上海市奉贤中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

奉贤中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.直线的倾斜角为 . 2.若双曲线的一个焦点为,则 . 3.已知数列为等差数列,其前项和为,若,,则 . 4.计算 . 5.若函数,则 . 6.已知,,则 . 7.计算 . 8.如图1,西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑,可近似地视为一个正四棱台,现有一个揽月阁模型(如图2)、下底面边长为,上底面边长为,侧棱长为,则该模型的高为 . 图1 图2 9.现有来自两个班级的考生报名表,分装2袋,第一袋有6名男生和4名女生的报名表,第二袋有7名男生和5名女生的报名表,随机选择一袋,然后从中随机抽取2份则恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率是 . 10.已知随机变量的分布为,则 . 11.如图,正方形草地边长1.2,到、距离为0.2,到、距离为0.4,有个圆形通道经过、,且与只有一个交点,则圆形通道的周长为 .(精确到0.01) 12.已知函数,如果且,则的取值范围为 . 二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分). 13.已知数列是等比数列,、、为正整数,则“”是“” 的( ). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 14.函数的图像可能是( ) A.B.C.D. 15.一张矩形纸的边长分别为、,把它作为一个圆柱的侧面,再添加圆柱的两个底,可以得到高分别为和的两个圆柱体,其体积为和,则和的大小关系 是( ). A. B. C. D.不确定 16.足球运动被誉为“世界第一运动”,深受青少年的喜爱.为推广足球运动,某学校成立了足球社团,社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练,从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人,接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人,如此不停地传下去,且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者,第次触球者是甲的概率为,即.给出下列2个结论:①,②.则下列说法正确的是( ) A.①成立,②不成立 B.①不成立,②成立 C.①②都成立 D.①②都不成立 三、解答题(本大题共有5题,满分78分). 17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 如图,在三棱锥中,,,.为的中点,且,平面平面. (1)求证:平面; (2)求直线与平面所成角的大小. 18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 已知数列的各项均为正数,,且. (1)求证:数列是等差数列; (2)若数列满足求数列中的最大项与最小项. 19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 某大学在一次公益活动中招募了10名志愿者,他们分别来自于、、三个不同的专业,其中专业2人,专业3人,专业5人,现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目。 (1)求3个人来自两个不同专业的概率; (2)设表示选取到专业的人数,求的分布和方差. 20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 已知椭圆,、分别是左、右焦点,直线过交椭圆于、两点. (1)求椭圆的离心率; (2)当时,且点在轴上方时,求、两点的坐标; (3)若直线交轴于,直线交轴于,是否存在直线,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. 21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 在平面直角坐标系中,将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后所得曲线仍然是某个函数的图像,则称函数为“函数”. (1)判断函数是否“函数”,并说明理由; (2)已知函数是“函数”,求该函数的极值; (3)已知函数是“函数”,求实数的取值范围. 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.; 11. 12. 11.如图,正方形草地边长1.2,到、距离为0.2,到、距离为0.4,有个圆形通道经过、,且与只有一个交点,则圆形通道的周长为 .(精确到0.01) 【答案】 【解析】以为原点,线段所在直线为轴,所在直线为轴,建立直角坐标系, 易知.不妨设中点为直线中垂线所在直线方程为,化简得.所以可设圆心为,半径为,且经过点,即,化简得, 求得结合题意可得,. 故有圆的周长. 二、选择题 13.A 14. B 15.C 16.A 15.一张矩形纸的边长分别为、,把它作为一个圆柱的侧面,再添加圆柱的两个底,可以得到高分别为和的两个圆柱体,其体积为和,则和的大小关系 是( ). A. B. C. D.不确定 【答案】C 【解析】当高为时,底面周长为,则底面半径为,所以,、 同理可得当高为时,,因为,所以,故选C. 16.足球运动被誉为“世界第一运动”,深受青少年的喜爱.为推广足球运动,某学校成立了足球社团,社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练,从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人,接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人,如此不停地传下去,且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者,第次触球者是甲的概率为,即.给出下列2个结论:①,②.则下列说法正确的是( ) A.①成立,②不成立 B.①不成立,②成立 C.①②都成立 D.①②都不成立 【答案】A 【解析】乙或丙传球给其他两个人,故②正确; 因为,设解得:, 所以,因为, 所以是以为首项,公比是的等比数列,故, 所以,故,故,②错误;故选A. 三.解答题 17.(1)证明略 (2) 18.(1)证明略 (2)最大项最小项 19.(1) (2) 20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 已知椭圆,、分别是左、右焦点,直线过交椭圆于、两点. (1)求椭圆的离心率; (2)当时,且点在轴上方时,求、两点的坐标; (3)若直线交轴于,直线交轴于,是否存在直线,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) (2), (3)存在,直线或满足题意. 【解析】(1)易知, 所以椭圆的离心率; (2)易知,设, 此时,因为, 所以,因为点在椭圆上,所以,即, 此时,解得,即,所以直线的方程为,联立,解得或,则; (3)设直线1的方程为,, 联立,消去并整理得, 由韦达定理得, 易知直线的方程为,令,解得; 直线的方程为,令,解得, 所以,, 若,即, 此时 所以,, 因为, 所以,解得, 故存在直线或满足题意. 21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 在平面直角坐标系中,将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后所得曲线仍然是某个函数的图像,则称函数为“函数”. (1)判断函数是否“函数”,并说明理由; (2)已知函数是“函数”,求该函数的极值; (3)已知函数是“函数”,求实数的取值范围. 【答案】(1)不是,旋转后得,是一条垂直于轴的线,不符合函数定义 (2),时极大值为,时极小值为 (3) 【解析】 (3)根据题意,若函数为"函数", 则直线与的图象至多只有一个交点, 即方程最多只有一个根,对于,变形可得, 令,则该函数在上是单调函数, 分3种情况讨论: 若,则在上单调递减,满足要求, 若,则时,,当时,, 而,故不单调,矛盾, 若,一,由知此时需恒成立, 因为,所以当时,,单调递增, 当时,单调递减,所以,解得, 综合可得:,即的取值范围为.故答案为:. 学科网(北京)股份有限公司 $$