精品解析：江苏省南京市中华中学2024-2025学年高三下学期校内模拟考试(二模)数学试题

江苏省南京市中华中学2024-2025学年高三下学期校内模拟考试（二模）数学试题 本卷考试时间：120分钟 总分150分 命题人：胡祥志 邓飞 审核人：李雅洁 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 70 B. 80 C. 120 D. 140 4. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，，，则 D. 若，且，则 6. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知如图是函数的部分图象，则（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 在单调递增 C. 若在上的值域为，则的最大值为 D. 的图象向左平移个单位长度后为偶函数的图象 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若是上的增函数，则 B. 当时，函数有两个极值 C. 当时，函数有三个零点 D. 若关于的方程恰有两个非零的实数根，则 11. 设数列是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数．则下列说法正确的是（ ） A. 公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B. 已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是4 C. 已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是3 D. 已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知拋物线的焦点为，点在上且位于第一象限，过点作直线垂直于的准线，垂足为，若直线的倾斜角为，则______. 13. 已知正四棱台的上，下底面边长分别为1和2，且，则该棱台的体积为________ 14. 小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展．某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示： 观看人次x（万次） 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 销售量y（百件） 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77 参考数据：． （1）已知观看人次与销售量线性相关，且计算得相关系数，求回归直线方程； （2）规定：观看人次大于等于80（万次）为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90（百件）为优秀，小于90（百件）为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1．从金牌主播中随机抽取3名，若用表示这3名主播赋分的和，求随机变量的分布列和数学期望． （附：，相关系数） 16. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线； （2）讨论函数的单调性. 17. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且． （1）求证：； （2）若，求． 18. 如图，已知四棱锥中，平面，平面平面，且，，点在平面内的射影恰为的重心. （1）证明：； （2）求线段长； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. （1）求椭圆的离心率； （2）已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； （3）求四边形面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市中华中学2024-2025学年高三下学期校内模拟考试（二模）数学试题 本卷考试时间：120分钟 总分150分 命题人：胡祥志 邓飞 审核人：李雅洁 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法和复数的模的运算，直接求解即可. 【详解】， 故. 故选：B 2. 在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的加减法，和数乘运算法则直接求解即可. 【详解】因为是对角线上靠近点的三等分点， 所以， 则. 故选：A 3. 设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 70 B. 80 C. 120 D. 140 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】在等差数列中，，则 ， 故， 故选：A 4. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数和为可得，利用通项公式计算可得结果. 【详解】∵展开式的二项式系数之和为， ∴，故， ∴展开式的第项为， 由得， ∴，即含项的系数为. 故选：B. 5. 在下列关于直线与平面的命题中，真命题是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，，，则 D. 若，且，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定条件说明、推理判断AB；利用面面平行的判定说明判断C,利用线面平行的判定说明判断D. 【详解】对于A，，当平面的交线为时，满足，此时，A错误； 对于B，由，得存在过直线的平面，，由于， 则平面与平面必相交，令，于是， 显然，而，则，同理，又是平面内的两条相交直线，因此，B正确； 对于C，,,,或异面，C错误； 对于D，，令，当直线在平面内，且时，满足，此时不成立，D错误. 故选：B 6. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得点到直线的距离的取值范围，即可得解. 【详解】因为平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接，则、，设，其中， 所以，， 则点到直线的距离 ， 设，因为，所以，则. 所以，点到直线的距离的最小值为， 故选：A. 7. 若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为两圆相交，进而可得，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 设圆， 由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或. 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 8. 过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线中点弦的性质，可得，进而可得弦的垂直平分线方程，求得，进而可得，，根据，可得离心率. 【详解】设，弦的中点为，离心率为，则，同理. 由，两式相减整理得， 所以弦的垂直平分线方程为，令，得，则，此时在的右侧，因为，所以， 所以，， 由，得，所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知如图是函数的部分图象，则（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 在单调递增 C. 若在上的值域为，则的最大值为 D. 的图象向左平移个单位长度后为偶函数的图象 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出函数解析式，再结合余弦函数的图象性质逐项求解判断. 【详解】观察图象，得，即，而，解得， 又，且在函数的递增区间内，则， 解得，，解得，因此，， 对于A，，不是函数的对称中心，A错误； 对于B，由，得，在单调递增，B正确； 对于C，由，得，由在上的值域为， 得，解得，因此的最大值为，C正确； 对于D，将向左平移个单位后，得，为偶函数，D正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若是上的增函数，则 B. 当时，函数有两个极值 C. 当时，函数有三个零点 D. 若关于的方程恰有两个非零的实数根，则 【答案】AB 【解析】 【分析】求导得，利用单调性求出范围判断A；确定极值点的个数判断B；举例求出零点个数判断C；利用方程根的定义列式计算判断D． 【详解】对于A，是上的增函数，得恒成立， 则，解得，A正确； 对于B，当时，，有两个异根，则函数有两个极值，B正确； 对于C，令，则或， 当，即时，有相等的根，有两零点，C错误； 对于D，方程， 由方程恰有两个非零的实数根，得是二重根、是单根或是单根、是二重根， ① 若是二重根、是单根， ，则得； ② 若是单根、是二重根，同理，D错误. 故选：AB 11. 设数列是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数．则下列说法正确的是（ ） A. 公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B. 已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是4 C. 已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是3 D. 已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据间隔递增数列的定义，结合数列的增减性，进而求得答案. 【详解】对于A，设数列的公比为，则， 因为，所以，若，则，不是间隔递增数列，故A错误； 对于B，，易得是递增数列， 则，所以时，一定是间隔递增数列，且最小间隔数是4，故B正确； 对于C，， 当为奇数时，，显然时，， 当为偶数时，，显然时，，故C错误； 对于D，由是间隔递增数列，则对恒成立， 即对恒成立，则恒成立， 因为最小间隔是3，所以即对于恒成立，且时， ，于是，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知拋物线的焦点为，点在上且位于第一象限，过点作直线垂直于的准线，垂足为，若直线的倾斜角为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可求出，再由余弦定理求出. 【详解】因为抛物线的焦点为，准线方程为， 设准线与轴交于点，则，所以， 因为直线的倾斜角为，所以， 所以，则， 又，轴，所以， 则， 在中由余弦定理， 即，解得（负值已舍去）. 故答案为：. 13. 已知正四棱台的上，下底面边长分别为1和2，且，则该棱台的体积为________ 【答案】 【解析】 【分析】由图及题意可得棱台的高，后由体积公式可得答案. 【详解】如图，连接，过D作平行线，交于E点，连接DE. 又//，则四边形为平行四边形. 又由题，，，则. 又，，则. 则等腰直角三角形斜边上的高，即棱台的高为. 则由棱台体积公式，棱台体积为：. 故答案为： 14. 小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，，事件B：吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子.先利用全概率公式求，然后再由条件概率公式计算可得. 【详解】记事件：16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，， 事件：吃到的前个饺子均为玉米肉馅饺子. 则，，，， 当时，， 由题知，， 所以， 又， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展．某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示： 观看人次x（万次） 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 销售量y（百件） 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77 参考数据：． （1）已知观看人次与销售量线性相关，且计算得相关系数，求回归直线方程； （2）规定：观看人次大于等于80（万次）为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90（百件）为优秀，小于90（百件）为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1．从金牌主播中随机抽取3名，若用表示这3名主播赋分的和，求随机变量的分布列和数学期望． （附：，相关系数） 【答案】（1） （2）分布列： 3 4 5 数学期望为 【解析】 【分析】（1）由相关系数求出，进而可得，即可求出回归直线方程； （2）的可能取值为3，4，5，求出对应的概率，得到分布列，然后求出期望即可． 【小问1详解】 因为，所以 所以，所以， ， ， 所以回归直线方程为． 【小问2详解】 金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋分为1， 则随机变量的可能取值为3，4，5， ，，， 所以的分布列为： 3 4 5 所以． 16. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）； （2） 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出导数，按，，，分类讨论即得函数的单调性. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得或， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在和上单调递增. 17. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且． （1）求证：； （2）若，求． 【答案】（1）证明：在 中，， 则 整理得，则 又，则 在 中，由正弦定理得，则 在中，由正弦定理得，则 则 则 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用余弦定理由得到，再利用正弦定理由即可求得； （2）先利用余弦定理求得，进而利用余弦定理求得 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，可得，又 则 由 可得，解之得 又，则， 由，可得 则 18. 如图，已知四棱锥中，平面，平面平面，且，，点在平面内的射影恰为的重心. （1）证明：； （2）求线段长； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 过作于， ∵平面平面，平面平面，又平面， ∴平面，又平面， ∴，又∵平面，平面，∴， 又平面，， ∴平面，又平面，∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过作于，根据面面垂直的性质得到平面，从而得到，再说明，即可得到平面，从而得证； （2）连接并延长交于，连接，以为原点，分别以，所在的直线为，轴，以过且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，根据计算可得； （3）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接并延长交于，连接， 以为原点，分别以，所在的直线为，轴，以过且与平面垂直的直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，设， 平面，平面，，同理， 又，平面，平面， 又平面，， 又是的重心，是的中点，，由（1）知，， ， ，，又， ，解得（负值已舍去），， 设，则，故， ，， 平面，平面，， ，，即； 【小问3详解】 由（2）可知，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. （1）求椭圆的离心率； （2）已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； （3）求四边形面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，最大距离为；当时，最大距离为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用为正三角形得到，再求解离心率即可. （2）利用的面积求出基本量，进而得到椭圆方程设，利用两点间距离公式表示，转化为二次函数分类讨论求解最值即可. （3）设直线的方程为，与椭圆联立方程组可得，根据点分别在第一、四象限，得，解得，四边形的面积可表示为，可得，令，得到，再利用对勾函数单调性求得范围即可. 【小问1详解】 如图，设椭圆的焦距为，则， 因为，所以中， 又因为为正三角形，所以，即， 所以椭圆的离心率. 【小问2详解】 由于正三角形的面积为，得到， 解得，，又，得到，故椭圆方程为， 设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. 【小问3详解】 设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，. 因为点分别在第一、四象限， 所以，即， 故，解得， 得到四边形的面积为， ， 因为，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增， 故，即四边形面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $