精品解析：吉林省吉林市永吉县2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

2024—2025学年度第二学期阶段教学质量检测 八年级数学试题 数学试卷共6页，包括三道大题，共22道小题．试卷满分120分（试题118分，卷面书写2分）．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，分母中含有二次根号的也不是最简二次根式，由此判断即可．熟知最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、是最简二次根式，故此选项符合题意； C、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、分母中含有二次根号，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 用3根小木棒首尾相接拼成一个直角三角形，则符合条件的三根木棒长度可以是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为，．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ，为边的中点， ， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据算术平方根和二次根式的运算法则去判断即可． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：B． 5. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为（　　） A. B. C. 3 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，连接，从而根据勾股定理计算是解题的关键． 【详解】解：连接， 则, ∴， 故选A． 6. 如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=45°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（　　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据正方形的性质和已知条件可求出∠B的度数，再利用平行四边形的性质∠D=∠B即可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEF=90°． ∵∠CEF=15°，∴∠AEB=180°﹣90°﹣15°=75°，∴∠B=180°﹣∠BAE﹣∠AEB=180°﹣45°﹣75°=60°． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=60°． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 当时，二次根式的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质与化简，先把代入，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：1． 8. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树原高为 _____米． 【答案】8 【解析】 【分析】树高等于，在直角中，用勾股定理求出即可． 【详解】解：根据题意得：米，米，， 由勾股定理得， 米， 所以米． 故答案为8． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是在实际问题的图形中得到直角三角形． 9. 如图，中，，交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解一元一次方程，由四边形是平行四边形可得，然后列出方程，最后解方程即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 10. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是______． 【答案】114 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴绿地的面积； 故答案为：114． 11. 如图，是正方形的一条对角线，是上一点，是延长线上一点，连接，，．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先证明，得出，从而得出，证明，说明直角三角形，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明为直角三角形． 三、解答题（共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：原式 . 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键． 13. 如图，在中，，，平分，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由，平分，则，，然后由勾股定理得，然后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵，平分， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴． 14. 如图，点，，，在同一条直线上，，，；求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．由，，可得四边形是平行四边形，得到，由可得，推出，即可证明． 【详解】证明：点，，，在同一条直线上，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 即， ， 又， 四边形平行四边形． 15. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确计算是解题的关键．先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 16. 如图，四边形是矩形．以点B为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点E，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当时，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，，，由作图可得，利用三线合一性质可得，再利用平行四边形的判定即可证明； （2）利用勾股定理求出的长，结合（1）中的结论，利用平行四边形的周长公式即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ，，， ， 由作图可得，， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：，， ， 由（1）得，四边形是平行四边形， 四边形的周长． 17. 如图，公园内有一个四边形步道，其中，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，米． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）通过计算比较两条路线，哪条更短？ 【答案】（1），理由见解析 （2）路线更短 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． （1）根据勾股定理的逆定理解答； （2）根据勾股定理求出，比较大小得到答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： 在中，米，米，米， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∴米，（米）， ∵， ∴路线更短． 18. 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆长（单位：），，假如一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么，它摆动60个来回大约需要多少秒？（，取3，结果保留整数） 【答案】它摆动60个来回大约需要 【解析】 【分析】先运用公式求出这个座钟的周期．再用60乘以周期即可． 【详解】解： ，取3， ． ． 答：它摆动60个来回大约需要． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除，解题的关键是运用公式求出这个座钟的周期． 19. 如图，图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，顶点称为格点．请仅用无刻度的直尺按要求画出符合的图形． （1）请在图①中，找一个格点C，使是直角三角形，为斜边，两条直角边的长度均为无理数； （2）请在图②中，找两个格点M，N，使线段与线段互相平分； （3）请在图③中，找两个格点P，Q，使四边形为正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识． （1）利用勾股定理逆定理，画出直角边的平方和等于10的直角三角形即可； （2）线段与线段互相平分，则图形具有对称性质，据此画图即可； （3）根据正方形的特点画图即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求（画出一个即可，答案不唯一）； 【小问2详解】 解：如图即为所求，（画出一个即可，答案不唯一）； 【小问3详解】 解：如图，四边形为正方形，即为所求． 20. 某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 ①测得水平距离的长为． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务： （1）求线段的长； （2）如果小明想要风筝沿方向再上升，的长度不变，请补全图形，并求他应该再放出多少米线？ 【答案】（1）米 （2）补图见解析，米 【解析】 【分析】（）过点作地面于，可得米，再利用勾股定理求出的长即可求解； （）根据题意画出图形，再根据图形利用勾股定理求出的长即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：过点作地面于， 由题意可知，，，，， ∴米， 由勾股定理得，米， ∴米； 【小问2详解】 解：补图如下，由题意可知，米， 由（）得，米， ∴米， ∵，米， ∴米， ∴他应该再放出线米． 21. 如图①，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，． 如图②，将沿着的方向以每秒的速度平移得到；设运动时间为t秒，连接． （1）四边形的形状为 ； （2）当t为何值时，四边形是菱形？请说明你的理由； （3）四边形能是矩形吗？若能，求出t值及此时矩形的面积；若不能，说明理由． 【答案】（1）平行四边形 （2），见解析 （3）能，，面积为 【解析】 【分析】（1）根据平移和平行四边形的性质证明，，即可求证； （2）当秒时，根据等边三角形的性质和判定，即可得出四边形是菱形； （3）根据矩形的性质可得，，在根据含的直角三角形可得，再根据勾股定理可得，，从而得出． 【小问1详解】 证明：∵平行四边形， ∴，， ∴， 根据平移的性质得到：，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：当秒时，四边形是菱形． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【小问3详解】 解：能．∵是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当四边形是矩形， ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定，平移和全等三角形的性质，勾股定理，含的直角三角形，平行四边形，矩形和菱形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 如图①，在中，，，边上的高为4．求作菱形，使点在边上，点，在边上． （1）的面积为 ； （2）如图②，小明先在边上取一点E，然后以点A为圆心，长为半径画弧，交于点G，最后在上截取，连接，得到四边形．请你证明小明所作的四边形是菱形； （3）如图③，当点F与点C重合时，求的长； （4）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的长的取值范围． 【答案】（1）52 （2）见解析 （3） （4）菱形个数为0时，或；菱形个数为1时，或；菱形个数为2时， 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的面积公式进行求解即可； （2）先由平行四边形的性质得到，再由作图方法可知，，据此可证明结论； （3）连接，过A作于T，根据勾股定理得出，设，则，根据勾股定理得出，解方程，求出x的值，即可得出答案； （4）结合（2）的结论，根据能构成菱形则要保证以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有交点，并且要满足且点F在上，据此画图求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，边上的高为4， ∴； 【小问2详解】 解：由作图可知，， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵点E在边上，点F，G在边上 ∴， 又 ∴四边形是平行四边形 又， ∴四边形是菱形． 小问3详解】 解：如图，当C，F重合时，连接，过A作于T， ∵，，边上的高为4，即， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴设， ∴， 根据勾股定理得：， ， 即； 【小问4详解】 解：由（3）得：当重合时，， ①当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与没有交点，如图， ∴此时菱形的个数为0； ②当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有1个交点，如图， ∴此时菱形的个数为1； ③当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有2个交点， ∴此时菱形菱形的个数为2； ④当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有1个交点，如图， ∴此时菱形的个数为1； ⑤当时，以点A为圆心，的长为半径画弧，此时与有1个交点，但是此时在的右边找不到点F使得，如图， ∴此时菱形的个数为0． 综上分析可知：菱形个数为0时，或；菱形个数为1时，或；菱形个数为2时，． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，线段的尺规作图，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期阶段教学质量检测 八年级数学试题 数学试卷共6页，包括三道大题，共22道小题．试卷满分120分（试题118分，卷面书写2分）．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 用3根小木棒首尾相接拼成一个直角三角形，则符合条件的三根木棒长度可以是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3. 用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为，．则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为（　　） A. B. C. 3 D. 无法确定 6. 如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=45°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（　　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 当时，二次根式的值为_________． 8. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树原高为 _____米． 9. 如图，中，，交于点，若，，则长为______． 10. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是______． 11. 如图，是正方形的一条对角线，是上一点，是延长线上一点，连接，，．若，，则______． 三、解答题（共87分） 12. 计算：． 13. 如图，在中，，，平分，求的长． 14. 如图，点，，，在同一条直线上，，，；求证：四边形是平行四边形． 15. 先化简，再求值：，其中 16. 如图，四边形是矩形．以点B为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点E，连结． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当时，求四边形的周长． 17. 如图，公园内有一个四边形步道，其中，从点到点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，米． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）通过计算比较两条路线，哪条更短？ 18. 座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆长（单位：），，假如一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么，它摆动60个来回大约需要多少秒？（，取3，结果保留整数） 19. 如图，图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，顶点称为格点．请仅用无刻度的直尺按要求画出符合的图形． （1）请在图①中，找一个格点C，使是直角三角形，为斜边，两条直角边的长度均为无理数； （2）请在图②中，找两个格点M，N，使线段与线段互相平分； （3）请在图③中，找两个格点P，Q，使四边形为正方形． 20. 某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 ①测得水平距离的长为． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为． 数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请完成以下任务： （1）求线段长； （2）如果小明想要风筝沿方向再上升，的长度不变，请补全图形，并求他应该再放出多少米线？ 21. 如图①，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，． 如图②，将沿着的方向以每秒的速度平移得到；设运动时间为t秒，连接． （1）四边形的形状为 ； （2）当t为何值时，四边形是菱形？请说明你的理由； （3）四边形能是矩形吗？若能，求出t值及此时矩形的面积；若不能，说明理由． 22. 如图①，在中，，，边上的高为4．求作菱形，使点在边上，点，在边上． （1）面积为 ； （2）如图②，小明先在边上取一点E，然后以点A为圆心，长为半径画弧，交于点G，最后在上截取，连接，得到四边形．请你证明小明所作四边形是菱形； （3）如图③，当点F与点C重合时，求的长； （4）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$