精品解析：重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第一次模拟测数学试题

重庆一中初2025届初三下期第一次模拟测试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，比小的数是（　　） A. B. 0 C. D. 2. 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 与是位似图形，且 与的位似比为，已知 的周长是2，则的周长是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，点E在直线 上，点F、G在直线 上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则实数 的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 20 8. 如图，，，以点 为圆心， 为半径作弧交 于点 ，交于点 ，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形 中， 为 上一点， 在的延长线上，连接， ， ，点 为 的中点，连接．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，多项式，其中 、、均为正整数，下列说法： ①若，且关于的方程有无数个解，则； ②若，则存在实数使得； ③若，，且，则满足条件的多项式共有3个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_____． 12. 某正多边形的一个内角是其外角的两倍，则该正多边形的边数为______． 13. 德中九年级某班本次申报的入团积极分子有1名男生和3名女生，校团委决定从这四名同学中随机抽取两名进行交流谈话，则抽中的两名同学恰好为一男一女的概率是______． 14. 已知，则_____． 15. 如图，在平行四边形 中， 是 边上一点，连接 ，，作的外接圆 交 于点 ．已知 的半径为，，则 _____；若，，则_____． 16. 对于一个四位自然数 ，如果各个数位上的数字均不为零，且它的千位数字与百位数字的平方差的绝对值恰好等于 去掉千位数字与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数 为“向阳数”．例如：四位数，，是“向阳数”又如：四位数，，不是“向阳数”，则最小的“向阳数”是_____；若一个“向阳数” 的千位数字为 ，百位数字为 ，十位数字为，个位数字为 （其中， ，，， ， ，， 均为整数），规定，，的各个数位上的数字之和为．若能被整除，则满足条件的的最大值为_____． 三、解答题：（本大题共9个小题，第17、18小题每小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 17. 解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 18. 先化简：，再从，1，3三个数中选取一个合适的数值作为 的值代入求值． 19. 在学习了特殊平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，四边形 是矩形，对角线 、 交于点 ， 于点 ． （1）用直尺和圆规在 下方作，使得，且射线交 的延长线于点 ，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：四边形 是矩形， ，且互相平分． ，①_____ ． 是等腰三角形． 又， ②_____． ，③_____， ． ④_____． 又， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是⑤_____． 20. 当前AI市场十分火爆，众多优秀模型不断涌现．百度的文心一言在语言理解和生成方面表现出色，阿里云的通义千问具备多轮对话等能力，它们为科技发展注入强大动力．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：非常满意A．；满意B．；良好C．；不满意D．），下面给出了部分信息． 甲款评分数据中组包含的所有数据为：86，87，88，88，88，89，89； 乙款评分数据中组包含的所有数据为：84，85，86，86，87，87，87，87，87， 甲款机器人满意度评分乙款机器人满意度评分根据以上信息，解答下列问题： 甲款机器人满意度评分条形统计图 乙款机器人满意度评分扇形统计图 甲、乙两款AI机器人满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲款 85 88 乙款 85 86 （1）上述图表中_____，_____，_____，并将条形统计图补充完整； （2）根据以上数据分析，你认为哪款，聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有280人对甲款AI聊天机器人进行评分、300人对乙款聊天机器人进行评分．请通过计算，估计其中对所调查的聊天机器人非常满意的用户人数共有多少？ 21. 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取．“世界读书日”前夕，某书城购进 、两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本 种书籍的进价为25元，每本种书籍的进价为40元，其中购进的 种书籍的数量比种书籍数量的2倍多4本． （1）求 、两种书籍分别购进多少本？ （2）该书城在“世界读书日”当天售出 、两种书籍共63本，总销售额为2340元，其中种书籍的销售额是1200元，已知每本种书籍的售价是每本 种书籍售价的1.6倍，求每本种书籍的售价是多少元？ 22. 如图，在中，，，，动点从点 出发沿方向运动，当点运动到点 时停止运动，过点作于点 ．设点运动的路程为，线段 与的长度和记为，线段 与的比值记为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 四月阳光明媚，正是草莓成熟时．人们走进草莓园；采摘鲜红欲滴的草莓，品尝春天的甜蜜滋味，乐趣无穷．清明假期小依一家去某草莓采摘基地游玩，该基地里，同一平面内五处景点的道路分布如图所示．经测量，景点在景点 的正南方向，且位于景点 的北偏西方向，米；景点 在景点 的正东方向500米处，且在景点 的东南方向；景点 在景点 的正北方向，且在景点 的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求景点 、 之间的距离（结果保留根号）； （2）爸爸和小依同时从景点 出发，爸爸沿路线步行到景点 处，小依沿路线步行到景点 处．已知爸爸的步行速度为60米/分，小依的步行速度为90米/分，请通过计算说明小依和爸爸谁先到达景点 ？（结果精确到0.1分）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于点 ，与轴交于点、点 ，且过点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是直线 上方抛物线上的一个动点，过点作，垂足为 ．点 、 是 轴上的两个动点（点 在点 的上方），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最大值； （3）如图2，直线上有一点 ，且 点的横坐标为2，连接 ，．将抛物线关于轴对称得到新抛物线，点 为新抛物线上的一个动点，当时，写出所有符合条件的点 的坐标，并任选其中一个点 的坐标，写出求解过程． 25. 在中， ，，点D为直线上一点，连接． （1）如图1，点D在线段上，点E在线段上，若，，分别过点B作的垂线、点E作的垂线交于点F，连接，求的长； （2）如图2，点 在 延长线上， 为 边上一点，连接，作交延长线于点，作于点．若 平分，，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在（1）的条件下，点 为直线 下方一点，连接 ，，点在线段 上，且，连接 ，将线段 绕点顺时针旋转 得到线段，连接，，直接写出线段的长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中初2025届初三下期第一次模拟测试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，比小的数是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键． 利用实数大小的比较方法解答即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意； D．∵，∴，故符合题意； 故选：D． 2. 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看到的视图是解题的关键．按照主视图的定义逐项判断即可． 【详解】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形， 故选：B． 3. 与是位似图形，且 与的位似比为，已知 的周长是2，则的周长是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，根据位似图形即为相似图形，结合相似图形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵ 与是位似图形，且 与的位似比为， ∴ 与是相似图形，且相似比为， ∵已知 的周长是2， ∴则的周长是4， 故选：C 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法等，根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式运算法则分别判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，，点E在直线 上，点F、G在直线 上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余．先利用直角三角形两锐角互余求得的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算、无理数的估算，先根据二次根式的运算法则得到，再估算出的范围即可求解． 【详解】解：， ∵，即， ∴，即， 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 将点向下平移2个单位长度得到点，再把点代入反比例函数，利用待定系数法进行求解即可． 【详解】解：点向下平移2个单位长度得到点，则， ∵点恰好在反比例函数的图像上， ∴， 故选A． 8. 如图，，，以点 为圆心，为半径作弧交 于点 ，交于点 ，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据直角三角形的性质求出 ，证明为等边三角形，得到，，得到，进而得到为的中线，得到，推出阴影部分的面积等于，计算即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为的中线， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故选A． 【点睛】本题考查求不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形的面积． 正确的分割图形，利用分割法求面积，是解题的关键． 9. 如图，在正方形 中， 为上一点， 在的延长线上，连接， ，，点为的中点，连接．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、勾股定理等知识，构造三角形的中位线求解是解答的关键．先证明得到，设，则，则，，取的中点H，连接，则，利用三角形的中位线性质得到，，在中，利用勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴，， ∴，又， ∴， ∴，设， ∵， ∴，则，， 取的中点H，连接，则， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 已知多项式，多项式，其中 、、均为正整数，下列说法： ①若，且关于 的方程有无数个解，则； ②若，则存在实数 使得； ③若，，且，则满足条件的多项式 共有3个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多项式、一元二次方程的判别式、因式分解等知识，理解方程的解满足的条件是解答的关键．利用多项式恒等时对应系数相等可判断①；根据一元二次方程的判别式与方程根的关系可判断②；先因式分解化为，结合正整数解讨论可能的解可判断③，进而可得答案． 【详解】解：①若，则， 若关于 的方程有无数个解，则该多项式对应系数相等， ∴，故①正确； ②若，则， 则， 要使存在实数 使得，则需方程的判别式， 即，解得， ∵n、f均为正整数， ∴最小值为2，矛盾， 故不存在实数x使得，故②错误； ③若，，由得， ∵ 、、均为正整数 ∴，，且p、q为整数，又， ∴，或，， ∴，或，， ∴，或，， ∴，或，， 故满足条件的多项式 共有2个，故③错误， 综上，正确的个数是1个， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、立方根，根据特殊角的三角函数值和立方根定义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 某正多边形的一个内角是其外角的两倍，则该正多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据正多边形的一个内角是其外角的两倍求出外角，结合多边形外角和直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵正多边形的一个内角是其外角的两倍， ∴外角度数是：， ∵， ∴该正多边形的边数是6， 故答案为：6； 【点睛】本题考查正多边形性质：每个内角（外角）都相等，多边形外角和． 13. 德中九年级某班本次申报的入团积极分子有1名男生和3名女生，校团委决定从这四名同学中随机抽取两名进行交流谈话，则抽中的两名同学恰好为一男一女的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用画树状图法计算概率． 本题考查了画树状图求概率，熟练运用画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中一男一女的可能性有6种， 所以抽中的两名同学恰好为一男一女的概率是． 故答案为：． 14. 已知，则_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了多项式与多形式的乘法，单项式与多项式的乘法，及整体代入法求代数式的值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据多项式与多形式的乘法、单项式与多项式的乘法运算法则化简，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：16． 15. 如图，在平行四边形 中， 是 边上一点，连接 ，，作的外接圆交 于点 ．已知的半径为，，则_____；若，，则_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接、、，过H作于H，先根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到， ，则，在中，利用正弦定义可得，求得，进而可求得；利用弧和圆周角的关系和平行四边形的性质可得到，再根据圆内接四边形的性质得到，证明，利用相似三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：连接、、，过H作于H， ∵， ∴，， ∵， ∴，则， 在中，，， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、弧和圆周角的关系等知识，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 16. 对于一个四位自然数 ，如果各个数位上的数字均不为零，且它的千位数字与百位数字的平方差的绝对值恰好等于 去掉千位数字与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数 为“向阳数”．例如：四位数，，是“向阳数”又如：四位数，，不是“向阳数”，则最小的“向阳数”是_____；若一个“向阳数” 的千位数字为 ，百位数字为 ，十位数字为，个位数字为 （其中， ，，， ， ，， 均为整数），规定，，的各个数位上的数字之和为．若能被整除，则满足条件的的最大值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解二元一次方程，整式的加减，列代数式，熟练根据题意正确列出式子或等式是解题的关键．根据定义可得， 要求最小的“向阳数”，令，要使，则是两位数，则 最小可取 ，此时，即，，即可求最小的“向阳数”； 由，分两种情况讨论：①当时，，得出，由能被整除，可知能被整除，利用不等式性质得出，则可得，求解计算即可； ②当时，，求出，同①方法求解，最后比较大小即可． 【详解】解：设四位自然数（其中， ，，， ， ，， 均为整数）， 根据定义可得， 要求最小的“向阳数”，令， 要使，则是两位数， 则 最小可取 ， 此时，即，， 则最小的“向阳数”为； ∵，， ①当时，， ∴， ∴， ∵能被整除， ∴能被整除， ∵，， ∴， ∴，其中，， ， 均为整数， 解得：或， 当时，， ∴，， ∴； 当时，， ∴，， ∴； ②当时，， ∴， ∴， ∵能被整除， ∴能被整除， ∵，， ∴， ∴， ∴，其中，， ， 均为整数， 解得：或， 当时，， ∴，， ∴； 当时，， ∴，（不合题意，舍）； 综上，满足条件的为，，， ∵， ∴满足条件的最大为， 故答案为：；． 三、解答题：（本大题共9个小题，第17、18小题每小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上． 17. 解不等式组，并写出该不等式组的整数解． 【答案】-1≤x＜2，整数解为：-1，0，1 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，从而可得不等式组得整数解. 【详解】解：， 解不等式①得：x≥-1， 解不等式②得：x＜2， ∴不等式组的解集为：-1≤x＜2， ∴不等式组的整数解为：-1，0，1. 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18. 先化简：，再从，1，3三个数中选取一个合适的数值作为 的值代入求值． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据运算法则正确化简分式，利用分式有意义的条件排除不合适的数是解答本题的关键．把括号内通分，并将除法转换成乘法约分化简，根据分式有意义的条件得到，然后将适合的数值代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 19. 在学习了特殊平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，四边形 是矩形，对角线 、 交于点 ， 于点 ． （1）用直尺和圆规在 下方作，使得，且射线交的延长线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：四边形 是矩形， ，且互相平分． ，①_____ ． 是等腰三角形． 又， ②_____． ，③_____， ． ④_____． 又， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是⑤_____． 【答案】（1）如图， （2）①；②；③；④；⑤菱形 【解析】 【分析】（1）按作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）由矩形的性质可证，证明得，可证四边形是平行四边形，结合可证，平行四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺柜作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键． 20. 当前AI市场十分火爆，众多优秀模型不断涌现．百度的文心一言在语言理解和生成方面表现出色，阿里云的通义千问具备多轮对话等能力，它们为科技发展注入强大动力．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用 表示，分为四个等级：非常满意A．；满意B．；良好C．；不满意D．），下面给出了部分信息． 甲款评分数据中 组包含的所有数据为：86，87，88，88，88，89，89； 乙款评分数据中 组包含的所有数据为：84，85，86，86，87，87，87，87，87， 甲款机器人满意度评分乙款机器人满意度评分根据以上信息，解答下列问题： 甲款机器人满意度评分条形统计图 乙款机器人满意度评分扇形统计图 甲、乙两款AI机器人满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲款 85 88 乙款 85 86 （1）上述图表中_____，_____， _____，并将条形统计图补充完整； （2）根据以上数据分析，你认为哪款，聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有280人对甲款AI聊天机器人进行评分、300人对乙款聊天机器人进行评分．请通过计算，估计其中对所调查的聊天机器人非常满意的用户人数共有多少？ 【答案】（1），87，15， 如图， （2） 因为甲款评分的中位数高于乙款评分的中位数，所以甲款聊天机器人更受用户喜爱；或因为甲款评分的众数高于乙款评分的众数，所以甲款聊天机器人更受用户喜爱； （3）130人 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义可 求出a，根据众数的定义可求出b，用C组人数除以样本容量可求出m，求出A的人数补全条形统计图； （2）从中位数、众数任选一个特征量分析即可； （3）根据用样本估计总体的思想求解即可． 【小问1详解】 ∵甲款评分数据排在第10和第11位的数分别是87和88， ∴分． ∵乙款A和|D组人数均为：，B组人数为：9，C组人数为：， ∴乙款评分数据出现次数最多的是87，出现了5次， ∴． ∵， ∴． 甲款A组人数：， 故答案为：，87，15； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 人． 【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，灵活掌握数据分析是关键． 21. 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取．“世界读书日”前夕，某书城购进 、 两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本 种书籍的进价为25元，每本 种书籍的进价为40元，其中购进的 种书籍的数量比 种书籍数量的2倍多4本． （1）求 、 两种书籍分别购进多少本？ （2）该书城在“世界读书日”当天售出 、 两种书籍共63本，总销售额为2340元，其中 种书籍的销售额是1200元，已知每本 种书籍的售价是每本 种书籍售价的1.6倍，求每本 种书籍的售价是多少元？ 【答案】（1） 种书籍购进本， 两种书籍购进本 （2）48元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程、分式方程的应用，理解题目间的数量关系是解题的关键． （1）设B种书籍购进 本，则A种书籍购进本，根据“购进 、 两种畅销书籍，共花费3700元”列方程求解； （2）设每本 种书籍售价元，则每本 种书籍售价元，根据“当天售出 、 两种书籍共63本”列分式方程计算求解． 【小问1详解】 解：设B种书籍购进 本，则A种书籍购进本，由题意可得： ，解得， （本）， 答： 种书籍购进本， 两种书籍购进本； 【小问2详解】 解：设每本 种书籍售价元，则每本 种书籍售价元，由题意可得： ，解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）， 答：每本 种书籍的售价是48元． 22. 如图，在中，，，，动点从点 出发沿方向运动，当点运动到点 时停止运动，过点作于点．设点运动的路程为，线段 与的长度和记为，线段 与的比值记为． （1）请直接写出，分别关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）（）；（） （2） 函数图象如图所示： ， 性质：在上随 的增大而减小，在上，随 的增大而减小； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理以及函数表达式的确定和函数图象相关知识，解题的关键是利用相似三角形的对应边成比例关系求出函数表达式，再根据表达式绘制图象并分析性质． （1）先利用勾股定理求出斜边 的长度，再通过相似三角形的性质分别求出关于 的函数表达式． （2）根据函数表达式绘制函数图象，并分析其性质． （3）结合函数图象确定时 的取值范围． 【小问1详解】 解：在中，， ， ， ， ， 已知，则． ， ． ， 自变量 的取值范围是， 已知， ， 自变量 的取值范围是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 通过观察函数图象，找到的图象在的图象下方及相交时对应的 的取值范围，大致为或． 【点睛】（2）绘制函数图象并分析性质 －绘制的图象当 时，；当时，，解得。通过这两个点和可画出一次函数的图象，－绘制的图象 采用列表，描点，连线的方法，例如当时，；当时，等，在这个区间内画出反比例函数的图象，性质：在上，随 的增大而减小。 （3）确定时 的取值范围，通过观察函数图象，找到的图象在的图象下方及相交时对应的 的取值范围即可。 23. 四月阳光明媚，正是草莓成熟时．人们走进草莓园；采摘鲜红欲滴的草莓，品尝春天的甜蜜滋味，乐趣无穷．清明假期小依一家去某草莓采摘基地游玩，该基地里，同一平面内五处景点的道路分布如图所示．经测量，景点 在景点 的正南方向，且位于景点 的北偏西方向，米；景点 在景点 的正东方向500米处，且在景点 的东南方向；景点 在景点 的正北方向，且在景点 的北偏东方向．（参考数据：，） （1）求景点 、 之间的距离（结果保留根号）； （2）爸爸和小依同时从景点 出发，爸爸沿路线步行到景点 处，小依沿路线步行到景点 处．已知爸爸的步行速度为60米/分，小依的步行速度为90米/分，请通过计算说明小依和爸爸谁先到达景点 ？（结果精确到0.1分）． 【答案】（1）米 （2）小依先到达景点D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形是解答的关键． （1）延长 、交于点O，在和 中，解直角三角形求解即可； （2）过E作于F，设，在中，，，在中，，，由列方程求得，进而可求得两人的路程和，求出两人所用时间即可求解． 【小问1详解】 解：延长 、交于点O， 由题意，，，，米，米 在中，米，米， ∴米， 在 中，米， 答：景点 、 之间的距离为米； 【小问2详解】 解：过E作于F， 由题意，，， 设， 在中，，， 在中，，， 由解得， ∴米，米， ∵米，米， ∴米， ∴爸爸所用时间为（分）， 小依所用时间为（分）， ∵， ∴小依先到达景点D． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于点 ，与 轴交于点、点 ，且过点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是直线 上方抛物线上的一个动点，过点作，垂足为 ．点 、是 轴上的两个动点（点 在点的上方），且，连接，．当线段的长度取得最大值时，求的最大值； （3）如图2，直线上有一点 ，且 点的横坐标为2，连接 ，．将抛物线关于 轴对称得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，当时，写出所有符合条件的点的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 【答案】（1） （2） （3）解：和，过程如下： ∵直线上有一点 ，且 点的横坐标为2， ∴当时，，则, ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 设，，则，， ∴，， 下面推导与、的关系， 如图，已知矩形 中，， ， ， 设，，，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故， 将抛物线关于 轴对称得到新抛物线， 则新抛物线的表达式为， 设， 当Q在x轴上方时，， 整理，得， 解得，（舍去），此时； 当Q在x轴下方时，， 整理，得， 解得，（舍去），此时， 综上，满足条件的Q坐标为和． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线表达式即可； （2）先求得点A、C的坐标，进而求得及直线 的表达式为，过P作轴交直线 于H，则可得，当 的长度最大时，的长度最大；设，则，利用二次函数的性质求得 最大时点P的坐标，将线段向下平移一个单位，得到，连接，此时，由由三角形的三边关系可得，由两点坐标距离公式求得即可； （3）先求得,进而利用勾股定理及其逆定理得到，设，，则，，利用正切定义得到，，推导出，进而求得；利用关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到新抛物线的表达式为，设，分当Q在x轴上方时和当Q在x轴下方时两种情况，分别利用正切定义列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将、代入中， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，由得 ，， ∴，， 当 时，，则，， ∴； 设直线 的表达式为， 则，解得， ∴直线 的表达式为， 如图1，过P作轴交直线 于H，则， ∵， ∴，当 的长度最大时，的长度最大； 设，则， ∴， ∵，， ∴当时， 最大，即的长度最大，此时； ∵， ∴将线段向下平移一个单位，得到，连接，此时， ∴，当G在的延长线上时取等号， ∵, ∴的最大值为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平移性质、解直角三角形、最值问题等知识，理解题意，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 25. 在 中， ，，点D为直线上一点，连接． （1）如图1，点D在线段上，点E在线段上，若，，分别过点B作的垂线、点E作的垂线交于点F，连接，求的长； （2）如图2，点 在 延长线上，为 边上一点，连接，作交延长线于点，作于点．若 平分，，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在（1）的条件下，点 为直线 下方一点，连接 ，，点在线段 上，且，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转得到线段，连接，，直接写出线段的长度的最小值． 【答案】（1） （2） 解：；证明如下， 作于点 ，连接， ∵ 平分， ∴设， ∵，， ∴， ∴，， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形内接于圆， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，再利用勾股定理求解即可； （2）作于点 ，连接，设，求得，证明，得到，再证明，证得，推出，证得四边形内接于圆，求得，即可得到； （3）连接，取 的中点 ，连接，，利用两边对应成比例且夹角相等，证明，推出，得到点在以 为直径的圆 上，将线段绕点 顺时针旋转得到线段，连接，得到，推出，点在以为圆心，为半径的圆上，当共线时，线段的长度取最小值，最小值为，证明点四点共圆，求得，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，取 的中点 ，连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在以 为直径的圆 上，此时，， 将线段绕点 顺时针旋转得到线段，连接，则是等腰直角三角形， ∵线段 绕点 顺时针旋转得到线段， ∴，，， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 当共线时，线段的长度取最小值，最小值为， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴点四点共圆， ∴， ∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长度的最小值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $