3．考试结束后，试卷自行保管，答题卡上交． 一、选择题：每小题4分，共40分．在给出的A、B、C、D四个选项中，仅有一个选项是正确的，将正确的选项填涂在答题卡上． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 某中学校园文化艺术节歌唱比赛有13 名同学参赛，得分前7名的同学进入决赛，经过角逐，这13名同学的得分各不相同，小明知道自己的得分后，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学得分的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 3. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 4. 下列命题中说法一定正确的一项是（ ） A. 邻边相等的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是正方形 C. 正方形是邻边相等的平行四边形 D. 两组对边平行的四边形是矩形 5. 如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（ ） A. B. C. D. 6. 直线与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是 A. 加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=﹣8t+25 B. 途中加油21升 C. 汽车加油后还可行驶4小时 D. 汽车到达乙地时油箱中还余油6升 8. 已知直线与轴、轴分别交于点，，另一直线经过点，且把的面积分为的两部分．则的值为（ ） A. B. 2或 C. 或 D. 2或 9. 如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心（即三条内角平分线的交点），的延长线交于点，是上一动点，连接，，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 13 10. 如图，在边长为6的正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 10 二、填空题（一）：每小题4分，共16分．将答案填写在答题卡的对应位置上． 11. 一个正多边形的内角和为，则这个多边形的边数是_____． 12. 某果农将直径从至的苹果每相差分为1个等级，共分，，，四个等级，它们每箱的价格依次是20元，30元，40元，50元．某天这四个等级苹果销售数量的百分比为：等级，等级，等级，等级，则这天销售的苹果平均每箱的价格为______________元． 13. 如图，在平行四边形中，点，分别在，的延长线上，，，，，则的长是_______________． 14. 如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接，．若与关于直线对称，则的周长是_____________． 三、填空题（二）：每小题4分，共16分．将答案填写在答题卡上的对应位置上． 15. 已知一次函数的图象不经过第四象限，且关于的不等式组至少有2个整数解，则所有满足条件的整数的值和为__________________． 16. 如图所示，在正方形中，，、、分别为、、边上的动点，且，则的最小值为_______________． 17. 如图，在菱形中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，是延长线上一点，且，连接，，交的延长线于点，连接．若，，则的长为_______________． 18. 若一个四位数M的千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的和也为10，则这个四位数M为“双十数”．例如：，∵，∴3278是“双十数”；又如：，∵ ，∴1294不是“双十数”．若一个“双十数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，当是整数时，的最大值为______，若、均为整数时，记，当取得最大值，且时，M的值为______． 四、解答题：第19题8分，其余每题10分．作答时写出必要的解题过程和文字注释（包括辅助线）． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 小高在学习矩形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是矩形的方法，他的想法是作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则可论证该平行四边形是矩形． （1）用直尺和圆规，作射线平分交于点； （2）已知：如图，在平行四边形中，平分交于，平分交于点，且．求证：平行四边形是矩形． 证明：，分别平分，， ，． 四边形为平行四边形， ，①___________， ，， ，②______________， ，，． 在和中，，，， ． ． ，， ③_________________， 平行四边形是矩形． 21. 为了让师生更规范地操作教室里的多媒体设备，我校电教中心制作了“教室多媒体设备培训”视频，并在电视课期间进行播放．结束后为了解初高中各班电教委员对设备操作知识的掌握程度，现教中心对他们进行了相关的知识测试．现从初高中各随机抽取了15名电教委员的成绩，得分用x表示，共分成4组：A： 60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100，对得分进行整理分析，给出了下面部分信息： 初中电教委员的测试成绩在C组中的数据为：81，85，88． 高中电教委员的测试成绩：76，83，71，100，81，100，82，88，95，90，100，86，89，93，86． 成绩统计表如下： 学部 平均数 中位数 最高分 众数 极差 初中 88 a 98 98 32 高中 88 86 100 b c （1）a= ，b= ，c= （2）通过以上数据分析，你认为 (填“初中”或“高中”)学部的电教委员对多媒体设备操作的知识掌握更好？请说明理由（一条理由） （3）若初高中共有240名电教委员，请估计此次测试成绩达到90分及以上的电教委员约有多少人？ 22. 如图，考古人员在古墓大门A处探测到一青铜古物O，由于大门A正北方向有间墓室，考古人员无法沿直线直接挖掘前往．经勘测，考古人员发现有两条线路可以挖掘前往青铜古物O：线路①；线路②．其中点C在点A的正东方10米处，点O在点C北偏西 方向，点D在点C正北方，点O在点D西北方向20米处，点B在点A正西方向，点O在点B北偏东方向．（参考数据：，） （1）求的长度；（结果保留根号） （2）受周围环境的影响，考古人员在线路①挖掘的平均速度为3米/小时，在线路②挖掘的平均速度为3.2米/小时，请通过计算说明选择哪条线路能更快挖掘到古物O． 23. 如图，在四边形中，，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动，运动到点停止，设运动时间为秒，的面积为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质： （3）若一次函数的图像与该函数图像有且只有一个交点，请直接写出的取值范围． 24. 夏天到了，水果陆续上市．某水果店看好有机水果蓝莓和樱桃的市场价值．若购进40千克蓝莓和30千克樱桃需要1250元；若购进60千克蓝莓和20千克樱桃需要150元，两次购进同种水果的价格一样． （1）求有机水果蓝莓和樱桃每千克的购进价格各是多少元？ （2）该水果店决定每天购进有机水果蓝莓和樱桃共500千克进行销售，但投入资金不超过9000元，假定该水果店将蓝莓和樱桃的售价分别定为每千克35元和每千克25元，设购进蓝莓x千克，请问当x为何值时，该超市总店将获得最大利润？最大利润是多少？ 25. 如图1，直线交轴，轴于点和点，直线交轴，轴于点和点，和交于点，已知． （1）求直线的解析式； （2）如图2，已知点是轴上一动点，点在直线上，且在点的右侧，连接，当的面积为时，连接，，当取最小值时，求点的坐标； （3）如图3，连接，将绕点顺时针旋转得到，所在直线交轴于点，连接，点是轴上的一点，是否存在点使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图1，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作平行四边形． （1）求证：平行四边形是菱形； （2）如图2，若，连接，，，，求的度数并判断的形状； （3）如图3，若，，，是的中点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $