精品解析：福建省漳州一中碧湖校区2024-2025学年七年级下学期期中数学测试

2024—2025学年下学期期中测试 七年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 旭日东升 C. 竹篮打水 D. 水中捞月 3. 春节期间，小王打算趁着假期去看贺岁片，其中有《唐探1900》，《封神2》，《哪吒之魔童闹海》，《射雕英雄传：侠之大者》等多部影片上映，而且票房均已过亿，小王准备从这四部电影中选一部观看．小王选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 4. ，则的值为（ ） A. 32 B. 25 C. 10 D. 45 5. 计算，其中第①步运算的依据是（ ） A. 幂的乘方法则； B. 乘法分配律； C. 积的乘方法则； D. 同底数幂的乘法法则 6. 如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A. B. C. D. 8. 若将展开的结果中不含有的一次项，则，满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 9. 有四张不透明的卡片，除正面的代数式不同外，其余完全相同．这四个代数式分别为：、、、，将它们背面朝上洗匀后，小明和小东两人依次从中有放回地随机抽取一张，则两人抽出的卡片均能用平方差公式计算的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 已知一块三角板，，，，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．若的平分线交边于点，以下结论中．①当且时，；②当时，；③当时，．正确的有（ ） A. ② B. ①② C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是，这个数用科学记数法表示是_________． 12. 如图所示的是一个可以自由转动的转盘，每个扇形的大小相同，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针指向_____色区域的可能性最大． 13. 如图，直线是起跳线，脚印是小明跳落沙坑时留下的痕迹，体育老师测得线段的长度作为小明跳远的成绩，这样测量的依据是_____． 14. 已知，则的值为_____． 15. 如果关于的二次三项式是完全平方式，则的值是_____． 16. 有一张边长为的大正方形卡片和三张边长为的小正方形卡片如图①所示，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图②，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图③．已知图②中的阴影部分面积是图③中的阴影部分面积的2倍，则小正方形与大正方形的面积之比为_____． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）（简便运算）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，已知，平分，试说明：． 20 一个袋中装有2个红球和5个白球，每个球除颜色外都相同． （1）从袋中随机抽取1个球，求抽到的是红球的概率； （2）在袋中加入个白球后，进行如下实验：随机抽取一个球，然后放回，多次重复这个实验．通过大量重复实验后发现，抽到红球频率稳定在0.2，求的值． 21. 如图所示，有一块边长为米和米的长方形土地，现准备在这块上地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域． （1）请用含和的代数式分别表示游泳池的面积、休息区域的面积；（结果要求化简） （2）若，，求休息区域的面积． 22. 如图，内部有一点，过点的直线，交于点． （1）求作：射线，使得射线，交于点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，判断和的数量关系，并说明理由． 23. 综合与实践 学习了平行线之后，小林同学通过折纸方式，可以过直线外一点画这条直线的平行线．如图1，点为纸片上直线外一点． 下面是具体操作过程： 第一步：如图2，沿过点的直线翻折，使直线在折痕两侧的部分落在同一条直线上，得到折痕； 第二步：如图3，展开纸张，画出折痕，继续沿过点的直线翻折，使折痕在新折痕两侧的部分落在同一条直线上，得到新折痕； 第三步：如图4，展开纸张，画出新折痕； 此时新折痕与直线平行． 请根据上面的材料，完成下列任务： （1）第一步操作得到折痕与直线的位置关系是_____； （2）关于新折痕与直线平行的依据，下列说法正确的是_____（填序号即可）． ①同位角相等，两直线平行；②两直线平行，同位角相等；③对顶角相等． （3）如图5，于点于点是直线上两点（点位于点左侧），连接，其中，，求的度数． 24. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了以下问题：两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差是否能被4整除？这两个数的积能否表示为两个正整数的平方差？ （1）指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为整数，）： 3 4 5 … 1 2 3 … … … ①_____ ②____ 按上表规律，完成下列问题： （I）补全表格：①______；②_____； （II）探究发现：两个不同正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差_____（填“能”或“不能”）被4整除； （2）兴趣小组还发现，当两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两个数的积能表示为两个正整数的平方差，例：．设这两个不同的正整数分别为，请用含的等式表示该结论，并借助运算说明这个结论是正确的． 25. 如图，，点在直线和之间，且在直线的左侧，． （1）如图1，若，求的度数； （2）连接，过点作，交于点．过点作于点， ①如图2，若，试说明平分． ②连接，若，则_____（用含、的代数式表示，结果要求化简）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年下学期期中测试 七年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除法运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用同底数幂的乘除法运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算，进而得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项正确，符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 2. 下列成语描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 旭日东升 C. 竹篮打水 D. 水中捞月 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A. 守株待兔，有可能发生，也有可能不发生，是随机事件，符合题意； B. 旭日东升，是必然事件，不符合题意； C. 竹篮打水, 是不可能事件，不符合题意； D. 水中捞月，是不可能事件，不符合题意； 故选A． 3. 春节期间，小王打算趁着假期去看贺岁片，其中有《唐探1900》，《封神2》，《哪吒之魔童闹海》，《射雕英雄传：侠之大者》等多部影片上映，而且票房均已过亿，小王准备从这四部电影中选一部观看．小王选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是简单随机事件的概率，直接利用概率公式计算即可. 【详解】解：一共有4种情况发生： 1、《唐探1900》， 2、《封神2》， 3、《哪吒之魔童闹海》， 4、《射雕英雄传：侠之大者》， 小王选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率是． 故选：C． 4. ，则的值为（ ） A. 32 B. 25 C. 10 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的运算，根据幂的乘方运算法则，进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 5. 计算，其中第①步运算的依据是（ ） A. 幂的乘方法则； B. 乘法分配律； C. 积的乘方法则； D. 同底数幂的乘法法则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据积的乘方等于把各因式分别乘方，再求其积的运算法则计算即可． 【详解】解：， 其中第①步运算依据是积的乘方法则， 故选：C． 6. 如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同角的余角相等，利用该性质可得，熟知同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 7. 如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式与图形面积，掌握数形结合思想成为解题关键．分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等列式即可解答． 【详解】解：甲图中阴影部分的面积为：， 图乙中阴影部分的面积为：， 所以． 故选：D． 8. 若将展开的结果中不含有的一次项，则，满足的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含有的一次项，得出与的关系即可． 【详解】解：， 将展开的结果中不含有的一次项， ， 故选：A． 9. 有四张不透明的卡片，除正面的代数式不同外，其余完全相同．这四个代数式分别为：、、、，将它们背面朝上洗匀后，小明和小东两人依次从中有放回地随机抽取一张，则两人抽出的卡片均能用平方差公式计算的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查是平方差公式的应用，利用列表法或画树状图求解随机事件的概率，先判定、能用平方差公式计算，再画树状图求解概率即可. 【详解】解：不能用平方差公式计算； ，不能用平方差公式计算； ，能用平方差公式计算； ，能用平方差公式计算； 分别记、、、为， 画树状图如下： ∴所有等可能的情况数有种，符合条件的情况数有种， ∴两人抽出的卡片均能用平方差公式计算的概率是； 故选：D 10. 已知一块三角板，，，，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．若的平分线交边于点，以下结论中．①当且时，；②当时，；③当时，．正确的有（ ） A. ② B. ①② C. ①③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，先画图，利用角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质与判定逐一分析判断即可. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴；故①符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； 如图，延长交于， ∵， ∴， ∴， 由①②可得：， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不正确，故③不符合题意； 故选：B 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是，这个数用科学记数法表示是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是解题的关键．左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图所示的是一个可以自由转动的转盘，每个扇形的大小相同，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针指向_____色区域的可能性最大． 【答案】红 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的知识，解题的关键是看清那种颜色的最多．哪一种颜色多，指针指向那种颜色的可能性就最大． 【详解】解：因为转盘分成6个大小相同的扇形，绿色的有1块，红色的有3块，黄色的有2块， 所以转动一次转盘后，指针指向红颜色的可能性最大， 故答案为：红． 13. 如图，直线是起跳线，脚印是小明跳落沙坑时留下的痕迹，体育老师测得线段的长度作为小明跳远的成绩，这样测量的依据是_____． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短．熟记相关结论即可．跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长度． 【详解】解：根据垂线段最短可知：垂线段的长度是小明跳远的成绩； 故答案为：垂线段最短 14. 已知，则的值为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，同底数幂乘法，幂的乘方，先根据，得出，再根据同底数幂乘法和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：8． 15. 如果关于的二次三项式是完全平方式，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，根据完全平方公式的式子结构得到，，解得即可得到答案． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴需满足， ∴，， ∴ 解得：， 故答案为：． 16. 有一张边长为的大正方形卡片和三张边长为的小正方形卡片如图①所示，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图②，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图③．已知图②中的阴影部分面积是图③中的阴影部分面积的2倍，则小正方形与大正方形的面积之比为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图可得，图②阴影部分面积，图③阴影部分面积，即得，得到，据此即可求解，根据图形表示出图①②阴影部分的面积是解题的关键． 【详解】解：由图②可得，阴影部分面积， 由图③可得，阴影部分面积， ∵图②中的阴影部分面积是图③中的阴影部分面积的倍， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）（简便运算）． 【答案】（1）6 （2）9800 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、零次幂、负整数指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零次幂、负整数指数幂、乘方，再运算加减，即可作答． （2）运用平方差公式进行运算，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，求解代数式的值，先计算括号内整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再把，代入计算即可. 【详解】解： 当时， 原式． 19. 如图，已知，平分，试说明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，先证明，结合已知可得，再结合对顶角的性质可得结论． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 20. 一个袋中装有2个红球和5个白球，每个球除颜色外都相同． （1）从袋中随机抽取1个球，求抽到的是红球的概率； （2）在袋中加入个白球后，进行如下实验：随机抽取一个球，然后放回，多次重复这个实验．通过大量重复实验后发现，抽到红球的频率稳定在0.2，求的值． 【答案】（1）； （2）的值为3． 【解析】 【分析】本题考查的是求解随机事件的概率，利用稳定的频率估计概率，已知概率求解数量； （1）根据概率公式直接计算即可； （2）设加入个白球，结合题意可得，再解方程即可. 【小问1详解】 解： 从袋中随机抽取一个球，共有7种等可能的结果，其中红球有2个． ∴（抽到是红球）． 答：抽到的是红球的概率是． 【小问2详解】 解：设加入个白球，得．解得， 答：的值为3． 21. 如图所示，有一块边长为米和米的长方形土地，现准备在这块上地上修建一个长为米，宽为米的游泳池，剩余部分修建成休息区域． （1）请用含和的代数式分别表示游泳池的面积、休息区域的面积；（结果要求化简） （2）若，，求休息区域的面积． 【答案】（1），； （2）休息区域的面积是325平方米． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式，掌握整式的混合运算法则． （1）根据图形可知，休息区域的面积长方形土地的面积游泳池的面积，将数值代入计算即可； （2）将代入（1）中化简后的式子计算即可； 【小问1详解】 解：由题意可得，游泳池的面积： 休息区域的面积： 【小问2详解】 解：当时， （平方米）． 答：休息区域的面积是325平方米． 22. 如图，内部有一点，过点的直线，交于点． （1）求作：射线，使得射线，交于点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查的是画一个角等于已知角，平行线的判定与性质； （1）作，边交于点．即可； （2）先证明，结合即可得到结论； 【小问1详解】 解：如图所示，射线为所求作． ； 理由：∵， ∴； 【小问2详解】 解：． 理由如下：∵， ． ∵， . 23. 综合与实践 学习了平行线之后，小林同学通过折纸的方式，可以过直线外一点画这条直线的平行线．如图1，点为纸片上直线外一点． 下面是具体操作过程： 第一步：如图2，沿过点的直线翻折，使直线在折痕两侧的部分落在同一条直线上，得到折痕； 第二步：如图3，展开纸张，画出折痕，继续沿过点的直线翻折，使折痕在新折痕两侧的部分落在同一条直线上，得到新折痕； 第三步：如图4，展开纸张，画出新折痕； 此时新折痕与直线平行． 请根据上面的材料，完成下列任务： （1）第一步操作得到的折痕与直线的位置关系是_____； （2）关于新折痕与直线平行的依据，下列说法正确的是_____（填序号即可）． ①同位角相等，两直线平行；②两直线平行，同位角相等；③对顶角相等． （3）如图5，于点于点是直线上两点（点位于点左侧），连接，其中，，求度数． 【答案】（1）； （2）①； （3）． 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行线的判定与性质； （1）由对折可得折痕与直线所夹的角为，从而可得答案； （2）由对折可得，，从而可得答案； （3）先求解，再证明，结合平行线的性质可得答案. 【小问1详解】 解：第一步操作得到的折痕与直线的位置关系是； 【小问2详解】 解：由题意得： ，， 所以，可以利用同位角相等，两直线平行得到：， 故选：① 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴. 24. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了以下问题：两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差是否能被4整除？这两个数的积能否表示为两个正整数的平方差？ （1）指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为整数，）： 3 4 5 … 1 2 3 … … … ①_____ ②____ 按上表规律，完成下列问题： （I）补全表格：①______；②_____； （II）探究发现：两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差_____（填“能”或“不能”）被4整除； （2）兴趣小组还发现，当两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两个数的积能表示为两个正整数的平方差，例：．设这两个不同的正整数分别为，请用含的等式表示该结论，并借助运算说明这个结论是正确的． 【答案】（1）（I）①；②；（II）能 （2）；证明见解析 【解析】 【分析】（1）（Ⅰ）①根据表格中数据信息进行解答即可； ②根据数据规律得出即可； （Ⅱ）根据可以得出结论； （2）根据，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：（Ⅰ）①根据表格中数据可知：； ②根据题意可知：； （Ⅱ）∵， ∴两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差能被4整除； 【小问2详解】 解：． 证明如下： ， ． 同为偶数或奇数，且， 、均为正整数． 两个不同正整数同为偶数或奇数时，这两个数的积能表示为两个正整数的平方差． 【点睛】本题主要考查数字规律探索，整式乘法运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则． 25. 如图，，点在直线和之间，且在直线的左侧，． （1）如图1，若，求的度数； （2）连接，过点作，交于点．过点作于点， ①如图2，若，试说明平分． ②连接，若，则_____（用含、的代数式表示，结果要求化简）． 【答案】（1）； （2）①见解析；②或． 【解析】 【分析】（1）过点作，证明，再利用平行线的性质可得结论； （2）①当时，，结合平行线的性质可得，可得．进一步可得结论；②如图，当在左边时，当在右边时，如图，再结合三角形的内角和定理可得答案. 【小问1详解】 解：如图1，过点作． ． ∵， ∴， ． ． ∴， ， ． 【小问2详解】 解：①当时，， ∵， ， ∵， ， ， ， ， ， ． ， 平分． ②或；理由如下： 如图，当在左边时， ∵，， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在右边时，如图， 同理可得： ； 综上或. 【点睛】本题考查的是角的和差运算，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，垂直的定义，清晰的分类讨论是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$