精品解析：海南省东方市东方中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024－2025学年度第二学期期中考试高二年级数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 则的真子集的个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 25 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据真子集个数的计算公式运算即可. 【详解】集合共有5个元素， 所以集合共有个真子集. 故选：B 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式求得，将代入导函数求值即可. 【详解】由题设，， ∴. 故选：C 3. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集. 【详解】由图象可知，在区间上， 在区间上， 所以不等式的解集为. 故选：C 4. 已知盒中装有大小形状完全相同的2个红球、4个白球、6个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是白球的前提下，第二次拿到黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设第1次拿到白球为事件，第2次拿到黑球为事件，计算出，，再由条件概率公式求解即可. 【详解】设第1次拿到白球为事件，第2次拿到黑球为事件，则，，则. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了条件概率的应用，属于基础题. 5. 在二项式的展开式中，常数项等于（ ） A. ﹣42 B. 42 C. 14 D. ﹣14 【答案】C 【解析】 【分析】先求出通项，再令的指数为0，即可求得常数项. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，解得，， 故选：C 6. 如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（ ） A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条 【答案】D 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理，即可求得答案. 【详解】由于每条线路仅含一条通路，由图示可知上半部分的线路有3条， 下半部分为串联电路，接通时有6条线路， 故共有9条线路， 故选：D 7. 金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A. 20 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】 利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数. 【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种）， 故选：D. 【点睛】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题. 8. 已知多项式，则（ ） A. 0 B. 32 C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，令求出，再分别求出和的展开式中一次项和常数项，得出，即可得出答案． 【详解】设，则， 令，则， 的展开式中一次项为，常数项为1， 的展开式中一次项为，常数项为16， 所以， 所以， 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算错误的是（    ） A. B. = C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】运用基本初等函数的导数公式进行判断即可. 【详解】因为0，所以A不正确； 因为=，所以B不正确； 因为，所以C正确； 因为，所以D不正确． 故选：ABD 10. 某中学共有三栋女生宿舍楼，分别为1号楼、2号楼、3号楼，学校在本周安排了甲、乙、丙、丁、戊5名女教师去这三栋宿舍楼协助宿管阿姨值守，每栋宿舍楼至少安排一名教师，每名教师只能去其中一栋楼，则下列说法正确的是（ ）． A. 共有300种不同的安排方法 B. 若其中1号楼需要有两名教师去，则共有60种不同的安排方法 C. 若甲、乙两名教师不能去同一栋宿舍楼，则共有114种不同的安排方法 D. 若学校新购入25个相同型号的灭火器，准备全部分配给这三栋女生宿舍楼作为应急使用，每栋宿舍楼至少6个，则共有15种不同的分配方法 【答案】BC 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理结合排列组合问题求出不同安排方法数判断A；求出1号楼去2人的安排方法数判断B；利用排除法求出甲乙去同一栋楼的安排方法数判断C；利用隔板法求出不同分配方法数判断D作答. 【详解】对于A，5名教师按去到三栋楼有种方法；按去到三栋楼有种方法， 因此不同的安排方法种数是，A错误； 对于B，取2名教师去1号楼，不同的安排方法种数是，B正确； 对于C，甲乙两名教师去同一栋楼，另3名教师去另两栋楼有种，另3名教师去三栋楼有种， 则不同的安排方法种数是，由选项A知，共有种不同安排方法， 所以甲、乙两名教师不能去同一栋宿舍楼，安排方法种数是，C正确； 对于D，每栋楼先放5个灭火器，再将余下10个灭火器排成一排，在9个间隙中插入2块板子，有种，D错误. 故选：BC 11. 如图，某高速服务区停车场中有A至H共8个停车位（每个车位只能停一辆车），现有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则（ ） A B C D E F G H A. 4辆车的停车方法共有1680种 B. 4辆车恰好停在同一行的概率是 C. 2辆黑色车恰好相邻（停在同一行或同一列）的停车方法共有300种 D. 相同颜色的车不停在同一行，也不停在同一列的概率是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用排列公式结合古典概型公式逐项分析即可. 【详解】对A，4辆车的停车方法共有(种)，A正确； 对B，4辆车恰好停在同一行的概率是，B正确； 对C，2辆黑色车相邻且停在同一行有6种，停在同一列有4种，黑色车的停车方法共有(6+4)种， 白色车的停车方法共有种，故共有(6+4)(种)方法，故C错误； 对D，相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，第一辆黑色车8个车位都可停车， 第二辆黑色车只能有3个车位可停车，黑色车共有种方法， 不妨设黑色车停在,两个车位，则两白色车只能停共7种选择， 白色车的停车方法共有种方法，故共有种方法， 其概率是，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题D选项首先分析出黑色车有24种方法，然后通过假设黑色车停在,两个车位，则两白色车有车中选择，则白色停车方法有14种，最后利用分步乘法和古典概型公式即可得到答案. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用二项式系数和公式进行求解即可. 【详解】由二项式系数和公式知：， 故答案为： 13. 2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是__________. 【答案】36 【解析】 【分析】先根据甲乙选的景点其他人是否选分成两类情况，①无人再选，按照分组计算方法数；②还有人选，按照部分平均分组计算方法数.最后用分类加法原理计算总的方法数即可. 【详解】若甲乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：的选法总数为：， 若甲乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：的选法总数为：， 所以不同的选法总数为: . 故答案为：36. 14. 如图， 是正八边形 的中心，从其八个顶点中随机取出四个顶点为顶点作四边形，则可作平行四边形的概率为_____，则可作梯形的概率为_____. (用数字作答) 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空利用组合数先求出从八个顶点中随机取出四个顶点为顶点作四边形个数，再求出没两条直径构成的四边形个数即可；第二空设 分别为正八边形的两条不同类型的对称轴，再分别讨论以和为对称轴的平行弦的梯形个数即可. 【详解】从八个顶点中随机取出四个顶点为顶点作四边形，可得四边形的个数为 ； 八个顶点的连线中有 4 条过中心 ，即有 4 条直径，每两条直径可确定一个平行四边形，可得平行四边形的个数为 ，所以可作平行四边形的概率为 ； 梯形可由两条平行但不等的弦的四个顶点构成. 如图，设 分别为正八边形的两条不同类型的对称轴. （1）以 为对称轴的平行弦 中，有 2 对平行且相等，所以 4 条平行弦可构成 个梯形，而类似的平行弦共有 4 组，所以可构成梯形 个； （2）以 为对称轴的平行弦 ， ， 中，有 1 对平行且相等，所以 3 条平行弦可构成 个梯形，而类似的平行弦共有 4 组，所以可构成梯形 个. 综合 （1）（2）可得共有梯形 24 个，故可作梯形的概率为 . 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第一空的关键是能够发现以直径端点作为定点的平行四边形；第二空关键是讨论以和为对称轴的平行弦的梯形个数. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 有5名同学站成一排拍照． （1）若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？ （2）若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？ 【答案】（1）48 （2）42 【解析】 【分析】（1）捆绑法进行求解；（2）分甲排左端和乙排左端两种情况进行求解，再求和即可. 【小问1详解】 将甲乙捆绑在一起，故方法数有种． 【小问2详解】 如果甲排左端，则方法数有种； 如果乙排左端，则方法数有种． 故总的方法数有种． 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】 （1）求导，由导数的几何意义可求得切线斜率，从而可求得切线方程； （2）利用导数求得函数的单调区间，从而可求得最值． 【详解】（1）因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）令，，，解得（舍或， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， ，，， 故，． 17. 袋子中有个大小和质地相同的小球，其中个白球，个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球. （1）求第一次摸到白球的概率； （2）求第二次摸到白球的概率； （3）求两次摸到的小球颜色不同的概率. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由古典概型计算可得结果； （2）由全概率公式计算可得； （3）根据条件概率公式计算可得. 【小问1详解】 设第一次摸到白球的事件为，则 ，即第一次摸到白球的概率为. 【小问2详解】 设第二次摸到白球的事件为，则 ，即第二次摸到白球的概率. 【小问3详解】 设两次摸到的小球颜色不同的事件为，则 ，即两次摸到的小球颜色不同的概率为. 18. 某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表： 乘坐站数 票价（元） 2 4 6 现有甲､乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的. （1）若甲､乙两人共付费6元，则甲､乙下地铁的方案共有多少种？ （2）若甲､乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？ 【答案】（1）24（种） （2）21（种） 【解析】 【分析】（1）先根据共付费6元得一人付费2元一人付费4元，再确定人与乘坐站数，即可得结果； （2）先根据共付费8元得一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元，再求甲比乙先下地铁的方案数. 【小问1详解】 由已知可得：甲､乙两人共付费6元，则甲､乙一人付费2元一人付费4元， 又付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费4元的乘坐站数有4，5，6，7四种选， 所以甲､乙下地铁的方案共有（3×4）×2=24（种）. 【小问2详解】 甲､乙两人共付费8元，则甲､乙一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元； 当甲付费2元，乙付费6元时，甲乘坐站数有1，2，3三种选择，乙乘坐站数有8，9，10，11，12五种选择，此时，共有35=15（种）方案； 当两人都付费4元时，若甲在第4站下地铁，则乙可在第5，6，7站下地铁，有3种方案； 若甲在第5站下地铁，则乙可在第6，7站下地铁，有2种方案； 若甲在第6站下地铁，则乙可在第7站下地铁，有1种方案； 综上，甲比乙先下地铁的方案共有（种）. 19. 已知函数其中 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于恒成立，求的最大值. 【答案】（1）；（2）增区间为，减区间为；（3）. 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到，即可求得切线的方程； （2）当时，求得，令，得到，结合，再根据导数的符号，即可求得函数的单调区间； （3）由题意得到在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调区间和最值，得到，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】（1）当时，函数，可得，则， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，函数，可得， 令，则，所以函数在上单调递增， 又由， 则令，可得，所以函数在上单调递增， 令，可得，所以函数在上单调递减. 综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由，得在上恒成立， 设，则， 由，解得，（其中）， 随着变化，与的变化情况如下表所示： 0 ↘ 极小值 ↗ 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以函数的最小值为. 由题意得，即 . 设，则. 因为当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，. 所以当，，即，时，有最大值为. 【点睛】 对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期期中考试高二年级数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 则的真子集的个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 25 D. 24 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知盒中装有大小形状完全相同的2个红球、4个白球、6个黑球.甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是白球的前提下，第二次拿到黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在二项式的展开式中，常数项等于（ ） A. ﹣42 B. 42 C. 14 D. ﹣14 6. 如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（ ） A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条 7. 金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A. 20 B. 24 C. 25 D. 26 8. 已知多项式，则（ ） A. 0 B. 32 C. 16 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算错误的是（    ） A. B. = C. D. 10. 某中学共有三栋女生宿舍楼，分别为1号楼、2号楼、3号楼，学校在本周安排了甲、乙、丙、丁、戊5名女教师去这三栋宿舍楼协助宿管阿姨值守，每栋宿舍楼至少安排一名教师，每名教师只能去其中一栋楼，则下列说法正确的是（ ）． A. 共有300种不同的安排方法 B. 若其中1号楼需要有两名教师去，则共有60种不同的安排方法 C. 若甲、乙两名教师不能去同一栋宿舍楼，则共有114种不同的安排方法 D. 若学校新购入25个相同型号的灭火器，准备全部分配给这三栋女生宿舍楼作为应急使用，每栋宿舍楼至少6个，则共有15种不同的分配方法 11. 如图，某高速服务区停车场中有A至H共8个停车位（每个车位只能停一辆车），现有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则（ ） A B C D E F G H A. 4辆车的停车方法共有1680种 B. 4辆车恰好停在同一行的概率是 C. 2辆黑色车恰好相邻（停在同一行或同一列）的停车方法共有300种 D. 相同颜色的车不停在同一行，也不停在同一列的概率是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ___________. 13. 2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是__________. 14. 如图， 是正八边形 的中心，从其八个顶点中随机取出四个顶点为顶点作四边形，则可作平行四边形的概率为_____，则可作梯形的概率为_____. (用数字作答) 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 有5名同学站成一排拍照． （1）若甲乙必须站一起，则共有多少种不同的排法？ （2）若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，则共有多少种不同的排法？ 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值和最小值. 17. 袋子中有个大小和质地相同的小球，其中个白球，个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球. （1）求第一次摸到白球的概率； （2）求第二次摸到白球的概率； （3）求两次摸到的小球颜色不同的概率. 18. 某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表： 乘坐站数 票价（元） 2 4 6 现有甲､乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的. （1）若甲､乙两人共付费6元，则甲､乙下地铁的方案共有多少种？ （2）若甲､乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？ 19. 已知函数其中 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $