精品解析：2025年贵州省中考适应性考试数学卷　

贵州省2025年义务教育质量提升检测试卷 九年级数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 下列有理数中最小的数是（　　） A. 5 B. 0 C. D. 2. 下面几何体中，主视图是三角形的是（　　） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是“垃圾入桶”标志中垃圾桶的平面示意图，，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 小红在一次测试中每个小题平均用时分钟，则她答完个小题共需要的时间是（　　） A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 6. 小星计划五一假期来贵州游玩，他打算从“黄果树”“小七孔”“西江苗寨”“赤水”“万峰林”“梵净山”这6个景点中随机选择一个，则选中“黄果树”的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 不等式组的解集是（　　） A. B. C. 或 D. 9. 如图，在轴，轴上分别截取，使，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．若点的坐标为，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 方程的解是（　　） A. B. C. D. 11. 如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为的长为6，则小正方形的边长为（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 12. 已知正三角形的边长为是边上的一点（不与端点重合），过作边的垂线，交于，设，的面积为，则关于的函数图象为（　　） A B. C. D. 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 因式分解：__________ 14. 在一个不透明的盒子中有3个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是___________． 15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围是___________． 16. 如图，在中，，，．平分交于点，点为上一点，连接，将沿方向平移到，连接，则的最小值为______． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）下面是小红同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 请写出化简该分式的正确过程． 18. 今年春节档期全国总观影人次超亿，总票房超80亿元．以下是甲、乙两部影片一周上映的观影人次信息．根据图中信息，回答下列问题： 两部影片观影人次折线统计图 （1）甲影片观影人次的众数为______万人；乙影片观影人次的中位数为_______万人． （2）下列说法正确的是______（填序号） ①甲影片观影人次逐日增加； ②周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大； ③乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定； ④甲影片的日平均观影人次低于乙影片的日平均观影人次． （3）根据甲、乙两部影片累计观影人次统计数据，判断甲、乙两部影片受欢迎的程度并提出一条合理化的建议． 19. 如图，是两张叠放在一起的矩形纸片．分别过点A作于于，且． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若为的中点，连接，求的面积． 20. 如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，斜边与反比例函数交于点． （1）求的值； （2）若在该反比例函数上有一点，过作轴的平行线，分别交于点．当时，求点的坐标． 21. 如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人． （1）若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数； （2）假设每个甲型哨所的人数为，请用含的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的的值． 22. 如图，小星利用自己的身高想要测量水平操场上旗杆的高度，请帮助小星按下列任务设计一种测量方案： 任务一：你选取的工具是___________（可选工具：小镜子、标杆、皮尺）； 任务二：请在图中画出方案示意图； 任务三：结合你画的示意图，从以下测量数据中选取合适的数据，求出旗杆的高度（结果保留整数）． 测量数据：①小星与旗杆的距离为，②小星到镜子的距离为，③镜子到旗杆的距离为，④同一时刻，小星的影长为，旗杆的影长为，⑤小星的身高为（眼睛到头顶的距离忽略不计），⑥标杆长，⑦小星与标杆的距离为． 23. 如图，内接于，过点作的切线交的延长线于，连接交于点，连接． （1）求证； （2）探究与数量关系，并说明理由； （3）若，求的半径． 24. 如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，垂直于地面，且，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式（为常数，）． （1）求顶棚抛物线的函数关系式； （2）小星想驾驶一辆高为，宽为的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ （3）如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚之间抛物线上有两个点和（不与点重合）．它们的横坐标分别为，连接，．设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 25. 劳动课上，同学们创造性地选用铁皮代替锅来烙一块与铁皮形状、大小相同的饼． （1）【操作发现】 小红找到一块如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是___________； A．三角形的稳定性 B.等腰三角形是轴对称图形 C.三角形内角和等于 （2）思考操作】 如图②，小红找到一块直角三角形的铁皮．如果饼烙好一面后将其翻身，那么这块饼不能正好落在“锅”中．小红将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中，请你在图中作出“切痕”（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （3）【拓展延伸】 如图③，小星拿到一块既不是等腰三角形也不是直角三角形的铁皮．小星只切3刀，也能使饼翻身后，正好落在“锅”中．用两种不同方法画出“切痕”，写出切割的依据； 如图④，小星最后拿到一块凸四边形铁皮．他能否四边形内部取一点，使切法满足．让烙饼翻身仍能正好落在“锅”中？写出推理过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵州省2025年义务教育质量提升检测试卷 九年级数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式为闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 下列有理数中最小的数是（　　） A. 5 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．根据有理数的大小比较法则比较大小即可得出答案． 详解】解：， 最小的数是， 故选：D． 2. 下面几何体中，主视图是三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了主视图的定义，掌握三视图的相关知识点是解题关键．找到从正面看所得到的图形，得出主视图是三角形的即可． 【详解】解：由主视图的定义得：A的主视图的一个矩形； B的主视图是三角形； C的主视图是梯形； D的主视图是圆， 故选：B． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：a6÷a2=a4． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题的关键． 4. 如图，四边形是“垃圾入桶”标志中垃圾桶的平面示意图，，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由题意得，所以，即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 5. 小红在一次测试中每个小题平均用时分钟，则她答完个小题共需要的时间是（　　） A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了列代数式，由每个小题平均用时分钟，即求她答完个小题共需要的时间，弄清题中的等量关系是解题的关键． 【详解】解：因为每个小题平均用时分钟， 所以她答完个小题共需要的时间是分钟， 故选：． 6. 小星计划五一假期来贵州游玩，他打算从“黄果树”“小七孔”“西江苗寨”“赤水”“万峰林”“梵净山”这6个景点中随机选择一个，则选中“黄果树”的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据“概率所求情况数与总情况数之比”解答即可． 【详解】解：供选择的景点有6种等可能的情况，她选中“黄果树”的情况有1种， 选中“黄果树”的概率为． 故选：A． 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且平分，对边平行且相等，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； B、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等且平分，故，原结论一定正确，符合题意； D、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； 故选C． 8. 不等式组的解集是（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式组的解集，掌握同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小解没了是解题关键．根据大小小大取中间即可得解． 【详解】解：， 利用大小小大取中间可得， 故选：A． 9. 如图，在轴，轴上分别截取，使，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．若点的坐标为，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图－基本作图，角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．根据作图方法可知点P在的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，可得关于a的方程，求解即可． 【详解】解：∵，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P， ∴点P在的角平分线上， ∴点P到x轴和y轴的距离相等， 又∵点P的坐标为， ∴， ∴． 故选：C． 10. 方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，去分母是解题的关键，注意分式方程要检验． 首先把分式方程整理成整式方程，再按照解整式方程的步骤进行计算，最后再进行检验，即可得出答案． 【详解】解： 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴原方程的根为， 故选：C． 11. 如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为的长为6，则小正方形的边长为（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．先由勾股定理求得，进而得，即可得解． 【详解】解：由题意得为直角三角形，，， ∴， ∴， 故选：D． 12. 已知正三角形的边长为是边上的一点（不与端点重合），过作边的垂线，交于，设，的面积为，则关于的函数图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是动点问题的函数图象探究题，考查了二次函数图象性质和锐角三角函数的先关知识，解答关键是是边上的一点（不与端点重合）求出的取值范围． 根据题意可求，，是边上的一点（不与端点重合）求出的取值范围，再由三角形面积求出函数解析式，由解析式即可判断． 【详解】解： ， ∵是等边三角形 ∴，， ∴， 又∵是边上的一点（不与端点重合）， ∴ ∴， ∵ ， 根据解析式和的取值范围可知B正确， 故选：B． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 14. 在一个不透明的盒子中有3个红球、若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出1个球，记下颜色后放回．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则盒子中球的总个数大约是___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，利用频率估计概率是解题的关键．由题意得，利用红球个数除以摸到红球的频率，可估计出球的总数即可求解． 【详解】解：由题意得，估计盒子中球的总个数为（个）， 故答案为：15． 15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根判别式，熟练掌握是解答本题的关键．先将方程化为一般式，根据方程有两个不相等的实数根得到计算求解即可． 【详解】解：化为一般式为：， 关于的一元二次方程有两个不相等的实根， ， 解得， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，．平分交于点，点为上一点，连接，将沿方向平移到，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，由题意可得点的轨迹是在过点且平行于的线段上移动，过点的线段，且，由直角三角形的性质和勾股定理得，，作，垂足为，，垂足为，，垂足为，则此时的长为的最小值，由角平分线的性质得，，设，则，可得，得到，进而由得，利用三角形面积得，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵点是在线段上移动的， ∴点的轨迹是在过点且平行于的线段上移动， 如图，过点的线段，且， 中，，，， ∴，， ∴， 作，垂足为，，垂足为，，垂足为，则此时的长为的最小值， ∵平分交于点，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）下面是小红同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 请写出化简该分式的正确过程． 【答案】（1）；（2）二，括号前面是负号，去括号没有变号；． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据有理数的乘方，绝对值化简，零指数幂运算，然后合并即可； （）根据分式的运算法则即可求解； 根据分式的运算法则即可求解． 【详解】解：（） ； （）第二步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是负号，去括号没有变号； 故答案为：二，括号前面是负号，去括号没有变号； ． 18. 今年春节档期全国总观影人次超亿，总票房超80亿元．以下是甲、乙两部影片一周上映的观影人次信息．根据图中信息，回答下列问题： 两部影片观影人次折线统计图 （1）甲影片观影人次的众数为______万人；乙影片观影人次的中位数为_______万人． （2）下列说法正确的是______（填序号） ①甲影片的观影人次逐日增加； ②周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大； ③乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定； ④甲影片的日平均观影人次低于乙影片的日平均观影人次． （3）根据甲、乙两部影片累计观影人次统计数据，判断甲、乙两部影片受欢迎的程度并提出一条合理化的建议． 【答案】（1）， （2）②③ （3）根据甲、乙两部影片数据可知，甲影片在累计观影人次、观影人次众数、周平均观影人次等方面表现更优，更受欢迎，建议多安排甲影片的播放次数． 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，众数，中位数，平均数，正确读懂统计图是解题的关键： （1）根据众数和中位数的定义即可解答； （2）根据统计图逐一判断即可； （3）根据众数和平均数的意义即可解答． 【小问1详解】 解：甲影片观看的人数为万人的有两天，天数最多， ∴甲影片观影人次的众数为万人； 乙影片周一到周日观影人次从小到大排列为：，则乙影片观影人次的中位数为万人； 【小问2详解】 解：①根据折线统计图，甲影片的观影人次没有逐日增加，故预案说法错误； ②周一：（万人）， 周二：（万人）， 周三：（万人）， 周四：（万人）， 周五：（万人）， 周六：（万人）， 周日：（万人）， 则周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大，故原说法正确； ③根据统计图，乙影片观影人次比甲影片观影人次波动小，则乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定，故原说法正确； ④甲影片的日平均观影人次为：（万人）， 乙影片的日平均观影人次为：（万人）， ， 甲影片的日平均观影人次高于乙影片的日平均观影人次，故原说法错误； 故答案为：②③； 【小问3详解】 解：根据甲、乙两部影片数据可知，甲影片在累计观影人次、观影人次众数、周平均观影人次等方面表现更优，更受欢迎． 建议：多安排甲影片的播放次数． 19. 如图，是两张叠放在一起的矩形纸片．分别过点A作于于，且． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若为的中点，连接，求的面积． 【答案】（1）四边形是菱形，详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先依据矩形纸片对边平行，得出四边形是平行四边形，进而得到；再结合，及，通过证明，推出，根据邻边相等的平行四边形是菱形，判定四边形是菱形． （2）连接，由线段垂直平分线的性质推出，判定是等边三角形，得到，求出，判定是等边三角形，过作于，由等边三角形的性质得到，由勾股定理求出，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：四边形是菱形． 理由如下： 由题意可知：，， 四边形是平行四边形， ． ， ． 在和中， ． ． 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 连接． 为中点，， ∴， ∵平行四边形是菱形； ∴， ． 为等边三角形． ，． ， ． 为等边三角形． ∴， 过E作于H ∴， ， 的面积为． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，关键是掌握菱形的判定方法，判定是等边三角形． 20. 如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，斜边与反比例函数交于点． （1）求的值； （2）若在该反比例函数上有一点，过作轴的平行线，分别交于点．当时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，考查了等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设直线的函数表达式为，根据是等腰直角三角形得到，求出直线的函数表达式为，得到，从而求出的值； （2）设，，根据可得，根据点在直线上和点在反比例图像上，即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为， ，，是等腰直角三角形， ， 则， ， 解得， 直线的函数表达式为， 在上， ， ， 则； 【小问2详解】 解：设，， ， ，则，则， 将代入得，，即， 在反比例函数上， ， ， 解得，（舍）， ． 21. 如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人． （1）若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数； （2）假设每个甲型哨所的人数为，请用含的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的的值． 【答案】（1）每个甲哨所有4人，每个乙哨所有3人 （2）当时，哨所总人数的最大值是30人，当时，哨所总人数的最小值是18人 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人，根据六个哨所的总人数为21人，即可得出关于与二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设六个哨所的总人数为人，将六个哨所有人数相加即可得出关于的一次函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人， 根据题意列方程得：， 解得， 答：每个甲哨所有4人，每个乙哨所有3人； 【小问2详解】 解：设六个哨所的总人数为人， ∵每个甲型哨所的人数为，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人， ∴每个乙型哨所的人数为人， 又每个哨所至少要有一人， ∴， ∴， ∴， 随的增大而减小， 当时，最大值，当时，最小值， 答：当时，哨所总人数的最大值是30人，当时，哨所总人数的最小值是18人． 22. 如图，小星利用自己的身高想要测量水平操场上旗杆的高度，请帮助小星按下列任务设计一种测量方案： 任务一：你选取的工具是___________（可选工具：小镜子、标杆、皮尺）； 任务二：请在图中画出方案示意图； 任务三：结合你画的示意图，从以下测量数据中选取合适的数据，求出旗杆的高度（结果保留整数）． 测量数据：①小星与旗杆的距离为，②小星到镜子的距离为，③镜子到旗杆的距离为，④同一时刻，小星的影长为，旗杆的影长为，⑤小星的身高为（眼睛到头顶的距离忽略不计），⑥标杆长，⑦小星与标杆的距离为． 【答案】任务一：①皮尺；②小镜子、皮尺；③标杆、皮尺．（答案不唯一）；任务二：示意图1或图2或图3均可．（答案不唯一）；任务三：（答案不唯一），如选取数据①，⑤，⑥，⑦．学校旗杆的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 任务一：根据测量需要选择即可； 任务二：根据题意画图即可； 任务三：选取数据①，⑤，⑥，⑦．证明，利用相似三角形的性质求出，进而可求出旗杆的高度． 【详解】解：任务一：①皮尺；②小镜子、皮尺；③标杆、皮尺．（答案不唯一） 任务二：示意图1或图2或图3均可．（答案不唯一） 任务三：（答案不唯一） 如图3，选取数据①，⑤，⑥，⑦． 得， ， ． ， ， ， ． ， ． 答：学校旗杆的高度约为． 23. 如图，内接于，过点作的切线交的延长线于，连接交于点，连接． （1）求证； （2）探究与的数量关系，并说明理由； （3）若，求的半径． 【答案】（1）详见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，结合等腰三角形的性质与切线的性质可得； （2）先证明，可得，再变形即可； （3）过点作于点，证明，再证明，结合，再进一步求解即可； 【小问1详解】 解：如图①，， ． ， ． 为切线， ． ． 【小问2详解】 解：，理由见解析： 由（1）得， ， 又， ． ． ． 【小问3详解】 解：如图②，过点作于点， ∵． ． ， ， ， 又， ∴， ． ． ． ． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，作出合适的辅助线，熟练的利用相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的应用是解本题的关键. 24. 如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，垂直于地面，且，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式（为常数，）． （1）求顶棚抛物线的函数关系式； （2）小星想驾驶一辆高为，宽为的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ （3）如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚之间抛物线上有两个点和（不与点重合）．它们横坐标分别为，连接，．设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 【答案】（1） （2）小星能将车开进车棚，详见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）车身一端点的坐标为，过作于点，将代入得，此时，即可确定能将车开进车棚； （3）分两种情况讨论，①当都在对称轴的左侧时，②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时，根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 将分别代入得 ， 解得：， 顶棚抛物线的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：如图， ∵对称轴为直线：， 车身的宽为， 车身一端点的坐标为， 过作于点， 将代入 得 即， 小星能将车开进车棚； 【小问3详解】 解：在抛物线之间， 且， ， ． ①当都在对称轴的左侧时， 则， ∴ ， （舍）． ②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时， 则，且， ， ， （舍），（舍） 综上所述：． 25. 劳动课上，同学们创造性地选用铁皮代替锅来烙一块与铁皮形状、大小相同的饼． （1）【操作发现】 小红找到一块如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是___________； A．三角形的稳定性 B.等腰三角形是轴对称图形 C.三角形内角和等于 （2）【思考操作】 如图②，小红找到一块直角三角形的铁皮．如果饼烙好一面后将其翻身，那么这块饼不能正好落在“锅”中．小红将饼切了一刀，然后将两小块都翻身，结果饼就能正好落在“锅”中，请你在图中作出“切痕”（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （3）【拓展延伸】 如图③，小星拿到一块既不是等腰三角形也不是直角三角形的铁皮．小星只切3刀，也能使饼翻身后，正好落在“锅”中．用两种不同方法画出“切痕”，写出切割的依据； 如图④，小星最后拿到一块凸四边形铁皮．他能否在四边形内部取一点，使切法满足．让烙饼翻身仍能正好落在“锅”中？写出推理过程． 【答案】（1）B （2）见解析 （3）依据见解析，推理过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的性质解答即可； （2）作线段的垂直平分线交于点M，连接即可； （3）根据题意可知等腰三角形的饼翻身后能与本身重合，如图③，作，平分，平分，由直角三角形的斜边中线将直角三角形分成两个等腰三角形，得，，，是等腰三角形，翻身后与本身重合，如图③所示，分别作的垂直平分线交于点Q，连接，由垂直平分线的性质得，得是等腰三角形，翻身后与本身重合；如图④，假设点P存在，利用等腰三角形的性质结合四边形内角和即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图①的等腰三角形的铁皮，饼烙好一面后将其翻身，这块饼正好落在“锅”中，利用的数学原理是等腰三角形是轴对称图形， 故答案为：B； 【小问2详解】 解：由操作发现：饼正好落在“锅”中，即饼翻折以后与原来的图形重台，则铁锅的形状翻折以后与原来的图形重合，是轴对称图形． 作出斜边上的垂直平分线交与点，连接， 则， ∴都是等腰三角形，都是轴对称图形， 如图②所示为所求： 【小问3详解】 解：如图③所示，作于D，平分，平分，分别交和于点E，F， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 得，，，是等腰三角形， 则将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中； 如图③所示，分别作的垂直平分线交于点Q，连接， 则， 得是等腰三角形， 则将每一个三角形都翻身，及将每一块烙饼都翻身，就能使烙饼仍能正好落在“锅”中； 如图④，假设点P存在， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴与题干矛盾， ∴不能在四边形内部取一点，使切法满足． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的作法及性质等，理解题意，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$