平面解析几何高频考点 归纳练-2025届高考数学复习备考模拟预测

平面解析几何高频考点 归纳练 2025年高考数学复习备考模拟预测 一、单选题 1．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 2．设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为D，E，若，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 3．已知抛物线的焦点到准线的距离为，、是上关于直线对称的两个点，若直线与轴交于点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点、（在的上方），且，过点任作一条直线与圆相交于、两点，的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 6．已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知椭圆的左顶点为，右焦点为.点在线段（为坐标原点）上，且与圆有且只有一个公共点，点，Q分别为和圆上的动点，则（   ） A．的最大值为2 B．为定值 C．圆半径的最大值为1 D．的最小值为3 8．法国天文学家乔凡尼•多美尼科•卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称之为卡西尼卵形线（Cassini Oval）．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，其轨迹为．下列结论中，正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．原点始终在曲线的内部 C．当时，面积的最大值为 D．在第一象限的点的纵坐标的最大值为 9．如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（    ） A．以为直径的圆与相切 B． C． D．的最小值为4 10．已知抛物线的顶点为，焦点为，准线为是抛物线上异于的一点，过点作于点，下列结论正确的是（    ） A．线段的垂直平分线经过点 B．过点且与抛物线相切的直线垂直平分线段 C．直线与直线可能垂直 D．若是直角三角形，则直线的斜率为 11．已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右顶点分别为，直线与直线，及轴分别交于点，则（    ） A．的周长为 B．直线，，，的斜率之积为定值 C．当时，线段的中点到直线的距离为 D．若，则的取值范围是 三、填空题 12．已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为 ． 13．已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于和（其中在轴上方）．当垂直于轴，且四边形的面积为时，直线的方程为 ． 14．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点在圆上，点在椭圆上，则的最小值是 ． 四、解答题 15．已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为2. (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，过点且斜率不为0的直线交双曲线于两点（点在第一象限，点在第二象限），直线交双曲线于点，证明：. 16．已知椭圆的离心率为，直线过的上顶点与右顶点且与圆相切． (1)求的方程． (2)过上一点作圆的两条切线，（均不与坐标轴垂直），，与的另一个交点分别为，．证明： ①直线，的斜率之积为定值； ②． 17．如图所示，分别是“曲圆”与轴、轴的交点，已知，扇形的面积为． （注：题目中把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中为半椭圆的右焦点） (1)求的值； (2)过点且倾斜角为的直线交“曲圆”于两点，试将的周长表示为的函数； (3)在（2）的条件下，当的周长取得最大值时，探究的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围． 18．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，为坐标原点． (1)求的方程； (2)已知点，若上存在一点，使得，求的取值范围； (3)过的直线交于两点，过的直线交于，两点，，位于轴的同侧，证明：为定值． 19．已知双曲线的离心率为，经过点、． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于、两点，已知点、分别位于第二、四象限，求四边形面积的最小值． 参考答案 1．C 根据抛物线的标准方程，可得答案. 抛物线的准线方程为. 故选：C. 2．C 由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式得到，再由双曲线的定义和向量的数量积为零得到，最后结合三角形的面积公式求出离心率即可. 设，则，即， 双曲线C的渐近线方程为， 所以， 又，平方后得， 又在中，由可得， 所以， 两式相减，整理得， 所以， 因为， 所以，解得． 故选：C. 3．C 由题意求出的值，可得出抛物线的方程，设的中点为，则，可得出，再结合点差法可得出，求出直线的方程，根据点在抛物线的内部可得出，由此可得出的取值范围. 因为抛物线的焦点到准线的距离为，则，即抛物线的方程为， 设的中点为，则， 因为点在直线上，则， 得①， 又②，且③，④， 将③④代入②可得：， 代入①可得，    所以的中点坐标为， 则直线的方程为：，令得：， 而位于抛物线内部，即，可得，则． 故选：C. 4．C 根据中点坐标公式求出、、三点坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可. 由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入、、三点坐标，可得， 解得，，，即， 化简可得圆的标准方程为． 故选：C. 5．C 本题首先可以取的中点并连接、，根据点以及求出圆的标准方程为，然后求出、两点坐标，再然后设点，通过两点间距离公式求出，最后通过相同的方式得出，即可求出的值. 因为圆与轴相切于点，所以圆心的横坐标为， 如图，取的中点，连接、， 因为，点是弦的中点，所以，， 则，， 圆的半径， 故，圆的标准方程为， 联立，解得，，， 设点，则， ， 同理可得， 故， 6．B 解：因为点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点， 所以，，从而有， 所以,，， 由题意，三角形的面积为1， 设直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为，由直线y＝ax+b（a＞0）将三角形分割为面积相等的两部分，可得，所以，故点M在射线上． 设直线y＝ax+b和的交点为N，则由可得点N的坐标为． ①若点M和点重合，如图：    则点N为线段的中点，故N， 把、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b． ②若点M在点O和点之间，如图：    此时，点N在点和点之间， 由题意可得三角形的面积等于，即， 即，可得a，求得， 故有． ③若点M在点的左侧，    则，由点M的横坐标，求得b＞a． 设直线y＝ax+b和的交点为P，则由求得点P的坐标为， 此时，由题意可得，三角形APN的面积等于，即， 即，化简可得． 由于此时b＞a＞0，所以 ． 两边开方可得 ，所以，化简可得， 故有． 综上，b的取值范围应是. 7．ABD 根据P点位置判断A；利用椭圆第二定义判断B；利用联立方程的方法可判断C；结合椭圆第二定义以及距离的几何意义判断D. 对于A，当点P位于椭圆的长轴上的一个顶点时，取最大值，最大值为2，A正确； 对于B，椭圆的右准线为， 根据椭圆第二定义可知，B正确； 对于C，设，则圆M的方程为， 联立得， 令，此时方程有两相等实数根，符合题意， 则，圆的半径为，C错误； 对于D，由于， 则，当且仅当P位于时取等号， 即的最小值为3，D正确， 故选：ABD 8．ACD 设，由题意求得轨迹方程，将代入方程可判断A；当时，将代入方程计算可判断B；令，则，求得，可求得最大面积判断C；令，可得，利用二次函数的性质可求得最大值. 设，由，得． 将代入上式，等式仍成立，知曲线关于轴对称，所以选项A正确； 当时，将代入等式成立，知原点在曲线上，所以选项B错误； 当时，方程整理得． 令，则， 若方程有两个负根，则，推出无解，故方程至少有一个正根， 由得，面积的最大值为，所以选项C正确． 由，得． 令，得，所以． 所以．所以．所以选项D正确． 故选：ACD． 9．ABD 由抛物线的定义可得，结合即可判断A；设的方程且联立抛物线方程，利用韦达定理可得，由中点坐标公式和两点表示直线斜率可得，即可判断B；由选项B知、，结合抛物线的定义化简计算即可判断C；由选项C得，由射影定理得，则，结合基本不等式计算即可判断D. A：由题意得， 又以为直径的圆与切于点，故A正确； B：设的方程为，联立整理得， ，又， 则，，即，故B正确； C：由选项B知， ，故C错误； D：由选项C，得，则， 在中，，，由射影定理得， ， 当且仅当时，等号成立，且，故D正确. 故选：ABD． 10．ABD 利用线段垂直平分线的性质求解选项A，结合导数，求出过点且与抛物线相切的直线方程结合选项A求解选项B，利用向量垂直的求解出直线与直线垂直时，对应的或，求解选项C，若是直角三角形，结合C选项的结论得到 ，所以，直线的斜率为，求解选项D. 因为线段的垂直平分线上的点到点的距离相等，且点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点，A正确. 不妨设点在第一象限，设， 线段的中点坐标为. 结合A选项的结论可得， 线段的垂直平分线的斜率为 . 由，可得， 所以过点的切线的斜率为， 所以过点的切线与线段的垂直平分线重合， 即过点且与抛物线相切的直线垂直平分线段，B正确. ，若直线与直线垂直，则，解得或，都不符合题意，所以直线与直线不可能垂直，C错误. 若是直角三角形，结合C选项的结论，只能是，所以，直线的斜率为，D正确. 故选；ABD. 11．BCD 对于A，将的周长转化为椭圆上两点到两焦点的距离即可；对于B，设，且，，结合斜率两点公式判断；对于C，直线与椭圆联立，应用韦达定理，再通过计算线段中点到直线的距离即可；对于D，由C选项的结论，设，，通过共线得，同理由共线得，结合韦达定理则，且，即可计算. 椭圆，长轴长，短轴长， 对于A，直线过椭圆的左焦点，为右焦点， 的周长为，故A错误； 对于B，设，则，， 所以，同理， 所以直线，，，的斜率之积为，故B正确； 对于C，直线与联立得， 设，则，， 线段的中点到直线的距离为， 当时，故C正确； 设，，由共线得，， 同理由共线得， 所以， 而， 则， 所以， 又，则，故D正确. 故选：BCD． 12． 设，，先由重心坐标公式求出弦的中点坐标，再由，在双曲线上结合点差法和中点坐标公式以及两点斜率公式即可求解. 设，， 因为，，由重心坐标公式得，， 所以弦的中点坐标为，，即． 又，在双曲线上，由题意知直线的斜率存在，则， 故，作差得， 将中点坐标代入得． 故答案为： 13．或 由垂直于轴得，由四边形的面积为得，联立直线与抛物线方程，由韦达定理求得直线斜率，进而得到直线的方程. 当垂直于轴时，， 设直线， ，所以， 联立得，， 所以， 所以， 所以，即直线的方程为或. 故答案为：或. 14． 求得椭圆的，可得焦点坐标和顶点坐标，可，由两点的距离公式可得，即点与的距离，再由椭圆的定义，可得 ，再由四点共线取得最值，可得所求. 解：椭圆的， 右焦点为，右焦点为，上顶点为， 点在圆上，可设， ， 表示点与的距离， 由椭圆的定义可得， ， 当且仅当三点共线上式取得等号， 故的最小值是， 故答案为：. 15．(1) (2)证明见解析 （1）由题意可得解得， 所以双曲线的方程为. （2）证明：设直线，点， 则. 联立，得， . ， 则， ， ， 所以. 16．(1) (2)① 证明见解析；②证明见解析 （1）设椭圆的半焦距为．依题意，离心率，则，①． 直线，即，由题可知②． 联立①②，解得，，故的方程为． （2） （i）设过点且与圆相切的直线的方程为， 则，整理得， 记直线，的斜率分别为，，则，为定值． （ii）由（i）的过程可知直线，联立方程得 则有，故． 直线，同理可得． 故 ， 则． 17．(1) (2) (3)的面积不是定值，取值范围是 （1）扇形的面积为，解得， 半椭圆与轴的交点，右焦点， 所以在中，， 又因为，所以. （2）显然直线的斜率不为，所以， 由（1）知半椭圆方程为，圆弧方程为，恰为椭圆的左焦点， ①当时，分别在圆弧和半椭圆上， 因为，所以是腰为的等腰三角形，且，所以， 因为在半椭圆上，所以， 所以的周长； ②当时，在半椭圆上， 因为在半椭圆上，所以， 所以的周长； ③当时，分别在半椭圆和圆弧上， 因为，所以是腰为的等腰三角形，且，所以， 因为在半椭圆上，所以， 所以的周长； 综上，. （3）由（2）知，当时，， 当时，， 所以当时，取得最大值，此时在半椭圆上， 设直线的方程为， 联立得，， ， 点到直线的距离， 所以， 令，因为，所以，， ， 因为在上单调递增，所以即， 所以， 即的面积不是定值，取值范围是. 18．(1) (2) (3)证明见解析 （1）由题意可知：焦点F到准线的距离为， 所以抛物线E的方程为. （2）设，可知，则， 可得， 显然不满足上式， 则，可得， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 则，即， 所以t的取值范围为. （3）设， 则直线的斜率， 可得直线的方程，整理得， 同理可得：直线的方程， 由题意可得：，整理得， 又因为直线的斜率分别为， 显然为锐角，则， 所以为定值. 19．(1) (2) （1）由题意可得，解得， 所以，双曲线的方程为. （2）设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，，可得， ， 点到直线的距离为，点到直线的距离为， 所以，四边形的面积为. 当且仅当时，四边形的面积取最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$